गणितीय भौतिकी: Difference between revisions

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गणितीय भौतिकी का एक उदाहरण: श्रोडिंगर के समीकरण का समाधान क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर (बाएं) के लिए उनके आयाम (दाएं) के साथ।

गणितीय भौतिकी, भौतिकी की समस्याओं के समाधान के लिए गणितीय विधि के विकास को संदर्भित करता है। गणितीय भौतिकी दैनिकी क्षेत्र में " भौतिकी में समस्याओं के समाधान लिए गणित के अनुप्रयोग का, गणितीय विधियों के विकास और भौतिक सिद्धांतों के निर्माण" के रूप में परिभाषित करता है।^[1] वैकल्पिक परिभाषा में वे गणित भी शामिल है जो भौतिकी से प्रेरित हैं (जिन्हें भौतिक गणित भी कहा जाता है)।^[2]

गुंजाइश

गणितीय भौतिकी की कई अलग-अलग शाखाएँ हैं, और ये स्थूल रूप से विशेष ऐतिहासिक काल के अनुरूप हैं।

शास्त्रीय यांत्रिकी

न्यूटोनियन यांत्रिकी के कठोर, अमूर्त और उन्नत सुधार ने लैग्रैन्जियन यांत्रिकी और हैमिल्टन मैकेनिक्स को भी बाधाओं की उपस्थिति में अपनाया था। दोनों सूत्र विश्लेषणात्मक यांत्रिकी में सन्निहित हैं और गतिशील विकास के दौरान समरूपता और संरक्षित मात्रा की धारणाओं के गहरे परस्पर क्रिया को समझने के लिए नेतृत्व करते हैं, जैसा कि नोएदर के प्रमेय के सबसे प्राथमिक सूत्रीकरण के भीतर सन्निहित है। इन दृष्टिकोणों और विचारों को भौतिकी के अन्य क्षेत्रों में सांख्यिकीय यांत्रिकी, सातत्य यांत्रिकी, शास्त्रीय क्षेत्र सिद्धांत और क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के रूप में विस्तारित किया गया है। इसके अलावा, उन्होंने विभेदक ज्यामिति में कई उदाहरण और विचार प्रदान किए हैं (उदाहरण के लिए सहानुभूति ज्यामिति और वेक्टर बंडल में कई धारणाएं)।

आंशिक अंतर समीकरण

निम्नलिखित गणित, आंशिक अंतर समीकरण का सिद्धांत, परिवर्तनशील कलन, फूरियर विश्लेषण, संभावित सिद्धांत और वेक्टर विश्लेषण, गणितीय भौतिकी के साथ सबसे निकट से जुड़े हुए हैं। इन्हें 18वीं शताब्दी के उत्तरार्ध से (उदाहरण के लिए, डी'अलेम्बर्ट, यूलर, और लैग्रेंज द्वारा) 1930 के दशक तक गहन रूप से विकसित किया गया था। इन विकासों के भौतिक अनुप्रयोगों में जल-गत्यात्मकता, आकाशीय यांत्रिकी, सातत्य यांत्रिकी, लोच सिद्धांत, ध्वनिकी, ऊष्मप्रवैगिकी, बिजली, चुंबकत्व और वायुगतिकी शामिल हैं।

क्वांटम सिद्धांत

परमाणु स्पेक्ट्रा का सिद्धांत (और, बाद में, क्वांटम यांत्रिकी) रैखिक बीजगणित के गणितीय क्षेत्रों के कुछ हिस्सों, सक्रियक के वर्णक्रमीय सिद्धांत, सक्रियक बीजगणित और अधिक व्यापक रूप से, कार्यात्मक विश्लेषण के साथ लगभग समवर्ती रूप से विकसित हुआ था । गैर-सापेक्ष क्वांटम यांत्रिकी में श्रोडिंगर सक्रियक शामिल हैं, और इसका परमाणु और आणविक भौतिकी से संबंध है। क्वांटम सूचना सिद्धांत एक और उप-विशेषता है।

सापेक्षता और क्वांटम सापेक्षतावादी सिद्धांत

सापेक्षता के विशेष और सामान्य सिद्धांतों के लिए एक अलग प्रकार के गणित की आवश्यकता होती है। यह समूह सिद्धांत था, जिसने क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत और अंतर ज्यामिति दोनों में महत्वपूर्ण भूमिका निभाई थी। हालाँकि, यह धीरे-धीरे ब्रह्मांड विज्ञान के साथ-साथ क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत घटना के गणितीय विवरण में सांस्थिति और कार्यात्मक विश्लेषण द्वारा पूरक था।इन भौतिक क्षेत्रों के गणितीय विवरण में, समजातीय बीजगणित और श्रेणी सिद्धांत^[3] में कुछ अवधारणाएँ भी महत्वपूर्ण हैं।

सांख्यिकीय यांत्रिकी

सांख्यिकीय यांत्रिकी एक अलग क्षेत्र बनाता है, जिसमें चरण संक्रमण का सिद्धांत शामिल है। यह हैमिल्टनियन यांत्रिकी (या इसके क्वांटम संस्करण) पर निर्भर करता है और यह अधिक गणितीय एर्गोडिक सिद्धांत और संभाव्यता सिद्धांत के कुछ हिस्सों से निकटता से संबंधित है। विशेष रूप से सांख्यिकीय भौतिकी में, साहचर्य और भौतिकी के बीच परस्पर क्रिया बढ़ रही है।

उपयोग

गणित और भौतिकी के बीच संबंध

"गणितीय भौतिकी" शब्द का प्रयोग कभी-कभी विशेष स्वभाव का होता है। गणित के कुछ हिस्से जो शुरू में भौतिकी के विकास से उत्पन्न हुए थे, वास्तव में, गणितीय भौतिकी के हिस्से नहीं माने जाते हैं, जबकि अन्य निकट से संबंधित क्षेत्र हैं। उदाहरण के लिए, साधारण अंतर समीकरण और सहानुभूति ज्यामिति को आम तौर पर विशुद्ध रूप से गणितीय विषयों के रूप में देखा जाता है, जबकि गतिशील प्रणाली और हैमिल्टनियन यांत्रिकी गणितीय भौतिकी से संबंधित हैं। जॉन हेरापथ ने "प्राकृतिक दर्शन के गणितीय सिद्धांतों" पर अपने 1847 के पाठ के शीर्षक के लिए इस शब्द का इस्तेमाल किया, उस समय का दायरा "गर्मी, गैसीय लोच, गुरुत्वाकर्षण और प्रकृति की अन्य महान घटनाओं के कारण" था।^[4]

