टॉर्शन टेंसर: Difference between revisions

Revision as of 21:44, 4 December 2022

जियोडेसिक के साथ मरोड़।

अवकलन ज्यामिति में, आघूर्ण बल की धारणा एक वक्र के चारों ओर एक गतिमान तंत्र के मोड़ या पेंच सिद्धांत को चिह्नित करने का एक तरीका है। एक वक्र का आघूर्ण बल, जैसा कि फ्रेनेट-सेरेट सूत्रों में प्रकट होता है, उदाहरण के लिए, अपने स्पर्शरेखा सदिश के बारे में एक वक्र के मोड़ की मात्रा निर्धारित करता है क्योंकि वक्र विकसित होता है (या स्पर्शरेखा सदिश के बारे में फ़्रेनेट-सेरेट तंत्र का परिभ्रमण)। सतहों की ज्यामिति में, अल्पान्तरी आघूर्ण बल वर्णन करता है कि कैसे एक सतह पर सतह एक वक्र के बारे में मुड़ती है। वक्रता की साथी धारणा यह मापती है कि कैसे चलते हुए तंत्र बिना मुड़े वक्र के साथ लुढ़कते हैं।

आम तौर पर अधिक, सजातीय संयोजन (यानी, स्पर्शरेखा समूह में एक संयोजन (सदिश समूह)) से सुसज्जित एक अलग-अलग बहुविध पर, आघूर्ण बल और वक्रता संयोजन के दो मूलभूत आविष्कारों का निर्माण करते हैं। इस संदर्भ में, आघूर्ण बल एक आंतरिक लक्षण वर्णन देता है कि कैसे स्पर्शरेखा समष्टि एक वक्र के बारे में मुड़ते हैं जब वे समानांतर परिवहन करते हैं, जबकि वक्रता बताती है कि कैसे स्पर्शरेखा समष्टि वक्र के साथ घूमती है। आघूर्ण बल को विशेष रूप से एक प्रदिश के रूप में वर्णित किया जा सकता है, या बहुविध सदिश मूल्यवान 2-विधि के रूप में वर्णित किया जा सकता है। अगर ∇ अवकलनीय बहुविध पर एक सजातीय संयोजन है, तो सदिश क्षेत्र X और Y के संदर्भ में आघूर्ण बल वाले प्रदिश को परिभाषित किया जाता है।

T(X,Y)=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y]

जहां [X,Y] सदिश क्षेत्रों का लाइ ब्रैकेट है।

अल्पान्तरी की ज्यामिति के अध्ययन में आघूर्ण बल विशेष रूप से उपयोगी है। प्रचलीकरण अल्पान्तरी की एक प्रणाली को देखते हुए, उन अल्पान्तरी वाले एफाइन संयोजन के एक वर्ग को निर्दिष्ट कर सकते हैं, लेकिन उनके आघूर्ण बल से भिन्न होते हैं। एक अनूठा संयोजन है जो आघूर्ण बल को अवशोषित करता है, लेवी-सिविता संयोजन को अन्य, संभवतः गैर-मीट्रिक स्थितियों (जैसे फिन्सलर ज्यामिति) के लिए सामान्यीकृत करता है। आघूर्ण बल के साथ एक संबंध और बिना आघूर्ण बल के संबंधित संबंध के बीच का अंतर एक प्रदिश है, जिसे कंटोर्शन प्रदिश कहा जाता है। जी-संरचनाओं और कार्टन की तुल्यता पद्धति के अध्ययन में आघूर्ण बल का अवशोषण भी एक मौलिक भूमिका निभाता है। संबंधित प्रक्षेप्य संयोजन के माध्यम से, अल्पान्तरी के अप्रतिबंधित परिवारों के अध्ययन में आघूर्ण बल भी उपयोगी है। सापेक्षता सिद्धांत में, इस तरह के विचारों को आइंस्टीन-कार्टन सिद्धांत के रूप में लागू किया गया है।

