अवकलज: Difference between revisions
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{{Short description|Instantaneous rate of change (mathematics)}} | {{Short description|Instantaneous rate of change (mathematics)}} | ||
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[[File:Tangent to a curve.svg|thumb|एक कार्य का | [[File:Tangent to a curve.svg|thumb|एक कार्य का लेखाचित्र, काले रंग में खींचा गया है, और उस लेखाचित्र की स्पर्श रेखा, लाल रंग में खींची गई है। [[स्पर्शरेखा]] रेखा का [[ढलान]] चिह्नित बिंदु पर कार्य के व्युत्पन्न के बराबर है।]] | ||
{{Calculus |differential}} | {{Calculus |differential}} | ||
गणित में, एक वास्तविक चर के एक कार्य का व्युत्पन्न एक कार्य ( | गणित में, एक वास्तविक चर के एक कार्य का व्युत्पन्न एक कार्य (निवेश मूल्य) के अपने तर्क में परिवर्तन के संबंध में कार्य मूल्य (प्रक्षेपण मूल्य) के परिवर्तन की संवेदनशीलता को मापता है। व्युत्पन्न गणना का एक मूलभूत उपकरण है। उदाहरण के लिए, [[समय]] के संबंध में गतिमूल्य वस्तु की स्थिति का व्युत्पन्न वस्तु का [[वेग]] है: यह मापता है कि समय बढ़ने पर वस्तु की स्थिति कितनी जल्दी बदल जाती है। | ||
किसी | किसी सुचयनित निवेश मूल्य पर एकल चर के कार्य का व्युत्पन्न, जब वह उपस्थित होता है, उस बिंदु पर कार्य के लेखाचित्र पर [[स्पर्शरेखा]] का ढलान होता है। स्पर्श रेखा उस निवेश मूल्य के पास कार्य का सबसे अच्छा रेखीय सन्निकटन है। इस कारण से, व्युत्पन्न को अक्सर परिवर्तन की तात्कालिक दर के रूप में वर्णित किया जाता है, आश्रित चर में तात्कालिक परिवर्तन का अनुपात स्वतंत्र चर के अनुपात में होता है। | ||
व्युत्पन्न को कई वास्तविक चरों के कार्य करने के लिए सामूल्य्यीकृत किया जा सकता है। इस सामूल्य्यीकरण में, व्युत्पन्न को एक [[रैखिक परिवर्तन]] के रूप में पुनर्व्याख्या की जाती है जिसका लेखाचित्र (उचित अनुवाद के बाद) मूल कार्य के लेखाचित्र के लिए सबसे अच्छा [[रैखिक सन्निकटन]] है। [[जैकबियन मैट्रिक्स|जैकबियन आव्यूह]] [[मैट्रिक्स (गणित)|(गणित)]] है जो स्वतंत्र और निर्भर चर के विकल्प द्वारा दिए गए आधार के संबंध में इस रैखिक परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है। इसकी [[गणना]] स्वतंत्र चर के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न के संदर्भ में की जा सकती है। कई चरों के वास्तविक-मूल्यवान कार्य के लिए, जेकोबियन आव्यूह [[ग्रेडिएंट वेक्टर|प्रवणता संवाहक]] में कम हो जाता है। | |||
व्युत्पन्न खोजने की प्रक्रिया को भेदभाव कहा जाता है। विपत्ति प्रक्रिया को '[[antiderivative|विरोधी विशिष्टीकरण]] ' कहा जाता है। कलन का मूलभूत प्रमेय प्रतिविभेदन को समाकलन से संबंधित करता है। विभेदीकरण और एकीकरण एकल-चर कलन में दो मूलभूत संचालन का गठन करते हैं।{{#tag:ref|Differential calculus, as discussed in this article, is a very well established mathematical discipline for which there are many sources. See Apostol 1967, Apostol 1969, and Spivak 1994.|group=Note}} | |||
== परिभाषा == | == परिभाषा == | ||
एक वास्तविक चर का एक कार्य {{math|1=''f''(''x'')}} एक बिंदु पर अवकलनीय है {{mvar|a}} किसी कार्य | एक वास्तविक चर का एक कार्य {{math|1=''f''(''x'')}} एक बिंदु पर अवकलनीय है {{mvar|a}} किसी कार्य के अपने अधि क्षेत्र का, यदि उसके अधि क्षेत्र में एक [[खुला अंतराल]] है {{mvar|I}} युक्त {{mvar|a}}, और [[सीमा (गणित)]] | ||
:<math>L=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}h </math> | :<math>L=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}h </math> | ||
उपस्थित। इसका मतलब है कि, हर सकारात्मक [[वास्तविक संख्या]] के लिए <math>\varepsilon</math> (यहां तक कि बहुत छोटा), वहाँ एक सकारात्मक वास्तविक संख्या उपस्थित है <math>\delta</math> ऐसा है कि, हर के लिए {{mvar|h}} ऐसा है कि <math>|h| < \delta</math> तथा <math>h\ne 0</math> फिर <math>f(a+h)</math> परिभाषित किया गया है, और | |||
:<math>\left|L-\frac{f(a+h)-f(a)}h\right|<\varepsilon,</math> | :<math>\left|L-\frac{f(a+h)-f(a)}h\right|<\varepsilon,</math> | ||
