गणित: Difference between revisions
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[[File:Euclid.jpg|thumb|350px|तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व ग्रीक गणितज्ञ यूक्लिड ने कैलीपर्स को पकड़े हुए, जैसा कि एथेंस के स्कूल से इस विस्तार से राफेल द्वारा कल्पना की गई थी (1509-1511){{efn|No likeness or description of Euclid's physical appearance made during his lifetime survived antiquity. Therefore, Euclid's depiction in works of art depends on the artist's imagination (see Euclid).}}]] | [[File:Euclid.jpg|thumb|350px|तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व ग्रीक गणितज्ञ यूक्लिड ने कैलीपर्स को पकड़े हुए, जैसा कि एथेंस के स्कूल से इस विस्तार से राफेल द्वारा कल्पना की गई थी (1509-1511){{efn|No likeness or description of Euclid's physical appearance made during his lifetime survived antiquity. Therefore, Euclid's depiction in works of art depends on the artist's imagination (see Euclid).}}]] | ||
गणित ({{etymology|grc|''{{wikt-lang|grc|μάθημα}}''; {{grc-transl|μάθημα}}:|knowledge, study, learning}}) ज्ञान का एक क्षेत्र है जिसमें संख्याएं (अंकगणित और संख्या सिद्धांत),<ref name="OED">{{cite web |url=http://oed.com/view/Entry/114974 |title=mathematics, ''n.'' |publisher=Oxford University Press |website=Oxford English Dictionary |year=2012 |access-date=June 16, 2012 |quote=The science of space, number, quantity, and arrangement, whose methods involve logical reasoning and usually the use of symbolic notation, and which includes geometry, arithmetic, algebra, and analysis. |archive-url=https://web.archive.org/web/20191116075558/https://www.oed.com/view/Entry/114974 |archive-date=November 16, 2019 |url-status=live }}</ref> सूत्र और संबंधित संरचनाएं (बीजगणित),<ref name="Kneebone">{{cite book |title=Mathematical Logic and the Foundations of Mathematics: An Introductory Survey |publisher=Dover |author=Kneebone, G.T. |year=1963 |page=4 |url=https://books.google.com/books?id=tCXxf4vbXCcC&pg=PA4 |isbn=978-0-486-41712-7 |quote=Mathematics ... is simply the study of abstract structures, or formal patterns of connectedness.}}</ref> आकार जैसे विषय शामिल हैं। और वे स्थान जिनमें वे निहित हैं (ज्यामिति),<ref name=OED/> और राशियाँ और उनके परिवर्तन (कलन और विश्लेषण)।<ref name="LaTorre">{{cite book |title=Calculus Concepts: An Informal Approach to the Mathematics of Change |publisher=Cengage Learning |first1=Donald R. |last1=LaTorre |first2=John W. |last2=Kenelly |first3=Sherry S. |last3=Biggers |first4=Laurel R. |last4=Carpenter |first5=Iris B. |last5=Reed |first6=Cynthia R. |last6=Harris |year=2011 |page=2 |url=https://books.google.com/books?id=1Ebu2Tij4QsC&pg=PA2 |isbn=978-1-4390-4957-0 |quote=Calculus is the study of change—how things change, and how quickly they change.