मरोड़ टेंसर

M को स्पर्शरेखा समूह (उर्फ सहसंयोजक व्युत्पन्न) ∇ पर एक affine कनेक्शन के साथ कई गुना होने दें। ∇ का 'मरोड़ टेन्सर' (कभी-कभी कार्टन (मरोड़) टेन्सर कहा जाता है) सदिश-मूल्यवान रूप है | सदिश-मूल्यवान 2-रूप सदिश क्षेत्रों X और Y पर परिभाषित

T(X,Y):=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y]

कहाँ पे [X, Y] दो सदिश क्षेत्रों के सदिश क्षेत्रों का लाई कोष्ठक है। लीबनिज नियम (सामान्यीकृत उत्पाद नियम) द्वारा, किसी भी सुचारू कार्य f के लिए T(fX, Y) = T(X, fY) = fT(X, Y)। इसलिए टी टेंसोरियल है, कनेक्शन (वेक्टर समूह) के संदर्भ में परिभाषित होने के बावजूद, जो एक प्रथम क्रम अंतर ऑपरेटर है: यह स्पर्शरेखा वैक्टर पर 2-फॉर्म देता है, जबकि सहसंयोजक व्युत्पन्न केवल वेक्टर क्षेत्रों के लिए परिभाषित किया गया है।

मरोड़ टेंसर के घटक

आघूर्ण बल प्रदिश के घटक $T^{c}{}_{ab}$ सदिश स्थान के स्थानीय आधार के संदर्भ में (e₁, ..., e_n) स्पर्शरेखा समूह के खंड (फाइबर समूह) की स्थापना करके प्राप्त किया जा सकता है X = e_i, Y = e_j और कम्यूटेटर गुणांक का परिचय देकर γ^k_ije_k := [e_i, e_j]. मरोड़ के घटक तब हैं

T^{k}{}_{ij}:=\Gamma ^{k}{}_{ij}-\Gamma ^{k}{}_{ji}-\gamma ^{k}{}_{ij},\quad i,j,k=1,2,\ldots ,n.

यहां ${\Gamma ^{k}}_{ij}$ कनेक्शन को परिभाषित करने वाले कनेक्शन गुणांक हैं। यदि आधार होलोनोमिक आधार है तो झूठ कोष्ठक गायब हो जाते हैं, $\gamma ^{k}{}_{ij}=0$ . इसलिए $T^{k}{}_{ij}=2\Gamma ^{k}{}_{[ij]}$

