खुला सेट: Difference between revisions

Revision as of 09:07, 3 December 2022

उदाहरण: नीला वृत्त बिंदुओं (x, y) के संतोषजनक सेट का प्रतिनिधित्व करता है

x 2 + y 2 = r 2

. लाल डिस्क (गणित) अंक (x, y) के संतोषजनक सेट का प्रतिनिधित्व करती है

x 2 + y 2 < r 2

. लाल सेट एक खुला सेट है, नीला सेट इसकी सीमा (टोपोलॉजी) सेट है, और लाल और नीले सेट का मिलन एक बंद सेट है।

गणित में, खुले सेट वास्तविक रेखा में खुले सेटों का सामान्यीकरण हैं।

एक मीट्रिक स्थान में (किसी भी दो बिंदुओं के बीच परिभाषित दूरी मीट्रिक (गणित) के साथ एक सेट (गणित)), खुले सेट वे सेट हैं जो प्रत्येक बिंदु P के साथ हैं, उन सभी बिंदुओं को सम्मालित करता है जो P के पर्याप्त निकट हैं (अर्थात, वे सभी बिंदु जिनकी P से दूरी P के आधार पर कुछ मान से कम है).

अधिक सामान्यतः, एक खुले सेट को किसी दिए गए सेट के सबसेट के दिए गए संग्रह के सदस्यों के रूप में परिभाषित करता है, एक संग्रह जिसमें इसके सदस्यों के प्रत्येक समूह (सेट सिद्धांत), इसके सदस्यों के प्रत्येक परिमित चौराहे (सेट सिद्धांत), खाली सेट, और पूरा सेट को ही सम्मालित करने का गुण होता है। एक सेट जिसमें ऐसा संग्रह दिया जाता है उसे टोपोलॉजिकल स्पेस कहा जाता है, और संग्रह को टोपोलॉजी (संरचना) कहा जाता है। ये स्थितियाँ बहुत अव्यवस्थित हैं, और खुले सेटों के चुनाव में अत्यधिक लचीलेपन की अनुमति देती हैं। उदाहरण के लिए, प्रत्येक सबसेट खुला ([असतत टोपोलॉजी]) हो सकता है, केवल स्थान और खाली सेट (अविवेकी टोपोलॉजी) को छोड़कर, कोई भी सेट खुला नहीं हो सकता है।

व्यवहार में, चूंकि, खुले सेट सामान्यतः दूरी की धारणा के बिना, मीट्रिक रिक्त स्थान के समान निकटता की धारणा प्रदान करने के लिए चुने जाते हैं। विशेष रूप से, एक टोपोलॉजी निरंतर कार्य, जुड़ा हुआ स्थान और सघनता जैसे गुणों को परिभाषित करने की अनुमति देती है, जिन्हें मूल रूप से दूरी के माध्यम से परिभाषित किया गया था।

बिना किसी भी दूरी के एक टोपोलॉजी का सबसे साधारण स्थितिय विविध द्वारा दिया जाता है, जो टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान हैं, जो प्रत्येक बिंदु के पास, यूक्लिडियन अंतरिक्ष के एक खुले सेट के समान होते हैं, लेकिन जिस पर कोई दूरी सामान्य रूप से परिभाषित नहीं है। गणित की अन्य शाखाओं में टोपोलॉजी का प्रयोग कम किया जाता है; उदाहरण के लिए, जरिस्की टोपोलॉजी, जो बीजगणितीय ज्यामिति और योजना सिद्धांत में मौलिक है।

प्रेरणा

सहजता से, एक खुला सेट दो बिंदु (ज्यामिति) को अलग करने के लिए एक विधि प्रदान करता है। उदाहरण के लिए, यदि एक टोपोलॉजिकल स्पेस में दो बिंदुओं में से एक के बारे में एक खुला सेट मौजूद है जिसमें अन्य (अलग) बिंदु नहीं है, तो दो बिंदुओं को टोपोलॉजिकल रूप से अलग-अलग कहा जाता है। इस विधि से, कोई इस बारे में बात कर सकता है कि एक टोपोलॉजिकल स्पेस के दो बिंदु, या अधिक सामान्यतः दो सबसेट दूरी को स्पष्ट रूप से परिभाषित किए बिना "निकट" हैं, इसलिए, टोपोलॉजिकल स्पेस को दूरी की धारणा से लैस स्पेस के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है, जिसे मेट्रिक स्पेस कहा जाता है।

