अंकगणित: Difference between revisions

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बच्चों के लिए अंकगणितीय टेबल, लॉज़ेन, 1835

अंकगणित (प्राचीन ग्रीक से लघुगणक, संख्या, कला और शिल्प) गणित का एक प्रारंभिक भाग है जिसमें संख्याओं पर पारंपरिक संचालन के गुण - जोड़, घटाव, गुणा, भाग, घातांक और जड़ों का निष्कर्षण जैसे अध्ययन शामिल है।19 वीं शताब्दी में, इतालवी गणितज्ञ ग्यूसेप पीनो (Giuseppe Peano) ने अपने पीनो स्वयंसिद्धों (Peano axioms) के साथ अंकगणित को औपचारिक रूप दिया, जो आज गणितीय तर्क के क्षेत्र के लिए अत्यधिक महत्वपूर्ण हैं।

इतिहास

अंकगणित का प्रागितिहास कुछ कलाकृतियों तक सीमित है, जो जोड़ और घटाव की अवधारणा का संकेत दे सकते हैं, सबसे प्रसिद्ध मध्य अफ्रीका की इशंगो हड्डी है, जो 20,000 और 18,000 ईसा पूर्व के बीच कहीं से है, हालांकि इसकी व्याख्या विवादित है। ^[1]

प्राचीनतम लिखित अभिलेखों से संकेत मिलता है कि मिस्र और बेबीलोनियों ने 2000 ईसा पूर्व से सभी प्रारंभिक अंकगणितीय क्रियाओं का उपयोग किया: जोड़, घटाव, गुणन और विभाजन। ये कलाकृतियां हमेशा समस्याओं को हल करने के लिए उपयोग की जाने वाली विशिष्ट प्रक्रिया को प्रकट नहीं करती हैं, लेकिन विशेष अंक प्रणाली की विशेषताएं विधियों की जटिलता को दृढ़ता से प्रभावित करती हैं। मिस्र के अंकों के लिए चित्रलिपि प्रणाली,बाद में रोमन अंकों की तरह, गणना के लिए उपयोग किए जाने वाले गिनती अंकों से निकली थी। दोनों मामलों में, दशमलव आधार का उपयोग करने वाले मान प्राप्त हुए, लेकिन इसमें स्थितिगत संकेतन शामिल नहीं थे। रोमन अंकों के साथ जटिल गणनाओं को परिणाम प्राप्त करने के लिए एक गिनती बोर्ड (या रोमन एबाकस) की सहायता की आवश्यकता थी।

प्रारंभिक संख्या प्रणाली जिसमें स्थितीय संकेतन शामिल थे, दशमलव नहीं थे, इनमें बेबीलोनियन अंकों के लिए सेक्सजेसिमल( sexagesimal) (आधार 60) प्रणाली और माया अंकों को परिभाषित करने वाली विजीसिमल (vigesimal) (आधार 20) प्रणाली शामिल हैं। स्थान-मूल्य अवधारणा के कारण, विभिन्न मूल्यों के लिए समान अंकों का पुन: उपयोग करने की क्षमता ने गणना के सरल और अधिक कुशल तरीकों में योगदान दिया।

आधुनिक अंकगणित का निरंतर ऐतिहासिक विकास प्राचीन ग्रीस के हेलेनिस्टिक काल (Hellenistic period) के साथ शुरू होता है; यह बेबीलोन और मिस्र के उदाहरणों की तुलना में बहुत बाद में उत्पन्न हुआ। लगभग 300 ई. पू. के आसपास यूक्लिड (Euclid) के कार्यों से पहले, गणित में ग्रीक अध्ययन दार्शनिक और रहस्यमय धारणा से भरे हुए थे।। निकोमाचस(' Nicomachus) इस दृष्टिकोण का एक उदाहरण है, संख्याओं के लिए पहले के पायथागोरियन दृष्टिकोण और अंकगणितीय के अपने कार्य परिचय में एक दूसरे के साथ उनके संबंधों का उपयोग करते हुए।

ग्रीक अंकों का उपयोग आर्किमिडीज, डायोफेंटस और अन्य लोगों द्वारा एक स्थितिगत संकेतन में किया गया था जो आधुनिक संकेतन से बहुत अलग नहीं है। प्राचीन यूनानियों में हेलेनिस्टिक अवधि तक शून्य के लिए एक प्रतीक का अभाव था और उन्होंने अंकों के रूप में प्रतीकों के तीन अलग -अलग सेटों इकाइयों के लिए एक सेट, दहाई के स्थान के लिए एक और सैकड़ों के लिए एक का उपयोग किया। इसी तरह हजारों स्थानों के लिए, वे इकाइयों के स्थान पर प्रतीकों का पुन: उपयोग करेंगे। उनका जोड़ एल्गोरिथ्म आधुनिक पद्धति के समान था और उनका गुणन एल्गोरिथ्म केवल थोड़ा अलग था। आर्किमिडीज़ (जिन्होंने इसका आविष्कार किया है) उनका लॉन्ग डिवीजन एल्गोरिथ्म एक ही था और अंक-दर-अंकीय वर्गमूल एल्गोरिथ्म के लिए जाना जाता था, जिसे हाल ही में 20 वीं शताब्दी के रूप में उपयोग किया जाता था। उन्होंने इसे हेरॉन की विधि के लिए अधिमानित किया क्योंकि एक बार गणना की जाने के बाद, एक अंक नहीं बदलता है और पूर्ण वर्गों के वर्गमूल जैसे कि 7485696, तुरंत 2736 के रूप में समाप्त हो जाते हैं। भिन्नात्मक भाग वाली संख्याओं के लिए जैसे कि 546.934, उन्होंने भिन्नात्मक भाग 0.934 के लिए 10 की ऋणात्मक घातांक के बजाय 60 की ऋणात्मक घातांक का उपयोग किया।^[2]