}}</ref><ref name="Ramana">{{cite book |title=Applied Mathematics |publisher=Tata McGraw–Hill Education |author=Ramana |year=2007 |page=2.10 |url=https://books.google.com/books?id=XCRC6BeKhIIC&pg=SA2–PA10 |isbn=978-0-07-066753-2 |quote=The mathematical study of change, motion, growth or decay is calculus.}}</ref><ref name="Ziegler">{{cite book |title=An Invitation to Mathematics: From Competitions to Research |publisher=Springer |author=Ziegler, Günter M. |author-link=Günter M. Ziegler |year=2011 |page=vii |chapter-url=https://books.google.com/books?id=9TATfteVeVYC&pg=PR7 |isbn=978-3-642-19532-7 |chapter=What Is Mathematics?}}</ref> अधिकांश गणितीय गतिविधि में अमूर्त वस्तुओं के गुणों को खोजने या सिद्ध करने के लिए शुद्ध कारण का उपयोग शामिल होता है, जिसमें या तो प्रकृति से अमूर्तताएं होती हैं या{{emdash}}आधुनिक गणित में{{emdash}}ऐसी वास्तविकताएं होती हैं जो कुछ गुणों के साथ निर्धारित होती हैं, जिन्हें स्वयम् सिद्ध वक्तव्य कहा जाता है। एक गणितीय प्रमाण में पहले से सिद्ध किए गए प्रमेयों, स्वयंसिद्धों और (प्रकृति से अमूर्तता की स्थति में) कुछ मूल गुणों सहित पहले से ज्ञात परिणामों के लिए कुछ निगमन नियमों के अनुप्रयोगों का उत्तराधिकार होता है, जिन्हें विचाराधीन सिद्धांत के सही प्रारंभिक बिंदु माना जाता है। | '''''गणित''''' ({{etymology|grc|''{{wikt-lang|grc|μάθημα}}''; {{grc-transl|μάθημα}}:|knowledge, study, learning}}) ज्ञान का एक क्षेत्र है जिसमें संख्याएं (अंकगणित और संख्या सिद्धांत),<ref name="OED">{{cite web |url=http://oed.com/view/Entry/114974 |title=mathematics, ''n.'' |publisher=Oxford University Press |website=Oxford English Dictionary |year=2012 |access-date=June 16, 2012 |quote=The science of space, number, quantity, and arrangement, whose methods involve logical reasoning and usually the use of symbolic notation, and which includes geometry, arithmetic, algebra, and analysis. |archive-url=https://web.archive.org/web/20191116075558/https://www.oed.com/view/Entry/114974 |archive-date=November 16, 2019 |url-status=live }}</ref> सूत्र और संबंधित संरचनाएं (बीजगणित),<ref name="Kneebone">{{cite book |title=Mathematical Logic and the Foundations of Mathematics: An Introductory Survey |publisher=Dover |author=Kneebone, G.T. |year=1963 |page=4 |url=https://books.google.com/books?id=tCXxf4vbXCcC&pg=PA4 |isbn=978-0-486-41712-7 |quote=Mathematics ... is simply the study of abstract structures, or formal patterns of connectedness.}}</ref> आकार जैसे विषय शामिल हैं। और वे स्थान जिनमें वे निहित हैं (ज्यामिति),<ref name=OED/> और राशियाँ और उनके परिवर्तन (कलन और विश्लेषण)।<ref name="LaTorre">{{cite book |title=Calculus Concepts: An Informal Approach to the Mathematics of Change |publisher=Cengage Learning |first1=Donald R. |last1=LaTorre |first2=John W. |last2=Kenelly |first3=Sherry S. |last3=Biggers |first4=Laurel R. |last4=Carpenter |first5=Iris B. |last5=Reed |first6=Cynthia R. |last6=Harris |year=2011 |page=2 |url=https://books.google.com/books?id=1Ebu2Tij4QsC&pg=PA2 |isbn=978-1-4390-4957-0 |quote=Calculus is the study of change—how things change, and how quickly they change.