सभी वास्तविक संख्याओ के सेट में, किसी के पास प्राकृतिक यूक्लिडियन मीट्रिक है; अर्थात, एक फलन जो दो वास्तविक संख्याओं के बीच की दूरी को मापता है: $d (x, y) = | x - y |$ . इसलिए, एक वास्तविक संख्या x दी गई है, उस वास्तविक संख्या के निकट सभी बिंदुओं के सेट के बारे में बात की जा सकती है; अर्थात्, x के ε के भीतर। संक्षेप में, x के ε के भीतर बिंदु ε घात की उपयुक्त के करीब x का अनुमान लगाते हैं। ध्यान दें कि ε> 0 हमेशा लेकिन जैसे-जैसे ε छोटा और छोटा होता जाता है, वैसे-वैसे अंक प्राप्त होते हैं जो x को उपयुक्त के उच्च और उच्च स्तर तक ले जाते हैं। उदाहरण के लिए, यदि x = 0 और ε = 1, x के ε के भीतर के बिंदु अंतराल बिंदु ठीक अंतराल (−1, 1) के बिंदु हैं; अर्थात, -1 और 1 के बीच सभी वास्तविक संख्याओं का सेट है। चूंकि, ε = 0.5 के साथ, x के ε के भीतर बिंदु ठीक (-0.5, 0.5) के बिंदु हैं। स्पष्ट रूप से, ये बिंदु ε = 1 की तुलना में उपयुक्त की एक बड़ी घात के करीब x का अनुमान लगाते हैं।

पिछले उल्लेख से पता चलता है, केस x = 0 के लिए, कि ε को छोटा और छोटा परिभाषित करके x को उपयुक्त के उच्च और उच्च घात तक अनुमानित किया जा सकता है। विशेष रूप से, फॉर्म के सेट (−ε, ε) हमें x = 0 के करीब बिंदुओं के बारे में बहुत सारी जानकारी देते हैं। इस प्रकार, ठोस यूक्लिडियन मीट्रिक के बारे में बात करने के अतिरिक्त, x के निकटतम बिंदुओं का वर्णन करने के लिए सेट का प्रयोग किया जा सकता है। इस अभिनव विचार के दूरगामी परिणाम होते हैं; विशेष रूप से, 0 वाले सेटो के विभिन्न संग्रहों को परिभाषित करके ( सेटो (−ε, ε) से अलग), कोई 0 और अन्य वास्तविक संख्याओं के बीच की दूरी के संबंध में भिन्न परिणाम प्राप्त कर सकता है। उदाहरण के लिए, यदि हम दूरी को मापने के लिए 'R' को एकमात्र ऐसे सेट के रूप में परिभाषित करते हैं, तो सभी बिंदु 0 के करीब हैं क्योंकि उपयुक्त की केवल एक ही संभावित घात है जिसे कोई 0 का 'R' का सदस्य होने के नाते अनुमान लगाने में प्राप्त कर सकता है। इस प्रकार, हम पाते हैं कि एक मायने में, प्रत्येक वास्तविक संख्या 0 से 0 की दूरी पर है। इस मामले में माप को एक द्विआधारी स्थिति के रूप में सोचने में सहायता मिल सकती है: 'R' में सभी चीजें समान रूप से 0 के करीब हैं, जबकि कोई भी वस्तु जो R में नहीं है वह 0 के करीब भी नहीं है।

सामान्यतः, एक 'निकट के आधार' के रूप में 0 वाले सेट के परिवार को संदर्भित करता है, जिसका प्रयोग लगभग 0 के लिए किया जाता है; इस निकट के आधार के एक सदस्य को ' खुला सेट' के रूप में संदर्भित किया जाता है। यथार्थ, कोई इन धारणाओं को एक मनमाना सेट (X ) के लिए सामान्यीकृत कर सकता है; केवल वास्तविक संख्या के अतिरिक्त। इस मामले में, उस सेट का एक बिंदु (x) दिया गया है, कोई सेट के संग्रह को परिभाषित कर सकता है (अर्थात, युक्त) x, अनुमानित x के लिए प्रयोग किया जाता है। निःसंदेह, इस संग्रह को कुछ गुणों (जिन्हें 'स्वयंसिद्ध' के रूप में जाना जाता है) को पूरा करना होगा, अन्यथा हमारे पास दूरी मापने के लिए एक अच्छी तरह से परिभाषित विधि नहीं हो सकती है। उदाहरण के लिए, X के प्रत्येक बिंदु को कुछ हद तक उपयुक्त के साथ x का अनुमान लगाना चाहिए। इस प्रकार X को इस परिवार में होना चाहिए। एक बार जब हम x वाले छोटे सेट को परिभाषित करना शुरू करते हैं, तो हम x को अधिक उपयुक्त के साथ अनुमानित करते हैं। इसे ध्यान में रखते हुए, शेष स्वतः सिद्ध को परिभाषित किया जा सकता है जिसे संतुष्ट करने के लिए x के बारे में सेटो के परिवार की आवश्यकता होती है।

परिभाषाएँ

तकनीकीता के बढ़ते क्रम में, यहाँ कई परिभाषाएँ दी गई हैं। सभी एक अगले का एक विशेष स्थितिय है।

