भिन्न: Difference between revisions
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सकारात्मक सामान्य भिन्नों में, अंश और हर प्राकृतिक संख्याएं हैं। अंश कई समान भागों का प्रतिनिधित्व करता है, और हर इंगित करता है कि उन भागों में से कितने एक इकाई या संपूर्ण बनाते हैं। हर शून्य नहीं हो सकता है, क्योंकि शून्य भाग कभी भी पूरी नहीं कर सकते। उदाहरण के लिए, अंश में {{sfrac|3|4}}, अंश 3 इंगित करता है कि अंश 3 बराबर भागों का प्रतिनिधित्व करता है, और हर 4 इंगित करता है कि 4 भाग एक पूरे बनाते हैं। दाईं ओर चित्र दिखाता है {{sfrac|3|4}} एक केक का। | सकारात्मक सामान्य भिन्नों में, अंश और हर प्राकृतिक संख्याएं हैं। अंश कई समान भागों का प्रतिनिधित्व करता है, और हर इंगित करता है कि उन भागों में से कितने एक इकाई या संपूर्ण बनाते हैं। हर शून्य नहीं हो सकता है, क्योंकि शून्य भाग कभी भी पूरी नहीं कर सकते। उदाहरण के लिए, अंश में {{sfrac|3|4}}, अंश 3 इंगित करता है कि अंश 3 बराबर भागों का प्रतिनिधित्व करता है, और हर 4 इंगित करता है कि 4 भाग एक पूरे बनाते हैं। दाईं ओर चित्र दिखाता है {{sfrac|3|4}} एक केक का। | ||
एक सामान्य भिन्न एक अंक है जो एक | एक सामान्य भिन्न एक अंक है जो एक परिमेय संख्या का प्रतिनिधित्व करता है। उसी संख्या को दशमलव, एक प्रतिशत या नकारात्मक घातांक के साथ भी दर्शाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 0.01, 1% और 10<sup>−2 </sup> सभी अंश 1/100 के बराबर हैं। एक पूर्णांक को एक के निहित हर के रूप में सोचा जा सकता है (उदाहरण के लिए, 7, 7/1 के बराबर)। | ||
भिन्नों के लिए अन्य उपयोग अनुपात और विभाजन का प्रतिनिधित्व करते हैं।<ref>H. Wu, The Mis-Education of Mathematics Teachers , ''Notices of the American Mathematical Society'', Volume 58, Issue 03 (March 2011), [https://www.ams.org/notices/201103/rtx110300372p.pdf#page374 p. 374] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170820101254/http://www.ams.org/notices/201103/rtx110300372p.pdf#page374 |date=2017-08-20 }}</ref> इस प्रकार भिन्न {{sfrac|3|4}} अनुपात 3:4 (पूरे के लिए भाग का अनुपात), और डिवीजन 3 ÷ 4 (चार से तीन विभाजित) का प्रतिनिधित्व करने के लिए भी उपयोग किया जा सकता है। गैर-शून्य हर नियम, जो एक विभाजन के रूप में एक विभाजन का प्रतिनिधित्व करते समय लागू होता है, नियम का एक उदाहरण है कि शून्य द्वारा विभाजन अपरिभाषित है। | भिन्नों के लिए अन्य उपयोग अनुपात और विभाजन का प्रतिनिधित्व करते हैं।<ref>H. Wu, The Mis-Education of Mathematics Teachers , ''Notices of the American Mathematical Society'', Volume 58, Issue 03 (March 2011), [https://www.ams.org/notices/201103/rtx110300372p.pdf#page374 p. 374] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170820101254/http://www.ams.org/notices/201103/rtx110300372p.pdf#page374 |date=2017-08-20 }}</ref> इस प्रकार भिन्न {{sfrac|3|4}} अनुपात 3:4 (पूरे के लिए भाग का अनुपात), और डिवीजन 3 ÷ 4 (चार से तीन विभाजित) का प्रतिनिधित्व करने के लिए भी उपयोग किया जा सकता है। गैर-शून्य हर नियम, जो एक विभाजन के रूप में एक विभाजन का प्रतिनिधित्व करते समय लागू होता है, नियम का एक उदाहरण है कि शून्य द्वारा विभाजन अपरिभाषित है। | ||
