मूविंग फ्रेम: Difference between revisions
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== परिचय == | == परिचय == | ||
फ़्रेनेट-सेरेट फ्रेम घटता के अंतर ज्यामिति में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है, अंततः यूक्लिडियन | फ़्रेनेट-सेरेट फ्रेम घटता के अंतर ज्यामिति में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है, अंततः यूक्लिडियन समष्टि में समरूपता (ज्यामिति) तक चिकनी घटता के अधिक या कम पूर्ण वर्गीकरण के लिए अग्रणी होता है।<ref name="Griffiths">{{harvnb|Griffiths|1974}}</ref> फ़्रेनेट-सेरेट फ़ार्मुलों से पता चलता है कि वक्र पर परिभाषित कार्यों की एक जोड़ी है, एक वक्र और [[वक्रता]] का मरोड़, जो [[यौगिक]] फ्रेम द्वारा प्राप्त किया जाता है, और जो पूरी तरह से वर्णन करता है कि फ्रेम वक्र के साथ समय में कैसे विकसित होता है। सामान्य विधि की एक प्रमुख विशेषता यह है कि एक पसंदीदा मूविंग फ्रेम, बशर्ते इसे पाया जा सके, वक्र का पूर्ण गतिज विवरण देता है। | ||
सामान्य शब्दों में, संदर्भ का एक फ्रेम निर्देशांक प्रदान करके आसपास की समष्टि को मापने के लिए एक [[अवलोकन]] द्वारा उपयोग की जाने वाली छड़ को मापने की एक प्रणाली है। मूविंग फ्रेम तब संदर्भ का एक फ्रेम होता है जब पर्यवेक्षक के साथ प्रक्षेप[[वक्र]] (एक वक्र) के साथ चलता है। मूविंग फ्रेम की विधि, इस सरल उदाहरण में, पर्यवेक्षक के [[गतिकी]] गुणों से बाहर एक "वरीय" मूविंग फ्रेम का निर्माण करना चाहता है। एक ज्यामितीय व्यवस्थापन में, इस समस्या को 19वीं शताब्दी के मध्य में जीन फ्रेडेरिक फ्रेनेट और [[जोसेफ अल्फ्रेड सेरेट]] द्वारा हल किया गया था।<ref name="Chern">{{harvnb|Chern|1985}}</ref> फ्रेनेट-सेरेट फ्रेम वक्र पर परिभाषित एक मूविंग फ्रेम है जिसे पूरी तरह से वक्र के [[वेग]] और [[त्वरण]] से निर्मित किया जा सकता है।<ref>D. J. Struik, ''Lectures on classical differential geometry'', p. 18</ref> | सामान्य शब्दों में, संदर्भ का एक फ्रेम निर्देशांक प्रदान करके आसपास की समष्टि को मापने के लिए एक [[अवलोकन]] द्वारा उपयोग की जाने वाली छड़ को मापने की एक प्रणाली है। मूविंग फ्रेम तब संदर्भ का एक फ्रेम होता है जब पर्यवेक्षक के साथ प्रक्षेप[[वक्र]] (एक वक्र) के साथ चलता है। मूविंग फ्रेम की विधि, इस सरल उदाहरण में, पर्यवेक्षक के [[गतिकी]] गुणों से बाहर एक "वरीय" मूविंग फ्रेम का निर्माण करना चाहता है। एक ज्यामितीय व्यवस्थापन में, इस समस्या को 19वीं शताब्दी के मध्य में जीन फ्रेडेरिक फ्रेनेट और [[जोसेफ अल्फ्रेड सेरेट]] द्वारा हल किया गया था।<ref name="Chern">{{harvnb|Chern|1985}}</ref> फ्रेनेट-सेरेट फ्रेम वक्र पर परिभाषित एक मूविंग फ्रेम है जिसे पूरी तरह से वक्र के [[वेग]] और [[त्वरण]] से निर्मित किया जा सकता है।<ref>D. J. Struik, ''Lectures on classical differential geometry'', p. 18</ref> | ||