यूक्लिडियन स्थान

यूक्लिडियन $n$ -अंतरिक्ष $R n$ का एक सबसेट $U$ खुला है यदि,U में प्रत्येक बिन्दु $x$ के लिए एक धनात्मक वास्तविक संख्या $ε$ (इस पर निर्भर करते हुए $x$ ) उपस्थित है जैसे की $R n$ में कोई बिन्दु जिसका $x$ से यूक्लिडियन दूरी $ε$ से कम है समान रूप से $R n$ का सबसेट $U$ खुला होता है यदि $U$ का प्रत्येक बिंदु $U.$ में निहित एक खुली गेंद का केंद्र है।^[1]

$R$ के एक सबसेट का उदाहरण जो खुला नहीं है वह बंद अंतराल $[0,1]$ है, क्योकि न तो $0 - ε$ न $1 + ε$ किसी भी $ε > 0$ के लिए $[0,1]$ से संबंधित है, इससे कोई फर्क नहीं सम्मालित़ता, कि कितना छोटा है।

मीट्रिक स्थान

मीट्रिक स्पेस का एक सबसेट U $(M, d)$ खुला कहा जाता है, यदि U में किसी भी बिंदु X के लिए, वास्तविक संख्या ε> 0 मौजूद है जैसे कि कोई बिंदु $y\in M$ संतुष्टि देने वाला $d (x, y) < ε$ U से संबंधित है। समान रूप से, U खुला है यदि U में प्रत्येक बिंदु U में निहित निकट है।

यह यूक्लिडियन अंतरिक्ष उदाहरण का सामान्यीकरण करता है, क्योंकि यूक्लिडियन दूरी के साथ यूक्लिडियन स्थान एक मीट्रिक स्थान है।

टोपोलॉजिकल स्पेस

सेट $X$ पर एक टोपोलॉजी (संरचना) $\tau$ नीचे के गुणों के साथ $X$ के सबसेट का सेट है। $\tau$ के प्रत्येक सदस्य को एक खुला सेट कहा जाता है।

$X\in \tau$

[1]