गणितीय बनाम सैद्धांतिक भौतिकी

"गणितीय भौतिकी" शब्द का प्रयोग कभी-कभी गणितीय रूप से कठोर ढांचे के भीतर भौतिकी या विचार प्रयोगों में समस्याओं का अध्ययन और समाधान करने के उद्देश्य से अनुसंधान को निरूपित करने के लिए किया जाता है। इस अर्थ में, गणितीय भौतिकी एक बहुत व्यापक शैक्षणिक क्षेत्र को कवर करती है जो केवल कुछ गणितीय पहलू और भौतिकी सैद्धांतिक पहलू के सम्मिश्रण द्वारा प्रतिष्ठित है।हालांकि सैद्धांतिक भौतिकी से संबंधित है,^[5] इस अर्थ में गणितीय भौतिकी गणित में पाए जाने वाले समान प्रकार की गणितीय कठोरता पर जोर देती है।

दूसरी ओर, सैद्धांतिक भौतिकी अवलोकनों और प्रायोगिक भौतिकी के सम्बन्ध पर जोर देती है, जिसके लिए अक्सर सैद्धांतिक भौतिकविदों (और अधिक सामान्य अर्थों में गणितीय भौतिकविदों) को अनुमानी, सहज और अनुमानित तर्कों का उपयोग करने की आवश्यकता होती है।^[6]गणितज्ञों द्वारा इस तरह के तर्कों को कठोर नहीं माना जाता है।

ऐसे गणितीय भौतिक विज्ञानी मुख्य रूप से भौतिक सिद्धांतों का विस्तार और व्याख्या करते हैं। गणितीय कठोरता के आवश्यक स्तर के कारण, ये शोधकर्ता अक्सर उन प्रश्नों से निपटते हैं जिन्हें सैद्धांतिक भौतिकविदों ने पहले ही हल कर लिया है। हालांकि, वे कभी-कभी दिखा सकते हैं कि पिछला समाधान अधूरा, गलत या बहुत ही अनुभवहीन था। सांख्यिकीय यांत्रिकी से ऊष्मप्रवैगिकी के दूसरे नियम का अनुमान लगाने के प्रयासों के मुद्दे उदाहरण हैं। अन्य उदाहरण विशेष और सामान्य सापेक्षता (सग्नाक प्रभाव और आइंस्टीन समकालन) में समकालन प्रक्रियाओं से जुड़ी सूक्ष्मताओं से संबंधित हैं।

भौतिक सिद्धांतों को गणितीय रूप से कठोर स्तर पर रखने के प्रयास ने न केवल विकसित भौतिकी बल्कि कुछ गणितीय क्षेत्रों के विकास को भी प्रभावित किया है। उदाहरण के लिए, क्वांटम यांत्रिकी का विकास और कार्यात्मक विश्लेषण के कुछ पहलू कई मायनों में एक दूसरे के समानांतर हैं।क्वांटम यांत्रिकी, क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत और क्वांटम सांख्यिकीय यांत्रिकी के गणितीय अध्ययन ने ऑपरेटर बीजगणित में परिणाम प्रेरित किए हैं। क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के कठोर गणितीय सूत्रीकरण के प्रयास ने भी प्रतिनिधित्व सिद्धांत जैसे क्षेत्रों में कुछ प्रगति की है।

प्रमुख गणितीय भौतिक विज्ञानी

न्यूटन से पहले

प्रकृति के गणितीय विश्लेषण की एक परंपरा है जो प्राचीन यूनानियों तक जाती है, उदाहरणों में यूक्लिड (ऑप्टिक्स), आर्किमिडीज (ऑन द इक्विलिब्रियम ऑफ प्लेन, ऑन फ्लोटिंग बॉडीज), और टॉलेमी (ऑप्टिक्स, हार्मोनिक्स) शामिल हैं।^[7]^[8] बाद में, इस्लामी और बीजान्टिन विद्वानों ने इन कार्यों पर निर्माण किया, और ये अंततः 12 वीं शताब्दी में और पुनर्जागरण के दौरान पश्चिम में पुन: प्रस्तुत किए गए या उपलब्ध हो गए थे।

16वीं शताब्दी के पहले दशक में, शौकिया खगोलशास्त्री निकोलस कोपरनिकस ने सूर्यकेंद्रवाद का प्रस्ताव रखा, और 1543 में इस पर एक ग्रंथ प्रकाशित किया था। उन्होंने महाकाव्यों के टॉलेमिक विचार को बरकरार रखा, और केवल अधिचक्रिक कक्षाओं के सरल संग्रह का निर्माण करके खगोल विज्ञान को सरल बनाने की मांग की। अधिचक्र में वृत्तों पर वृत्त होते हैं।अरिस्टोटेलियन भौतिकी के अनुसार, वृत्त गति का सही रूप था, और अरस्तू के पांचवें तत्व की आंतरिक गति थी - अंग्रेजी शुद्ध हवा के लिए ग्रीक में ईथर के रूप में जाना जाने वाला सर्वोत्कृष्टता या सार्वभौमिक सार - जो कि सबल्यूनरी क्षेत्र से परे शुद्ध पदार्थ था, और इस प्रकार आकाशीय संस्थाओं की शुद्ध रचना थी। जर्मन जोहान्स केप्लर [1571-1630], टाइको ब्राहे के सहायक, ने कोपरनिकन कक्षाओं को दीर्घवृत्त में संशोधित किया, जो केप्लर के ग्रहों की गति के नियमों के समीकरणों में औपचारिक रूप दिया गया।

