विकर्ण: Difference between revisions
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[[Image:Cube diagonals.svg|thumb|right|1 इकाई भुजा की लंबाई वाले घन के विकर्ण। AC' (नीले रंग में दिखाया गया है) लंबाई <math>\sqrt 3</math> के साथ एक [[अंतरिक्ष विकर्ण]] है , जबकि AC (लाल रंग में दिखाया गया है) एक फलक विकर्ण है और इसकी लंबाई <math>\sqrt 2</math> है ।]][[ज्यामिति]] में, एक विकर्ण एक [[बहुभुज]] या [[बहुतल]] के दो शीर्षों को जोड़ने वाला एक [[रेखा खंड|रेखा-खंड]] होता है, जब वे शीर्ष एक ही किनारे पर नहीं होते हैं। अनौपचारिक रूप से, किसी भी झुकी हुई रेखा को विकर्ण कहा जाता है। विकर्ण शब्द [[प्राचीन यूनानी]] διαγώνιος ''डायगोनियोस'' से लिया गया है,<ref>[http://www.etymonline.com/index.php?search=diagonal&searchmode=none Online Etymology Dictionary]</ref> | [[Image:Cube diagonals.svg|thumb|right|1 इकाई भुजा की लंबाई वाले घन के विकर्ण। AC' (नीले रंग में दिखाया गया है) लंबाई <math>\sqrt 3</math> के साथ एक [[अंतरिक्ष विकर्ण]] है , जबकि AC (लाल रंग में दिखाया गया है) एक फलक विकर्ण है और इसकी लंबाई <math>\sqrt 2</math> है ।]][[ज्यामिति]] में, एक विकर्ण एक [[बहुभुज]] या [[बहुतल]] के दो शीर्षों को जोड़ने वाला एक [[रेखा खंड|रेखा-खंड]] होता है, जब वे शीर्ष एक ही किनारे पर नहीं होते हैं। अनौपचारिक रूप से, किसी भी झुकी हुई रेखा को विकर्ण कहा जाता है। विकर्ण शब्द [[प्राचीन यूनानी]] διαγώνιος ''डायगोनियोस'' से लिया गया है,<ref>[http://www.etymonline.com/index.php?search=diagonal&searchmode=none Online Etymology Dictionary]</ref> कोण से कोण तक (διά- डाई -, के माध्यम से, से पार और γωνία गोनिया, कोण, गोनी घुटने से संबंधित); इसका उपयोग [[स्ट्रैबो]] और [[यूक्लिड]] दोनों के द्वारा समचतुर्भुज या [[घनाभ]] के दो शीर्षों को जोड़ने वाली रेखा को संदर्भित करने के लिए किया गया था।<ref>Strabo, Geography 2.1.36–37</ref> <ref>Euclid, Elements book 11, proposition 28</ref> <ref>Euclid, Elements book 11, proposition 38</ref> और बाद में इसे लैटिन में डायगोनस (तिरछी रेखा) के रूप में अपनाया गया। | ||
[[मैट्रिक्स बीजगणित|आव्यूह बीजगणित]] में, एक वर्ग [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह]] के विकर्ण में ऊपरी बाएँ कोने से निचले दाएं कोने तक की रेखा पर प्रविष्टियाँ होती हैं। | [[मैट्रिक्स बीजगणित|आव्यूह बीजगणित]] में, एक वर्ग [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह]] के विकर्ण में ऊपरी बाएँ कोने से निचले दाएं कोने तक की रेखा पर प्रविष्टियाँ होती हैं। | ||
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=== विकर्णों के प्रतिच्छेदन === | === विकर्णों के प्रतिच्छेदन === | ||
यदि एक उत्तल बहुभुज के कोई भी तीन विकर्ण अंतः में किसी बिंदु पर संगामी नहीं हैं, तो विकर्णों के आंतरिक | यदि एक उत्तल बहुभुज के कोई भी तीन विकर्ण अंतः क्षेत्र में किसी बिंदु पर संगामी नहीं हैं, तो विकर्णों के आंतरिक प्रतिच्छेदन की संख्या इस प्रकार दी गई है | ||
<math> \binom n4</math>.<ref>Poonen, Bjorn; Rubinstein, Michael. "The number of intersection points made by the diagonals of a regular polygon". ''SIAM J. Discrete Math''. 11 (1998), no. 1, 135–156; [https://math.mit.edu/~poonen/papers/ngon.pdf link to a version on Poonen's website] </ref><ref name="youtube">[https://www.youtube.com/watch?v=K8P8uFahAgc], beginning at 2:10</ref> | |||