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 सभी [[वास्तविक संख्या|वास्तविक संख्याओ]] के सेट में, किसी के पास प्राकृतिक यूक्लिडियन मीट्रिक है; अर्थात, एक फलन जो दो वास्तविक संख्याओं के बीच की दूरी को मापता है: {{math|1=''d''(''x'', ''y'') = {{mabs|''x'' − ''y''}}}}. इसलिए, एक वास्तविक संख्या x दी गई है, उस वास्तविक संख्या के निकट सभी बिंदुओं के सेट के बारे में बात की जा सकती है; अर्थात्, x के ε के भीतर। संक्षेप में, x के ε के भीतर बिंदु ε घात की उपयुक्त के करीब x का अनुमान लगाते हैं। ध्यान दें कि ε> 0 हमेशा लेकिन जैसे-जैसे ε छोटा और छोटा होता जाता है, वैसे-वैसे अंक प्राप्त होते हैं जो x को उपयुक्त के उच्च और उच्च स्तर तक ले जाते हैं। उदाहरण के लिए, यदि x = 0 और ε = 1, x के ε के भीतर के बिंदु अंतराल बिंदु ठीक अंतराल (−1, 1) के बिंदु हैं; अर्थात, -1 और 1 के बीच सभी वास्तविक संख्याओं का सेट है। चूंकि, ε = 0.5 के साथ, x के ε के भीतर बिंदु ठीक (-0.5, 0.5) के बिंदु हैं। स्पष्ट रूप से, ये बिंदु ε = 1 की तुलना में उपयुक्त की एक बड़ी घात के करीब x का अनुमान लगाते हैं।
-पिछले उल्लेख से पता चलता है, केस x = 0 के लिए, कि ε को छोटा और छोटा परिभाषित करके x को उपयुक्त के उच्च और उच्च घात तक अनुमानित किया जा सकता है। विशेष रूप से,  फॉर्म के सेट (−ε, ε) हमें x = 0 के करीब बिंदुओं के बारे में बहुत सारी जानकारी देते हैं। इस प्रकार, ठोस यूक्लिडियन मीट्रिक के बारे में बात करने के अतिरिक्त, x के निकटतम बिंदुओं का वर्णन करने के लिए सेट का प्रयोग किया जा सकता है। इस अभिनव विचार के दूरगामी परिणाम होते हैं; विशेष रूप से, 0 वाले  सेट ों के विभिन्न संग्रहों को परिभाषित करके ( सेट ों (−ε, ε) से अलग), कोई 0 और अन्य वास्तविक संख्याओं के बीच की दूरी के संबंध में भिन्न परिणाम प्राप्त कर सकता है। उदाहरण के लिए, यदि हम दूरी को मापने के लिए 'R' को एकमात्र ऐसे सेट के रूप में परिभाषित करते हैं, तो सभी बिंदु 0 के करीब हैं क्योंकि उपयुक्त की केवल एक ही संभावित घात है जिसे कोई 0 का 'R' का सदस्य होने के नाते अनुमान लगाने में प्राप्त कर सकता है। इस प्रकार, हम पाते हैं कि एक मायने में, प्रत्येक वास्तविक संख्या 0 से 0 की दूरी पर है। इस मामले में माप को एक द्विआधारी स्थिति के रूप में सोचने में सहायता मिल सकती है: 'R' में सभी चीजें समान रूप से 0 के करीब हैं, जबकि कोई भी वस्तु जो R में नहीं है वह 0 के करीब भी नहीं है।
+पिछले उल्लेख से पता चलता है, केस x = 0 के लिए, कि ε को छोटा और छोटा परिभाषित करके x को उपयुक्त के उच्च और उच्च घात तक अनुमानित किया जा सकता है। विशेष रूप से,  फॉर्म के सेट (−ε, ε) हमें x = 0 के करीब बिंदुओं के बारे में बहुत सारी जानकारी देते हैं। इस प्रकार, ठोस यूक्लिडियन मीट्रिक के बारे में बात करने के अतिरिक्त, x के निकटतम बिंदुओं का वर्णन करने के लिए सेट का प्रयोग किया जा सकता है। इस अभिनव विचार के दूरगामी परिणाम होते हैं; विशेष रूप से, 0 वाले  सेटो के विभिन्न संग्रहों को परिभाषित करके ( सेटो (−ε, ε) से अलग), कोई 0 और अन्य वास्तविक संख्याओं के बीच की दूरी के संबंध में भिन्न परिणाम प्राप्त कर सकता है। उदाहरण के लिए, यदि हम दूरी को मापने के लिए 'R' को एकमात्र ऐसे सेट के रूप में परिभाषित करते हैं, तो सभी बिंदु 0 के करीब हैं क्योंकि उपयुक्त की केवल एक ही संभावित घात है जिसे कोई 0 का 'R' का सदस्य होने के नाते अनुमान लगाने में प्राप्त कर सकता है। इस प्रकार, हम पाते हैं कि एक मायने में, प्रत्येक वास्तविक संख्या 0 से 0 की दूरी पर है। इस मामले में माप को एक द्विआधारी स्थिति के रूप में सोचने में सहायता मिल सकती है: 'R' में सभी चीजें समान रूप से 0 के करीब हैं, जबकि कोई भी वस्तु जो R में नहीं है वह 0 के करीब भी नहीं है।