उत्साही परमाणुवादी, गैलीलियो गैलीली ने अपनी 1623 की पुस्तक द एसेयर में जोर देकर कहा कि "प्रकृति की पुस्तक गणित में लिखी गई है"।^[9] उनकी 1632 की पुस्तक, उनके दूरबीन प्रेक्षणों के बारे में, सूर्यकेंद्रवाद का समर्थन करती है।^[10] प्रयोग शुरू करने के बाद, गैलीलियो ने तब खुद अरिस्टोटेलियन भौतिकी का खंडन करते हुए भू-केंद्रिक ब्रह्मांड विज्ञान का खंडन किया था। गैलीलियो की 1638 की पुस्तक डिस्कोर्स ऑन टू न्यू साइंसेज ने समान मुक्त पतन के नियम के साथ-साथ जड़त्वीय गति के सिद्धांतों की स्थापना की, जो आज के शास्त्रीय यांत्रिकी बनने की केंद्रीय अवधारणाओं को स्थापित करता है। ^[10]जड़ता के गैलीलियन कानून के साथ-साथ गैलीलियन निश्चरता के सिद्धांत, जिसे गैलीलियन सापेक्षता भी कहा जाता है, किसी भी वस्तु के लिए जड़ता का अनुभव करने के लिए, केवल यह जानने के लिए अनुभवजन्य औचित्य है कि यह सापेक्ष आराम या सापेक्ष गति-आराम या गति दूसरे वस्तु के संबंध में है।

रेने डेसकार्टेस ने प्रसिद्ध रूप से हेलियोसेंट्रिक कॉस्मोलॉजी की एक पूरी प्रणाली विकसित की, जो भंवर गति, कार्तीय भौतिकी के सिद्धांत पर आधारित थी, जिसकी व्यापक स्वीकृति ने अरस्तूवादी भौतिकी के निधन को जन्म दिया। डेसकार्टेस ने विज्ञान में गणितीय तर्क को औपचारिक रूप देने की मांग की, और 3 डी अंतरिक्ष में ज्यामितीय रूप से स्थानों की साजिश रचने और समय के प्रवाह के साथ उनकी प्रगति को चिह्नित करने के लिए कार्तीय निर्देशांक विकसित किए थे।^[11]

न्यूटन के एक पुराने समकालीन, क्रिस्टियान ह्यूजेंस, मापदंडों के एक समुच्चय द्वारा एक भौतिक समस्या को आदर्श बनाने वाले पहले व्यक्ति थे और सबसे पहले अप्राप्य भौतिक घटनाओं की एक यंत्रवत व्याख्या को पूरी तरह से गणितीय करने के लिए, और इन कारणों से ह्यूजेंस को पहला सैद्धांतिक भौतिक विज्ञानी और आधुनिक गणितीय भौतिकी के संस्थापक में से एक माना जाता है।^[12]^[13]

न्यूटोनियन और पोस्ट न्यूटनियन

इस युग में, कलन (कैलकुलस) में महत्वपूर्ण अवधारणाएं जैसे कि कलन (कैलकुलस) की मौलिक प्रमेय (स्कॉटिश गणितज्ञ जेम्स ग्रेगरी द्वारा 1668 में सिद्ध^[14]) और फ़र्मेट के प्रमेय (फ्रांसीसी गणितज्ञ पियरे डी फ़र्मेट द्वारा) का उपयोग करके विभेदन के माध्यम से कार्यों की एक्स्ट्रेमा और मिनिमा का पता लगाना पहले से ही लीबनिज़ और न्यूटन से पहले जाना जाता था।आइजैक न्यूटन (1642-1727) ने कलन (कैलकुलस) में कुछ अवधारणाएं विकसित कीं (हालांकि गॉटफ्राइड विल्हेम लिबनिज ने भौतिकी के संदर्भ के बाहर समान अवधारणाएं विकसित कीं) और भौतिकी में समस्याओं को हल करने के लिए न्यूटन की विधि अपनाया था। वह गति के सिद्धांत के लिए कलन के अपने आवेदन में बेहद सफल रहे थे। 1687 में प्रकाशित उनके प्राकृतिक दर्शन के गणितीय सिद्धांतों में दिखाए गए न्यूटन के गति के सिद्धांत,^[15] ने गति के तीन गैलिलियन नियमों के साथ-साथ न्यूटन के सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम को निरपेक्ष स्थान के ढांचे पर तैयार किया - न्यूटन द्वारा भौतिक रूप से वास्तविक इकाई के रूप में परिकल्पित यूक्लिडियन ज्यामितीय संरचना सभी दिशाओं में असीम रूप से फैली हुई है - निरपेक्ष समय को मानते हुए, निरपेक्ष गति के ज्ञान को निरपेक्ष स्थान के संबंध में वस्तु की गति को माना जाता है। गैलीलियन अपरिवर्तनीयता/सापेक्षता का सिद्धांत न्यूटन के गति के सिद्धांत में केवल निहित था। गति के केपलरियन खगोलीय नियमों के साथ-साथ गति के गैलीलियन स्थलीय नियमों को एक एकीकृत बल में कम करके, न्यूटन ने महान गणितीय कठोरता, लेकिन सैद्धांतिक शिथिलता के साथ हासिल की।^[16]

18वीं शताब्दी में, स्विस डेनियल बर्नौली (1700-1782) ने द्रव गतिकी और कंपन स्ट्रिंग्स में योगदान दिया था। स्विस लियोनहार्ड यूलर (1707-1783) ने परिवर्तनशील कलन, गतिकी, द्रव गतिकी और अन्य क्षेत्रों में विशेष कार्य किया था। विश्लेषणात्मक यांत्रिकी में काम के लिए इतालवी में जन्मे फ्रांसीसी, जोसेफ-लुई लैग्रेंज (1736-1813) भी उल्लेखनीय थे उन्होंने लैग्रैंगियन यांत्रिकी तैयार किया) और परिवर्तनशील तरीके पर काम किया था। हैमिल्टनियन गतिकी नामक विश्लेषणात्मक गतिकी के निर्माण में एक प्रमुख योगदान आयरिश भौतिक विज्ञानी, खगोलशास्त्री और गणितज्ञ विलियम रोवन हैमिल्टन (1805-1865) द्वारा भी किया गया था। क्षेत्र सिद्धांत और क्वांटम यांत्रिकी सहित भौतिकी में आधुनिक सिद्धांतों के निर्माण में हैमिल्टनियन गतिकी ने महत्वपूर्ण भूमिका निभाई थी। फ्रांसीसी गणितीय भौतिक विज्ञानी जोसेफ फूरियर (1768 - 1830) ने गर्मी समीकरण को हल करने के लिए फूरियर श्रृंखला की धारणा की शुरुआत की, जिससे अभिन्न परिवर्तनों के माध्यम से आंशिक अंतर समीकरणों को हल करने के लिए एक नए दृष्टिकोण को जन्म दिया गया था।