[[File:Darboux trihedron.svg|thumb|right| | [[File:Darboux trihedron.svg|thumb|right|डार्बौक्स ट्राइहेड्रॉन, एक बिंदु P से मिलकर, और [[ओर्थोगोनालिटी]] [[इकाई वेक्टर|इकाई सदिश]] का एक तिहाई e1, e2, और e3 जो इस अर्थ में सतह के अनुकूल है कि P सतह पर स्थित है, और e3 पृष्ठ के लंबवत है।]]19वीं शताब्दी के अंत में, [[गैस्टन डार्बौक्स]] ने एक वक्र के बजाय यूक्लिडियन समष्टि में एक [[सतह (गणित)]] पर एक पसंदीदा मूविंग फ्रेम के निर्माण की समस्या का अध्ययन किया, [[डार्बौक्स फ्रेम]] (या ट्राइएड्रे मोबाइल जिसे तब कहा जाता था)। इस तरह के एक फ्रेम का निर्माण करना सामान्य रूप से असंभव हो गया, और यह कि विभेदक प्रणालियों के लिए एकीकरण की शर्तें थीं जिन्हें पहले संतुष्ट करने की आवश्यकता थी।<ref name="Chern" /> | ||
बाद में, अधिक सामान्य सजातीय | बाद में, अधिक सामान्य सजातीय समष्टिों (जैसे प्रक्षेपी समष्टि) के सबमनीफोल्ड के अध्ययन में एली कार्टन और अन्य द्वारा बड़े पैमाने पर मूविंग फ्रेम विकसित किए गए थे। इस समायोजन में, एक फ्रेम एक सदिश समष्टि के आधार के ज्यामितीय विचार को अन्य प्रकार के ज्यामितीय रिक्त समष्टि ([[क्लेन ज्यामिति]]) पर ले जाता है। फ्रेम के कुछ उदाहरण हैं:<ref name="Griffiths" /> | ||
* एक रेखीय फ्रेम एक सदिश | * एक रेखीय फ्रेम एक सदिश समष्टि का एक क्रमबद्ध आधार है। | ||
* | * सदिश समष्टि का एक [[ऑर्थोनॉर्मल फ्रेम]] एक व्यवस्थित किया गया आधार है जिसमें [[ओर्थोगोनल]] इकाई सदिश (एक ऑर्थोनॉर्मल आधार) होता है। | ||
* एक [[affine अंतरिक्ष]] के एक [[एफ़िन फ्रेम]] में | *एक [[affine अंतरिक्ष|एफ़िन]] [[affine अंतरिक्ष|समष्टि]] के एक [[एफ़िन फ्रेम]] में संबंधित अंतर समष्टि में सदिश के आदेशित आधार के साथ उत्पत्ति का विकल्प होता है।<ref>[http://www.proofwiki.org/wiki/Definition:Affine_Frame "Affine frame" Proofwiki.org]</ref> | ||
* एक एफ़िन | *एक एफ़िन समष्टि का [[यूक्लिडियन फ्रेम]] अंतर समष्टि के ऑर्थोनॉर्मल आधार के साथ उत्पत्ति का एक विकल्प है। | ||
* | *एन-आयामी प्रक्षेपी समष्टि पर एक [[प्रक्षेप्य फ्रेम]] समष्टि में ''एन''+1 [[रैखिक रूप से स्वतंत्र]] बिंदुओं का एक आदेशित संग्रह है। | ||
* [[सामान्य सापेक्षता में फ़्रेम फ़ील्ड्स]] जर्मन में चार-आयामी फ़्रेम या | *[[सामान्य सापेक्षता में फ़्रेम फ़ील्ड्स]] जर्मन में [[चार-आयामी]] फ़्रेम या वियरबीन्स हैं। | ||
इनमें से प्रत्येक उदाहरण में, सभी फ़्रेमों का संग्रह एक निश्चित अर्थ में सजातीय | इनमें से प्रत्येक उदाहरण में, सभी फ़्रेमों का संग्रह एक निश्चित अर्थ में सजातीय समष्टि है। रैखिक फ्रेम की स्थिति में, उदाहरण के लिए, किसी भी दो फ्रेम [[सामान्य रैखिक समूह]] के एक तत्व से संबंधित होते हैं। प्रक्षेपी फ्रेम [[प्रक्षेपी रैखिक समूह]] से संबंधित हैं। फ्रेम के वर्ग की यह एकरूपता, या समरूपता रैखिक, एफ़िन, यूक्लिडियन, या प्रक्षेपी भूदृश्य की ज्यामितीय विशेषताओं को पकड़ती है। इन परिस्थितियों में एक मूविंग हुई फ्रेम बस यही है: एक फ्रेम जो बिंदु से बिंदु तक भिन्न होता है। | ||