-सामान्यतः, एक 'निकट के आधार' के रूप में 0 वाले सेट के परिवार को संदर्भित करता है, जिसका प्रयोग लगभग 0 के लिए किया जाता है; इस निकट के आधार के एक सदस्य को ' खुला  सेट' के रूप में संदर्भित किया जाता है। यथार्थ, कोई इन धारणाओं को एक मनमाना सेट (X ) के लिए सामान्यीकृत कर सकता है; केवल वास्तविक संख्या  के अतिरिक्त। इस मामले में, उस सेट का एक बिंदु (x) दिया गया है, कोई सेट के संग्रह को परिभाषित कर सकता है (अर्थात, युक्त) x, अनुमानित x के लिए प्रयोग किया जाता है। निःसंदेह, इस संग्रह को कुछ गुणों (जिन्हें 'स्वयंसिद्ध' के रूप में जाना जाता है) को पूरा करना होगा, अन्यथा हमारे पास दूरी मापने के लिए एक अच्छी तरह से परिभाषित विधि नहीं हो सकती है। उदाहरण के लिए, X के प्रत्येक बिंदु को कुछ हद तक उपयुक्त के साथ x का अनुमान लगाना चाहिए। इस प्रकार X को इस परिवार में होना चाहिए। एक बार जब हम x वाले छोटे सेट को परिभाषित करना शुरू करते हैं, तो हम x को अधिक उपयुक्त के साथ अनुमानित करते हैं। इसे ध्यान में रखते हुए, शेष स्वतः सिद्ध को परिभाषित किया जा सकता है जिसे संतुष्ट करने के लिए x के बारे में  सेट ों के परिवार की आवश्यकता होती है।
+सामान्यतः, एक 'निकट के आधार' के रूप में 0 वाले सेट के परिवार को संदर्भित करता है, जिसका प्रयोग लगभग 0 के लिए किया जाता है; इस निकट के आधार के एक सदस्य को ' खुला  सेट' के रूप में संदर्भित किया जाता है। यथार्थ, कोई इन धारणाओं को एक मनमाना सेट (X ) के लिए सामान्यीकृत कर सकता है; केवल वास्तविक संख्या  के अतिरिक्त। इस मामले में, उस सेट का एक बिंदु (x) दिया गया है, कोई सेट के संग्रह को परिभाषित कर सकता है (अर्थात, युक्त) x, अनुमानित x के लिए प्रयोग किया जाता है। निःसंदेह, इस संग्रह को कुछ गुणों (जिन्हें 'स्वयंसिद्ध' के रूप में जाना जाता है) को पूरा करना होगा, अन्यथा हमारे पास दूरी मापने के लिए एक अच्छी तरह से परिभाषित विधि नहीं हो सकती है। उदाहरण के लिए, X के प्रत्येक बिंदु को कुछ हद तक उपयुक्त के साथ x का अनुमान लगाना चाहिए। इस प्रकार X को इस परिवार में होना चाहिए। एक बार जब हम x वाले छोटे सेट को परिभाषित करना शुरू करते हैं, तो हम x को अधिक उपयुक्त के साथ अनुमानित करते हैं। इसे ध्यान में रखते हुए, शेष स्वतः सिद्ध को परिभाषित किया जा सकता है जिसे संतुष्ट करने के लिए x के बारे में  सेटो के परिवार की आवश्यकता होती है।
 == परिभाषाएँ ==
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 === क्लोपेन सेट और नॉन- खुला  और/या नॉन-बंद सेट ===
-एक सेट खुला, बंद, दोनों या दोनों में से कोई भी हो सकता है। विशेष रूप से, खुले और बंद सेट पारस्परिक रूप से अनन्य नहीं होते हैं, जिसका अर्थ है कि यह सामान्य रूप से एक टोपोलॉजिकल स्पेस के सबसेट के लिए एक साथ एक  खुला  सबसेट {{em|और }} एक बंद सबसेट दोनों के लिए संभव है।। ऐसे सबसेट {{em|क्लोपेन सेट्स }} कहलाते हैं. स्पष्ट रूप से, एक टोपोलॉजिकल स्पेस  <math>(X, \tau)</math> के एक सबसेट <math>S</math> को {{em|क्लोपेन}}  कहा जाता है   यदि दोनों <math>S</math> और इसका पूरक <math>X \setminus S</math> के <math>(X, \tau)</math> खुले सबसेट हैं ; या समकक्ष, यदि <math>S \in \tau</math> तथा <math>X \setminus S \in \tau.</math>
+एक सेट खुला, बंद, दोनों या दोनों में से कोई भी हो सकता है। विशेष रूप से, खुले और बंद सेट पारस्परिक रूप से अनन्य नहीं होते हैं, जिसका अर्थ है कि यह सामान्य रूप से एक टोपोलॉजिकल स्पेस के सबसेट के लिए एक साथ एक  खुला  सबसेट {{em|और }} एक बंद सबसेट दोनों के लिए संभव है।। ऐसे सबसेट {{em|क्लोपेन सेट्स }} कहलाते हैं. स्पष्ट रूप से, एक टोपोलॉजिकल स्पेस  <math>(X, \tau)</math> के एक सबसेट <math>S</math> को {{em|क्लोपेन}}  कहा जाता है   यदि दोनों <math>S</math> और इसका पूरक <math>X \setminus S</math> के <math>(X, \tau)</math> खुले सबसेट हैं; या समकक्ष, यदि <math>S \in \tau</math> तथा <math>X \setminus S \in \tau.</math>