}}</ref><ref name="Ramana">{{cite book |title=Applied Mathematics |publisher=Tata McGraw–Hill Education |author=Ramana |year=2007 |page=2.10 |url=https://books.google.com/books?id=XCRC6BeKhIIC&pg=SA2–PA10 |isbn=978-0-07-066753-2 |quote=The mathematical study of change, motion, growth or decay is calculus.}}</ref><ref name="Ziegler">{{cite book |title=An Invitation to Mathematics: From Competitions to Research |publisher=Springer |author=Ziegler, Günter M. |author-link=Günter M. Ziegler |year=2011 |page=vii |chapter-url=https://books.google.com/books?id=9TATfteVeVYC&pg=PR7 |isbn=978-3-642-19532-7 |chapter=What Is Mathematics?}}</ref> अधिकांश गणितीय गतिविधि में अमूर्त वस्तुओं के गुणों को खोजने या सिद्ध करने के लिए शुद्ध कारण का उपयोग शामिल होता है, जिसमें या तो प्रकृति से अमूर्तताएं होती हैं या{{emdash}}आधुनिक गणित में{{emdash}}ऐसी वास्तविकताएं होती हैं जो कुछ गुणों के साथ निर्धारित होती हैं, जिन्हें स्वयम् सिद्ध वक्तव्य कहा जाता है। एक गणितीय प्रमाण में पहले से सिद्ध किए गए प्रमेयों, स्वयंसिद्धों और (प्रकृति से अमूर्तता की स्थति में) कुछ मूल गुणों सहित पहले से ज्ञात परिणामों के लिए कुछ निगमन नियमों के अनुप्रयोगों का उत्तराधिकार होता है, जिन्हें विचाराधीन सिद्धांत के सही प्रारंभिक बिंदु माना जाता है। | ||
विज्ञान में गणित का उपयोग मॉडलिंग परिघटनाओं के लिए किया जाता है, जो तब प्रायोगिक नियमों से पूर्वानुमान लगाने की अनुमति देता है। किसी भी प्रयोग से गणितीय सत्य की स्वतंत्रता का तात्पर्य है कि ऐसी भविष्यवाणियों की सटीकता केवल मॉडल की उपयुक्तता पर निर्भर करती है। अयथार्थ भविष्यवाणियां, अनुचित गणित के कारण होने के बजाय, उपयोग किए गए गणितीय मॉडल को बदलने की आवश्यकता को दर्शाती हैं। उदाहरण के लिए, बुध के पेरिहेलियन पूर्वसर्ग को आइंस्टीन के सामान्य सापेक्षता के उद्भव के बाद ही समझाया जा सकता है, जिसने न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम को बेहतर गणितीय मॉडल के रूप में बदल दिया। | विज्ञान में गणित का उपयोग मॉडलिंग परिघटनाओं के लिए किया जाता है, जो तब प्रायोगिक नियमों से पूर्वानुमान लगाने की अनुमति देता है। किसी भी प्रयोग से गणितीय सत्य की स्वतंत्रता का तात्पर्य है कि ऐसी भविष्यवाणियों की सटीकता केवल मॉडल की उपयुक्तता पर निर्भर करती है। अयथार्थ भविष्यवाणियां, अनुचित गणित के कारण होने के बजाय, उपयोग किए गए गणितीय मॉडल को बदलने की आवश्यकता को दर्शाती हैं। उदाहरण के लिए, बुध के पेरिहेलियन पूर्वसर्ग को आइंस्टीन के सामान्य सापेक्षता के उद्भव के बाद ही समझाया जा सकता है, जिसने न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम को बेहतर गणितीय मॉडल के रूप में बदल दिया। | ||