19वीं शताब्दी के प्रारंभ में, फ्रांस, जर्मनी और इंग्लैंड के निम्नलिखित गणितज्ञों ने गणितीय भौतिकी में योगदान दिया था। फ्रांसीसी पियरे-साइमन लाप्लास (1749-1827) ने गणितीय खगोल विज्ञान, संभावित सिद्धांत में सर्वोपरि योगदान दिया था। शिमोन डेनिस पॉइसन (1781-1840) ने विश्लेषणात्मक यांत्रिकी और संभावित सिद्धांत में काम किया था।जर्मनी में, कार्ल फ्रेडरिक गॉस (1777-1855) ने बिजली, चुंबकत्व, यांत्रिकी और द्रव गतिकी की सैद्धांतिक नींव में महत्वपूर्ण योगदान दिया। इंग्लैंड में, जॉर्ज ग्रीन (1793-1841) ने 1828 में विद्युत और चुंबकत्व के सिद्धांतों के गणितीय विश्लेषण के अनुप्रयोग पर एक निबंध प्रकाशित किया,जिसने गणित में अपने महत्वपूर्ण योगदान के अलावा विद्युत और चुंबकत्व की गणितीय नींव रखने की दिशा में प्रारंभिक प्रगति की थी।

न्यूटन के प्रकाश के कण सिद्धांत के प्रकाशन से कुछ दशक पहले, डच क्रिस्टियान ह्यूजेंस (1629-1695) ने प्रकाश का तरंग सिद्धांत विकसित किया, जिसे 1690 में प्रकाशित किया गया था। 1804 तक, थॉमस यंग के डबल-स्लिट प्रयोग ने एक हस्तक्षेप पैटर्न का खुलासा किया, जैसा कि हालांकि प्रकाश एक लहर थी, और इस प्रकार ह्यूजेंस के प्रकाश के तरंग सिद्धांत, साथ ही ह्यूजेंस के अनुमान कि प्रकाश तरंगें चमकदार ईथर के कंपन थे, को स्वीकार किया गया था। जीन-ऑगस्टिन फ्रेस्नेल ने ईथर के काल्पनिक व्यवहार का मॉडल तैयार किया था। अंग्रेजी भौतिक विज्ञानी माइकल फैराडे ने एक क्षेत्र की सैद्धांतिक अवधारणा पेश की - दूरी पर कार्रवाई नहीं की थी। 19वीं सदी के मध्य में, स्कॉटिश जेम्स क्लर्क मैक्सवेल (1831-1879) ने मैक्सवेल के विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र सिद्धांत के लिए बिजली और चुंबकत्व को कम कर दिया, जिसे दूसरों ने मैक्सवेल के चार समीकरणों तक सीमित कर दिया था। प्रारंभ में, प्रकाशिकी को मैक्सवेल के क्षेत्र^{[clarification needed]} के परिणामस्वरूप पाया गया था। बाद में, विकिरण और फिर आज के ज्ञात विद्युत चुम्बकीय वर्णक्रम भी इस विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र^{[clarification needed]}के परिणामस्वरूप पाए गए थे।

अंग्रेजी भौतिक विज्ञानी लॉर्ड रेले [1842-1919] ने ध्वनि पर काम किया था। आयरिशमैन विलियम रोवन हैमिल्टन (1805-1865), जॉर्ज गेब्रियल स्टोक्स (1819-1903) और लॉर्ड केल्विन (1824-1907) ने कई प्रमुख कृतियों का निर्माण किया, स्टोक्स प्रकाशिकी और द्रव गतिकी में अग्रणी थे, केल्विन ने ऊष्मप्रवैगिकी में पर्याप्त खोज की, हैमिल्टन ने विश्लेषणात्मक यांत्रिकी पर उल्लेखनीय काम किया, एक नए और शक्तिशाली दृष्टिकोण की खोज की जिसे आजकल हैमिल्टनियन यांत्रिकी के रूप में जाना जाता है। इस दृष्टिकोण में बहुत प्रासंगिक योगदान उनके जर्मन सहयोगी गणितज्ञ कार्ल गुस्ताव जैकोबी (1804-1851) के कारण हैं, विशेष रूप से विहित परिवर्तनों के संदर्भ में है। जर्मन हरमन वॉन हेल्महोल्ट्ज़ (1821-1894) ने विद्युत चुंबकत्व, तरंगों, तरल पदार्थ और ध्वनि के क्षेत्र में पर्याप्त योगदान दिया था। संयुक्त राज्य अमेरिका में, योशिय्याह विलार्ड गिब्स (1839-1903) का अग्रणी कार्य सांख्यिकीय यांत्रिकी का आधार बन गया था। इस क्षेत्र में मौलिक सैद्धांतिक परिणाम जर्मन लुडविग बोल्ट्जमैन (1844-1906) द्वारा प्राप्त किए गए थे। साथ में, इन व्यक्तियों ने विद्युत चुम्बकीय सिद्धांत, द्रव गतिकी और सांख्यिकीय यांत्रिकी की नींव रखी थी।

सापेक्षकीय

1880 के दशक तक, एक प्रमुख विरोधाभास था कि मैक्सवेल के विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के भीतर एक पर्यवेक्षक ने विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के भीतर अन्य वस्तुओं के सापेक्ष पर्यवेक्षक की गति की परवाह किए बिना इसे लगभग स्थिर गति से मापा गया था। इस प्रकार, हालांकि प्रेक्षक की गति विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के सापेक्ष लगातार खो गई थी^{[clarification needed]}, इसे विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र में अन्य वस्तुओं के सापेक्ष संरक्षित किया गया था। और फिर भी वस्तुओं के बीच भौतिक अंतःक्रियाओं के भीतर गैलीलियन आक्रमण का कोई उल्लंघन नहीं पाया गया था। जैसा कि मैक्सवेल के विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र को ईथर के दोलनों के रूप में तैयार किया गया था, भौतिकविदों ने अनुमान लगाया कि ईथर के भीतर गति के परिणामस्वरूप ईथर का बहाव होता है, विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र को स्थानांतरित करता है, इसके सापेक्ष पर्यवेक्षक की लापता गति को समझाता है। गैलीलियन परिवर्तन गणितीय प्रक्रिया थी जिसका उपयोग एक संदर्भ फ्रेम में पदों की भविष्यवाणी के लिए दूसरे संदर्भ फ्रेम में पदों का अनुवाद करने के लिए किया जाता था, सभी कार्तीय निर्देशांक पर आलेखित किए गए थे, लेकिन इस प्रक्रिया को लोरेंत्ज़ परिवर्तन द्वारा प्रतिस्थापित किया गया था, जिसे डच हेंड्रिक लोरेंत्ज़ [1853- 1928] द्वारा प्रतिरूपण किया गया था।