प्राचीन चीनी ने शांग राजवंश और तांग राजवंश के माध्यम से प्राचीन संख्याओं से उन्नत बीजगणित तक अंकगणितीय अध्ययन जारी रखा था। प्राचीन चीनी ने यूनानियों के समान एक स्थितीय संकेतन का उपयोग किया।चूँकि उनके पास शून्य के प्रतीक का भी अभाव था, इसलिए उनके पास इकाइयों के स्थान के लिए प्रतीकों का एक सेट और दहाई के स्थान के लिए दूसरा सेट था। इसी तरह सैकड़ों स्थानों के लिए, वे इकाइयों के स्थान पर प्रतीकों का पुन: उपयोग करेंगे। उनके प्रतीक प्राचीन गिनती की छड़ पर आधारित थे। सटीक समय जहां चीनी ने स्थितिगत प्रतिनिधित्व के साथ गणना शुरू की ज्ञात नही है, हालांकि यह ज्ञात है कि अपनानेकी शुरुआत 400 ईसा पूर्व से हुई थी।^[3] प्राचीन चीनी ऋणात्मक संख्याओं की खोज, समझने और लागू करने वाले पहले व्यक्ति थे। यह गणितीय कला (जियुझांग सुंशु (jiuzzhang suanu) पर नौ अध्यायों में समझाया गया है, जो लियू (Liu Hui) हुई द्वारा दूसरी शताब्दी ईसा पूर्व में लिखी गई थी।

हिंदू-अरबिक अंक प्रणाली के क्रमिक विकास ने स्वतंत्र रूप से स्थान-मूल्य अवधारणा और स्थिति संकेतन को तैयार किया, जिसने दशमलव आधार के साथ गणना के लिए सरल तरीकों को जोड़ा और 0 (संख्या) का प्रतिनिधित्व करने वाले अंक का उपयोग किया। इसने प्रणाली को लगातार बड़े और छोटे पूर्णांक दोनों का प्रतिनिधित्व करने की अनुमति दी - एक दृष्टिकोण जिसने अंततः अन्य सभी प्रणालियों को बदल दिया। छठी शताब्दी ईस्वी (6th century AD) की शुरुआत में, भारतीय गणितज्ञ आर्यभट्ट ने अपने काम में इस प्रणाली के एक मौजूदा संस्करण को शामिल किया और विभिन्न नोटेशन के साथ प्रयोग किया। 7वीं शताब्दी में, ब्रह्मगुप्त ने 0 के उपयोग को एक अलग संख्या के रूप में स्थापित किया और शून्य से विभाजन के परिणाम को छोड़कर, शून्य और अन्य सभी संख्याओं के गुणन, विभाजन, जोड़ और घटाव के लिए परिणाम निर्धारित किए। उनके समकालीन, सिरिएक बिशप सेवेरस सेबोख्त (650 ईस्वी) ने कहा, भारतीयों के पास गणना का एक तरीका है कि कोई भी शब्द प्रशस्ति नहीं कर सकता है। गणित की उनकी तर्कसंगत प्रणाली, या गणना की विधि।मेरा मतलब है कि नौ प्रतीकों का उपयोग करने वाली प्रणाली।^[4] अरबों ने भी इस नई विधि को सीखा और इसे हेसब (hesab) कहा।

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Leibniz का कदम रेकनर पहला कैलकुलेटर था जो सभी चार अंकगणित संचालन कर सकता था।

यद्यपि कोडेक्स विगिलनस (Codex Vigilanus) ने 976 ईस्वी तक और लियोनार्डो ऑफ पीसा ( Leonardo of Pisa (Fibonacci) द्वारा अरबी अंकों (0 को छोड़कर) के प्रारंभिक रूप का वर्णन किया था। उन्होंने लिखा कि भारतीयों की पद्धति (लैटिन मॉडस इंडोरम) गणना करने की किसी भी ज्ञात विधि से आगे है। यह एक अद्भुत तरीका है।वे नौ अंकों और प्रतीक शून्य का उपयोग करके अपनी गणना करते हैं।^[5]

मध्य युग में, अंकगणित विश्वविद्यालयों में सिखाई गई सात उदार कलाओं में से एक था।

मध्ययुगीन इस्लामी दुनिया में बीजगणित और पुनर्जागरण यूरोप में भी, दशमलव अंकन के माध्यम से गणना के व्यापक सरलीकरण की एक वृद्धि थी।

विभिन्न प्रकार के उपकरणों का आविष्कार किया गया है और व्यापक रूप से संख्यात्मक गणना में सहायता करने के लिए उपयोग किया गया है। ।पुनर्जागरण से पहले, वे विभिन्न प्रकार के ABACI थे। हाल के उदाहरणों में स्लाइड नियम, नोमोग्राम और यांत्रिक कैलकुलेटर शामिल हैं, जैसे पास्कल के कैलकुलेटर। वर्तमान में, उन्हें इलेक्ट्रॉनिक कैलकुलेटर और कंप्यूटर द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है।

अंकगणितीय संचालन

मूल अंकगणितीय संक्रियाएं जोड़, घटाव, गुणा और विभाजन हैं, हालांकि अंकगणित में अधिक उन्नत संचालन भी शामिल हैं, जैसे कि प्रतिशत का जोड़तोड़,^[6] वर्गमूल, घातांक, लघुगणक कार्य और यहां तक कि त्रिकोणमितीय फलनों में भी शामिल हैं। संक्रियाओं के नियत अनुक्रम के अनुसार अंकगणितीय अभिव्यक्तियों का मूल्यांकन किया जाना चाहिए। इसे निर्दिष्ट करने के लिए कई तरीके हैं, या तो सबसे आम,इंफिक्स नोटेशन के साथ-स्पष्ट रूप से कोष्ठक का उपयोग करना और प्राथमिकता नियमों पर भरोसा करना या एक उपसर्ग या पोस्टफिक्स अंकन का उपयोग करना, जो विशिष्ट रूप से स्वयं द्वारा निष्पादन के क्रम को ठीक करता है।वस्तुओं का कोई भी सेट जिस पर सभी चार अंकगणितीय संक्रियाएं (शून्य द्वारा विभाजन को छोड़कर) निष्पादित की जा सकती हैं, और जहां ये चार संक्रियाएं सामान्य नियमों (वितरण सहित) का पालन करती हैं, उन्हें एक क्षेत्र कहा जाता है।