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गणित विज्ञान, अभियांत्रिकी, चिकित्सा, वित्त, कंप्यूटर विज्ञान और सामाजिक विज्ञान में आवश्यक है। गणित के कुछ क्षेत्रों, जैसे कि सांख्यिकी और खेल सिद्धांत, को उनके अनुप्रयोगों के साथ घनिष्ठ पारस्परिक सम्बन्ध में विकसित किया गया है और अक्सर उन्हें अनुप्रयुक्त गणित के अंतर्गत समूहीकृत किया जाता है। अन्य गणितीय क्षेत्रों को किसी भी अनुप्रयोग से स्वतंत्र रूप से विकसित किया जाता है (और इसलिए उन्हें शुद्ध गणित कहा जाता है), लेकिन प्रायोगिक अनुप्रयोगों को अक्सर बाद में खोजा जाता है।{{sfn|Peterson|2001|p=12}}<ref name="wigner1960">{{cite journal |last=Wigner |first=Eugene |year=1960 |title=The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences |url=https://math.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html |journal=[[Communications on Pure and Applied Mathematics]] |volume=13 |issue=1 |pages=1–14 |doi=10.1002/cpa.3160130102 |bibcode=1960CPAM...13....1W |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20110228152633/http://www.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html |archive-date=February 28, 2011 |df=mdy-all }}</ref> एक उपयुक्त उदाहरण पूर्णांक गुणनखंडन की समस्या है, जो यूक्लिड में वापस जाता है, लेकिन जिसका RSA क्रिप्टोसिस्टम (कंप्यूटर नेटवर्क की सुरक्षा के लिए) में उपयोग करने से पहले कोई प्रायोगिक अनुप्रयोग नहीं था। | गणित विज्ञान, अभियांत्रिकी, चिकित्सा, वित्त, कंप्यूटर विज्ञान और सामाजिक विज्ञान में आवश्यक है। गणित के कुछ क्षेत्रों, जैसे कि सांख्यिकी और खेल सिद्धांत, को उनके अनुप्रयोगों के साथ घनिष्ठ पारस्परिक सम्बन्ध में विकसित किया गया है और अक्सर उन्हें अनुप्रयुक्त गणित के अंतर्गत समूहीकृत किया जाता है। अन्य गणितीय क्षेत्रों को किसी भी अनुप्रयोग से स्वतंत्र रूप से विकसित किया जाता है (और इसलिए उन्हें शुद्ध गणित कहा जाता है), लेकिन प्रायोगिक अनुप्रयोगों को अक्सर बाद में खोजा जाता है।{{sfn|Peterson|2001|p=12}}<ref name="wigner1960">{{cite journal |last=Wigner |first=Eugene |year=1960 |title=The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences |url=https://math.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html |journal=[[Communications on Pure and Applied Mathematics]] |volume=13 |issue=1 |pages=1–14 |doi=10.1002/cpa.3160130102 |bibcode=1960CPAM...13....1W |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20110228152633/http://www.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html |archive-date=February 28, 2011 |df=mdy-all }}</ref> एक उपयुक्त उदाहरण पूर्णांक गुणनखंडन की समस्या है, जो यूक्लिड में वापस जाता है, लेकिन जिसका RSA क्रिप्टोसिस्टम (कंप्यूटर नेटवर्क की सुरक्षा के लिए) में उपयोग करने से पहले कोई प्रायोगिक अनुप्रयोग नहीं था। | ||
ऐतिहासिक रूप से, प्रमाण की अवधारणा और | ऐतिहासिक रूप से, एक प्रमाण की अवधारणा और इससे जुड़ी गणितीय कठोरता पहली बार ग्रीक गणित में, विशेष रूप से यूक्लिड के तत्वों में दिखाई दी।