1887 में, प्रायोगिकवादी माइकलसन और मॉर्ले एथर बहाव का पता लगाने में विफल रहे, हालांकि। यह अनुमान लगाया गया था कि ईथर में गति ने ईथर को छोटा करने के लिए प्रेरित किया, जैसा कि लोरेंत्ज़ संकुचन में किया गया था। यह अनुमान लगाया गया था कि ईथर ने मैक्सवेल के विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र को संदर्भ के सभी जड़त्वीय फ्रेम में गैलीलियन अपरिवर्तनीयता के सिद्धांत के साथ संरेखित किया, जबकि न्यूटन के गति के सिद्धांत को बख्शा गया था।

ऑस्ट्रियाई सैद्धांतिक भौतिक विज्ञानी और दार्शनिक अर्नस्ट मच ने न्यूटन के नियत निरपेक्ष स्थान की आलोचना की थी। गणितज्ञ जूल्स-हेनरी पोंकारे (1854-1912) ने निरपेक्ष समय पर भी सवाल उठाया था। 1905 में, पियरे ड्यूहेम ने न्यूटन के गति के सिद्धांत की नींव की विनाशकारी आलोचना प्रकाशित की थी।^[16]इसके अलावा 1905 में, अल्बर्ट आइंस्टीन (1879-1955) ने सापेक्षता के अपने विशेष सिद्धांत को प्रकाशित किया, जिसमें ईथर के अस्तित्व सहित, ईथर से संबंधित सभी परिकल्पनाओं को त्यागकर विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के अपरिवर्तनीयता और गैलीलियन अपरिवर्तनीयता दोनों की व्याख्या की गई थी। न्यूटन के सिद्धांत के ढांचे का खंडन करना - पूर्ण स्थान और निरपेक्ष समय - विशेष सापेक्षता सापेक्ष स्थान और सापेक्ष समय को संदर्भित करता है, जिससे लंबाई अनुबंध और समय किसी वस्तु के यात्रा मार्ग के साथ फैलता है।

1908 में, आइंस्टीन के पूर्व गणित के प्रोफेसर हरमन मिंकोवस्की ने लौकिक अक्ष को चौथे स्थानिक आयाम-कुल मिलाकर 4डी स्पेसटाइम की तरह मानकर समय के 1डी अक्ष के साथ 3डी अंतरिक्ष का प्रतिरूप तैयार किया और अंतरिक्ष और समय के पृथक्करण की आसन्न मृत्यु की घोषणा की थी।^[17] आइंस्टीन ने प्रारम्भ में इसे "अनावश्यक शिक्षा" कहा था, लेकिन बाद में अपने सामान्य सापेक्षता सिद्धांत में महान लालित्य के साथ मिंकोवस्की स्पेसटाइम का इस्तेमाल किया,^[18] सभी संदर्भ फ़्रेमों के लिए अपरिवर्तनीयता का विस्तार-चाहे जड़त्वीय या त्वरित के रूप में माना जाता है- और इसका श्रेय मिंकोवस्की को दिया जाता है।सामान्य सापेक्षता गाऊसी निर्देशांक के साथ कार्तीय निर्देशांक की जगह लेती है, और न्यूटन के काल्पनिक गुरुत्वाकर्षण बल के वेक्टर द्वारा तुरंत खोजे गए न्यूटन के खाली अभी तक यूक्लिडियन अंतरिक्ष की जगह लेती है - दूरी पर एक त्वरित कार्रवाई - एक गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के साथ होता है। गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र मिंकोवस्की स्पेसटाइम ही है, आइंस्टाइन एथर की 4D सांस्थिति लोरेंत्ज़ियन मैनिफोल्ड पर प्रतिरूपण की गई है जो रीमैन वक्रता प्रदिश के अनुसार ज्यामितीय रूप से "वक्र" करती है। न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण की अवधारणा: "दो द्रव्यमान एक दूसरे को आकर्षित करते हैं" को ज्यामितीय तर्क द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है: "स्पेसटाइम के द्रव्यमान परिवर्तन वक्रता और स्पेसटाइम में एक भूगर्भीय वक्र के साथ बड़े पैमाने पर मुक्त गिरने वाले कण" (रिमेंनियन ज्यामिति पहले से ही 1850 के दशक से पहले मौजूद थी। गणितज्ञ कार्ल फ्रेडरिक गॉस और बर्नहार्ड रीमैन आंतरिक ज्यामिति और गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति की तलाश में हैं।), या तो द्रव्यमान या ऊर्जा के आसपास होती है। (विशेष सापेक्षता के तहत- सामान्य सापेक्षता का एक विशेष मामला-यहां तक कि बड़े पैमाने पर ऊर्जा भी अपने द्रव्यमान समकक्ष द्वारा गुरुत्वाकर्षण प्रभाव डालती है, स्थानीय रूप से चार की ज्यामिति, अंतरिक्ष और समय के एकीकृत आयामों को "घुमावदार" करती है।)