 किसी भी टोपोलॉजिकल स्पेस में <math>(X, \tau),</math> खाली सेट <math>\varnothing</math> और सेट <math>X</math> खुद हमेशा क्लोपेन होते हैं। ये दो सेट क्लोपेन सबसेट के सबसे प्रसिद्ध उदाहरण हैं और वे दिखाते हैं कि क्लोपेन सबसेट सभी टोपोलॉजिकल स्पेस में मौजूद हैं। यह देखने के लिए कि <math>X</math> क्लोपेन क्यों है,यह याद करते हुए शुरू करें कि सेट <math>X</math> तथा <math>\varnothing</math> परिभाषा के अनुसार, हमेशा खुले सबसेट ( <math>X</math> के) होते है. साथ ही परिभाषा के अनुसार, एक सबसेट <math>S</math> को {{em|बंद}} कहा जाता है यदि पूरे सेट का पूरक  <math>S := X</math> खाली सेट है  (अर्थात् <math>X \setminus S = \varnothing</math>) <math>X,</math> जो एक खुला सबसेट है।  इसका मतलब है कि <math>S = X</math> का <math>X</math> बंद सबसेट है (बंद सबसेट की परिभाषा के अनुसार)। इसलिए,  कोई फर्क नहीं पड़ता कि <math>X,</math> पर कोई टोपोलॉजी रखी गई है, सम्पूर्ण स्पेस  <math>X</math> एक साथ एक खुला सबसेट भी है और <math>X</math> एक बंद सबसेट भी है ; दूसरे शब्दों में कहा गया है <math>X</math>  {{em|हमेशा}} <math>X.</math> का एक क्लोपेन सबसेट होता है क्योंकि खाली सेट का पूरक <math>X \setminus \varnothing = X,</math>है जो एक खुला सबसेट है, इसी तर्क का प्रयोग करके यह निष्कर्ष निकालने के लिए किया जा सकता है कि <math>S := \varnothing</math> भी <math>X.</math> का एक क्लोपेन सबसेट है  वास्तविक रेखा <math>\R</math> पर विचार करें अपने सामान्य [[यूक्लिडियन टोपोलॉजी]] से संपन्न है, जिसके खुले सेट निम्नानुसार परिभाषित किए गए हैं: प्रत्येक अंतराल <math>(a, b)</math> वास्तविक संख्याओं का संबंध टोपोलॉजी से है, ऐसे अंतरालों का प्रत्येक  समूह, उदा <math>(a, b) \cup (c, d),</math> टोपोलॉजी से संबंधित है, और हमेशा की तरह, दोनों <math>\R</math> तथा <math>\varnothing</math> टोपोलॉजी से संबंधित हैं।
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 === नियमित खुले सेट{{anchor|Regular open set|Regular closed set}} ===
-टोपोलॉजिकल स्पेस <math>X</math> का एक सबसेट <math>S</math> एक {{em|[[नियमित खुले सेट]]}} कहलाता है | यदि <math>\operatorname{Int} \left( \overline{S} \right) = S</math> या समकक्ष, यदि <math>\operatorname{Bd} \left( \overline{S} \right) = \operatorname{Bd} S,</math> जहाँ पे <math>\operatorname{Bd} S</math> (प्रति. <math>\operatorname{Int} S,</math> <math>\overline{S}</math>)  <math>S</math> में <math>X.</math>की सीमा (टोपोलॉजी) (प्रतिक्रिया आंतरिक (टोपोलॉजी), [[क्लोजर (टोपोलॉजी)]])  को दर्शाता हैएक टोपोलॉजिकल स्पेस जिसके लिए नियमित रूप से खुले सेटों से युक्त एक आधार मौजूद होता है, उसे सेमिरेगुलर स्पेस {{em|[[अर्द्ध नियमित स्पेस]]}}.कहा जाता है  <math>X</math> का एक उप सेट  एक नियमित खुला  सेट  है यदि और केवल यदि इसका पूरक  <math>X</math> एक नियमित बंद सेट है, जहां परिभाषा के अनुसार <math>S</math> का <math>X</math> {{em|[[नियमित बंद सेट]]}}  कहलाता है यदि <math>\overline{\operatorname{Int} S} = S</math> या समकक्ष, यदि <math>\operatorname{Bd} \left( \operatorname{Int} S \right) = \operatorname{Bd} S.</math> प्रत्येक नियमित खुला सेट (प्रति. नियमित बंद सेट) एक खुला सबसेट है (प्रति. एक बंद सबसेट है) चूंकि सामान्यतः,<ref group="note">One exception if the if <math>X</math> is endowed with the [[discrete topology]], in which case every subset of <math>X</math> is both a regular open subset and a regular closed subset of <math>X.</math></ref> बातचीत सच {{em|नही}} है।
+टोपोलॉजिकल स्पेस <math>X</math> का एक सबसेट <math>S</math> एक {{em|[[नियमित खुले सेट]]}} कहलाता है | यदि <math>\operatorname{Int} \left( \overline{S} \right) = S</math> या समकक्ष, यदि <math>\operatorname{Bd} \left( \overline{S} \right) = \operatorname{Bd} S,</math> जहाँ पे <math>\operatorname{Bd} S</math> (प्रति. <math>\operatorname{Int} S,</math> <math>\overline{S}</math>)  <math>S</math> में <math>X.</math>की सीमा (टोपोलॉजी) (प्रतिक्रिया आंतरिक (टोपोलॉजी), [[क्लोजर (टोपोलॉजी)]])  को दर्शाता हैएक टोपोलॉजिकल स्पेस जिसके लिए नियमित रूप से खुले सेटों से युक्त एक आधार मौजूद होता है, उसे सेमिरेगुलर स्पेस {{em|[[अर्द्ध नियमित स्पेस]]}}.