औपचारिक रूप से, एक सजातीय | औपचारिक रूप से, एक सजातीय समष्टि G/H पर एक फ्रेम में टॉटोलॉजिकल बंडल G → G/H में एक बिंदु होता है। एक 'मूविंग फ्रेम' इस बंडल का एक भाग है। यह इस अर्थ में चल रहा है कि जैसे-जैसे आधार का बिंदु बदलता है, फाइबर में फ्रेम समरूपता समूह G के एक तत्व द्वारा बदल जाता है। ''M'' आंतरिक रूप से टॉटोलॉजिकल बंडल<ref>See Cartan (1983) 9.I; Appendix 2 (by Hermann) for the bundle of tangent frames. Fels and Olver (1998) for the case of more general fibrations. Griffiths (1974) for the case of frames on the tautological principal bundle of a homogeneous space.</ref> एक मूविंग फ्रेम को एक [[प्रमुख बंडल]] P पर कई गुना परिभाषित किया जा सकता है। इस स्थिति में, G-इक्विवेरिएंट मैपिंग φ : P → G द्वारा एक मूविंग फ्रेम दिया जाता है, इस प्रकार लाइ ग्रुप ''G'' के तत्वों द्वारा कई गुना तैयार किया जाता है। | ||
फ़्रेम की धारणा को एक और सामान्य स्थिति में विस्तारित किया जा सकता है: एक सोल्डर एक [[फाइबर बंडल]] को एक चिकनी कई गुना बना सकता है, इस तरह से कि फाइबर व्यवहार करते हैं जैसे कि वे स्पर्शरेखा थे। जब फाइबर बंडल एक समरूप समष्टि होता है, तो यह ऊपर वर्णित फ्रेम-फ़ील्ड में कम हो जाता है। जब समरूप समष्टि [[विशेष ऑर्थोगोनल समूह|विशेष ऑर्थोगोनल]] [[समूहों]] का भागफल होता है, तो यह एक वीरबीन की मानक अवधारणा को कम कर देता है। | |||
यद्यपि बाहरी और आंतरिक मूविंग फ़्रेमों के बीच एक पर्याप्त औपचारिक अंतर है, वे दोनों इस मायने में समान हैं कि एक गतिशील फ़्रेम हमेशा G में मैपिंग द्वारा दिया जाता है। समतुल्यता विधि, कई गुना पर एक प्राकृतिक मूविंग फ्रेम को खोजने के लिए है और फिर इसके [[डार्बौक्स व्युत्पन्न]] को लेना है, दूसरे शब्दों में पुलबैक (विभेदक ज्यामिति) G से M (या P) का [[मौरर-कार्टन फॉर्म]] है, और इस तरह का एक पूरा समुच्चय प्राप्त करता है कई गुना के लिए संरचनात्मक आक्रमणकारियों।<ref name="Griffiths" /> | |||
== मूविंग फ्रेम की विधि == | == मूविंग फ्रेम की विधि == | ||
{{harvtxt|Cartan|1937}} मूविंग फ्रेम की सामान्य परिभाषा और मूविंग फ्रेम की विधि तैयार की, जैसा कि | {{harvtxt|Cartan|1937}} ने मूविंग फ्रेम की सामान्य परिभाषा और मूविंग फ्रेम की विधि तैयार की, जैसा कि {{harvtxt|Weyl|1938}} द्वारा विस्तृत किया गया है। सिद्धांत के तत्व हैं | ||
* एक [[झूठ समूह]] | * एक [[झूठ समूह|लाइ समूह]] ''G.'' | ||
* एक [[क्लेन स्पेस]] | * एक [[क्लेन स्पेस|क्लेन समष्टि]] ''X'' जिसका ज्यामितीय ऑटोमोर्फिज्म का समूह ''G'' है। | ||
* एक चिकनी कई गुना Σ जो | * एक चिकनी कई गुना Σ जो ''X'' के लिए (सामान्यीकृत) निर्देशांक के समष्टि के रूप में कार्य करता है। | ||