क्वांटम

20वीं सदी का एक और क्रांतिकारी विकास क्वांटम सिद्धांत था, जो मैक्स प्लैंक (1856-1947) (ब्लैक-बॉडी रेडिएशन पर) के मौलिक योगदान और प्रकाशवैद्युत प्रभाव पर आइंस्टीन के काम से उभरा था। 1912 में, एक गणितज्ञ हेनरी पॉइनकेयर ने सुर ला थियोरी डेस क्वांटा प्रकाशित किया था।^[19]^[20] उन्होंने इस पत्र में परिमाणीकरण की पहली गैर-भोली परिभाषा पेश की थी।अर्नोल्ड सोमरफेल्ड (1868-1951) और नील्स बोहर (1885-1962) द्वारा तैयार किए गए एक अनुमानी ढांचे के बाद प्रारंभिक क्वांटम भौतिकी का विकास, लेकिन इसे जल्द ही मैक्स बॉर्न (1882-1970), वर्नर हाइजेनबर्ग (1901-1976), पॉल डिराक (1902-1984), इरविन श्रोडिंगर (1887-1961), सत्येंद्र नाथ बोस (1894-1974), और वोल्फगैंग पाउली (1900-1958) द्वारा विकसित क्वांटम यांत्रिकी द्वारा प्रतिस्थापित किया गया था। इसे हिल्बर्ट स्पेस कहा जाता है (गणितज्ञ डेविड हिल्बर्ट (1862-1943), एरहार्ड श्मिट (1876-1959) और फ्रिगियस रिज़ (1880-1956) द्वारा यूक्लिडियन स्पेस के सामान्यीकरण और अभिन्न समीकरणों के अध्ययन की तलाश में), और जॉन वॉन न्यूमैन द्वारा अपनी प्रसिद्ध पुस्तक क्वांटम मैकेनिक्स की गणितीय नींव में स्वयंसिद्ध आधुनिक संस्करण सख्ती से परिभाषित किया गया , जहां उन्होंने हिल्बर्ट रिक्त स्थान पर आधुनिक कार्यात्मक विश्लेषण का एक प्रासंगिक हिस्सा बनाया था। वर्णक्रमीय सिद्धांत (डेविड हिल्बर्ट द्वारा पेश किया गया था, जिन्होंने असीम रूप से कई चर के साथ द्विघात रूपों की जांच की थी। कई साल बाद, यह पता चला था कि उनका वर्णक्रमीय सिद्धांत हाइड्रोजन परमाणु के स्पेक्ट्रम से जुड़ा हुआ है। वह इस आवेदन से विशेष रूप से हैरान था।)। पॉल डिराक ने इलेक्ट्रॉन के लिए एक सापेक्षतावादी मॉडल का निर्माण करने के लिए बीजीय निर्माण का उपयोग किया, इसके चुंबकीय क्षण और इसके एंटीपार्टिकल, पॉज़िट्रॉन के अस्तित्व की भविष्यवाणी की थी।

20 वीं शताब्दी में गणितीय भौतिकी में प्रमुख योगदानकर्ताओं की सूची

20वीं सदी के गणितीय भौतिकी के प्रमुख योगदानकर्ताओं में शामिल हैं, (जन्म तिथि के अनुसार क्रमित) विलियम थॉमसन (लॉर्ड केल्विन) [1824-1907], ओलिवर हीविसाइड [1850-1925], जूल्स हेनरी पोंकारे [1854-1912], डेविड हिल्बर्ट [1862- 1943], अर्नोल्ड सोमरफेल्ड [1868-1951], कॉन्स्टेंटिन कैराथोडोरी [1873-1950], अल्बर्ट आइंस्टीन [1879-1955], मैक्स बॉर्न [1882-1970], जॉर्ज डेविड बिरखोफ [1884-1944], हरमन वेइल [1885-1955 ], सत्येंद्र नाथ बोस [1894-1974], नॉर्बर्ट वीनर [1894-1964], जॉन लाइटन सिन्ज [1897-1995], वोल्फगैंग पाउली [1900-1958], पॉल डिराक [1902-1984], यूजीन विग्नर [1902-1995 ], एंड्री कोलमोगोरोव [1903-1987], लार्स ऑनसेगर [1903-1976], जॉन वॉन न्यूमैन [1903-1957], सिन-इतिरो टोमोनागा [1906-1979], हिदेकी युकावा [1907-1981], निकोले निकोलाइविच बोगोलीउबोव [1909 -1992], सुब्रह्मण्यन चंद्रशेखर [1910-1995], मार्क केक [1914-1984], जूलियन श्विंगर [1918-1994], रिचर्ड फिलिप्स फेनमैन [1918-1988], इरविंग एज्रा सेगल [1918-1998], रयोगो कुबो [1920 -1995], आर्थर स्ट्रॉन्ग वाइटमैन [1922–2013], चो एन-निंग यांग [1922-], रुडोल्फ हाग [1922-2016], फ्रीमैन जॉन डायसन [1923-2020], मार्टिन गुट्ज़विल्लर [1925-2014], अब्दुस सलाम [1926-1996], जुर्गन मोजर [1928-1999], माइकल फ्रांसिस अतियाह [1929-2019], जोएल लुई लेबोविट्ज़ [1930–], रोजर पेनरोज़ [1931–], इलियट हर्शेल लिब [1932–], शेल्डन ग्लासो [1932–], स्टीवन वेनबर्ग [1933–2021], लुडविग दिमित्रिच फडदेव [1934-2017], डेविड रूएल [1935-], याकोव ग्रिगोरेविच सिनाई [1935-], व्लादिमीर इगोरेविच अर्नोल्ड [1937-2010], आर्थर माइकल जाफ [1937-], रोमन व्लादिमीर जैकीव [1939-], लियोनार्ड सुस्किंड [1940 - ], रॉडनी जेम्स बैक्सटर [1940-], माइकल विक्टर बेरी [1941-], जियोवानी गैलावोटी [1941-], स्टीफन विलियम हॉकिंग [1942-2018], जेरोल्ड एल्डन मार्सडेन [1942-2010], माइकल सी। रीड [1942 - ], इज़राइल माइकल सिगल [1945], अलेक्जेंडर मार्कोविच पॉलाकोव [1945-], बैरी साइमन [1946-], हर्बर्ट स्पॉन [1946-], जॉन लॉरेंस कार्डी [1947-], जियोर्जियो पेरिस [1948-], एडवर्ड विटन [ 1951-], अशोक सेन [1956-] और जुआन मार्टिन मालदासेना [1968-]।

यह भी देखें

इंटरनेशनल एसोसिएशन ऑफ मैथमेटिकल फिजिक्स
गणितीय भौतिकी में उल्लेखनीय प्रकाशन
गणितीय भौतिकी पत्रिकाओं की सूची
गेज सिद्धांत (गणित)
गणित और भौतिकी के बीच संबंध
सैद्धांतिक, कम्प्यूटेशनल और दार्शनिक भौतिकी