<ref>{{Cite web|url=http://jwilson.coe.uga.edu/EMT668/EMAT6680.F99/Wise/essay7/essay7.htm|title=Eudoxus' Influence on Euclid's Elements with a close look at The Method of Exhaustion|last=Wise|first=David|website=jwilson.coe.uga.edu|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20190601004355/http://jwilson.coe.uga.edu/emt668/EMAT6680.F99/Wise/essay7/essay7.htm|archive-date=June 1, 2019|access-date=2019-10-26}}</ref> इसकी शुरुआत के बाद से, गणित को अनिवार्य रूप से ज्यामिति, और अंकगणित (प्राकृतिक संख्याओं और अंशों का प्रकलन) में विभाजित किया गया, जब तक कि '''16वीं''' और '''17वीं''' शताब्दी तक, जब बीजगणित और अतिसूक्ष्म कलन को विषय के नए क्षेत्रों के रूप में प्रस्तावित किया गया। तब से, गणितीय नवाचारों और वैज्ञानिक खोजों के बीच पारस्परिक क्रिया ने गणित के विकास में तेजी से वृद्धि की है। उन्नीसवीं सदी के अंत में, गणित के मूलभूत संकट ने स्वयंसिद्ध पद्धति के व्यवस्थितकरण को जन्म दिया। इससे गणित के क्षेत्रों की संख्या और उनके अनुप्रयोगों के क्षेत्रों में नाटकीय वृद्धि हुई। इसका एक उदाहरण गणित विषय वर्गीकरण है, जिसमें गणित के 60 से अधिक प्रथम-स्तर के क्षेत्रों की सूची है। | ||
== शब्द व्युत्पत्ति == | == शब्द व्युत्पत्ति == | ||
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|File:Two red dice 01.svg | Game theory<br>Discrete probabilities | |File:Two red dice 01.svg | Game theory<br>Discrete probabilities | ||
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=== गणितीय तर्क और सेट सिद्धांत === | === गणितीय तर्क और सेट सिद्धांत === | ||
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इन समस्याओं और बहसों ने गणितीय तर्क का व्यापक विस्तार किया, जैसे मॉडल सिद्धांत (अन्य सिद्धांतों के अंदर कुछ तार्किक सिद्धांतों का मॉडलिंग), सबूत सिद्धांत, प्रकार सिद्धांत, संगणना सिद्धांत और अभिकलनात्मक जटिलता सिद्धांत जैसे उपक्षेत्रों के साथ। हालांकि गणितीय तर्क के इन पहलुओं को कंप्यूटर के उदय से पहले प्रस्तावित किया गया था, लेकिन संकलक डिजाइन, प्रोग्राम प्रमाणन, प्रूफ सहायक और कंप्यूटर विज्ञान के अन्य पहलुओं में उनके उपयोग ने इन तार्किक सिद्धांतों के विस्तार में योगदान दिया।<ref>{{cite web |last1=Halpern |first1=Joseph |last2=Harper |first2=Robert |last3=Immerman |first3=Neil |last4=Kolaitis |first4=Phokion |last5=Vardi |first5=Moshe |last6=Vianu |first6=Victor |title=On the Unusual Effectiveness of Logic in Computer Science |url=https://www.cs.cmu.edu/~rwh/papers/unreasonable/basl.pdf |access-date=15 January 2021 |date=2001}}</ref> | इन समस्याओं और बहसों ने गणितीय तर्क का व्यापक विस्तार किया, जैसे मॉडल सिद्धांत (अन्य सिद्धांतों के अंदर कुछ तार्किक सिद्धांतों का मॉडलिंग), सबूत सिद्धांत, प्रकार सिद्धांत, संगणना सिद्धांत और अभिकलनात्मक जटिलता सिद्धांत जैसे उपक्षेत्रों के साथ। हालांकि गणितीय तर्क के इन पहलुओं को कंप्यूटर के उदय से पहले प्रस्तावित किया गया था, लेकिन संकलक डिजाइन, प्रोग्राम प्रमाणन, प्रूफ सहायक और कंप्यूटर विज्ञान के अन्य पहलुओं में उनके उपयोग ने इन तार्किक सिद्धांतों के विस्तार में योगदान दिया।<ref>{{cite web |last1=Halpern |first1=Joseph |last2=Harper |first2=Robert |last3=Immerman |first3=Neil |last4=Kolaitis |first4=Phokion |last5=Vardi |first5=Moshe |last6=Vianu |first6=Victor |title=On the Unusual Effectiveness of Logic in Computer Science |url=https://www.cs.cmu.edu/~rwh/papers/unreasonable/basl.pdf |access-date=15 January 2021 |date=2001}}</ref> | ||