कहा जाता है  <math>X</math> का एक उप सेट  एक नियमित खुला  सेट  है यदि और केवल यदि इसका पूरक  <math>X</math> एक नियमित बंद सेट है, जहां परिभाषा के अनुसार <math>S</math> का <math>X</math> {{em|[[नियमित बंद सेट]]}}  कहलाता है यदि <math>\overline{\operatorname{Int} S} = S</math> या समकक्ष, यदि <math>\operatorname{Bd} \left( \operatorname{Int} S \right) = \operatorname{Bd} S.</math> प्रत्येक नियमित खुला सेट (प्रति. नियमित बंद सेट) एक खुला सबसेट है (प्रति. एक बंद सबसेट है) चूंकि सामान्यतः,<ref group="note">One exception if the if <math>X</math> is endowed with the [[discrete topology]], in which case every subset of <math>X</math> is both a regular open subset and a regular closed subset of <math>X.</math></ref>  बातचीत सच {{em|नही}} है।
 == गुण ==
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 == प्रयोग ==
-[[टोपोलॉजी]] में   खुला  सेट का मौलिक महत्व है। अवधारणा को टोपोलॉजिकल स्पेस और अन्य टोपोलॉजिकल संरचनाओं को परिभाषित करने और समझने की आवश्यकता है जो [[मीट्रिक रिक्त स्थान]] और समान रिक्त स्थान जैसे रिक्त स्थान के लिए निकटता और अभिसरण की धारणाओं से निपटते हैं।
+[[टोपोलॉजी]] में  खुला  सेट का मौलिक महत्व है। अवधारणा को टोपोलॉजिकल स्पेस और अन्य टोपोलॉजिकल संरचनाओं को परिभाषित करने और समझने की आवश्यकता है जो [[मीट्रिक रिक्त स्थान]] और समान रिक्त स्थान जैसे रिक्त स्थान के लिए निकटता और अभिसरण की धारणाओं से निपटते हैं।
 टोपोलॉजिकल स्पेस X केसभीसबसेट A में एक (संभवतः खाली)   खुला  सेट होता है; अधिकतम ( सम्मालित किए जाने के तहत आदेशित) इस तरह के खुले सेट को ए के [[टोपोलॉजिकल इंटीरियर]] कहा जाता है।
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 <li>{{em|अर्द्ध बंद}} (में <math>X</math>) एक सबसेट का <math>A \subseteq X,</math> द्वारा चिह्नित <math>\operatorname{sCl}_X A,</math> <math>X</math> के सभी अर्ध-बंद सबसेटों का प्रतिच्छेदन है  जिसमें  <math>A</math> एक सबसेट के रूप में होता है।{{sfn|Hart|2004|p=8}}
 <li>यदि प्रत्येक के लिए <math>x \in A</math> कुछ अर्द्धोपेन सबसेट मौजूद हैं <math>U</math> का <math>X</math> ऐसा है कि <math>x \in U \subseteq \operatorname{sCl}_X U \subseteq A.</math>{{sfn|Hart|2004|p=8}}
-<li>{{em|θ-खुला}} (प्रति.{{em|δ-खुला}}) यदि इसका पूरक है <math>X</math> एक θ-बंद (प्रतिक्रिया है। {{em|δ-बंद}}) सेट, जहां परिभाषा के अनुसार,  <math>X</math> के एक सबसेट को {{em|θ-बंद}} (प्रति.{{em|δ-बंद}}) कहा जाता है यदि यह अपने सभी θ-क्लस्टर अंक (resp. δ-क्लस्टर अंक) के सेट के बराबर है। एक बिंदु <math>x \in X</math> को सबसेट <math>B \subseteq X</math> का {{em|θ-क्लस्टर बिंदु}} (सं. {{em|δ-क्लस्टर बिंदु}}) कहा जाता है यदि प्रत्येक  खुले निकट के लिए  <math>U</math> का <math>x</math> में <math>X,</math> प्रतिच्छेदन <math>B \cap \operatorname{cl}_X U</math> खाली नहीं है (सं. <math>B \cap \operatorname{int}_X\left( \operatorname{cl}_X U \right)</math> खाली नहीं है)।{{sfn|Hart|2004|p=8}}
+<li>{{em|θ-खुला}} (प्रति.{{em|δ-खुला}}) यदि इसका पूरक है <math>X</math> एक θ-बंद (प्रतिक्रिया है। {{em|δ-बंद}}) सेट, जहां परिभाषा के अनुसार,  <math>X</math> के एक सबसेट को {{em|θ-बंद}} (प्रति.{{em|δ-बंद}}) कहा जाता है यदि यह अपने सभी θ-क्लस्टर अंक (resp. δ-क्लस्टर अंक) के सेट के बराबर है। एक बिंदु <math>x \in X</math> को सबसेट <math>B \subseteq X</math> का {{em|θ-क्लस्टर बिंदु}} (सं. {{em|δ-क्लस्टर बिंदु}}) कहा जाता है यदि प्रत्येक  खुले निकट के लिए  <math>U</math> का <math>x</math> में <math>X,</math> न <math>B \cap \operatorname{cl}_X U</math> खाली नहीं है (सं. <math>B \cap \operatorname{int}_X\left( \operatorname{cl}_X U \right)</math> खाली नहीं है)।{{sfn|Hart|2004|p=8}}इस साक्ष्</ul>य का प्रयोग करना कि