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एक भिन्न में, वर्णित किए जा रहे समान भागों की संख्या अंश (लैटिन शब्द {{lang|la|numerātor}}, काउंटर या नंबरर से है), और भागों का प्रकार 'हर' (लैटिन शब्द {{lang|la|dēnōminātor}},से है जो नाम या नामित करती है) है।<!--both boldface per WP:R#PLA--><ref name="schwartzman">{{cite book |last=Schwartzman|first=Steven |title=The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English |url=https://archive.org/details/wordsofmathemati0000schw|url-access=registration|publisher=Mathematical Association of America |date=1994|isbn=978-0-88385-511-9 }}</ref><ref>{{Cite web|title=Fractions|url=https://www.mathsisfun.com/fractions.html|access-date=2020-08-27|website=www.mathsisfun.com}}</ref> एक उदाहरण के रूप में, भिन्न {{sfrac|8|5}} आठ भागों की मात्रा, जिनमें से प्रत्येक पांचवें नाम के प्रकार का है। विभाजन के संदर्भ में, अंश भाज्य से मेल खाती है, और हर भाजक से मेल खाता है। | एक भिन्न में, वर्णित किए जा रहे समान भागों की संख्या अंश (लैटिन शब्द {{lang|la|numerātor}}, काउंटर या नंबरर से है), और भागों का प्रकार 'हर' (लैटिन शब्द {{lang|la|dēnōminātor}},से है जो नाम या नामित करती है) है।<!--both boldface per WP:R#PLA--><ref name="schwartzman">{{cite book |last=Schwartzman|first=Steven |title=The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English |url=https://archive.org/details/wordsofmathemati0000schw|url-access=registration|publisher=Mathematical Association of America |date=1994|isbn=978-0-88385-511-9 }}</ref><ref>{{Cite web|title=Fractions|url=https://www.mathsisfun.com/fractions.html|access-date=2020-08-27|website=www.mathsisfun.com}}</ref> एक उदाहरण के रूप में, भिन्न {{sfrac|8|5}} आठ भागों की मात्रा, जिनमें से प्रत्येक पांचवें नाम के प्रकार का है। विभाजन के संदर्भ में, अंश भाज्य से मेल खाती है, और हर भाजक से मेल खाता है। | ||
अनौपचारिक रूप से, अंश और हर को अकेले प्लेसमेंट द्वारा प्रतिष्ठित किया जा सकता है, लेकिन औपचारिक संदर्भों में वे आमतौर पर एक भिन्न बार द्वारा अलग किए जाते हैं<!--boldface per WP:R#PLA-->। अंश बार क्षैतिज हो सकता है (जैसा कि में) {{sfrac|1|3}}), तिरछे (2/5 के रूप में), या विकर्ण (के रूप में {{Fraction|4|9}})।<ref name=ambrose/> इन निशानों को क्रमशः क्षैतिज बार के रूप में जाना जाता है;द वर्जुले, स्लैश (यूएस), या स्ट्रोक (यूके);और अंश बार, सॉलिडस,<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Fraction|url=https://mathworld.wolfram.com/Fraction.html|access-date=2020-08-27|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> या अंश स्लैश।