जोड़

जोड़, $+$ प्रतीक द्वारा दर्शाया गया है, अंकगणित का सबसे बुनियादी संचालन है।अपने सरल रूप में, जोड़ दो संख्याओं को जोड़ता है, जोड़ या पद, एक ही संख्या में, संख्याओं का योग (जैसे) $2 + 2 = 4$ या $3 + 5 = 8$ )।

इस प्रक्रिया को योग के रूप में जाना जाता है, एक शब्द का उपयोग अनंत श्रृंखला में अनंत संख्याओं को जोड़ने की परिभाषा को दर्शाने के लिए भी किया जाता है। संख्या 1 को बार-बार जोड़ने से गणना का मूल रूप होता है, 1 जोड़ने के परिणाम को आमतौर पर मूल संख्या का आनुक्रमिक कहा जाता है।

जोड़ क्रमविनिमेय और सहयोगी है, इसलिए जिस क्रम में परिमित रूप से कई शब्दों को जोड़ा जाता है, वह मायने नहीं रखता है।

संख्या 0 में वह गुण होता है, जो किसी भी संख्या में जोड़ने पर वही संख्या प्राप्त करता है; तो, यह जोड़ का मूल तत्व है, या योगात्मक समानता है।

हर संख्या के लिए $x$ , एक संख्या है जिसे x के विपरीत कहा जाता है, जैसे कि x + (-x) = 0 और (-x) + x = 0। x का विपरीत x का व्युत्क्रम है। उदाहरण के लिए, 7 का विपरीत −7 है, क्योंकि 7 + (−7) = 0 है।

जोड़ की व्याख्या ज्यामितीय रूप से भी की जा सकती है, जैसा कि निम्नलिखित उदाहरण में है। यदि हमारे पास लंबाई 2 और 5 की दो छड़ें हैं तो, यदि छड़ें एक के बाद एक संरेखित की जाती हैं, तो संयुक्त छड़ी की लंबाई 7 हो जाती है, चूंकि $2 + 5 = 7$ ।

घटाव

घटाव, $-$ प्रतीक द्वारा दर्शाया गया है, इसके अलावा जोड़ के विपरीत क्रिया है। घटाव दो संख्याओं के बीच का अंतर पाता है, मिनूएंड माइनस द सबट्रहेंड: $D = M - S .$ पहले से स्थापित जोड़ का सहारा लेते हुए, यह कहना है कि अंतर वह संख्या है जो, जब सबट्रेंड (subtrahend) में जोड़ा जाता है, तो परिणाम होता है: $D + S = M .$ ^[7]

सकारात्मक तर्कों के लिए $M$ तथा $S$ होल्ड्स करता है:

यदि मिनुएंड सबट्रहेंड से बड़ा है, तो अंतर

D

सकारात्मक है।

यदि मिनुएंड सबट्रहेंड से छोटा है, तो अंतर

D

नकारात्मक है।

किसी भी मामले में, यदि Minuend और Subtrahend समान हैं, तो अंतर $D = 0.$

घटाव न तो क्रमविनिमेय है और न ही सहयोगी है। इस कारण से, आधुनिक बीजगणित में इस उलटा संचालन के निर्माण को अक्सर उलटा तत्वों की अवधारणा को पेश करने के पक्ष में छोड़ दिया जाता है (जैसा कि जोड़ के तहत स्केच किया गया है ), जहां घटाव को सबट्रेंड के योगात्मक व्युत्क्रम को मिन्यूएंड में जोड़ने के रूप में माना जाता है, अर्थात्, $a - b = a + (- b)$ । घटाव के द्विआधारी संक्रिया को छोड़ने की तत्काल कीमत (तुच्छ) यूनरी ऑपरेशन (unary operation) की शुरूआत है, जो किसी भी दिए गए संख्या के लिए योगात्मक प्रतिलोम को वितरित करता है, और अंतर की धारणा तक तत्काल ऐक्सेस खो देता है, जो कि ऋणात्मक तर्क शामिल होने पर संभावित रूप से भ्रामक कर देता है ।

संख्याओं के किसी भी प्रतिनिधित्व के लिए, परिणामों की गणना करने के तरीके हैं, जिनमें से कुछ विशेष रूप से प्रक्रियाओं का उपयोग करने में हैं, जो एक ऑपरेशन के लिए मौजूद हैं, छोटे परिवर्तन द्वारा दूसरों के लिए भी फायदेमंद हैं। उदाहरण के लिए, डिजिटल कंप्यूटर मौजूदा जोड़-प्रक्रिया का पुन: उपयोग कर सकते हैं और एक घटा को लागू करने के लिए अतिरिक्त सर्किटों को बचा सकते हैं, योगात्मक प्रतिलोम का प्रतिनिधित्व करने के लिए दो के पूरक की विधि को नियोजित कर हार्डवेयर (नकारात्मक) में लागू करना बेहद आसान है। ट्रेड-ऑफ एक निश्चित शब्द लंबाई के लिए संख्या सीमा का आधा हिस्सा है।