-</ul>
-इस तथ्य का प्रयोग करना कि
 :<math>A ~\subseteq~ \operatorname{cl}_X A ~\subseteq~ \operatorname{cl}_X B</math> {{spaces|4}}तथा{{spaces|4}} <math>\operatorname{int}_X A ~\subseteq~ \operatorname{int}_X B ~\subseteq~ B</math>
 जब भी दो सबसेट <math>A, B \subseteq X</math> संतुष्ट करना <math>A \subseteq B,</math> निम्नलिखित निष्कर्ष निकाला जा सकता है:
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 * सभी अर्द्ध-खुला  सेट बी-खुला  और अर्द्ध-पूर्व  खुला  है।
-इसके अतिरिक्त, एक सबसेट एक नियमित खुला सेट है यदि और केवल यदि यह पूर्व  खुला  और अर्द्ध-बंद है।{{sfn|Hart|2004|pp=8–9}} एक α- खुला  सेट और अर्द्ध-पूर्व  खुला  (रेस्प। अर्द्ध-  खुला ,  पूर्व खुला , बी-  खुला ) सेट का इंटरसेक्शन एक अर्द्ध-पूर्व खुला  (रेस्प. अर्द्ध-  खुला , पूर्व  खुला , बी-  खुला ) सेट है।{{sfn|Hart|2004|pp=8–9}} पूर्व  खुला  सेट को अर्द्ध-  खुला  होने की आवश्यकता नहीं है और अर्द्ध-  खुला  सेट को पूर्व खुला  होने की आवश्यकता नहीं है।{{sfn|Hart|2004|pp=8–9}} पूर्व खुला  (प्रति. α- खुला , बी- खुला , अर्द्ध- पूर्व खुला ) सेट के मनमाना  समूह एक बार फिर से  पूर्व खुला  (प्रति. α- खुला , बी- खुला , अर्द्ध- पूर्व खुला ) हैं।{{sfn|Hart|2004|pp=8-9}} हालाँकि, पूर्व खुला  सेट के परिमित चौराहों को पूर्व खुला  होने की आवश्यकता नहीं है।{{sfn|Hart|2004|p=8}} किसी स्थान के सभी α-खुले सबसेट का  सेट  <math>(X, \tau)</math> पर एक टोपोलॉजी बनाता है <math>X</math> वह [[टोपोलॉजी की तुलना]] है <math>\tau.</math>{{sfn|Hart|2004|p=9}} एक टोपोलॉजिकल स्पेस <math>X</math> [[हॉसडॉर्फ स्पेस]] है यदि और केवल यदि सभी[[कॉम्पैक्ट जगह]] <math>X</math> θ-बंद है।{{sfn|Hart|2004|p=8}} एक स्थान <math>X</math> [[Index.php?title=पूरी तरह से अलग|पूरी तरह से अलग]] हो जाता है यदि और केवल यदि सभी नियमित बंद सबसेट पूर्व खुला  या समकक्ष है, यदि सभी अर्द्ध- खुला  सबसेट पूर्व खुला  है। इसके अतिरिक्त, अंतरिक्ष पूरी तरह से अलग हो गया है यदि और केवल यदि {{em|[[क्लोजर]]}} प्रत्येक पूर्व खुला  सबसेट खुला है।{{sfn|Hart|2004|p=9}}
+इसके अतिरिक्त, एक सबसेट एक नियमित खुला सेट है यदि और केवल यदि यह पूर्व  खुला  और अर्द्ध-बंद है।{{sfn|Hart|2004|pp=8–9}} एक α- खुला  सेट और अर्द्ध-पूर्व  खुला  (रेस्प। अर्द्ध-  खुला ,  पूर्व खुला , बी-  खुला ) सेट का इंटरसेक्शन एक अर्द्ध-पूर्व खुला  (रेस्प. अर्द्ध-  खुला , पूर्व  खुला , बी-  खुला ) सेट है।{{sfn|Hart|2004|pp=8–9}} पूर्व  खुला  सेट को अर्द्ध-  खुला  होने की आवश्यकता नहीं है और अर्द्ध-  खुला  सेट को पूर्व खुला  होने की आवश्यकता नहीं है।{{sfn|Hart|2004|pp=8–9}} पूर्व खुला  (प्रति. α- खुला , बी- खुला , अर्द्ध- पूर्व खुला ) सेट के मनमाना  समूह एक बार फिर से  पूर्व खुला  (प्रति. α- खुला , बी- खुला , अर्द्ध- पूर्व खुला ) हैं।{{sfn|Hart|2004|pp=8-9}} चूँकि, पूर्व खुला  सेट के परिमित प्रतिच्छेदो को पूर्व खुला  होने की आवश्यकता नहीं है।{{sfn|Hart|2004|p=8}} किसी स्थान के सभी α-खुले सबसेट का सेट <math>(X, \tau)</math> पर एक टोपोलॉजी बनाता है जो <math>\tau.</math>[[टोपोलॉजी की तुलना]] में  <math>X</math> बेहतर है {{sfn|Hart|2004|p=9}}
+<li>एक टोपोलॉजिकल स्पेस <math>X</math> [[हॉसडॉर्फ स्पेस]] है यदि और केवल यदि सभी [[कॉम्पैक्ट जगह]] <math>X</math> θ-बंद है।{{sfn|Hart|2004|p=8}} एक स्थान <math>X</math> [[Index.php?title=पूरी तरह से अलग|पूरी तरह से अलग]] हो जाता है यदि और केवल यदि सभी नियमित बंद सबसेट पूर्व खुला  या समकक्ष है, यदि सभी अर्द्ध- खुला  सबसेट पूर्व खुला  है। इसके अतिरिक्त, अंतरिक्ष पूरी तरह से अलग हो गया है यदि और केवल यदि {{em|[[क्लोजर]]}} प्रत्येक पूर्व खुला  सबसेट खुला है।{{sfn|Hart|2004|p=9}}

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