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 [[File:Torsion along a geodesic.svg|right|thumb|जियोडेसिक के साथ मरोड़।]][[विभेदक ज्यामिति|अवकलन ज्यामिति]] में, आघूर्ण बल की धारणा एक वक्र के चारों ओर एक [[गतिमान]] [[तंत्र]] के मोड़ या [[पेंच]] सिद्धांत को चिह्नित करने का एक तरीका है। [[एक वक्र का आघूर्ण बल]], जैसा कि [[फ्रेनेट-सेरेट]] [[सूत्रों]] में प्रकट होता है, उदाहरण के लिए, अपने स्पर्शरेखा सदिश के बारे में एक वक्र के मोड़ की मात्रा निर्धारित करता है क्योंकि वक्र विकसित होता है (या स्पर्शरेखा सदिश के बारे में फ़्रेनेट-सेरेट तंत्र का परिभ्रमण)। सतहों की ज्यामिति में, अल्पान्तरी ''आघूर्ण बल'' वर्णन करता है कि कैसे एक सतह पर सतह एक वक्र के बारे में मुड़ती है। [[वक्रता]] की साथी धारणा यह मापती है कि कैसे चलते हुए तंत्र बिना मुड़े वक्र के साथ लुढ़कते हैं।
-आम तौर पर अधिक, एफ़िन संयोजन (यानी, स्पर्शरेखा बंडल में एक संयोजन (वेक्टर बंडल)) से सुसज्जित एक अलग-अलग मैनिफोल्ड पर, आघूर्ण बल और वक्रता संयोजन के दो मूलभूत आविष्कारों का निर्माण करते हैं। इस संदर्भ में, आघूर्ण बल एक आंतरिक लक्षण वर्णन देता है कि कैसे स्पर्शरेखा रिक्त स्थान एक वक्र के बारे में मुड़ते हैं जब वे समानांतर परिवहन करते हैं; जबकि वक्रता बताती है कि कैसे स्पर्शरेखा रिक्त स्थान वक्र के साथ घूमती है। आघूर्ण बल को ठोस रूप से एक प्रदिश के रूप में वर्णित किया जा सकता है, या वेक्टर-वैल्यू फॉर्म के रूप में | वेक्टर-वैल्यू 2-फॉर्म मैनिफोल्ड पर। अगर ∇ डिफरेंशियल मैनिफोल्ड पर एक एफ़िन संयोजन है, तो वेक्टर फ़ील्ड्स ''X'' और ''Y'' के संदर्भ में आघूर्ण बल वाले प्रदिश को परिभाषित किया जाता है।
+आम तौर पर अधिक, [[सजातीय संयोजन]] (यानी, [[स्पर्शरेखा समूह]] में एक [[संयोजन]] (सदिश समूह)) से सुसज्जित एक [[अलग-अलग बहुविध]] पर, आघूर्ण बल और वक्रता संयोजन के दो मूलभूत आविष्कारों का निर्माण करते हैं। इस संदर्भ में, आघूर्ण बल एक आंतरिक लक्षण वर्णन देता है कि कैसे [[स्पर्शरेखा समष्टि]] एक वक्र के बारे में मुड़ते हैं जब वे [[समानांतर परिवहन]] करते हैं, जबकि वक्रता बताती है कि कैसे स्पर्शरेखा समष्टि वक्र के साथ घूमती है। आघूर्ण बल को विशेष रूप से एक [[प्रदिश]] के रूप में वर्णित किया जा सकता है, या बहुविध [[सदिश मूल्यवान 2-विधि]] के रूप में वर्णित किया जा सकता है। अगर ∇ अवकलनीय बहुविध पर एक सजातीय संयोजन है, तो सदिश क्षेत्र ''X'' और ''Y'' के संदर्भ में आघूर्ण बल वाले प्रदिश को परिभाषित किया जाता है।
 :<math>T(X,Y) = \nabla_XY-\nabla_YX - [X,Y]</math>
 जहां [X,Y] सदिश क्षेत्रों का लाइ ब्रैकेट है।
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 == मरोड़ टेंसर ==