=== अनुप्रयुक्त गणित === | === अनुप्रयुक्त गणित === | ||
{{Main|अनुप्रयुक्त गणित}} | {{Main|अनुप्रयुक्त गणित}}अनुप्रयुक्त गणित विज्ञान, अभियांत्रिकी, व्यवसाय और उद्योग में उपयोग किए जाने वाले गणितीय तरीकों का अध्ययन है। इस प्रकार, "अनुप्रयुक्त गणित" विशिष्ट ज्ञान वाला गणितीय विज्ञान है। अनुप्रयुक्त गणित शब्द उस प्रस्तावितेवर विशेषता का भी वर्णन करता है जिसमें गणितज्ञ व्यावहारिक समस्याओं पर कार्य करते हैं; व्यावहारिक समस्याओं पर केंद्रित एक प्रस्ताविते के रूप में, अनुप्रयुक्त गणित "गणितीय मॉडल के निर्माण, अध्ययन और उपयोग" पर केंद्रित है।{{Cn|date=May 2022}} | ||
अनुप्रयुक्त गणित विज्ञान, अभियांत्रिकी, व्यवसाय और उद्योग में उपयोग किए जाने वाले गणितीय तरीकों का अध्ययन है। इस प्रकार, "अनुप्रयुक्त गणित" विशिष्ट ज्ञान वाला गणितीय विज्ञान है। अनुप्रयुक्त गणित शब्द उस प्रस्तावितेवर विशेषता का भी वर्णन करता है जिसमें गणितज्ञ व्यावहारिक समस्याओं पर कार्य करते हैं; व्यावहारिक समस्याओं पर केंद्रित एक प्रस्ताविते के रूप में, अनुप्रयुक्त गणित "गणितीय मॉडल के निर्माण, अध्ययन और उपयोग" पर केंद्रित है।{{Cn|date=May 2022}} | |||
अतीत में, प्रायोगिक अनुप्रयोगों ने गणितीय सिद्धांतों के विकास को प्रेरित किया है, जो तब शुद्ध गणित में अध्ययन का विषय बन गया, जहां गणित को मुख्य रूप से अपने लिए विकसित किया गया है। इस प्रकार, अनुप्रयुक्त गणित की गतिविधि विशुद्ध रूप से शुद्ध गणित में अनुसंधान के साथ जुड़ी हुई है।{{Example needed|s|date=June 2022}} | अतीत में, प्रायोगिक अनुप्रयोगों ने गणितीय सिद्धांतों के विकास को प्रेरित किया है, जो तब शुद्ध गणित में अध्ययन का विषय बन गया, जहां गणित को मुख्य रूप से अपने लिए विकसित किया गया है। इस प्रकार, अनुप्रयुक्त गणित की गतिविधि विशुद्ध रूप से शुद्ध गणित में अनुसंधान के साथ जुड़ी हुई है।{{Example needed|s|date=June 2022}} | ||
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== समाज में == | == समाज में == | ||
{{see also|गणितज्ञ|गणित शिक्षा}} | {{see also|गणितज्ञ|गणित शिक्षा}}गणित में सांस्कृतिक सीमाओं और समय अवधि को पार करने की उल्लेखनीय क्षमता है। एक मानवीय गतिविधि के रूप में, गणित के अभ्यास का एक सामाजिक पक्ष होता है, जिसमें शिक्षा, करियर, मान्यता, लोकप्रियता, और इसी तरह शामिल हैं। शिक्षा के क्षेत्र में गणित पाठ्यक्रम का एक प्रमुख अंग है। जबकि पाठ्यक्रमों की सामग्री अलग-अलग होती है, दुनिया के कई देश छात्रों को काफी समय तक गणित पढ़ाते हैं। | ||
गणित में सांस्कृतिक सीमाओं और समय अवधि को पार करने की उल्लेखनीय क्षमता है। एक मानवीय गतिविधि के रूप में, गणित के अभ्यास का एक सामाजिक पक्ष होता है, जिसमें शिक्षा, करियर, मान्यता, लोकप्रियता, और इसी तरह शामिल हैं। शिक्षा के क्षेत्र में गणित पाठ्यक्रम का एक प्रमुख अंग है। जबकि पाठ्यक्रमों की सामग्री अलग-अलग होती है, दुनिया के कई देश छात्रों को काफी समय तक गणित पढ़ाते हैं। | |||
=== पुरस्कार और पुरस्कार की समस्याएं === | === पुरस्कार और पुरस्कार की समस्याएं === | ||