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 === शास्त्रीय भौतिकी में विशेष ग्रंथ ===
-*{{citation |first1 = Ralph |last1 = Abraham |author1-link = Ralph Abraham (mathematician) |first2 = Jerrold E. |last2 = Marsden |author2-link = Jerrold E. Marsden |title =  Foundations of Mechanics: A Mathematical Exposition of Classical Mechanics with an Introduction to the Qualitative Theory of Dynamical Systems  |edition = 2nd |publisher = AMS Chelsea Publishing |year = 2008 |isbn = 978-0-8218-4438-0}}
+*{{citation |first1 = Ralph |last1 = Abraham |first2 = Jerrold E. |last2 = Marsden |title =  Foundations of Mechanics: A Mathematical Exposition of Classical Mechanics with an Introduction to the Qualitative Theory of Dynamical Systems  |edition = 2nd |publisher = AMS Chelsea Publishing |year = 2008 |isbn = 978-0-8218-4438-0}}
 *{{citation |first = John A. |last = Adam |title = Rays, Waves, and Scattering: Topics in Classical Mathematical Physics |publisher = Princeton University Press. |year = 2017 |isbn = 978-0-691-14837-3}}
-* {{citation |first1 = Vladimir I. |last1 = Arnold |author-link = Vladimir Arnold |title = [[Mathematical Methods of Classical Mechanics]] |edition = 2nd |publisher = Springer-Verlag |year = 1997 |isbn = 0-387-96890-3 }}
+* {{citation |first1 = Vladimir I. |last1 = Arnold |title = Mathematical Methods of Classical Mechanics |edition = 2nd |publisher = Springer-Verlag |year = 1997 |isbn = 0-387-96890-3 }}
 *{{citation |first1 = Frederick |last1 = Bloom |title =  Mathematical Problems of Classical Nonlinear Electromagnetic Theory |publisher = CRC Press |year = 1993 |isbn = 0-582-21021-6}}
 *{{citation |first1 = Franck |last1 = Boyer |first2 = Pierre |last2 = Fabrie |title =  Mathematical Tools for the Study of the Incompressible Navier-Stokes Equations and Related Models |publisher =  Springer |year = 2013 |isbn = 978-1-4614-5974-3}}
 *{{citation |first1 = David |last1 = Colton |first2 = Rainer |last2 = Kress |title =  Integral Equation Methods in Scattering Theory |publisher =  Society for Industrial and Applied Mathematics |year = 2013 |isbn = 978-1-611973-15-0}}
-*{{citation |first1 = Philippe G. |last1 = Ciarlet |author1-link = Philippe G. Ciarlet |title =  Mathematical Elasticity |others=Vol 1–3 |publisher =  Elsevier |year = 1988–2000}}
+*{{citation |first1 = Philippe G. |last1 = Ciarlet |title =  Mathematical Elasticity |others=Vol 1–3 |publisher =  Elsevier |year = 1988–2000}}
 *{{citation |first = Giovanni P. |last = Galdi |title =  An Introduction to the Mathematical Theory of the Navier-Stokes Equations: Steady-State Problems |edition = 2nd |publisher =  Springer |year = 2011 |isbn = 978-0-387-09619-3}}
 *{{citation |first1 = George W. |last1 = Hanson |first2 = Alexander B. |last2 = Yakovlev |title =  Operator Theory for Electromagnetics: An Introduction |publisher = Springer |year = 2002 |isbn = 978-1-4419-2934-1}}
@@ Line 217: / Line 217: @@
 *{{citation |first1 = Andreas |last1 = Knauf |title =  Mathematical Physics: Classical Mechanics |publisher = Springer |year = 2018 |isbn = 978-3-662-55772-3}}
 *{{citation |first1 = Kurt |last1 = Lechner |title =  Classical Electrodynamics: A Modern Perspective |publisher = Springer |year = 2018 |isbn = 978-3-319-91808-2}}
-*{{citation |first1 = Jerrold E. |last1 = Marsden |author1-link = Jerrold E. Marsden |first2 = Tudor S. |last2 = Ratiu |author2-link = Tudor Ratiu |title =  Introduction to Mechanics and Symmetry: A Basic Exposition of Classical Mechanical Systems |edition = 2nd |publisher = Springer |year = 1999 |isbn = 978-1-4419-3143-6}}
+*{{citation |first1 = Jerrold E. |last1 = Marsden |first2 = Tudor S. |last2 = Ratiu |title =  Introduction to Mechanics and Symmetry: A Basic Exposition of Classical Mechanical Systems |edition = 2nd |publisher = Springer |year = 1999 |isbn = 978-1-4419-3143-6}}
 *{{citation |first1 = Claus |last1 = Müller |title =  Foundations of the Mathematical Theory of Electromagnetic Waves |publisher = Springer-Verlag |year = 1969 |isbn = 978-3-662-11775-0}}
-*{{citation |first = Alexander G. |last = Ramm |author-link = Alexander Ramm |title =  Scattering by Obstacles and Potentials |publisher = World Scientific |year = 2018 |isbn = 9789813220966}}
+*{{citation |last = Ramm |title =  Scattering by Obstacles and Potentials |publisher = World Scientific |year = 2018 |isbn = 9789813220966}}
 *{{citation |first1 = Gary F. |last1 = Roach |first2 = Ioannis G. |last2 = Stratis |first3 = Athanasios N. |last3 = Yannacopoulos |title =  Mathematical Analysis of Deterministic and Stochastic Problems in Complex Media Electromagnetics |publisher = Princeton University Press |year = 2012 |isbn = 978-0-691-14217-3}}
 === आधुनिक भौतिकी में विशेष ग्रंथ ===
-*{{citation |first1 = John C. |last1 = Baez |author-link = John Baez |first2 = Javier P. |last2 = Muniain |title =  Gauge Fields, Knots, and Gravity  |publisher =  World Scientific |year = 1994 |isbn = 981-02-2034-0}}
+*{{citation |first1 = John C. |last1 = Baez |first2 = Javier P. |last2 = Muniain |title =  Gauge Fields, Knots, and Gravity  |publisher =  World Scientific |year = 1994 |isbn = 981-02-2034-0}}
-*{{citation |first1 = Jiří |last1 = Blank |first2 = Pavel |last2 = Exner |author2-link = Pavel Exner |first3 = Miloslav |last3 = Havlíček |title =  Hilbert Space Operators in Quantum Physics |edition = 2nd |publisher =  Springer |year = 2008 |isbn = 978-1-4020-8869-8 }}
+*{{citation |first1 = Jiří |last1 = Blank |first2 = Pavel |last2 = Exner |first3 = Miloslav |last3 = Havlíček |title =  Hilbert Space Operators in Quantum Physics |edition = 2nd |publisher =  Springer |year = 2008 |isbn = 978-1-4020-8869-8 }}