जहां लंबवत पट्टियां निरपेक्ष मूल्य दर्शाती हैं (देखें (ε, δ)-सीमा की परिभाषा)। | जहां लंबवत पट्टियां निरपेक्ष मूल्य दर्शाती हैं (देखें (ε, δ)-सीमा की परिभाषा)। | ||
यदि समारोह {{mvar|f}} पर अवकलनीय है {{mvar|a}}, वह | यदि समारोह {{mvar|f}} पर अवकलनीय है {{mvar|a}}, वह अगर सीमा {{mvar|L}} उपस्थित है, तो इस सीमा को व्युत्पन्न कहा जाता है {{mvar|f}} पर {{mvar|a}}, और निरूपित <math>f'(a)</math> (के रूप में पढ़ें {{math|''f''}} के प्रमुख {{math|''a''}}) या <math display="inline">\frac{df}{dx}(a)</math> (के व्युत्पन्न के रूप में पढ़ें {{math|''f''}} इसके संबंध में {{math|''x''}} पर {{mvar|a}},{{math|''dy''}} द्वारा {{math|''dx''}} पर {{mvar|a}}, या {{math|''dy''}} ऊपर {{math|''dx''}} पर {{mvar|a}}); देखना {{slink|| प्रतीकांकन (सूचना )}}, नीचे। | ||
== निरंतरता और भिन्नता == | == निरंतरता और भिन्नता == | ||
[[File:Right-continuous.svg|thumb|right|इस कार्य का चिह्नित बिंदु पर कोई व्युत्पन्न नहीं है, क्योंकि कार्य वहां निरंतर नहीं है (विशेष रूप से, इसमें [[कूदना बंद करो]] है)।]]यदि {{math|''f''}} पर अवकलनीय है {{math|''a''}}, फिर {{math|''f''}} पर भी [[निरंतर कार्य]] करना चाहिए {{math|''a''}}. एक उदाहरण के रूप में, एक बिंदु चुनें {{math|''a''}} और जाने {{math|''f''}} चरण कार्य बनें जो सभी के लिए मूल्य 1 लौटाता है {{math|''x''}} से कम {{math|''a''}}, और सभी के लिए भिन्न मूल्य 10 लौटाता है {{math|''x''}} इससे बड़ा या इसके बराबर {{math|''a''}}. {{math|''f''}} पर व्युत्पन्न नहीं हो सकता {{math|''a''}}. यदि {{math|''h''}} नकारात्मक है, तो {{math|''a'' + ''h''}} कदम के निचले हिस्से पर है, इसलिए छेदक रेखा से {{math|''a''}} प्रति {{math|''a'' + ''h''}} बहुत खड़ी है, और के रूप में {{math|''h''}} शून्य की ओर जाता है ढलान अनंत की ओर जाता है। यदि {{math|''h''}} सकारात्मक है, तो {{math|''a'' + ''h''}} सीढी के ऊँचे भाग पर है, अत: से छेदक रेखा {{math|''a''}} प्रति {{math|''a'' + ''h''}} ढलान शून्य है। नतीजतन, छेदक रेखाएँ किसी एक ढलान तक नहीं पहुँचती हैं, इसलिए अंतर भागफल की सीमा | [[File:Right-continuous.svg|thumb|right|इस कार्य का चिह्नित बिंदु पर कोई व्युत्पन्न नहीं है, क्योंकि कार्य वहां निरंतर नहीं है (विशेष रूप से, इसमें [[कूदना बंद करो]] है)।]]यदि {{math|''f''}} पर अवकलनीय है {{math|''a''}}, फिर {{math|''f''}} पर भी [[निरंतर कार्य]] करना चाहिए {{math|''a''}}. एक उदाहरण के रूप में, एक बिंदु चुनें {{math|''a''}} और जाने {{math|''f''}} चरण कार्य बनें जो सभी के लिए मूल्य 1 लौटाता है {{math|''x''}} से कम {{math|''a''}}, और सभी के लिए भिन्न मूल्य 10 लौटाता है {{math|''x''}} इससे बड़ा या इसके बराबर {{math|''a''}}. {{math|''f''}} पर व्युत्पन्न नहीं हो सकता {{math|''a''}}. यदि {{math|''h''}} नकारात्मक है, तो {{math|''a'' + ''h''}} कदम के निचले हिस्से पर है, इसलिए छेदक रेखा से {{math|''a''}} प्रति {{math|''a'' + ''h''}} बहुत खड़ी है, और के रूप में {{math|''h''}} शून्य की ओर जाता है ढलान अनंत की ओर जाता है। यदि {{math|''h''}} सकारात्मक है, तो {{math|''a'' + ''h''}} सीढी के ऊँचे भाग पर है, अत: से छेदक रेखा {{math|''a''}} प्रति {{math|''a'' + ''h''}} ढलान शून्य है। नतीजतन, छेदक रेखाएँ किसी एक ढलान तक नहीं पहुँचती हैं, इसलिए अंतर भागफल की सीमा उपस्थित नहीं होती है। | ||
[[File:Absolute value.svg|right|thumb|निरपेक्ष मूल्य फलन निरंतर है, लेकिन पर अवकलनीय होने में विफल रहता है {{math|''x'' {{=}} 0}} चूँकि स्पर्शरेखा ढलान बाईं ओर से उसी मूल्य तक नहीं पहुँचती है जैसा कि वे दाईं ओर से करते हैं।]]हालाँकि, भले ही एक बिंदु पर एक कार्य निरंतर हो, यह वहाँ भिन्न नहीं हो सकता है। उदाहरण के लिए, द्वारा दिया गया निरपेक्ष मूल्य कार्य {{math|''f''(''x'') {{=}} {{abs|''x''}} }} पर निरंतर है {{math|''x'' {{=}} 0}}, लेकिन यह वहां भिन्न नहीं है। यदि {{math|''h''}} धनात्मक है, तो छेदक रेखा का ढलान 0 से {{math|''h''}} एक है, जबकि अगर {{math|''h''}} ऋणात्मक है, तो छेदक रेखा का ढलान 0 से {{math|''h''}} एक नकारात्मक है। इसे | [[File:Absolute value.svg|right|thumb|निरपेक्ष मूल्य फलन निरंतर है, लेकिन पर अवकलनीय होने में विफल रहता है {{math|''x'' {{=}} 0}} चूँकि स्पर्शरेखा ढलान बाईं ओर से उसी मूल्य तक नहीं पहुँचती है जैसा कि वे दाईं ओर से करते हैं।]]