{{refn|group=n|Some typographers such as [[Robert Bringhurst|Bringhurst]] mistakenly distinguish the slash {{angle brackets|[[/]]}} as the ''[[wikt:virgule|virgule]]'' and the fraction slash {{angle brackets|[[⁄]]}} as the ''[[solidus mark|solidus]]'',<ref name="bringhurst">{{cite book |last=Bringhurst |first=Robert |year=2002 |title=The Elements of Typographic Style |edition=3rd |publisher=Hartley & Marks |isbn=978-0-88179-206-5 |pages=81–82 |contribution=5.2.5: Use the Virgule with Words and Dates, the Solidus with Split-level Fractions |location=[[Point Roberts, Washington|Point Roberts]]}}</ref> although in fact both are synonyms for the standard slash.<ref name=verg>{{cite encyclopedia |encyclopedia=Oxford English Dictionary |edition=1st |title=virgule, ''n.'' |date=1917 |location=Oxford |publisher=Oxford University Press }}</ref><ref name=oedsolid>{{cite encyclopedia |encyclopedia=Oxford English Dictionary |edition=1st |title=solidus, ''n.<sup>1</sup>'' |date=1913 |location=Oxford |publisher=Oxford University Press }}</ref>}} टाइपोग्राफी में, लंबवत रूप से स्टैक किए गए अंशों को एन या अखरोट अंशों के रूप में भी जाना जाता है, और विकर्ण को ईएम या मटन अंशों के रूप में जाना जाता है, इस पर आधारित है कि क्या एक एकल-अंकों के अंश और हर के साथ एक अंश एक संकीर्ण एन वर्ग, या एक व्यापक एम के अनुपात पर कब्जा कर लेता है।वर्ग।<ref name=ambrose>{{cite book |last=Ambrose |first=Gavin |author2=Paul Harris |display-authors=1 |ref={{harvid|Ambrose & al.}} |page=[https://books.google.co.jp/books?id=IW9MAQAAQBAJ&pg=PA74 74] |url=https://books.google.com/books?id=IW9MAQAAQBAJ |title=The Fundamentals of Typography |edition=2nd |publisher=AVA Publishing |location=Lausanne |date=2006 |isbn=978-2-940411-76-4 |access-date=2016-02-20 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160304022742/https://books.google.co.jp/books?id=IW9MAQAAQBAJ&printsec=frontcover |archive-date=2016-03-04 |url-status=live }}.</ref> पारंपरिक टाइपफाउंडिंग में, एक पूर्ण अंश को प्रभावित करने वाला प्रकार का एक टुकड़ा (उदा। {{sfrac|1|2}}) को एक केस अंश के रूप में जाना जाता था, जबकि अंश के केवल हिस्से का प्रतिनिधित्व करने वालों को टुकड़ा अंश कहा जाता था। | अनौपचारिक रूप से, अंश और हर को अकेले प्लेसमेंट द्वारा प्रतिष्ठित किया जा सकता है, लेकिन औपचारिक संदर्भों में वे आमतौर पर एक भिन्न बार द्वारा अलग किए जाते हैं<!--boldface per WP:R#PLA-->। अंश बार क्षैतिज हो सकता है (जैसा कि में) {{sfrac|1|3}}), तिरछे (2/5 के रूप में), या विकर्ण (के रूप में {{Fraction|4|9}})।<ref name=ambrose/> इन निशानों को क्रमशः क्षैतिज बार के रूप में जाना जाता है; द वर्जुले, स्लैश (यूएस), या स्ट्रोक (यूके);और अंश बार, सॉलिडस,<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Fraction|url=https://mathworld.wolfram.com/Fraction.html|access-date=2020-08-27|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> या अंश स्लैश।