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तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व ग्रीक गणितज्ञ यूक्लिड ने कैलीपर्स को पकड़े हुए, जैसा कि एथेंस के स्कूल से इस विस्तार से राफेल द्वारा कल्पना की गई थी (1509-1511)[lower-alpha 1]
गणित (from Ancient Greek μάθημα; máthēma: 'knowledge, study, learning') ज्ञान का एक क्षेत्र है जिसमें संख्याएं (अंकगणित और संख्या सिद्धांत),[1] सूत्र और संबंधित संरचनाएं (बीजगणित),[2] आकार जैसे विषय शामिल हैं। और वे स्थान जिनमें वे निहित हैं (ज्यामिति),[1] और राशियाँ और उनके परिवर्तन (कलन और विश्लेषण)।[3][4][5] अधिकांश गणितीय गतिविधि में अमूर्त वस्तुओं के गुणों को खोजने या सिद्ध करने के लिए शुद्ध कारण का उपयोग शामिल होता है, जिसमें या तो प्रकृति से अमूर्तताएं होती हैं या—आधुनिक गणित में—ऐसी वास्तविकताएं होती हैं जो कुछ गुणों के साथ निर्धारित होती हैं, जिन्हें स्वयम् सिद्ध वक्तव्य कहा जाता है। एक गणितीय प्रमाण में पहले से सिद्ध किए गए प्रमेयों, स्वयंसिद्धों और (प्रकृति से अमूर्तता की स्थति में) कुछ मूल गुणों सहित पहले से ज्ञात परिणामों के लिए कुछ निगमन नियमों के अनुप्रयोगों का उत्तराधिकार होता है, जिन्हें विचाराधीन सिद्धांत के सही प्रारंभिक बिंदु माना जाता है।
विज्ञान में गणित का उपयोग मॉडलिंग परिघटनाओं के लिए किया जाता है, जो तब प्रायोगिक नियमों से पूर्वानुमान लगाने की अनुमति देता है। किसी भी प्रयोग से गणितीय सत्य की स्वतंत्रता का तात्पर्य है कि ऐसी भविष्यवाणियों की सटीकता केवल मॉडल की उपयुक्तता पर निर्भर करती है। अयथार्थ भविष्यवाणियां, अनुचित गणित के कारण होने के बजाय, उपयोग किए गए गणितीय मॉडल को बदलने की आवश्यकता को दर्शाती हैं। उदाहरण के लिए, बुध के पेरिहेलियन पूर्वसर्ग को आइंस्टीन के सामान्य सापेक्षता के उद्भव के बाद ही समझाया जा सकता है, जिसने न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम को बेहतर गणितीय मॉडल के रूप में बदल दिया।
गणित विज्ञान, अभियांत्रिकी, चिकित्सा, वित्त, कंप्यूटर विज्ञान और सामाजिक विज्ञान में आवश्यक है। गणित के कुछ क्षेत्रों, जैसे कि सांख्यिकी और खेल सिद्धांत, को उनके अनुप्रयोगों के साथ घनिष्ठ पारस्परिक सम्बन्ध में विकसित किया गया है और अक्सर उन्हें अनुप्रयुक्त गणित के अंतर्गत समूहीकृत किया जाता है। अन्य गणितीय क्षेत्रों को किसी भी अनुप्रयोग से स्वतंत्र रूप से विकसित किया जाता है (और इसलिए उन्हें शुद्ध गणित कहा जाता है), लेकिन प्रायोगिक अनुप्रयोगों को अक्सर बाद में खोजा जाता है।[6][7] एक उपयुक्त उदाहरण पूर्णांक गुणनखंडन की समस्या है, जो यूक्लिड में वापस जाता है, लेकिन जिसका RSA क्रिप्टोसिस्टम (कंप्यूटर नेटवर्क की सुरक्षा के लिए) में उपयोग करने से पहले कोई प्रायोगिक अनुप्रयोग नहीं था।
ऐतिहासिक रूप से, एक प्रमाण की अवधारणा और इससे जुड़ी गणितीय कठोरता पहली बार ग्रीक गणित में, विशेष रूप से यूक्लिड के तत्वों में दिखाई दी।[8] इसकी शुरुआत के बाद से, गणित को अनिवार्य रूप से ज्यामिति, और अंकगणित (प्राकृतिक संख्याओं और अंशों का प्रकलन) में विभाजित किया गया, जब तक कि 16वीं और 17वीं शताब्दी तक, जब बीजगणित और अतिसूक्ष्म कलन को विषय के नए क्षेत्रों के रूप में प्रस्तावित किया गया। तब से, गणितीय नवा