हालाँकि, भले ही एक बिंदु पर एक कार्य निरंतर हो, यह वहाँ भिन्न नहीं हो सकता है। उदाहरण के लिए, द्वारा दिया गया निरपेक्ष मूल्य कार्य {{math|''f''(''x'') {{=}} {{abs|''x''}} }} पर निरंतर है {{math|''x'' {{=}} 0}}, लेकिन यह वहां भिन्न नहीं है। यदि {{math|''h''}} धनात्मक है, तो छेदक रेखा का ढलान 0 से {{math|''h''}} एक है, जबकि अगर {{math|''h''}} ऋणात्मक है, तो छेदक रेखा का ढलान 0 से {{math|''h''}} एक नकारात्मक है। इसे लेखाचित्रिक रूप से लेखाचित्र में किंक या कस्प के रूप में देखा जा सकता है {{math|''x'' {{=}} 0}}. यहां तक कि एक चिकनी लेखाचित्र वाला कार्य भी उस बिंदु पर भिन्न नहीं होता है जहां इसकी [[लंबवत स्पर्शरेखा]] होती है: उदाहरण के लिए, दिया गया कार्य {{math|''f''(''x'') {{=}} ''x''<sup>1/3</sup>}} पर अवकलनीय नहीं है {{math|''x'' {{=}} 0}}. | ||
सारांश में, एक ऐसा फलन जिसमें एक अवकलज होता है, सतत होता है, लेकिन ऐसे सतत फलन होते हैं जिनका कोई अवकलज नहीं होता। | सारांश में, एक ऐसा फलन जिसमें एक अवकलज होता है, सतत होता है, लेकिन ऐसे सतत फलन होते हैं जिनका कोई अवकलज नहीं होता। | ||
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[[File:Tangent function animation.gif|thumb|अवकलनीय फलन के विभिन्न बिंदुओं पर व्युत्पन्न। इस मामले में, व्युत्पन्न के बराबर है:<math>\sin \left(x^2\right) + 2x^2 \cos\left(x^2\right)</math>]]होने देना {{math|''f''}} ऐसा फलन हो जिसका फलन के अपने क्षेत्र में प्रत्येक बिंदु पर एक अवकलज हो। हम तब एक कार्य को परिभाषित कर सकते हैं जो हर बिंदु को मैप करता है {{mvar|x}} के व्युत्पन्न के मूल्य के लिए {{mvar|f}} पर {{mvar|x}}. यह समारोह लिखा है {{math|''f''{{′}}}} और इसे व्युत्पन्न फंक्शन या व्युत्पन्न कहा जाता है {{math|''f''}}. | [[File:Tangent function animation.gif|thumb|अवकलनीय फलन के विभिन्न बिंदुओं पर व्युत्पन्न। इस मामले में, व्युत्पन्न के बराबर है:<math>\sin \left(x^2\right) + 2x^2 \cos\left(x^2\right)</math>]]होने देना {{math|''f''}} ऐसा फलन हो जिसका फलन के अपने क्षेत्र में प्रत्येक बिंदु पर एक अवकलज हो। हम तब एक कार्य को परिभाषित कर सकते हैं जो हर बिंदु को मैप करता है {{mvar|x}} के व्युत्पन्न के मूल्य के लिए {{mvar|f}} पर {{mvar|x}}. यह समारोह लिखा है {{math|''f''{{′}}}} और इसे व्युत्पन्न फंक्शन या व्युत्पन्न कहा जाता है {{math|''f''}}. | ||
कभी-कभी {{math|''f''}} इसके | कभी-कभी {{math|''f''}} इसके अधि क्षेत्र के अधिकांश बिंदुओं पर व्युत्पन्न है, लेकिन सभी नहीं। वह कार्य जिसका मूल्य at {{mvar|a}} बराबरी {{math|''f''{{′}}(''a'')}} जब भी {{math|''f''{{′}}(''a'')}} परिभाषित किया गया है और कहीं और अपरिभाषित है, इसे व्युत्पन्न भी कहा जाता है {{math|''f''}}. यह अभी भी एक कार्य है, लेकिन इसका अधि क्षेत्र के अधि क्षेत्र से छोटा हो सकता है {{math|''f''}}. | ||
इस विचार का उपयोग करते हुए, भेदभाव कार्यों का एक कार्य बन जाता है: व्युत्पन्न एक [[ऑपरेटर (गणित)]] है जिसका | इस विचार का उपयोग करते हुए, भेदभाव कार्यों का एक कार्य बन जाता है: व्युत्पन्न एक [[ऑपरेटर (गणित)]] है जिसका अधि क्षेत्र उन सभी कार्यों का सेट है जिनके अधि क्षेत्र के प्रत्येक बिंदु पर व्युत्पन्न हैं और जिनकी सीमा कार्यों का एक सेट है। यदि हम इस ऑपरेटर को निरूपित करते हैं {{math|''D''}}, फिर {{math|''D''(''f'')}} कार्य है {{math|''f''{{′}}}}. तब से {{math|''D''(''f'')}} एक कार्य है, इसका मूल्यांकन एक बिंदु पर किया जा सकता है {{mvar|a}}. व्युत्पन्न समारोह की परिभाषा के द्वारा, {{math|''D''(''f'')(''a'') {{=}} ''f''{{′}}(''a'')}}. | ||