यह, उदाहरण के लिए, विषम संख्या में भुजाओं वाले किसी भी [[नियमित बहुभुज]] के लिए लागू होता है। सूत्र इस तथ्य से अनुसरण करता है कि प्रत्येक प्रतिच्छेदन विशिष्ट रूप से दो अन्तर्विभाजक विकर्णों के चार समापन बिंदुओं द्वारा निर्धारित किया जाता है: प्रतिच्छेदन की संख्या इस प्रकार एक समय में चार n कोने के संयोजन की संख्या है। | |||
=== नियमित बहुभुज === | === नियमित बहुभुज === | ||
{{See also| | {{See also|चतुर्भुज#विकर्ण|षट्भुज#उत्तल समबाहु षट्भुज|सप्तभुज#विकर्ण और सप्तकोणीय त्रिभुज}} | ||
''n'' भुजाओं और | भुजाओं की सम या विषम संख्या वाले नियमित बहुभुजों में सबसे लंबे विकर्ण की लंबाई की गणना करने के लिए अलग-अलग सूत्र उपस्थित हैं। | ||
''n'' भुजाओं और ''a'' भुजालंबाई वाले सम-भुजीय नियमित बहुभुज में, सबसे लंबे विकर्ण की लंबाई इसके परिवृत्त के व्यास के बराबर होती है क्योंकि लंबे विकर्ण सभी बहुभुज के केंद्र में एक-दूसरे को काटते हैं। यह निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया गया है। | |||
:<math>d = \frac{a}{\sin (\pi/n)} = \frac{a}{\sin (180/n)\text{ degrees}}.</math> | :<math>d = \frac{a}{\sin (\pi/n)} = \frac{a}{\sin (180/n)\text{ degrees}}.</math> | ||
भुजा की लंबाई a | भुजा की लंबाई a और n-भुजा (n ≥ 5) वाले किसी विषम-भुजीय नियमित बहुभुज के सबसे लंबे विकर्ण की लंबाई निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी गई है।<ref>{{Cite web|url=http://www.murderousmaths.co.uk/books/longdiag.htm|title = मर्डरस मैथ्स: दी लॉन्गेस्ट डायगोनल फॉर्मूला!}}</ref> | ||
:<math>d = \frac{a}{2 \sin (\pi/2n)} = \frac{a}{2 \sin (90/n)\text{ degrees}}.</math> | :<math>d = \frac{a}{2 \sin (\pi/2n)} = \frac{a}{2 \sin (90/n)\text{ degrees}}.</math> | ||
<br/> | <br/>बहुभुज के सबसे छोटे विकर्ण की लंबाई की गणना निम्नलिखित सूत्र के साथ सभी बहुभुजों (''n'' ≥ 4) के लिए भी की जा सकती है।<ref>{{Cite web|url=https://www.geeksforgeeks.org/length-of-diagonal-of-a-n-sided-regular-polygon/|title=n-भुजा वाले नियमित बहुभुज के विकर्ण की लंबाई|date=2 January 2019}}</ref> जैसे-जैसे भुजाओं की संख्या अनंत तक पहुँचती है, सबसे छोटा विकर्ण 2a तक पहुँचता है। | ||
बहुभुज के सबसे छोटे विकर्ण की लंबाई की गणना निम्नलिखित सूत्र के साथ सभी बहुभुजों (''n'' ≥ 4) के लिए भी की जा सकती है।<ref>{{Cite web|url=https://www.geeksforgeeks.org/length-of-diagonal-of-a-n-sided-regular-polygon/|title=n-भुजा वाले नियमित बहुभुज के विकर्ण की लंबाई|date=2 January 2019}}</ref> जैसे-जैसे भुजाओं की संख्या अनंत तक पहुँचती है, सबसे छोटा विकर्ण 2a तक पहुँचता है। | |||
:<math>d = 2a \cos (\pi/n) = 2a \cos (180/n)\text{ degrees}.</math> | :<math>d = 2a \cos (\pi/n) = 2a \cos (180/n)\text{ degrees}.</math> | ||
<br/> | <br/>ये उस त्रिभुज के लिए लागू नहीं होते हैं जिसका कोई विकर्ण नहीं है।<br/>विशेष स्थितियां सम्मलित हैं: | ||
ये उस त्रिभुज के लिए लागू नहीं होते हैं जिसका कोई विकर्ण नहीं है। | |||
<br/> | एक [[वर्ग]] में समान लंबाई के दो विकर्ण होते हैं, जो वर्ग के केंद्र पर प्रतिच्छेद करते हैं। एक विकर्ण का एक भुजा से अनुपात <math>\sqrt{2}\approx 1.414.</math> होता है | ||