{{refn|group=n|Some typographers such as [[Robert Bringhurst|Bringhurst]] mistakenly distinguish the slash {{angle brackets|[[/]]}} as the ''[[wikt:virgule|virgule]]'' and the fraction slash {{angle brackets|[[⁄]]}} as the ''[[solidus mark|solidus]]'',<ref name="bringhurst">{{cite book |last=Bringhurst |first=Robert |year=2002 |title=The Elements of Typographic Style |edition=3rd |publisher=Hartley & Marks |isbn=978-0-88179-206-5 |pages=81–82 |contribution=5.2.5: Use the Virgule with Words and Dates, the Solidus with Split-level Fractions |location=[[Point Roberts, Washington|Point Roberts]]}}</ref> although in fact both are synonyms for the standard slash.<ref name=verg>{{cite encyclopedia |encyclopedia=Oxford English Dictionary |edition=1st |title=virgule, ''n.'' |date=1917 |location=Oxford |publisher=Oxford University Press }}</ref><ref name=oedsolid>{{cite encyclopedia |encyclopedia=Oxford English Dictionary |edition=1st |title=solidus, ''n.<sup>1</sup>'' |date=1913 |location=Oxford |publisher=Oxford University Press }}</ref>}} टाइपोग्राफी में, लंबवत रूप से स्टैक किए गए अंशों को एन या अखरोट अंशों के रूप में भी जाना जाता है, और विकर्ण को ईएम या मटन अंशों के रूप में जाना जाता है, इस पर आधारित है कि क्या एक एकल-अंकों के अंश और हर के साथ एक अंश एक संकीर्ण एन वर्ग, या एक व्यापक एम के अनुपात पर कब्जा कर लेता है।वर्ग।<ref name=ambrose>{{cite book |last=Ambrose |first=Gavin |author2=Paul Harris |display-authors=1 |ref={{harvid|Ambrose & al.}} |page=[https://books.google.co.jp/books?id=IW9MAQAAQBAJ&pg=PA74 74] |url=https://books.google.com/books?id=IW9MAQAAQBAJ |title=The Fundamentals of Typography |edition=2nd |publisher=AVA Publishing |location=Lausanne |date=2006 |isbn=978-2-940411-76-4 |access-date=2016-02-20 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160304022742/https://books.google.co.jp/books?id=IW9MAQAAQBAJ&printsec=frontcover |archive-date=2016-03-04 |url-status=live }}.</ref> पारंपरिक टाइपफाउंडिंग में, एक पूर्ण अंश को प्रभावित करने वाला प्रकार का एक टुकड़ा (उदा। {{sfrac|1|2}}) को एक केस अंश के रूप में जाना जाता था, जबकि अंश के केवल हिस्से का प्रतिनिधित्व करने वालों को टुकड़ा अंश कहा जाता था। | ||
अंग्रेजी भिन्नों के हर को आम तौर पर क्रमिक संख्या के रूप में व्यक्त किया जाता है, बहुवचन में यदि अंश 1 नहीं है (उदाहरण के लिए, {{sfrac|2|5}} तथा {{sfrac|3|5}} दोनों को पांचवें स्थान के रूप में पढ़ा जाता है।) अपवादों में डेनोमिनेटर 2 शामिल हैं, जो हमेशा आधा या हिस्सों को पढ़ा जाता है, हर 4, जिसे वैकल्पिक रूप से क्वार्टर / क्वार्टर या चौथे / चौथे के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, और हर 100, जो हो सकता है वैकल्पिक रूप से सौवें / सौवें या प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाए। | अंग्रेजी भिन्नों के हर को आम तौर पर क्रमिक संख्या के रूप में व्यक्त किया जाता है, बहुवचन में यदि अंश 1 नहीं है (उदाहरण के लिए, {{sfrac|2|5}} तथा {{sfrac|3|5}} दोनों को पांचवें स्थान के रूप में पढ़ा जाता है।) अपवादों में डेनोमिनेटर 2 शामिल हैं, जो हमेशा आधा या हिस्सों को पढ़ा जाता है, हर 4, जिसे वैकल्पिक रूप से क्वार्टर / क्वार्टर या चौथे / चौथे के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, और हर 100, जो हो सकता है वैकल्पिक रूप से सौवें / सौवें या प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाए। | ||