तुलना के लिए, द्वारा दिए गए दोहरीकरण समारोह पर विचार करें {{math|''f''(''x'') {{=}} 2''x''}}; {{math|''f''}} एक वास्तविक संख्या का वास्तविक-मूल्यवान कार्य है, जिसका अर्थ है कि यह संख्याओं को | तुलना के लिए, द्वारा दिए गए दोहरीकरण समारोह पर विचार करें {{math|''f''(''x'') {{=}} 2''x''}}; {{math|''f''}} एक वास्तविक संख्या का वास्तविक-मूल्यवान कार्य है, जिसका अर्थ है कि यह संख्याओं को निवेश के रूप में लेता है और संख्याओं को प्रक्षेपण के रूप में रखता है: | ||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
1 &{}\mapsto 2,\\ | 1 &{}\mapsto 2,\\ | ||
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=={{anchor|order of derivation}} उच्च व्युत्पन्न == | =={{anchor|order of derivation}} उच्च व्युत्पन्न == | ||
होने देना {{math|''f''}} एक अवकलनीय कार्य हो, और चलो {{math|''f'' ′}} इसका व्युत्पन्न हो। का व्युत्पन्न {{math|''f'' ′}} (यदि है तो) लिखा हुआ है {{math|''f'' ′′}} और का [[दूसरा व्युत्पन्न]] कहा जाता है {{math|f}}. इसी प्रकार, दूसरे व्युत्पन्न का व्युत्पन्न, यदि यह | होने देना {{math|''f''}} एक अवकलनीय कार्य हो, और चलो {{math|''f'' ′}} इसका व्युत्पन्न हो। का व्युत्पन्न {{math|''f'' ′}} (यदि है तो) लिखा हुआ है {{math|''f'' ′′}} और का [[दूसरा व्युत्पन्न]] कहा जाता है {{math|f}}. इसी प्रकार, दूसरे व्युत्पन्न का व्युत्पन्न, यदि यह उपस्थित है, लिखा गया है {{math|''f'' ′′′}} का [[तीसरा व्युत्पन्न]] कहा जाता है {{math|f}}. इस प्रक्रिया को जारी रखते हुए, परिभाषित किया जा सकता है, यदि यह उपस्थित है, तो {{math|''n''}}वें व्युत्पन्न के व्युत्पन्न के रूप में {{math|(''n''−1)}}वें व्युत्पन्न। इन दोहराए गए व्युत्पन्न को उच्च-क्रम व्युत्पन्न कहा जाता है। {{math|''n''}}'}}वें अवकलज को क्रम का अवकलज भी कहा जाता है {{math|''n''}}और # लैग्रेंज का अंकन {{math|''f'' <sup>(''n'')</sup>}}. | ||
यदि {{math|''x''(''t'')}} समय पर किसी वस्तु की स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है {{math|''t''}}, फिर के उच्च-क्रम के व्युत्पन्न {{math|''x''}} भौतिकी में विशिष्ट व्याख्याएँ हैं। का पहला व्युत्पन्न {{math|''x''}} वस्तु का वेग है। का दूसरा व्युत्पन्न {{math|''x''}} [[त्वरण]] है। का तीसरा व्युत्पन्न {{math|''x''}} [[झटका (भौतिकी)]] है। और अंत में, चौथे से छठे व्युत्पन्न के {{math|''x''}} हैं उछाल|स्नैप, क्रैकल, और पॉप; [[खगोल भौतिकी]] के लिए सबसे अधिक लागू। | यदि {{math|''x''(''t'')}} समय पर किसी वस्तु की स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है {{math|''t''}}, फिर के उच्च-क्रम के व्युत्पन्न {{math|''x''}} भौतिकी में विशिष्ट व्याख्याएँ हैं। का पहला व्युत्पन्न {{math|''x''}} वस्तु का वेग है। का दूसरा व्युत्पन्न {{math|''x''}} [[त्वरण]] है। का तीसरा व्युत्पन्न {{math|''x''}} [[झटका (भौतिकी)]] है। और अंत में, चौथे से छठे व्युत्पन्न के {{math|''x''}} हैं उछाल|स्नैप, क्रैकल, और पॉप; [[खगोल भौतिकी]] के लिए सबसे अधिक लागू। | ||
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{{math|''f'''(''x'')}} पर निरपेक्ष मूल्य फलन का दुगुना है <math>x</math>, और इसका शून्य पर व्युत्पन्न नहीं है। समूल्य उदाहरण दिखाते हैं कि एक फलन में a हो सकता है {{math|''k''}}प्रत्येक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक के लिए वें व्युत्पन्न {{math|''k''}} लेकिन नहीं {{math|(''k'' + 1)}}वें व्युत्पन्न। एक समारोह जिसमें है {{math|''k''}} उत्तरोत्तर व्युत्पन्न कहलाते हैं{{math|k}} बार अलग करने योग्य। अगर इसके अलावा {{math|''k''}}वां अवकलज सतत है, तो फलन अवकलनीयता वर्ग का कहा जाता है {{math|''C<sup>k</sup>''}}. (यह होने की तुलना में एक मजबूत स्थिति है {{math|''k''}} व्युत्पन्न, जैसा कि दूसरे उदाहरण द्वारा दिखाया गया है {{slink|Smoothness|Examples}}।) एक ऐसा फलन जिसके अपरिमित रूप से अनेक अवकलज होते हैं, अपरिमित रूप से अवकलनीय या चिकनापन कहलाता है। | {{math|''f'''(''x'')}} पर निरपेक्ष मूल्य फलन का दुगुना है <math>x</math>, और इसका शून्य पर व्युत्पन्न नहीं है। समूल्य उदाहरण दिखाते हैं कि एक फलन में a हो सकता है {{math|''k''}}प्रत्येक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक के लिए वें व्युत्पन्न {{math|''k''}} लेकिन नहीं {{math|(''k'' + 1)}}वें व्युत्पन्न। एक समारोह जिसमें है {{math|''k''}} उत्तरोत्तर व्युत्पन्न कहलाते हैं{{math|k}} बार अलग करने योग्य। अगर इसके अलावा {{math|''k''}}वां अवकलज सतत है, तो फलन अवकलनीयता वर्ग का कहा जाता है {{math|''C<sup>k</sup>''}}. (यह होने की तुलना में एक मजबूत स्थिति है {{math|''k''}} व्युत्पन्न, जैसा कि दूसरे उदाहरण द्वारा दिखाया गया है {{slink|Smoothness|Examples}}।) एक ऐसा फलन जिसके अपरिमित रूप से अनेक अवकलज होते हैं, अपरिमित रूप से अवकलनीय या चिकनापन कहलाता है। | ||
वास्तविक रेखा पर, प्रत्येक बहुपद फलन अपरिमित रूप से अवकलनीय होता है। मूल्यक [[भेदभाव नियम]]ों द्वारा, यदि डिग्री का बहुपद {{math|''n''}} विभेदित है {{math|''n''}} समय, तो यह एक [[निरंतर कार्य]] बन जाता है। इसके बाद के सभी व्युत्पन्न समूल्य रूप से शून्य हैं। विशेष रूप से, वे | वास्तविक रेखा पर, प्रत्येक बहुपद फलन अपरिमित रूप से अवकलनीय होता है। मूल्यक [[भेदभाव नियम]]ों द्वारा, यदि डिग्री का बहुपद {{math|''n''}} विभेदित है {{math|''n''}} समय, तो यह एक [[निरंतर कार्य]] बन जाता है। इसके बाद के सभी व्युत्पन्न समूल्य रूप से शून्य हैं। विशेष रूप से, वे उपस्थित हैं, इसलिए बहुपद सहज कार्य हैं। | ||
एक समारोह के व्युत्पन्न {{math|''f''}} एक बिंदु पर {{math|''x''}} उस कार्य के पास बहुपद सन्निकटन प्रदान करें {{math|''x''}}. उदाहरण के लिए, यदि {{math|''f''}} तब दो बार अवकलनीय है | एक समारोह के व्युत्पन्न {{math|''f''}} एक बिंदु पर {{math|''x''}} उस कार्य के पास बहुपद सन्निकटन प्रदान करें {{math|''x''}}. उदाहरण के लिए, यदि {{math|''f''}} तब दो बार अवकलनीय है | ||
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इसके बाद यूलर का अंकन लिखा जाता है | इसके बाद यूलर का अंकन लिखा जाता है | ||
:<math>D_x y</math> या <math>D_x f(x)</math>, | :<math>D_x y</math> या <math>D_x f(x)</math>, | ||
हालाँकि यह सबस्क्रिप्ट अक्सर छोड़ दिया जाता है जब चर x को समझा जाता है, उदाहरण के लिए जब यह अभिव्यक्ति में | हालाँकि यह सबस्क्रिप्ट अक्सर छोड़ दिया जाता है जब चर x को समझा जाता है, उदाहरण के लिए जब यह अभिव्यक्ति में उपस्थित एकमात्र स्वतंत्र चर है। | ||
रैखिक अवकल समीकरणों को बताने और हल करने के लिए यूलर का संकेतन उपयोगी है। | रैखिक अवकल समीकरणों को बताने और हल करने के लिए यूलर का संकेतन उपयोगी है। | ||
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*: <math>(fg)' = f 'g + fg' </math> सभी कार्यों के लिए एफ और जी। एक विशेष मामले के रूप में, इस नियम में तथ्य शामिल है <math>(\alpha f)' = \alpha f'</math> जब भी <math>\alpha</math> एक स्थिर है, क्योंकि <math>\alpha' f = 0 \cdot f = 0</math> निरंतर नियम से। | *: <math>(fg)' = f 'g + fg' </math> सभी कार्यों के लिए एफ और जी। एक विशेष मामले के रूप में, इस नियम में तथ्य शामिल है <math>(\alpha f)' = \alpha f'</math> जब भी <math>\alpha</math> एक स्थिर है, क्योंकि <math>\alpha' f = 0 \cdot f = 0</math> निरंतर नियम से। | ||
* [[भागफल नियम]]: | * [[भागफल नियम]]: | ||
*: <math>\left(\frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}</math> सभी कार्यों के लिए एफ और जी सभी | *: <math>\left(\frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}</math> सभी कार्यों के लिए एफ और जी सभी निवेश पर जहां {{nowrap|''g'' ≠ 0}}. | ||
* समग्र कार्यों के लिए चेन नियम: यदि <math>f(x) = h(g(x))</math>, फिर | * समग्र कार्यों के लिए चेन नियम: यदि <math>f(x) = h(g(x))</math>, फिर | ||
*: <math>f'(x) = h'(g(x)) \cdot g'(x). </math> | *: <math>f'(x) = h'(g(x)) \cdot g'(x). </math> | ||
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== हाइपररियल्स के साथ परिभाषा == | == हाइपररियल्स के साथ परिभाषा == | ||