विशेष | |||
एक [[नियमित पेंटागन|नियमित पंचभुज]] में समान लंबाई के पाँच विकर्ण होते हैं। एक भुजा के विकर्ण का अनुपात [[सुनहरा अनुपात]] <math>\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1.618.</math> होता है | |||
एक नियमित [[षट्भुज]] में नौ विकर्ण होते हैं: छह छोटे विकर्ण लंबाई में एक दूसरे के बराबर होते हैं; तीन लंबे वाले लंबाई में एक दूसरे के बराबर हैं और षट्भुज के केंद्र में एक दूसरे को काटते हैं। एक लंबे विकर्ण का एक भुजा से अनुपात 2 है, और एक छोटे विकर्ण का एक भुजा से अनुपात <math>\sqrt{3}</math> है | |||
एक नियमित [[षट्भुज]] में नौ विकर्ण होते हैं: छह छोटे विकर्ण लंबाई में एक दूसरे के बराबर होते हैं; तीन लंबे वाले लंबाई में एक दूसरे के बराबर हैं और षट्भुज के केंद्र में एक दूसरे को काटते हैं। एक लंबे विकर्ण का एक भुजा से अनुपात 2 है, और एक छोटे विकर्ण का एक भुजा से अनुपात | |||
एक सम सप्तभुज में 14 विकर्ण होते हैं। सात छोटे एक दूसरे के बराबर हैं, और सात बड़े एक दूसरे के बराबर हैं। | एक सम सप्तभुज में 14 विकर्ण होते हैं। सात छोटे एक दूसरे के बराबर हैं, और सात बड़े एक दूसरे के बराबर हैं। भुजा का व्युत्क्रम एक छोटे और एक लंबे विकर्ण के व्युत्क्रम के योग के बराबर होता है। | ||
सामान्यतः एक नियमित | सामान्यतः एक नियमित n-भुज में <math>\lfloor\frac {n-2}{2}\rfloor</math> विभिन्न लंबाई के विकर्ण होते है, जो एक वर्ग से प्रारम्भ होकर 1,1,2,2,3,3... स्वरूप का अनुसरण करते है। | ||
== बहुतल == | == बहुतल या बहुफलक == | ||
एक | एक बहुफलक (त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक [[ठोस वस्तु]], द्वि-आयामी फलको से घिरी हुयी है) में दो अलग-अलग प्रकार के विकर्ण हो सकते हैं: विभिन्न फलको पर फलक के विकर्ण, एक ही पर गैर-आसन्न कोने को जोड़ते हुए फलक; और अंतरिक्ष विकर्ण, पूरी तरह से बहुतल के आंतरिक भाग में (कोने पर अंत बिंदुओं को छोड़कर)। | ||
जिस प्रकार एक त्रिभुज का कोई विकर्ण नहीं होता है, उसी प्रकार एक चतुष्फलक (चार त्रिभुजाकार फलकों के साथ) का कोई फलक विकर्ण नहीं होता है और कोई स्थान विकर्ण नहीं होता है। | जिस प्रकार एक त्रिभुज का कोई विकर्ण नहीं होता है, उसी प्रकार एक चतुष्फलक (चार त्रिभुजाकार फलकों के साथ) का कोई फलक विकर्ण नहीं होता है और कोई स्थान विकर्ण नहीं होता है। | ||
Revision as of 16:28, 10 December 2022
ज्यामिति में, एक विकर्ण एक बहुभुज या बहुतल के दो शीर्षों को जोड़ने वाला एक रेखा-खंड होता है, जब वे शीर्ष एक ही किनारे पर नहीं होते हैं। अनौपचारिक रूप से, किसी भी झुकी हुई रेखा को विकर्ण कहा जाता है। विकर्ण शब्द प्राचीन यूनानी διαγώνιος डायगोनियोस से लिया गया है,[1] कोण से कोण तक (διά- डाई -, के माध्यम से, से पार और γωνία गोनिया, कोण, गोनी घुटने से संबंधित); इसका उपयोग स्ट्रैबो और यूक्लिड दोनों के द्वारा समचतुर्भुज या घनाभ के दो शीर्षों को जोड़ने वाली रेखा को संदर्भित करने के लिए किया गया था।[2] [3] [4] और बाद में इसे लैटिन में डायगोनस (तिरछी रेखा) के रूप में अपनाया गया।
आव्यूह बीजगणित में, एक वर्ग आव्यूह के विकर्ण में ऊपरी बाएँ कोने से निचले दाएं कोने तक की रेखा पर प्रविष्टियाँ होती हैं।
इसके कुछ अन्य गैर-गणितीय उपयोग भी हैं।
गैर-गणितीय उपयोग