 *{{citation |first1 = Eberhard |last1 = Engel |first2 = Reiner M. |last2 = Dreizler |title =  Density Functional Theory: An Advanced Course  |publisher =  Springer-Verlag |year = 2011 |isbn = 978-3-642-14089-1}}
-*{{citation |first1 = James |last1 = Glimm |author1-link = James Glimm |first2 = Arthur |last2 = Jaffe |author2-link =  Arthur Jaffe |title = Quantum Physics: A Functional Integral Point of View |edition = 2nd |publisher =  Springer-Verlag |year = 1987 |isbn = 0-387-96477-0}}
+*{{citation |first1 = James |last1 = Glimm |first2 = Arthur |last2 = Jaffe |title = Quantum Physics: A Functional Integral Point of View |edition = 2nd |publisher =  Springer-Verlag |year = 1987 |isbn = 0-387-96477-0}}
-*{{citation |first = Rudolf |last = Haag |author-link = Rudolf Haag |title =  Local Quantum Physics: Fields, Particles, Algebras |edition = 2nd |publisher = Springer-Verlag |year = 1996 |isbn = 3-540-61049-9}}
+*{{citation |first = Rudolf |last = Haag |title =  Local Quantum Physics: Fields, Particles, Algebras |edition = 2nd |publisher = Springer-Verlag |year = 1996 |isbn = 3-540-61049-9}}
 *{{citation |first = Brian C. |last = Hall |title =  Quantum Theory for Mathematicians |publisher = Springer |year = 2013 |isbn = 978-1-4614-7115-8}}
 *{{citation |first=Mark J. D. |last=Hamilton |title=Mathematical Gauge Theory: With Applications to the Standard Model of Particle Physics |publisher=Springer |year=2017 |isbn=978-3-319-68438-3}}
-*{{citation |first1 = Stephen W. |last1 = Hawking |author1-link = Stephen Hawking |first2 = George F. R. |last2 = Ellis |author2-link = George F. R. Ellis |title = [[The Large Scale Structure of Space-Time]] |publisher = Cambridge University Press |year = 1973 |isbn = 0-521-20016-4}}
+*{{citation |first1 = Stephen W. |last1 = Hawking |first2 = George F. R. |last2 = Ellis |title = The Large Scale Structure of Space-Time |publisher = Cambridge University Press |year = 1973 |isbn = 0-521-20016-4}}
-*{{citation |first=Roman |last=Jackiw |author-link =Roman Jackiw |title=Diverse Topics in Theoretical and Mathematical Physics |publisher=World Scientific |year=1995 |isbn=9810216963}}
+*{{citation |first=Roman |last=Jackiw |title=Diverse Topics in Theoretical and Mathematical Physics |publisher=World Scientific |year=1995 |isbn=9810216963}}
 *{{citation |first=Klaas |last=Landsman |title=Foundations of Quantum Theory: From Classical Concepts to Operator Algebras |publisher=Springer |year=2017 |isbn=978-3-319-51776-6}}
 *{{citation |first=Valter |last=Moretti |title=Spectral Theory and Quantum Mechanics: Mathematical Foundations of Quantum Theories, Symmetries and Introduction to the Algebraic Formulation |edition = 2nd |publisher=Springer |year=2018 |isbn=978-3-319-70705-1}}
 *{{citation |first1=Didier |last1=Robert |first2=Monique |last2=Combescure |title=Coherent States and Applications in Mathematical Physics |edition = 2nd |publisher=Springer |year=2021 |isbn=978-3-030-70844-3}}
-*{{citation |author-link=Gerald Teschl |first=Gerald |last=Teschl |title=Mathematical Methods in Quantum Mechanics: With Applications to Schrödinger Operators |publisher=American Mathematical Society |year=2009 |url=https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/|isbn=978-0-8218-4660-5}}
+*{{citation |last=Teschl |title=Mathematical Methods in Quantum Mechanics: With Applications to Schrödinger Operators |publisher=American Mathematical Society |year=2009 |url=https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/|isbn=978-0-8218-4660-5}}
-*{{citation |first1 = Walter E. |last1 = Thirring |author-link = Walter Thirring |title = Quantum Mathematical Physics: Atoms, Molecules and Large Systems |edition = 2nd |publisher =  Springer-Verlag |year = 2002 |isbn = 978-3-642-07711-1}}
+*{{citation |first1 = Walter E. |last1 = Thirring |title = Quantum Mathematical Physics: Atoms, Molecules and Large Systems |edition = 2nd |publisher =  Springer-Verlag |year = 2002 |isbn = 978-3-642-07711-1}}
-*{{citation |first1 = John |last1 = von Neumann |author-link = John von Neumann |title = [[Mathematical Foundations of Quantum Mechanics]] |publisher = Princeton University Press |year = 2018 | isbn = 978-0-691-17856-1}}
+*{{citation |first1 = John |last1 = von Neumann |title = Mathematical Foundations of Quantum Mechanics |publisher = Princeton University Press |year = 2018 | isbn = 978-0-691-17856-1}}
-*{{citation |first1 = Hermann |last1 = Weyl |author1-link = Hermann Weyl |title =  The Theory of Groups and Quantum Mechanics |publisher =  Martino Fine Books |year = 2014 | isbn = 978-1614275800}}
+*{{citation |last1 = Weyl |title =  The Theory of Groups and Quantum Mechanics |publisher =  Martino Fine Books |year = 2014 | isbn = 978-1614275800}}
-*{{citation |first = Francisco J. |last = Ynduráin |author-link=Francisco José Ynduráin |title = The Theory of Quark and Gluon Interactions |edition = 4th |publisher = Springer  |year = 2006 |isbn = 978-3642069741}}
+*{{citation |first = Francisco J. |last = Ynduráin |title = The Theory of Quark and Gluon Interactions |edition = 4th |publisher = Springer  |year = 2006 |isbn = 978-3642069741}}
-*{{citation |first = Eberhard |last = Zeidler  |author-link=Eberhard Zeidler (mathematician) |title = Quantum Field Theory: A Bridge Between Mathematicians and Physicists |others=Vol 1-3 |publisher = Springer  |year = 2006–2011}}
+*{{citation |last = Zeidler  |title = Quantum Field Theory: A Bridge Between Mathematicians and Physicists |others=Vol 1-3 |publisher = Springer  |year = 2006–2011}}

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