[[अति वास्तविक संख्या]] एक्सटेंशन के सापेक्ष {{math|'''R''' ⊂ {{sup|⁎}}'''R'''}} वास्तविक संख्याओं का, वास्तविक फलन का अवकलज {{math|''y'' {{=}} ''f''(''x'')}} एक वास्तविक बिंदु पर {{math|''x''}} भागफल की [[छाया (गणित)]] के रूप में परिभाषित किया जा सकता है {{math|{{sfrac|∆''y''|∆''x''}}}} अनंत के लिए {{math|∆''x''}}, कहाँ पे {{math|∆''y'' {{=}} ''f''(''x'' + ∆''x'') − ''f''(''x'')}}. यहाँ का स्वाभाविक विस्तार है {{math|''f''}} हाइपररियल्स को अभी भी निरूपित किया गया है {{math|''f''}}. यहाँ कहा जाता है कि व्युत्पत्ति का अस्तित्व है यदि छाया | [[अति वास्तविक संख्या]] एक्सटेंशन के सापेक्ष {{math|'''R''' ⊂ {{sup|⁎}}'''R'''}} वास्तविक संख्याओं का, वास्तविक फलन का अवकलज {{math|''y'' {{=}} ''f''(''x'')}} एक वास्तविक बिंदु पर {{math|''x''}} भागफल की [[छाया (गणित)]] के रूप में परिभाषित किया जा सकता है {{math|{{sfrac|∆''y''|∆''x''}}}} अनंत के लिए {{math|∆''x''}}, कहाँ पे {{math|∆''y'' {{=}} ''f''(''x'' + ∆''x'') − ''f''(''x'')}}. यहाँ का स्वाभाविक विस्तार है {{math|''f''}} हाइपररियल्स को अभी भी निरूपित किया गया है {{math|''f''}}. यहाँ कहा जाता है कि व्युत्पत्ति का अस्तित्व है यदि छाया सुचयनित अपरिमेय से स्वतंत्र है। | ||
== उच्च आयामों में == | == उच्च आयामों में == | ||
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=== | === संवाहक -मूल्यवान कार्य === | ||
एक वास्तविक चर का सदिश-मूल्यवान कार्य y कुछ सदिश स्थान R में सदिशों को वास्तविक संख्याएँ भेजता है<sup>एन</sup>. एक | एक वास्तविक चर का सदिश-मूल्यवान कार्य y कुछ सदिश स्थान R में सदिशों को वास्तविक संख्याएँ भेजता है<sup>एन</sup>. एक संवाहक -मूल्यवान कार्य को इसके समन्वय कार्यों में विभाजित किया जा सकता है {{nowrap|''y''<sub>1</sub>(''t''), ''y''<sub>2</sub>(''t''), ..., ''y''<sub>''n''</sub>(''t'')}}, जिसका अर्थ है कि {{nowrap|1='''y'''(''t'') = (''y''<sub>1</sub>(''t''), ..., ''y''<sub>''n''</sub>(''t''))}}. इसमें शामिल है, उदाहरण के लिए, आर में [[पैरामीट्रिक वक्र]]<sup>2</sup> या आर<sup>3</उप>। समन्वय कार्य वास्तविक मूल्यवान कार्य हैं, इसलिए व्युत्पन्न की उपरोक्त परिभाषा उन पर लागू होती है। Y(''t'') के व्युत्पन्न को [[वेक्टर (ज्यामितीय)|संवाहक (ज्यामितीय)]] के रूप में परिभाषित किया गया है, जिसे [[वक्रों की विभेदक ज्यामिति]] कहा जाता है, जिसके निर्देशांक समन्वय कार्यों के व्युत्पन्न हैं। वह है, | ||
:<math>\mathbf{y}'(t) = (y'_1(t), \ldots, y'_n(t)).</math> | :<math>\mathbf{y}'(t) = (y'_1(t), \ldots, y'_n(t)).</math> | ||
समूल्य रूप से, | समूल्य रूप से, | ||
:<math>\mathbf{y}'(t)=\lim_{h\to 0}\frac{\mathbf{y}(t+h) - \mathbf{y}(t)}{h},</math> | :<math>\mathbf{y}'(t)=\lim_{h\to 0}\frac{\mathbf{y}(t+h) - \mathbf{y}(t)}{h},</math> | ||
अगर सीमा | अगर सीमा उपस्थित है। अंश में घटाव सदिशों का घटाव है, अदिश राशियों का नहीं। यदि y का व्युत्पन्न ''t'' के प्रत्येक मूल्य के लिए उपस्थित है, तो y' एक अन्य सदिश-मूल्यवान फलन है। | ||
यदि {{nowrap|'''e'''<sub>1</sub>, ..., '''e'''<sub>''n''</sub>}} R का मूल्यक आधार है<sup>n</sup>, तो 'y'(t) को इस रूप में भी लिखा जा सकता है {{nowrap|''y''<sub>1</sub>(''t'')'''e'''<sub>1</sub> + ⋯ + ''y''<sub>''n''</sub>(''t'')'''e'''<sub>''n''</sub>}}. अगर हम मूल्यते हैं कि | यदि {{nowrap|'''e'''<sub>1</sub>, ..., '''e'''<sub>''n''</sub>}} R का मूल्यक आधार है<sup>n</sup>, तो 'y'(t) को इस रूप में भी लिखा जा सकता है {{nowrap|''y''<sub>1</sub>(''t'')'''e'''<sub>1</sub> + ⋯ + ''y''<sub>''n''</sub>(''t'')'''e'''<sub>''n''</sub>}}. अगर हम मूल्यते हैं कि संवाहक -मूल्यवान कार्य का व्युत्पन्न भेदभाव संपत्ति की रैखिकता को बरकरार रखता है, तो y(''t'') का व्युत्पन्न होना चाहिए | ||
:<math>y'_1(t)\mathbf{e}_1 + \cdots + y'_n(t)\mathbf{e}_n</math> | :<math>y'_1(t)\mathbf{e}_1 + \cdots + y'_n(t)\mathbf{e}_n</math> | ||
क्योंकि प्रत्येक आधार सदिश एक स्थिर है। | क्योंकि प्रत्येक आधार सदिश एक स्थिर है। | ||