* | *फ्रेमों बिंदु का संग्रह,ƒ जिनमें से प्रत्येक, ''X'' से Σ तक एक निर्देशांक फलन को परिपथ में निर्धारित करता है (फ्रेम की सटीक प्रकृति को सामान्य अभिगृहीत में अस्पष्ट छोड़ दिया जाता है)। | ||
तब इन तत्वों के बीच में स्वयंसिद्ध सिद्धान्त बनाये जाते हैंः | |||
* फ्रेम के संग्रह पर | * फ्रेम के संग्रह पर ''G'' की एक स्वतंत्र और संक्रमणीय [[समूह क्रिया (गणित)]] है: यह ''G'' के लिए एक [[प्रमुख सजातीय स्थान|प्रमुख सजातीय समष्टि]] है। विशेष रूप से, किसी भी जोड़ी के फ्रेम ƒ और ƒ' के लिए, फ्रेम का एक अनूठा संक्रमण होता है ( ƒ→ƒ') G में आवश्यकता (ƒ→ƒ')ƒ = ƒ' द्वारा निर्धारित किया गया है। | ||
* एक फ्रेम ƒ और एक बिंदु A ∈ X दिया गया है, वहां Σ से संबंधित एक बिंदु x= (A,ƒ) जुड़ा हुआ है। फ़्रेम ƒ द्वारा निर्धारित यह मानचित्रण X के बिंदुओं से Σ के बिंदुओं का एक आक्षेप है। यह आक्षेप फ्रेम की संरचना के कानून के साथ इस अर्थ में संगत है कि एक अलग फ्रेम में बिंदु ए के समन्वय x' ƒ' परिवर्तन (ƒ→ƒ') के आवेदन से (ए, ƒ) से उत्पन्न होता है। वह है, <math display="block">(A,f') = (f\to f')\circ(A,f).</math> | * एक फ्रेम ƒ और एक बिंदु A ∈ X दिया गया है, वहां Σ से संबंधित एक बिंदु x= (A,ƒ) जुड़ा हुआ है। फ़्रेम ƒ द्वारा निर्धारित यह मानचित्रण X के बिंदुओं से Σ के बिंदुओं का एक आक्षेप है। यह आक्षेप फ्रेम की संरचना के कानून के साथ इस अर्थ में संगत है कि एक अलग फ्रेम में बिंदु ए के समन्वय x' ƒ' परिवर्तन (ƒ→ƒ') के आवेदन से (ए, ƒ) से उत्पन्न होता है। वह है, <math display="block">(A,f') = (f\to f')\circ(A,f).</math> | ||
विधि के हित में | विधि के हित में ''X'' के पैरामिट्रीकृत सबमनिफोल्ड हैं। विचार काफी हद तक समष्टिीय हैं, इसलिए पैरामीटर डोमेन को '''R'''<sup>λ</sup> का एक खुला उपसमुच्चय माना जाता है। थोड़ी अलग तकनीकें इस पर निर्भर करती हैं कि क्या कोई सबमेनिफोल्ड में इसके पैरामीटराइजेशन के साथ रुचि रखता है, या सबमैनिफोल्ड रीपैरामीटराइजेशन तक। | ||
== मूविंग स्पर्शरेखा फ्रेम == | |||
{{main|फ्रेम बंडल}} | |||
मूविंग फ्रेम की सबसे आम स्थिति मैनिफोल्ड के स्पर्शरेखा फ्रेम (जिसे [[फ्रेम बंडल]] भी कहा जाता है) के बंडल के लिए है। इस स्थिति में, कई गुना ''M'' पर चलने वाले स्पर्शरेखा फ्रेम में सदिश क्षेत्र का संग्रह होता है (''e''<sub>1</sub>, ''e''<sub>2</sub>, …, ''e<sub>n</sub>'') एक ओपन सम्मुच्य ''U'' ⊂ ''M'' के प्रत्येक बिंदु पर [[स्पर्शरेखा स्थान|स्पर्शरेखा समष्टि]] का एक आधार बनाते हुए। | |||
मूविंग फ्रेम | |||