सही परिवर्तन राशि प्राप्त करने के लिए एक पूर्व व्यापक विधि, देय और दी गई राशि को जानने, गणना करने की विधि है, जो स्पष्ट रूप से अंतर के मूल्य को उत्पन्न नहीं करती है।मान लीजिए कि एक राशि P आवश्यक राशि Q का भुगतान करने के लिए दी गई है, जिसमें P, Q से अधिक है। स्पष्ट रूप से घटाव P - Q = C का प्रदर्शन करने और उस राशि की गणना करने के बजाय, पैसे को q के उत्तरवर्ती के साथ शुरू करके, और मुद्रा के चरणों में जारी रखा जाता है, जब तक p तक पहुंच जाता है। यद्यपि गिनती की गई राशि को घटाव p - q के परिणाम के बराबर होना चाहिए, घटाव वास्तव में कभी नहीं किया गया था और p - q का मूल्य इस विधि द्वारा प्रदान नहीं किया जाता है।

गुणन

गुणा, $\times$ प्रतीक द्वारा दर्शाया गया है,अंकगणित का दूसरा मूल संचालन है। गुणन भी दो संख्याओं को एक ही संख्या में जोड़ता है। दो मूल संख्याओं को गुणक कहा जाता है, ज्यादातर दोनों को केवल घटक कहा जाता है।

गुणन को स्केलिंग ऑपरेशन के रूप में देखा जा सकता है। यदि संख्याओं की कल्पना एक पंक्ति में पड़ी है तो मान लीजिए x 1 से कम संख्या से गुणा है, सब कुछ समान रूप से 0 से दूर खींचने के समान है, इस तरह से संख्या 1 स्वयं उस स्थान तक फैली हुई है जहां x था। इसी तरह,1 से कम संख्या से गुणा करने की कल्पना 0 की जा सकती है, इस तरह से कि 1 गुणक में जाता है।

पूर्णांक संख्याओं के गुणन पर एक और दृष्टिकोण (परिमेय के लिए विस्तार योग्य लेकिन वास्तविक संख्याओं के लिए बहुत सुलभ नहीं) इसे बार-बार जोड़ के रूप में माना जाता है। उदाहरण के लिए, 3 x 4 एक ही परिणाम देते हुए 3 गुना 4, या 4 गुना 3 जोड़ने से मेल खाता है। गणित शिक्षा में इन प्रतिमानों की लाभप्रदता पर अलग -अलग मत हैं।

गुणन क्रमविनिमेय और सहयोगी है इसके अलावा, यह जोड़ और घटाव पर वितरणात्मक है। गुणनात्मक पहचान 1 है, क्योंकि किसी भी संख्या को 1 से गुणा करने पर वही संख्या प्राप्त होती है। 0 को छोड़कर किसी भी संख्या के लिए गुणक व्युत्क्रम इस संख्या का पारस्परिक है, क्योंकि किसी भी संख्या के पारस्परिक को संख्या से गुणा करने से स्वयं गुणक पहचान 1 प्राप्त होती है। 0 एक गुणनात्मक प्रतिलोम के बिना एकमात्र संख्या है, और किसी भी संख्या और 0 को गुणा करने का परिणाम फिर से 0 है। एक कहता है कि 0 संख्याओं के गुणन समूह में शामिल नहीं है।

a और b के गुणनफल को a × b या a·b . के रूप में लिखा जाता है। जब a या b ऐसे व्यंजक होते हैं जो केवल अंकों के साथ नहीं लिखे जाते हैं, तो इसे सरल ab द्वारा भी लिखा जाता है। कंप्यूटर प्रोग्रामिंग भाषाओं और सॉफ्टवेयर पैकेजों में (जिसमें कोई केवल एक कीबोर्ड पर पाए जाने वाले वर्णों का उपयोग कर सकता है), यह अक्सर यह अक्सर एक एस्टरिस्क: a * b के साथ लिखा जाता है।

संख्याओं के विभिन्न निरूपण के लिए गुणन के संचालन को लागू करने वाले एल्गोरिदम इसके अलावा उन लोगों की तुलना में कहीं अधिक महंगा और श्रमसाध्य हैं। मैनुअल गणना के लिए सुलभ कारकों को एकल मानों में विभाजित करने और बार-बार जोड़ने पर, या टेबल या स्लाइड नियमों को नियोजित करने पर निर्भर करते हैं, जिससे गुणन को जोड़ और इसके विपरीत में मैप किया जाता है।ये विधियाँ पुरानी हैं और धीरे -धीरे मोबाइल उपकरणों से बदल रहे हैं। कंप्यूटर अपने सिस्टम में समर्थित विभिन्न संख्या स्वरूपों के लिए गुणा और विभाजन को लागू करने के लिए विविध परिष्कृत और उच्च अनुकूलित एल्गोरिदम का उपयोग करते हैं।

डिवीजन

विभाजन, $\div$ प्रतीक द्वारा दर्शाया गया है, अनिवार्य रूप से गुणन का उलटा ऑपरेशन है। विभाजन दो संख्याओं का भागफल ज्ञात करता है, भाजक द्वारा विभाजित लाभांश। सामान्य नियमों के तहत, शून्य से विभाजित लाभांश अपरिभाषित है।अलग -अलग सकारात्मक संख्याओं के लिए, यदि लाभांश विभाजक से बड़ा है, तो भागफल 1 से अधिक, कम या बराबर है (एक समान नियम नकारात्मक संख्याओं के लिए लागू होता है)।भागफल को भाजक से गुणा करने पर हमेशा लाभांश प्राप्त होता है।

डिवीजन न तो क्रमविनिमेय है और न ही साहचर्य। इसलिए जैसा कि घटाव में बताया गया है, आधुनिक बीजगणित में विभाजन के निर्माण को गुणन के संबंध में व्युत्क्रम तत्वों के निर्माण के पक्ष में छोड़ दिया जाता है, जैसा कि गुणन में पेश किया गया है। इसलिए विभाजक पारस्परिक कारकों के रूप में विभाजन के लाभांश का गुणन है, अर्थात्, $a ÷ b = a × .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1/b.$ ।