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दूसरे शब्दों में, ऊपर दिए गए उदाहरण की तरह ही एक-चर वाले इंडेक्स परिवार के अलग-अलग विकल्प कार्य करते हैं। यह अभिव्यक्ति यह भी दर्शाती है कि आंशिक व्युत्पन्न की गणना एक-चर व्युत्पन्न की गणना को कम कर देती है। | दूसरे शब्दों में, ऊपर दिए गए उदाहरण की तरह ही एक-चर वाले इंडेक्स परिवार के अलग-अलग विकल्प कार्य करते हैं। यह अभिव्यक्ति यह भी दर्शाती है कि आंशिक व्युत्पन्न की गणना एक-चर व्युत्पन्न की गणना को कम कर देती है। | ||
यह कई वास्तविक चरों के कार्यों के अध्ययन के लिए मौलिक है। होने देना {{math|''f''(''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>)}} ऐसा वास्तविक मूल्यवान कार्य हो। यदि सभी आंशिक व्युत्पन्न {{math|∂''f'' / ∂''x''<sub>''j''</sub>}} का {{mvar|f}} बिंदु पर परिभाषित किया गया है {{math|1=''a'' = (''a''<sub>1</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub>)}}, ये आंशिक व्युत्पन्न | यह कई वास्तविक चरों के कार्यों के अध्ययन के लिए मौलिक है। होने देना {{math|''f''(''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>)}} ऐसा वास्तविक मूल्यवान कार्य हो। यदि सभी आंशिक व्युत्पन्न {{math|∂''f'' / ∂''x''<sub>''j''</sub>}} का {{mvar|f}} बिंदु पर परिभाषित किया गया है {{math|1=''a'' = (''a''<sub>1</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub>)}}, ये आंशिक व्युत्पन्न संवाहक को परिभाषित करते हैं | ||
:<math>\nabla f(a_1, \ldots, a_n) = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1, \ldots, a_n), \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(a_1, \ldots, a_n)\right),</math> | :<math>\nabla f(a_1, \ldots, a_n) = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1, \ldots, a_n), \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(a_1, \ldots, a_n)\right),</math> | ||
की प्रवणता कहलाती है {{math|''f''}} पर {{math|''a''}}. यदि {{math|''f''}} किसी | की प्रवणता कहलाती है {{math|''f''}} पर {{math|''a''}}. यदि {{math|''f''}} किसी अधि क्षेत्र में हर बिंदु पर अलग-अलग होता है, तो ग्रेडियेंट एक संवाहक -मूल्यवान कार्य होता है {{math|∇''f''}} जो बिंदु को मैप करता है {{math|(''a''<sub>1</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub>)}} संवाहक को {{math|∇''f''(''a''<sub>1</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub>)}}. नतीजतन, ढाल एक [[वेक्टर क्षेत्र|संवाहक क्षेत्र]] निर्धारित करता है। | ||
=== दिशात्मक व्युत्पन्न === | === दिशात्मक व्युत्पन्न === | ||
{{Main|Directional derivative}} | {{Main|Directional derivative}} | ||
यदि f 'R' पर एक वास्तविक-मूल्यवान फलन है<sup>n</sup>, तो f का आंशिक व्युत्पन्न निर्देशांक अक्षों की दिशा में इसकी भिन्नता को मापता है। उदाहरण के लिए, यदि f, x और y का एक फलन है, तो इसका आंशिक अवकलज f में x दिशा और y दिशा में परिवर्तन को मापता है। हालांकि, वे सीधे किसी अन्य दिशा में f की भिन्नता को मापते नहीं हैं, जैसे कि विकर्ण रेखा के साथ {{nowrap|1=''y'' = ''x''}}. इन्हें दिशात्मक व्युत्पन्न का उपयोग करके मापा जाता है। एक | यदि f 'R' पर एक वास्तविक-मूल्यवान फलन है<sup>n</sup>, तो f का आंशिक व्युत्पन्न निर्देशांक अक्षों की दिशा में इसकी भिन्नता को मापता है। उदाहरण के लिए, यदि f, x और y का एक फलन है, तो इसका आंशिक अवकलज f में x दिशा और y दिशा में परिवर्तन को मापता है। हालांकि, वे सीधे किसी अन्य दिशा में f की भिन्नता को मापते नहीं हैं, जैसे कि विकर्ण रेखा के साथ {{nowrap|1=''y'' = ''x''}}. इन्हें दिशात्मक व्युत्पन्न का उपयोग करके मापा जाता है। एक संवाहक चुनें | ||
:<math>\mathbf{v} = (v_1,\ldots,v_n).</math> | :<math>\mathbf{v} = (v_1,\ldots,v_n).</math> | ||
बिंदु x पर v की दिशा में 'f'' की दिशात्मक व्युत्पत्ति सीमा है | बिंदु x पर v की दिशा में 'f'' की दिशात्मक व्युत्पत्ति सीमा है | ||
:<math>D_{\mathbf{v}}{f}(\mathbf{x}) = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{f(\mathbf{x} + h\mathbf{v}) - f(\mathbf{x})}{h}}.</math> | :<math>D_{\mathbf{v}}{f}(\mathbf{x}) = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{f(\mathbf{x} + h\mathbf{v}) - f(\mathbf{x})}{h}}.</math> | ||