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जब हर 1 होता है, तो इसे पूरी तरह से व्यक्त किया जा सकता है, लेकिन आमतौर पर अधिक अनदेखा किया जाता है, अंश के साथ एक पूरी संख्या के रूप में पढ़ा जाता है। उदाहरण के लिए, {{sfrac|3|1}} तीन थोक के रूप में, या बस तीन के रूप में वर्णित किया जा सकता है। जब अंश 1 होता है, तो इसे छोड़ा जा सकता है (जैसा कि दसवें या प्रत्येक तिमाही में)। | जब हर 1 होता है, तो इसे पूरी तरह से व्यक्त किया जा सकता है, लेकिन आमतौर पर अधिक अनदेखा किया जाता है, अंश के साथ एक पूरी संख्या के रूप में पढ़ा जाता है। उदाहरण के लिए, {{sfrac|3|1}} तीन थोक के रूप में, या बस तीन के रूप में वर्णित किया जा सकता है। जब अंश 1 होता है, तो इसे छोड़ा जा सकता है (जैसा कि दसवें या प्रत्येक तिमाही में)। | ||
पूरे अंश को एक एकल रचना के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिस स्थिति में यह हाइफ़न किया जाता है, या एक के एक अंश के साथ कई अंशों के रूप में, जिस स्थिति में वे नहीं हैं।(उदाहरण के लिए, दो-पांचवें अंश है {{sfrac|2|5}} और दो पांचवें एक ही अंश है जो 2 उदाहरणों के रूप में समझा जाता है {{sfrac|1|5}}।) विशेषण के रूप में उपयोग किए जाने पर अंशों को हमेशा हाइफ़न किया जाना | पूरे अंश को एक एकल रचना के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिस स्थिति में यह हाइफ़न किया जाता है, या एक के एक अंश के साथ कई अंशों के रूप में, जिस स्थिति में वे नहीं हैं। (उदाहरण के लिए, दो-पांचवें अंश है {{sfrac|2|5}} और दो पांचवें एक ही अंश है जो 2 उदाहरणों के रूप में समझा जाता है {{sfrac|1|5}}।) विशेषण के रूप में उपयोग किए जाने पर अंशों को हमेशा हाइफ़न किया जाना चाहिए। वैकल्पिक रूप से, एक अंश का वर्णन इसे डेनोमिनेटर पर अंश के रूप में पढ़कर, कार्डिनल नंबर के रूप में व्यक्त किए गए हर के साथ किया जा सकता है। (उदाहरण के लिए, {{sfrac|3|1}} एक से अधिक एक के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है।) इस शब्द का उपयोग सॉलिडस अंशों के मामले में भी किया जाता है, जहां संख्याओं को एक स्लैश मार्क के बाएं और दाएं रखा जाता है। (उदाहरण के लिए, 1/2 को एक-आधा, एक आधा या दो से अधिक पढ़ा जा सकता है।) बड़े हर के साथ अंश जो दस की शक्तियां नहीं हैं, अक्सर इस फैशन में प्रदान किए जाते हैं (जैसे, {{sfrac|1|117}} एक सौ से अधिक सत्रह से अधिक के रूप में, जबकि दस से विभाज्य के साथ उन लोगों को आमतौर पर सामान्य क्रमिक फैशन में पढ़ा जाता है (जैसे, {{sfrac|6|1000000}} छह-मिलियन, छह मिलियन, या छह एक-मिलियनवें के रूप में)। | ||
== भिन्नों के रूप == | == भिन्नों के रूप == | ||
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=== सरल, सामान्य, या अशिष्ट भिन्न === | === सरल, सामान्य, या अशिष्ट भिन्न === | ||
<!-- Real number links here. --> | <!-- Real number links here. --> | ||