प्राकृतिक संख्याओं के भीतर, एक अलग धारणा भी है जिसे यूक्लिडियन डिवीजन ( Euclidean division) कहा जाता है, जो एक प्राकृतिक D (डेनोमिनेटर) द्वारा एक प्राकृतिक N (नयूमेटर) को डीविडिंग करने के बाद दो संख्याओं का उत्पादन करता है : पहले एक प्राकृतिक $Q$ (भागफल), और दूसरा एक प्राकृतिक $R$ (रिमैन्डर) जैसे कि $N = D \times Q + R$ तथा $0 \leq R < Q .$

कंप्यूटर प्रोग्रामिंग और उन्नत अंकगणित सहित कुछ संदर्भों में, विभाजन को शेष के लिए एक और आउटपुट के साथ बढ़ाया जाता है। यह अक्सर एक अलग ऑपरेशन के रूप में माना जाता है, मोडुलो ऑपरेशन(Modulo operation), $\%$ प्रतीक द्वारा निरूपित किया जाता है या शब्द $mod$ , हालांकि कभी-कभी एक "डिवमॉड" ऑपरेशन के लिए दूसरा आउटपुट होता है।^[8] मॉड्यूलर अंकगणित में विभिन्न प्रकार के उपयोग के मामले हैं। विभाजन के विभिन्न कार्यान्वयन (फ़्लोर्ड, ट्रंक्टेड, यूक्लिडियन आदि) मापांक के विभिन्न कार्यान्वयन के अनुरूप हैं।

अंकगणित का मौलिक प्रमेय

अंकगणितीय का मूल प्रमेय (fundamental theorem) कहता है कि 1 से अधिक किसी भी पूर्णांक में एक अद्वितीय अभाज्य गुणनखंड (प्रमुख कारकों के उत्पाद के रूप में एक संख्या का प्रतिनिधित्व) होता है, जिसमें कारकों के क्रम को शामिल नहीं किया जाता है। उदाहरण के लिए, 252 में केवल एक प्रमुख कारक है:

252 = 2² × 3² × 7¹

यूक्लिड के तत्वों (Euclid's Elements) ने पहले इस प्रमेय को पेश किया, और एक आंशिक प्रमाण दिया (जिसे यूक्लिड का प्रमेयिका कहा जाता है)। अंकगणित का मूल प्रमेय पहले कार्ल फ्रेडरिक गॉस (Carl Friedrich Gauss) द्वारा सिद्ध किया गया था।

अंकगणित की मूल प्रमेय एक कारण है कि 1 को एक प्रमुख संख्या क्यों नहीं माना जाता है। अन्य कारणों में एराटोस्टेनेस की सीव शामिल है, और एक अभाज्य संख्या की परिभाषा स्वयं (1 से अधिक एक प्राकृतिक संख्या है जो दो छोटी प्राकृतिक संख्याओं को गुणा करके नहीं बनाई जा सकती है।)।

दशमलव अंकगणित

दशमलव प्रतिनिधित्व (Decimal representation) विशेष रूप से, सामान्य उपयोग में, अरबी अंकों को मूलांक 10 ("दशमलव") स्थितीय संकेतन के अंकों के रूप में नियोजित करने वाली लिखित अंक प्रणाली को संदर्भित करता है हालांकि 10 की शक्तियों के आधार पर किसी भी अंक प्रणाली जैसे ग्रीक, सिरिलिक, रोमन, या चीनी अंकों को अवधारणात्मक रूप से "दशमलव संकेतन" या "दशमलव प्रतिनिधित्व" के रूप में वर्णित किया जा सकता है।

चार मूलभूत क्रियाओं के लिए आधुनिक पद्धतियां (जोड़, घटाव, गुणा और भाग) पहले भारत के ब्रह्मगुप्त द्वारा बनाई गई थीं। यह मध्ययुगीन यूरोप के दौरान मोडस इंडोरम या भारतीयों की विधि के रूप में जाना जाता था। स्थितीय संकेतन ("स्थान-मूल्य संकेतन" के रूप में भी जाना जाता है) परिमाण के विभिन्न आदेशों के लिए एक ही प्रतीक का उपयोग करके संख्याओं के प्रतिनिधित्व या संकेतीकरण (encoding) को संदर्भित करता है (उदाहरण के लिए, "इकाई स्थान", "दस स्थान", "सैकड़ों स्थान") और, एक मूलांक बिंदु के साथ, भिन्नों का प्रतिनिधित्व करने के लिए उन्हीं प्रतीकों का उपयोग करते हुए (जैसे, "दसवां स्थान", "सौवां स्थान")।।उदाहरण के लिए, 507.36 5 & nbsp; सैकड़ों (10 (10) को दर्शाता है²), प्लस 0 & nbsp; tens (10 (10¹), प्लस 7 & nbsp; इकाइयाँ (10 (10)⁰), प्लस 3 & nbsp; दसवें (10 (10)⁻¹) प्लस 6 & nbsp; सौवें (10 (10)⁻²)।

अन्य बुनियादी अंकों की तुलना में एक संख्या के रूप में 0 की अवधारणा इस संकेतन के लिए आवश्यक है, जैसा कि & nbsp की अवधारणा है; एक प्लेसहोल्डर के रूप में 0 का उपयोग, और जैसा कि गुणा की परिभाषा है और & nbsp; 0 के साथ जोड़;एक प्लेसहोल्डर के रूप में & nbsp; 0 का उपयोग और इसलिए, एक स्थितिगत संकेतन का उपयोग सबसे पहले भारत से जैन पाठ में माना जाता है, जिसका शीर्षक है कि लोकाविभगा, दिनांक 458 & nbsp; विज्ञापन और यह केवल 13 वीं & nbsp; सदी में था कि ये अवधारणाएं, इन अवधारणाओं में थी,अरबी दुनिया की छात्रवृत्ति के माध्यम से प्रेषित, फाइबोनैसि द्वारा यूरोप में पेश किया गया था^[9] हिंदू -अरबी अंक प्रणाली का उपयोग करना।