कुछ मामलों में सदिश की लंबाई बदलने के बाद दिशात्मक व्युत्पन्न की गणना या अनुमूल्य लगाना आसान हो सकता है। यूनिट | कुछ मामलों में सदिश की लंबाई बदलने के बाद दिशात्मक व्युत्पन्न की गणना या अनुमूल्य लगाना आसान हो सकता है। यूनिट संवाहक की दिशा में एक दिशात्मक व्युत्पन्न की गणना में समस्या को चालू करने के लिए अक्सर ऐसा किया जाता है। यह कैसे काम करता है यह देखने के लिए, मूल्य लीजिए {{nowrap|1='''v''' = ''λ'''''u'''}} जहाँ u v की दिशा में एक इकाई सदिश है। स्थानापन्न {{nowrap|1=''h'' = ''k''/''λ''}} अंतर भागफल में। अंतर भागफल बन जाता है: | ||
:<math>\frac{f(\mathbf{x} + (k/\lambda)(\lambda\mathbf{u})) - f(\mathbf{x})}{k/\lambda} | :<math>\frac{f(\mathbf{x} + (k/\lambda)(\lambda\mathbf{u})) - f(\mathbf{x})}{k/\lambda} | ||
= \lambda\cdot\frac{f(\mathbf{x} + k\mathbf{u}) - f(\mathbf{x})}{k}.</math> | = \lambda\cdot\frac{f(\mathbf{x} + k\mathbf{u}) - f(\mathbf{x})}{k}.</math> | ||
यह 'यू' के संबंध में एफ के दिशात्मक व्युत्पन्न के लिए अंतर भागफल का λ गुना है। इसके अलावा, जब h शून्य की ओर प्रवृत्त होता है तो सीमा को लेना वैसा ही है जैसे कि k को शून्य की ओर ले जाने की सीमा लेना क्योंकि h और k एक दूसरे के गुणक हैं। इसलिए, {{nowrap|1=''D''<sub>'''v'''</sub>(''f'') = λ''D''<sub>'''u'''</sub>(''f'')}}. इस पुनर्विक्रय संपत्ति के कारण, दिशात्मक व्युत्पन्न को अक्सर यूनिट वैक्टर के लिए ही मूल्या जाता है। | यह 'यू' के संबंध में एफ के दिशात्मक व्युत्पन्न के लिए अंतर भागफल का λ गुना है। इसके अलावा, जब h शून्य की ओर प्रवृत्त होता है तो सीमा को लेना वैसा ही है जैसे कि k को शून्य की ओर ले जाने की सीमा लेना क्योंकि h और k एक दूसरे के गुणक हैं। इसलिए, {{nowrap|1=''D''<sub>'''v'''</sub>(''f'') = λ''D''<sub>'''u'''</sub>(''f'')}}. इस पुनर्विक्रय संपत्ति के कारण, दिशात्मक व्युत्पन्न को अक्सर यूनिट वैक्टर के लिए ही मूल्या जाता है। | ||
यदि f के सभी आंशिक व्युत्पन्न | यदि f के सभी आंशिक व्युत्पन्न उपस्थित हैं और 'x' पर निरंतर हैं, तो वे सूत्र द्वारा 'v' दिशा में f का दिशात्मक व्युत्पन्न निर्धारित करते हैं: | ||
:<math>D_{\mathbf{v}}{f}(\boldsymbol{x}) = \sum_{j=1}^n v_j \frac{\partial f}{\partial x_j}.</math> | :<math>D_{\mathbf{v}}{f}(\boldsymbol{x}) = \sum_{j=1}^n v_j \frac{\partial f}{\partial x_j}.</math> | ||
यह [[कुल व्युत्पन्न]] की परिभाषा का परिणाम है। यह इस प्रकार है कि दिशात्मक व्युत्पन्न v में रैखिक मूल्यचित्र है, जिसका अर्थ है {{nowrap|1=''D''<sub>'''v''' + '''w'''</sub>(''f'') = ''D''<sub>'''v'''</sub>(''f'') + ''D''<sub>'''w'''</sub>(''f'')}}. | यह [[कुल व्युत्पन्न]] की परिभाषा का परिणाम है। यह इस प्रकार है कि दिशात्मक व्युत्पन्न v में रैखिक मूल्यचित्र है, जिसका अर्थ है {{nowrap|1=''D''<sub>'''v''' + '''w'''</sub>(''f'') = ''D''<sub>'''v'''</sub>(''f'') + ''D''<sub>'''w'''</sub>(''f'')}}. | ||
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वही परिभाषा तब भी काम करती है जब f 'R' में मूल्य वाला एक कार्य है<sup>मी</sup>. उपरोक्त परिभाषा सदिशों के प्रत्येक घटक पर लागू होती है। इस स्थिति में, दिशात्मक अवकलज 'R' में एक सदिश है।<sup>मी</sup>. | वही परिभाषा तब भी काम करती है जब f 'R' में मूल्य वाला एक कार्य है<sup>मी</sup>. उपरोक्त परिभाषा सदिशों के प्रत्येक घटक पर लागू होती है। इस स्थिति में, दिशात्मक अवकलज 'R' में एक सदिश है।<sup>मी</sup>. | ||
=== कुल व्युत्पन्न, कुल अंतर और जैकबियन | === कुल व्युत्पन्न, कुल अंतर और जैकबियन आव्यूह === | ||
{{Main|Total derivative}} | {{Main|Total derivative}} | ||
जब f 'R' के खुले उपसमुच्चय से एक फलन हो<sup>n</sup> से 'आर'<sup>m</sup>, तो किसी चुनी हुई दिशा में f का दिशात्मक व्युत्पन्न उस बिंदु पर और उस दिशा में f का सर्वोत्तम रैखिक सन्निकटन है। लेकिन जब {{nowrap|''n'' > 1}}, कोई भी एकल दिशात्मक व्युत्पन्न f के व्यवहार की पूरी तस्वीर नहीं दे सकता है। कुल व्युत्पन्न एक बार में सभी दिशाओं पर विचार करके पूरी त | |||