-M को स्पर्शरेखा बंडल (उर्फ सहसंयोजक व्युत्पन्न) ∇ पर एक affine कनेक्शन के साथ कई गुना होने दें। ∇ का 'मरोड़ टेन्सर' (कभी-कभी कार्टन (मरोड़) टेन्सर कहा जाता है) सदिश-मूल्यवान रूप है | सदिश-मूल्यवान 2-रूप सदिश क्षेत्रों X और Y पर परिभाषित
+M को स्पर्शरेखा समूह (उर्फ सहसंयोजक व्युत्पन्न) ∇ पर एक affine कनेक्शन के साथ कई गुना होने दें। ∇ का 'मरोड़ टेन्सर' (कभी-कभी कार्टन (मरोड़) टेन्सर कहा जाता है) सदिश-मूल्यवान रूप है | सदिश-मूल्यवान 2-रूप सदिश क्षेत्रों X और Y पर परिभाषित
 :<math>T(X, Y) := \nabla_X Y - \nabla_Y X - [X,Y]</math>
-कहाँ पे {{nowrap|1=[''X'', ''Y'']}} दो सदिश क्षेत्रों के सदिश क्षेत्रों का लाई कोष्ठक है। लीबनिज नियम (सामान्यीकृत उत्पाद नियम) द्वारा, किसी भी सुचारू कार्य f के लिए T(fX, Y) = T(X, fY) = fT(X, Y)। इसलिए टी टेंसोरियल है, कनेक्शन (वेक्टर बंडल) के संदर्भ में परिभाषित होने के बावजूद, जो एक प्रथम क्रम अंतर ऑपरेटर है: यह स्पर्शरेखा वैक्टर पर 2-फॉर्म देता है, जबकि सहसंयोजक व्युत्पन्न केवल वेक्टर क्षेत्रों के लिए परिभाषित किया गया है।
+कहाँ पे {{nowrap|1=[''X'', ''Y'']}} दो सदिश क्षेत्रों के सदिश क्षेत्रों का लाई कोष्ठक है। लीबनिज नियम (सामान्यीकृत उत्पाद नियम) द्वारा, किसी भी सुचारू कार्य f के लिए T(fX, Y) = T(X, fY) = fT(X, Y)। इसलिए टी टेंसोरियल है, कनेक्शन (वेक्टर समूह) के संदर्भ में परिभाषित होने के बावजूद, जो एक प्रथम क्रम अंतर ऑपरेटर है: यह स्पर्शरेखा वैक्टर पर 2-फॉर्म देता है, जबकि सहसंयोजक व्युत्पन्न केवल वेक्टर क्षेत्रों के लिए परिभाषित किया गया है।
 === मरोड़ टेंसर के घटक ===
-आघूर्ण बल प्रदिश के घटक <math> T^c{}_{ab} </math> सदिश स्थान के स्थानीय आधार के संदर्भ में {{nowrap|('''e'''<sub>1</sub>, ..., '''e'''<sub>''n''</sub>)}} स्पर्शरेखा बंडल के खंड (फाइबर बंडल) की स्थापना करके प्राप्त किया जा सकता है {{nowrap|1=''X'' = '''e'''<sub>''i''</sub>}}, {{nowrap|1=''Y'' = '''e'''<sub>''j''</sub>}} और कम्यूटेटर गुणांक का परिचय देकर {{nowrap|1=''γ<sup>k</sup><sub>ij</sub>'''''e'''<sub>''k''</sub> := ['''e'''<sub>''i''</sub>, '''e'''<sub>''j''</sub>]}}. मरोड़ के घटक तब हैं
+आघूर्ण बल प्रदिश के घटक <math> T^c{}_{ab} </math> सदिश स्थान के स्थानीय आधार के संदर्भ में {{nowrap|('''e'''<sub>1</sub>, ..., '''e'''<sub>''n''</sub>)}} स्पर्शरेखा समूह के खंड (फाइबर समूह) की स्थापना करके प्राप्त किया जा सकता है {{nowrap|1=''X'' = '''e'''<sub>''i''</sub>}}, {{nowrap|1=''Y'' = '''e'''<sub>''j''</sub>}} और कम्यूटेटर गुणांक का परिचय देकर {{nowrap|1=''γ<sup>k</sup><sub>ij</sub>'''''e'''<sub>''k''</sub> := ['''e'''<sub>''i''</sub>, '''e'''<sub>''j''</sub>]}}. मरोड़ के घटक तब हैं