इस प्रकार के लिखित अंक का उपयोग करके अंकगणित संगणना करने के लिए अल्गोरिंग में सभी नियम शामिल हैं। उदाहरण के लिए, इसके अलावा दो मनमानी संख्याओं का योग पैदा करता है। परिणाम की गणना प्रत्येक संख्या से एकल अंकों के बार -बार जोड़ द्वारा की जाती है जो एक ही स्थिति पर कब्जा कर लेती है, दाएं से बाएं तक आगे बढ़ती है। दस पंक्तियों और दस कॉलम के साथ एक जोड़ तालिका प्रत्येक राशि के लिए सभी संभावित मान प्रदर्शित करती है। यदि कोई व्यक्तिगत योग मूल्य & nbsp; 9 से अधिक है, तो परिणाम दो अंकों के साथ दर्शाया गया है। सबसे सही अंक वर्तमान स्थिति के लिए मूल्य है, और अंक के बाद के अतिरिक्त जोड़ के लिए परिणाम दूसरे (बाईं ओर) अंक के मूल्य से बढ़ जाता है, जो हमेशा एक होता है (यदि शून्य नहीं है)। इस समायोजन को मान & nbsp; 1 का एक कैरी कहा जाता है।

दो मनमानी संख्याओं को गुणा करने की प्रक्रिया इसके अलावा प्रक्रिया के समान है। दस पंक्तियों और दस स्तंभों के साथ एक गुणन तालिका अंकों के प्रत्येक जोड़े के लिए परिणामों को सूचीबद्ध करती है। यदि अंकों की एक जोड़ी का एक व्यक्तिगत उत्पाद & nbsp; 9 से अधिक हो जाता है, तो कैरी समायोजन किसी भी बाद के गुणा के परिणाम को अंकों से दूसरे (बाएं) अंक के बराबर मान द्वारा बाईं ओर बढ़ाता है, जो कि कोई भी मूल्य है 1 to 8 ( $9 \times 9 = 81$ )।अतिरिक्त चरण अंतिम परिणाम को परिभाषित करते हैं।

घटाव और विभाजन के लिए इसी तरह की तकनीकें मौजूद हैं।

गुणा के लिए एक सही प्रक्रिया का निर्माण आसन्न अंकों के मूल्यों के बीच संबंध पर निर्भर करता है।एक अंक में किसी भी एकल अंक का मूल्य इसकी स्थिति पर निर्भर करता है।इसके अलावा, बाईं ओर की प्रत्येक स्थिति दाईं ओर की स्थिति से दस गुना अधिक मूल्य का प्रतिनिधित्व करती है।गणितीय शब्दों में, & nbsp के रेडिक्स (आधार) के लिए घातांक; 10 & nbsp; 1 (बाईं ओर) द्वारा बढ़ता है या & nbsp; 1 (दाईं ओर) द्वारा घट जाता है।इसलिए, किसी भी मनमाना अंक के लिए मान को फॉर्म & nbsp; 10 के मान से गुणा किया जाता है;ⁿ पूर्णांक & nbsp; in के साथ।एकल अंक के लिए सभी संभावित पदों के अनुरूप मूल्यों की सूची लिखी गई है as {..., 10², 10, 1, 10⁻¹, 10⁻², ...}. इस सूची में किसी भी मूल्य का दोहराया गुणा & nbsp; 10 सूची में एक और मूल्य का उत्पादन करता है।गणितीय शब्दावली में, इस विशेषता को बंद होने के रूप में परिभाषित किया गया है, और पिछली सूची के रूप में वर्णित है closed under multiplication।यह पिछली तकनीक का उपयोग करके गुणन के परिणामों को सही ढंग से खोजने का आधार है।यह परिणाम संख्या सिद्धांत के उपयोग का एक उदाहरण है।

यौगिक इकाई अंकगणित

यौगिक ^[10] इकाई अंकगणित मिश्रित मूलांक मात्राओं जैसे फीट और इंच, गैलन और पिंट्स, पाउंड्स, शिलिंग और पेन्स आदि के लिए प्रयुक्त होता है। धन और माप की इकाइयों की दशमलव-आधारित प्रणालियों से पहले, यौगिक इकाई अंकगणित का वाणिज्य और उद्योग में व्यापक रूप से उपयोग किया गया था।

मूल अंकगणितीय संचालन

यौगिक इकाई अंकगणित में उपयोग की जाने वाली तकनीकों को कई शताब्दियों में विकसित किया गया था और कई अलग -अलग भाषाओं में कई पाठ्यपुस्तकों में अच्छी तरह से प्रलेखित हैं।^[11]^[12]^[13]^[14] दशमलव अंकगणित में मूलभूत अंकगणितीय कार्यों के अलावा, यौगिक इकाई अंकगणित तीन और कार्यों को नियोजित करता है:

कमी (Reduction), जिसमें एक यौगिक मात्रा एक मात्रा में घटाया जाता है - उदाहरण के लिए, गज, पैरों और इंच में व्यक्त की गई दूरी का रूपांतरण इंच में व्यक्त किया जाता है।^[15]
विस्तार (Expansion), कटौती के लिए उलटा फ़ंक्शन, एक मात्रा का रूपांतरण है जिसे एक यौगिक इकाई में मापने की एकल इकाई के रूप में व्यक्त किया जाता है, जैसे कि 24 oz को 1 lb 8 oz तक विस्तारित करना।
सामान्यीकरण (Normalization) एक मानक रूप में यौगिक इकाइयों के एक सेट का रूपांतरण है - उदाहरण के लिए, "1 फीट 13 इंच" को "2 फीट 1 इंच" के रूप में फिर से लिखना।

माप की विभिन्न इकाइयों के बीच संबंधों का ज्ञान, उनके गुणकों और उनके उप गुणसूत्रों यौगिक इकाई अंकगणित का एक अनिवार्य हिस्सा है।