यदि <math>(x^1,x^2,\dots,x^n)</math> | यदि <math>(x^1,x^2,\dots,x^n)</math> ''U'' पर एक समन्वय प्रणाली है, तब प्रत्येक सदिश क्षेत्र ''e<sub>j</sub>'' को निर्देशांक सदिश क्षेत्रों के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है <math display="inline">\frac{\partial}{\partial x^i}</math>:<math display="block">e_j = \sum_{i=1}^n A^i_j \frac{\partial}{\partial x^i},</math>जहाँ प्रत्येक <math>A^i_j</math>, U पर एक फलन है। इन्हें आव्यूह <math>A</math> के घटकों के रूप में देखा जा सकता है। जैसा कि अगले भाग में बताया गया है, यह आव्यूह द्वैत कोफ़्रेम की समन्वय अभिव्यक्ति को खोजने के लिए उपयोगी है। | ||
=== कोफ़्रेम === | === कोफ़्रेम === | ||
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जो ''U'' में प्रत्येक बिंदु ''q'' पर रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। इसके विपरीत, इस तरह के कोफ़्रेम दिए जाने पर, एक अद्वितीय मूविंग फ़्रेम होता है {''e''<sub>1</sub>, ''e''<sub>2</sub>, …, ''e<sub>n</sub>'' } जो इसके लिए द्वैत है, अर्थात, द्वैत संबंध को संतुष्ट करता है ''θ<sup>i</sup>''(''e<sub>j</sub>'') = ''δ<sup>i</sup><sub>j</sub>'', है जहां ''δ<sup>i</sup><sub>j</sub>'' ''U'' पर [[क्रोनेकर डेल्टा]] का फलन है। | जो ''U'' में प्रत्येक बिंदु ''q'' पर रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। इसके विपरीत, इस तरह के कोफ़्रेम दिए जाने पर, एक अद्वितीय मूविंग फ़्रेम होता है {''e''<sub>1</sub>, ''e''<sub>2</sub>, …, ''e<sub>n</sub>'' } जो इसके लिए द्वैत है, अर्थात, द्वैत संबंध को संतुष्ट करता है ''θ<sup>i</sup>''(''e<sub>j</sub>'') = ''δ<sup>i</sup><sub>j</sub>'', है जहां ''δ<sup>i</sup><sub>j</sub>'' ''U'' पर [[क्रोनेकर डेल्टा]] का फलन है। | ||
यदि <math>(x^1,x^2,\dots,x^n)</math> ''U'' पर एक समन्वय प्रणाली है, जैसा कि पिछले खंड में है, तो प्रत्येक कोसदिश क्षेत्र ''θ''<sup>i</sup> को निर्देशांक कोसदिश फ़ील्ड <math>dx^i</math> के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:<math display="block">\theta^i = \sum_{j=1}^n B^i_j dx^j,</math>जहाँ प्रत्येक <math>B^i_j</math> U पर एक फलन है। चूंकि <math display="inline">dx^i \left(\frac{\partial}{\partial x^j}\right) = \delta^i_j</math>, ऊपर दिए गए दो समन्वयित भाव उपज के लिए संयोजित होते हैं <math display="inline"> \sum_{k=1}^n B^i_k A^k_j = \delta^i_j </math>; आव्यूहों के संदर्भ में, यह सिर्फ इतना कहता है कि <math>A</math> और <math>B</math> एक दूसरे के व्युत्क्रम हैं। | |||
[[शास्त्रीय यांत्रिकी]] की स्थापना में, जब कैनोनिकल निर्देशांक के साथ काम करते हैं, कैनोनिकल कोफ़्रेम [[टॉटोलॉजिकल वन-फॉर्म]] द्वारा दिया गया है। सहज रूप से, यह एक यांत्रिक प्रणाली के वेगों से संबंधित है (निर्देशांकों के स्पर्शरेखा बंडल पर सदिश क्षेत्रों द्वारा दिए गए) प्रणाली के इसी क्षण के लिए (कॉटेन्जेंट बंडल में सदिश क्षेत्रों द्वारा दिए गए;अर्थात् रूपों द्वारा दिए गए)। टॉटोलॉजिकल वन-फॉर्म अधिक सामान्य सोल्डर फॉर्म का एक विशेष स्थिति है, जो सामान्य फाइबर बंडल पर एक (सह) फ्रेम क्षेत्र प्रदान करता है। | |||