अभियांत्रिकी में, एक विकर्ण ब्रेस एक बीम है जिसका उपयोग एक आयताकार संरचना (जैसे मचान) को मजबूती से धकेलने के लिए किया जाता है; सामान्यता इसे एक विकर्ण कहा जाता है, व्यावहारिक विचारों के कारण विकर्ण ब्रेसिज़ प्रायः आयत के कोनों से जुड़े नहीं होते हैं।
विकर्ण सरौता तार काटने वाले सरौता हैं जो जबड़े के काटने वाले किनारों द्वारा परिभाषित होते हैं जो संयुक्त कीलक को एक कोण पर या एक विकर्ण पर काटते हैं, इसलिए इसका यह नाम है।
विकर्ण दंड एक प्रकार का लैशिंग है जिसका उपयोग स्पार्स या डंडे को एक साथ बांधने के लिए किया जाता है ताकि लैशिंग एक कोण पर डंडे के ऊपर से पार हो जाए।
फ़ुटबॉल संघ में, विकर्ण नियंत्रण प्रणाली वह विधि है जो निर्णायक और सहायक निर्णायक पिच के चार चतुर्भुजों में से एक में खुद को स्थापित करने के लिए उपयोग करते हैं।
बहुभुज
जैसा कि एक बहुभुज पर लागू होता है, एक विकर्ण किसी भी दो शीर्षों, जो लगातार नहीं है, को जोड़ने वाला रेखा-खंड होता है। इसलिए, एक चतुर्भुज के दो विकर्ण होते हैं, जो शीर्षों के विपरीत युग्मों को मिलाते हैं। किसी भी उत्तल बहुभुज के लिए, सभी विकर्ण बहुभुज के अंदर होते हैं, लेकिन पुन: प्रवेशी बहुभुज के लिए, कुछ विकर्ण बहुभुज के बाहर होते हैं।
कोई भी n-भुजा वाले बहुभुज (n ≥ 3), उत्तल बहुभुज या अवतल बहुभुज, में विकर्ण होते है, क्योंकि प्रत्येक शीर्ष में स्वयं और दो आसन्न शीर्षों को छोड़कर अन्य सभी शीर्षों के विकर्ण ,या n − 3 विकर्ण, होते हैं, और प्रत्येक विकर्ण को दो शीर्षों द्वारा साझा किया जाता है।
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विकर्णों द्वारा गठित क्षेत्र
एक उत्तल बहुभुज में, यदि आंतरिक में किसी एक बिंदु पर कोई भी तीन विकर्ण समवर्ती रेखाएँ नहीं हैं, तो विकर्ण आंतरिक भाग को विभाजित करने वाले क्षेत्रों की संख्या निम्न द्वारा दी जाती है
n-भुजो के लिए जहाँ n = 3, 4, ... है, वहाँ क्षेत्रों की संख्या क्रमशः निम्न प्रकार होगी [5]
- 1, 4, 11, 25, 50, 91, 154, 246...
यह OEIS अनुक्रम A006522 है।[6]
विकर्णों के प्रतिच्छेदन
यदि एक उत्तल बहुभुज के कोई भी तीन विकर्ण अंतः क्षेत्र में किसी बिंदु पर संगामी नहीं हैं, तो विकर्णों के आंतरिक प्रतिच्छेदन की संख्या इस प्रकार दी गई है
यह, उदाहरण के लिए, विषम संख्या में भुजाओं वाले किसी भी नियमित बहुभुज के लिए लागू होता है। सूत्र इस तथ्य से अनुसरण करता है कि प्रत्येक प्रतिच्छेदन विशिष्ट रूप से दो अन्तर्विभाजक विकर्णों के चार समापन बिंदुओं द्वारा निर्धारित किया जाता है: प्रतिच्छेदन की संख्या इस प्रकार एक समय में चार n कोने के संयोजन की संख्या है।
नियमित बहुभुज
भुजाओं की सम या विषम संख्या वाले नियमित बहुभुजों में सबसे लंबे विकर्ण की लंबाई की गणना करने के लिए अलग-अलग सूत्र उपस्थित हैं।
n भुजाओं और a भुजालंबाई वाले सम-भुजीय नियमित बहुभुज में, सबसे लंबे विकर्ण की लंबाई इसके परिवृत्त के व्यास के बराबर होती है क्योंकि लंबे विकर्ण सभी बहुभुज के केंद्र में एक-दूसरे को काटते हैं। यह निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया गया है।
भुजा की लंबाई a और n-भुजा (n ≥ 5) वाले किसी विषम-भुजीय नियमित बहुभुज के सबसे लंबे विकर्ण की लंबाई निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी गई है।[9]
बहुभुज के सबसे छोटे विकर्ण की लंबाई की गणना निम्नलिखित सूत्र के साथ सभी बहुभुजों (n ≥ 4) के लिए भी की जा सकती है।[10] जैसे-जैसे भुजाओं की संख्या अनंत तक पहुँचती है, सबसे छोटा विकर्ण 2a तक पहुँचता है।