 :<math> T^k{}_{ij} := \Gamma^k{}_{ij} - \Gamma^k{}_{ji}-\gamma^k{}_{ij},\quad i,j,k=1,2,\ldots,n.</math>
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 === मरोड़ रूप ===
-मरोड़ रूप, मरोड़ का एक वैकल्पिक लक्षण वर्णन, कई गुना ''एम'' के फ्रेम बंडल एफ''एम'' पर लागू होता है। यह प्रिंसिपल बंडल एक कनेक्शन (प्रिंसिपल बंडल) ''ω'', a gl(''n'') से लैस है - वैल्यू वन-फॉर्म जो gl(''n' में सही एक्शन के जनरेटर के लिए वर्टिकल वैक्टर को मैप करता है। ') और F''M'' के स्पर्शरेखा बंडल पर GL(''n'') की सही क्रिया को समान रूप से परस्पर जोड़ता है, जो कि gl(''n'') पर एक लाइ समूह के आसन्न प्रतिनिधित्व के साथ है। फ्रेम बंडल में एक सोल्डर फॉर्म भी होता है। कैनोनिकल वन-फॉर्म θ, आर में मानों के साथ<sup>n</sup>, एक फ्रेम में परिभाषित {{nowrap|''u'' ∈ F<sub>x</sub>''M''}} (एक रैखिक कार्य के रूप में माना जाता है {{nowrap|''u'' : '''R'''<sup>''n''</sup> → T<sub>x</sub>''M''}}) द्वारा
+मरोड़ रूप, मरोड़ का एक वैकल्पिक लक्षण वर्णन, कई गुना ''एम'' के फ्रेम समूह एफ''एम'' पर लागू होता है। यह प्रिंसिपल समूह एक कनेक्शन (प्रिंसिपल समूह) ''ω'', a gl(''n'') से लैस है - वैल्यू वन-फॉर्म जो gl(''n' में सही एक्शन के जनरेटर के लिए वर्टिकल वैक्टर को मैप करता है। ') और F''M'' के स्पर्शरेखा समूह पर GL(''n'') की सही क्रिया को समान रूप से परस्पर जोड़ता है, जो कि gl(''n'') पर एक लाइ समूह के आसन्न प्रतिनिधित्व के साथ है। फ्रेम बंडल में एक सोल्डर फॉर्म भी होता है। कैनोनिकल वन-फॉर्म θ, आर में मानों के साथ<sup>n</sup>, एक फ्रेम में परिभाषित {{nowrap|''u'' ∈ F<sub>x</sub>''M''}} (एक रैखिक कार्य के रूप में माना जाता है {{nowrap|''u'' : '''R'''<sup>''n''</sup> → T<sub>x</sub>''M''}}) द्वारा
 :<math>\theta(X) = u^{-1}(\pi_{*}(X))</math>
-कहाँ पे {{nowrap|''π''  : F''M'' → ''M''}} प्रिंसिपल बंडल के लिए प्रोजेक्शन मैपिंग है और {{nowrap|''π∗'' }} इसका पुश-फॉरवर्ड है। मरोड़ रूप तब है
+कहाँ पे {{nowrap|''π''  : F''M'' → ''M''}} प्रिंसिपल समूह के लिए प्रोजेक्शन मैपिंग है और {{nowrap|''π∗'' }} इसका पुश-फॉरवर्ड है। मरोड़ रूप तब है
 :<math>\Theta = d\theta + \omega\wedge\theta.</math>
 समतुल्य रूप से, Θ = Dθ, जहां D संबंध द्वारा निर्धारित बाह्य सहपरिवर्ती व्युत्पन्न है।
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 ==== एक फ्रेम में मरोड़ रूप ====
 {{See also|connection form}}
-टेंगेंट बंडल के एक विशेष फ्रेम में लिखे गए बेस मैनिफोल्ड एम पर एक कनेक्शन फॉर्म के रूप में टॉर्सन फॉर्म को व्यक्त किया जा सकता है {{nowrap|('''e'''<sub>1</sub>, ..., '''e'''<sub>''n''</sub>)}}. कनेक्शन प्रपत्र इन बुनियादी वर्गों के बाहरी सहसंयोजक व्युत्पन्न को व्यक्त करता है:
+टेंगेंट समूह के एक विशेष फ्रेम में लिखे गए बेस मैनिफोल्ड एम पर एक कनेक्शन फॉर्म के रूप में टॉर्सन फॉर्म को व्यक्त किया जा सकता है {{nowrap|('''e'''<sub>1</sub>, ..., '''e'''<sub>''n''</sub>)}}. कनेक्शन प्रपत्र इन बुनियादी वर्गों के बाहरी सहसंयोजक व्युत्पन्न को व्यक्त करता है:
 :<math>D\mathbf{e}_i = \mathbf{e}_j {\omega^j}_i .</math>
-स्पर्शरेखा बंडल (इस फ्रेम के सापेक्ष) के लिए सोल्डर फॉर्म दोहरा आधार है {{nowrap|''θ<sup>i</sup>'' ∈ T<sup>∗</sup>''M''}} तुझ से<sub>''i''</sub>, ताकि {{nowrap|1=''θ<sup>i</sup>''('''e'''<sub>j</sub>) = ''δ<sup>i</sup><sub>j</sub>''}} (क्रोनेकर डेल्टा)। फिर मरोड़ 2-रूप में घटक होते हैं
+स्पर्शरेखा समूह (इस फ्रेम के सापेक्ष) के लिए सोल्डर फॉर्म दोहरा आधार है {{nowrap|''θ<sup>i</sup>'' ∈ T<sup>∗</sup>''M''}} तुझ से<sub>''i''</sub>, ताकि {{nowrap|1=''θ<sup>i</sup>''('''e'''<sub>j</sub>) = ''δ<sup>i</sup><sub>j</sub>''}} (क्रोनेकर डेल्टा)। फिर मरोड़ 2-रूप में घटक होते हैं
 :<math>\Theta^k = d\theta^k + {\omega^k}_j \wedge \theta^j = {T^k}_{ij} \theta^i \wedge \theta^j.</math>
 सबसे सही अभिव्यक्ति में,
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 दूसरे शब्दों में, Θ प्रकार का टेंसर है {{nowrap|(1, 2)}} (एक प्रतिपरिवर्ती और दो सहपरिवर्ती सूचकांकों वाला)।
-वैकल्पिक रूप से, सोल्डर फॉर्म को फ्रेम-स्वतंत्र फैशन में चित्रित किया जा सकता है क्योंकि एम पर टीएम-वैल्यू वन-फॉर्म θ द्वैत समरूपता के तहत स्पर्शरेखा बंडल की पहचान एंडोमोर्फिज्म के अनुरूप है। {{nowrap|1=End(T''M'') ≈ T''M'' ⊗ T<sup>∗</sup>''M''}}. फिर मरोड़ 2-रूप एक खंड है
+वैकल्पिक रूप से, सोल्डर फॉर्म को फ्रेम-स्वतंत्र फैशन में चित्रित किया जा सकता है क्योंकि एम पर टीएम-वैल्यू वन-फॉर्म θ द्वैत समरूपता के तहत स्पर्शरेखा समूह की पहचान एंडोमोर्फिज्म के अनुरूप है। {{nowrap|1=End(T''M'') ≈ T''M'' ⊗ T<sup>∗</sup>''M''}}. फिर मरोड़ 2-रूप एक खंड है
 :<math>\Theta\in\text{Hom}\left({\textstyle\bigwedge}^2 {\rm T}M, {\rm T}M\right)</math>
 के द्वारा दिया गया
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 == लक्षण और व्याख्याएं ==
-इस खंड के दौरान, एम को अलग-अलग कई गुना माना जाता है, और ∇ एम के स्पर्शरेखा बंडल पर एक सहसंयोजक व्युत्पन्न होता है जब तक कि यह नोट नहीं किया जाता।
+इस खंड के दौरान, एम को अलग-अलग कई गुना माना जाता है, और ∇ एम के स्पर्शरेखा समूह पर एक सहसंयोजक व्युत्पन्न होता है जब तक कि यह नोट नहीं किया जाता।
 ===संदर्भ फ्रेम का घुमाव===

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