यौगिक इकाई के सिद्धांत अंकगणित

यौगिक इकाई अंकगणित के लिए दो बुनियादी दृष्टिकोण हैं:

कमी-विस्तार विधि (Reduction–expansion method ) जहां सभी यौगिक इकाई चर को एकल इकाई चर में घटा दिया जाता है, गणना की जाती है और परिणाम वापस मिश्रित इकाइयों में विस्तारित होता है।यह दृष्टिकोण स्वचालित गणना के लिए उपयुक्त है। एक विशिष्ट उदाहरण माइक्रोसॉफ्ट एक्सेल (Microsoft Excel) द्वारा समय की हैंडलिंग है जहां सभी समय अंतराल को आंतरिक रूप से दिन के दिनों और दशमलव अंशों के रूप में संसाधित किया जाता है।
चल रही सामान्यीकरण विधि (On-going normalization method) जिसमें प्रत्येक इकाई को अलग से व्यवहार किया जाता है और समाधान विकसित होने पर समस्या को लगातार सामान्य किया जाता है। यह दृष्टिकोण, जो व्यापक रूप से शास्त्रीय ग्रंथों में वर्णित है, मैनुअल गणना के लिए सबसे उपयुक्त है। जोड़ के लिए लागू चल रही सामान्यीकरण पद्धति का एक उदाहरण नीचे दिखाया गया है।

अँगूठा

इसके अतिरिक्त ऑपरेशन को दाएं से बाएं तक किया जाता है; इस मामले में, पेंस को पहले संसाधित किया जाता है, फिर शिलिंग के बाद पाउंड। "उत्तर लाइन" के नीचे की संख्या मध्यवर्ती परिणाम हैं।

पेंस (pence) कॉलम में कुल 25 है। चूंकि एक शिलिंग (shilling) में 12 पेनी हैं, 25 को 12 से विभाजित करके 2 शेष 1 के साथ देता है। "1" का मान उत्तर पंक्ति में लिखा जाता है और मान "2" को शिलिंग कॉलम में आगे ले जाया जाता है। पेनीज़ कॉलम से आगे ले जाने वाले मान को जोड़ने के अतिरिक्त चरण के साथ, शिलिंग कॉलम में मानों का उपयोग करके इस ऑपरेशन को दोहराया जाता है। मध्यवर्ती योग को 20 से विभाजित किया जाता है क्योंकि एक पाउंड में 20 शिलिंग होते हैं। पाउंड कॉलम को तब संसाधित किया जाता है, लेकिन पाउंड सबसे बड़ी इकाई हैं, इसलिए कोई भी मान पाउंड कॉलम से आगे नहीं ले जाया जाता है।

सरलता के लिए चुने गए उदाहरण में दूरियां नहीं थीं।

व्यवहार में संचालन

File:Yarloop wkshop gnangarra 14.jpg

एक संबंधित लागत प्रदर्शन के साथ शाही इकाइयों में कैलिब्रेट किया गया।

19 वीं और 20 वीं शताब्दी के दौरान, विशेष रूप से व्यावसायिक अनुप्रयोगों में मिश्रित इकाइयों के हेरफेर में सहायता के लिए विभिन्न सहायता विकसित की गईं। सबसे आम सहायता यांत्रिक टिल थे जिन्हें यूनाइटेड किंगडम जैसे पाउंड, शिलिंग, पेनीज़ और फ़ार्थिंग और रेडी रेकनर्स करने के लिए अनुकूलित किया गया था, जो व्यापारियों को लक्षित किताबें हैं जो विभिन्न नियमित गणना के परिणामों को सूचीबद्ध करते हैं जैसे कि धन की विभिन्न राशियों के प्रतिशत या गुणक। एक विशिष्ट पुस्तिका^[16] जो 150 पृष्ठों तक चलती थी, "एक से दस हजार तक विभिन्न कीमतों पर एक से एक पाउंड तक" के गुणकों को सारणीबद्ध करती थी।

मिश्रित इकाई अंकगणित की जटिल प्रकृति को कई वर्षों से मान्यता दी गई है, 1586 में फ्लेमिश गणितज्ञ साइमन स्टीविन (Flemish mathematician Simon Stevin) ने डे थिएन्ड (दसवाँ)^[17] नामक एक छोटे पर्चे को प्रकाशित किया जिसमें उन्होंने दशमलव सिक्के, उपायों और वज़न को केवल समय का सवाल बताया। आधुनिक युग में, कई रूपांतरण कार्यक्रम, जैसे कि माइक्रोसॉफ्ट विंडोज 7 ऑपरेटिंग सिस्टम (Microsoft Windows 7 operating system) कैलकुलेटर में शामिल, एक विस्तारित प्रारूप का उपयोग करने के बजाय एक कम दशमलव प्रारूप में मिश्रित इकाइयों को प्रदर्शित करते हैं (उदाहरण के लिए "2 फीट 6" के बजाय "2.5 फीट" प्रदर्शित होता है ")।

संख्या सिद्धांत

19 वीं शताब्दी तक, संख्या सिद्धांत अंकगणित का एक पर्याय था। संबोधित समस्याएं सीधे बुनियादी संचालन और संबंधित मूल्यों, विभाजन और पूर्णांक में समीकरणों के समाधान जैसे कि फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय (Fermat's Last Theorem) से संबंधित थीं। ऐसा प्रतीत हुआ कि इनमें से अधिकांश समस्याएं बहुत प्राथमिक और मुश्किल हैं, और गणित की कई अन्य शाखाओं से अवधारणाओं और विधियों को शामिल करते हुए बहुत गहन गणित के बिना हल नहीं किया जा सकता है। इसने संख्या सिद्धांत की नई शाखाओं जैसे कि विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत, बीजगणितीय संख्या सिद्धांत, डायोफेंटाइन ज्यामिति और अंकगणितीय बीजगणितीय ज्यामिति को जन्म दिया। फर्मेट के अंतिम प्रम�

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 == दशमलव अंकगणित ==
-{{em|[[Decimal representation]]}} विशेष रूप से, सामान्य उपयोग में, लिखित अंक प्रणाली के लिए, अरबी अंकों को एक रेडिक्स 10 & nbsp के अंकों के रूप में नियोजित करने के लिए; (दशमलव) स्थितिगत संकेतन;हालांकि, & nbsp; 10, जैसे, ग्रीक, सिरिलिक, रोमन, या चीनी अंकों की शक्तियों पर आधारित कोई भी अंक प्रणाली वैचारिक रूप से दशमलव संकेतन या दशमलव प्रतिनिधित्व के रूप में वर्णित हो सकती है।
+दशमलव प्रतिनिधित्व (Decimal representation) विशेष रूप से, सामान्य उपयोग में, अरबी अंकों को मूलांक 10 ("दशमलव") स्थितीय संकेतन के अंकों के रूप में नियोजित करने वाली लिखित अंक प्रणाली को संदर्भित करता है हालांकि 10 की शक्तियों के आधार पर किसी भी अंक प्रणाली जैसे ग्रीक, सिरिलिक, रोमन, या चीनी अंकों को अवधारणात्मक रूप से '''"दशमलव संकेतन"''' या '''"दशमलव प्रतिनिधित्व"''' के रूप में वर्णित किया जा सकता है।
-चार मौलिक संचालन (इसके अलावा, घटाव, गुणा और विभाजन) के लिए आधुनिक तरीके पहले भारत के ब्रह्मगुप्त द्वारा तैयार किए गए थे।यह मध्ययुगीन यूरोप के दौरान मोडस इंडोरम या भारतीयों की विधि के रूप में जाना जाता था।पोजिशनल नोटेशन (जिसे प्लेस-वैल्यू नोटेशन के रूप में भी जाना जाता है) को परिमाण के विभिन्न आदेशों के लिए एक ही प्रतीक का उपयोग करके संख्याओं के प्रतिनिधित्व या एन्कोडिंग को संदर्भित करता है (जैसे, लोगों की जगह, दसियों स्थान, सैकड़ों स्थान) और, एक रेडिक्स बिंदु के साथ, का उपयोग करके,अंशों का प्रतिनिधित्व करने के लिए उन्हीं प्रतीकों (जैसे, दसवें स्थान, सौवें स्थान)।उदाहरण के लिए, 507.36 5 & nbsp; सैकड़ों (10 (10) को दर्शाता है<sup>2 </sup>), प्लस 0 & nbsp; tens (10 (10<sup>1 </sup>), प्लस 7 & nbsp; इकाइयाँ (10 (10)<sup>0 </sup>), प्लस 3 & nbsp; दसवें (10 (10)<sup>−1 </sup>) प्लस 6 & nbsp; सौवें (10 (10)<sup>−2 </sup>)।
+चार मूलभूत क्रियाओं के लिए आधुनिक पद्धतियां '''(जोड़, घटाव, गुणा और भाग)''' पहले भारत के '''ब्रह्मगुप्त''' द्वारा बनाई गई थीं। यह मध्ययुगीन यूरोप के दौरान '''मोडस इंडोरम''' या '''भारतीयों की विधि''' के रूप में जाना जाता था। '''स्थितीय संकेतन''' ("स्थान-मूल्य संकेतन" के रूप में भी जाना जाता है) परिमाण के विभिन्न आदेशों के लिए एक ही प्रतीक का उपयोग करके संख्याओं के प्रतिनिधित्व या '''संकेतीकरण (encoding)''' को संदर्भित करता है (उदाहरण के लिए, '''"इकाई स्थान", "दस स्थान", "सैकड़ों स्थान"''') और, एक मूलांक बिंदु के साथ, भिन्नों का प्रतिनिधित्व करने के लिए उन्हीं प्रतीकों का उपयोग करते हुए (जैसे, '''"दसवां स्थान", "सौवां स्थान"''')।।उदाहरण के लिए, 507.36 5 & nbsp; सैकड़ों (10 (10) को दर्शाता है<sup>2 </sup>), प्लस 0 & nbsp; tens (10 (10<sup>1 </sup>), प्लस 7 & nbsp; इकाइयाँ (10 (10)<sup>0 </sup>), प्लस 3 & nbsp; दसवें (10 (10)<sup>−1 </sup>) प्लस 6 & nbsp; सौवें (10 (10)<sup>−2 </sup>)।
 अन्य बुनियादी अंकों की तुलना में एक संख्या के रूप में 0 की अवधारणा इस संकेतन के लिए आवश्यक है, जैसा कि & nbsp की अवधारणा है; एक प्लेसहोल्डर के रूप में 0 का उपयोग, और जैसा कि गुणा की परिभाषा है और & nbsp; 0 के साथ जोड़;एक प्लेसहोल्डर के रूप में & nbsp; 0 का उपयोग और इसलिए, एक स्थितिगत संकेतन का उपयोग सबसे पहले भारत से जैन पाठ में माना जाता है, जिसका शीर्षक है कि लोकाविभगा, दिनांक 458 & nbsp; विज्ञापन और यह केवल 13 वीं & nbsp; सदी में था कि ये अवधारणाएं, इन अवधारणाओं में थी,अरबी दुनिया की छात्रवृत्ति के माध्यम से प्रेषित, फाइबोनैसि द्वारा यूरोप में पेश किया गया था<ref>[https://www.britannica.com/eb/article-4153/Leonardo-Pisano Leonardo Pisano – p. 3: "Contributions to number theory"] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080617154015/https://www.britannica.com/eb/article-4153/Leonardo-Pisano |date=2008-06-17 }}. ''[[Encyclopædia Britannica]]'' Online, 2006. Retrieved 18 September 2006.</ref> हिंदू -अरबी अंक प्रणाली का उपयोग करना।

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