एक साधारण भिन्न (जिसे एक सामान्य भिन्न या अशिष्ट भिन्न के रूप में भी जाना जाता है, जहां अशिष्ट लैटिन के लिए आम है) एक | एक साधारण भिन्न (जिसे एक सामान्य भिन्न या अशिष्ट भिन्न के रूप में भी जाना जाता है, जहां अशिष्ट लैटिन के लिए आम है) एक परिमेय संख्या है, जिसे '' a/b'या <math>\tfrac{a}{b}</math>,के रूप में लिखा गया है जहां a और b दोनों पूर्णांक हैं।<ref>{{MathWorld |title=Common Fraction |id=CommonFraction}}</ref> अन्य अंशों के साथ, हर (b) शून्य नहीं हो सकता है। उदाहरणों में शामिल <math>\tfrac{1}{2}</math>, <math>-\tfrac{8}{5}</math>, <math>\tfrac{-8}{5}</math>, तथा <math>\tfrac{8}{-5}</math>, इस शब्द का उपयोग मूल रूप से खगोल विज्ञान में उपयोग किए जाने वाले सेक्सेजिमल अंश से इस प्रकार के अंश को अलग करने के लिए किया गया था।<ref name="Smith1958">{{cite book|author=David E. Smith|title=History of Mathematics|url=https://books.google.com/books?id=uTytJGnTf1kC|date=1 June 1958|publisher=Courier Corporation|isbn=978-0-486-20430-7|page=219}}</ref>'' सामान्य भिन्न सकारात्मक या नकारात्मक हो सकते हैं, और वे उचित या अनुचित हो सकते हैं (नीचे देखें)। यौगिक भिन्न, जटिल भिन्न, मिश्रित अंक, और दशमलव (नीचे देखें) सामान्य भिन्न नहीं हैं; हालांकि, जब तक तर्कहीन नहीं होता है, तब तक उन्हें एक सामान्य भिन्न का मूल्यांकन नहीं किया जा सकता है। | ||
* एक इकाई भिन्न 1 के एक अंश के साथ एक सामान्य भिन्न है (जैसे,, <math>\tfrac{1}{7}</math>)। यूनिट अंशों को नकारात्मक घातांक का उपयोग करके भी व्यक्त किया जा सकता है, जैसा कि 2 में है<sup>−1 </sup>, जो 1/2, और 2 का प्रतिनिधित्व करता है<sup>−2 </sup>, जो 1/(2 का प्रतिनिधित्व करता है<sup>2 </sup>) या 1/4। | * एक इकाई भिन्न 1 के एक अंश के साथ एक सामान्य भिन्न है (जैसे,, <math>\tfrac{1}{7}</math>)। यूनिट अंशों को नकारात्मक घातांक का उपयोग करके भी व्यक्त किया जा सकता है, जैसा कि 2 में है<sup>−1 </sup>, जो 1/2, और 2 का प्रतिनिधित्व करता है<sup>−2 </sup>, जो 1/(2 का प्रतिनिधित्व करता है<sup>2 </sup>) या 1/4। | ||
* एक डायडिक भिन्न एक सामान्य भिन्न है जिसमें हर दो की शक्ति है, उदा। <math>\tfrac{1}{8}=\tfrac{1}{2^3}</math>। | * एक डायडिक भिन्न एक सामान्य भिन्न है जिसमें हर दो की शक्ति है, उदा। <math>\tfrac{1}{8}=\tfrac{1}{2^3}</math>। | ||
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यूनिकोड में, प्रीकोम्ड अंश वर्ण संख्या रूपों के ब्लॉक में होते हैं। | यूनिकोड में, प्रीकोम्ड अंश वर्ण संख्या रूपों के ब्लॉक में होते हैं। | ||
=== | === सम और विषम भिन्न === | ||
सामान्य अंशों को या तो उचित या अनुचित के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है।जब अंश और हर दोनों सकारात्मक होते हैं, तो अंश को उचित कहा जाता है यदि अंश हर से कम है, और अन्यथा अनुचित है।<ref>{{cite web |url=http://www.worldwidewords.org/qa/qa-vul1.htm |title=World Wide Words: Vulgar fractions |work=World Wide Words |access-date=2014-10-30 |archive-url=https://web.archive.org/web/20141030183347/http://www.worldwidewords.org/qa/qa-vul1.htm |archive-date=2014-10-30 |url-status=live}}</ref><ref>{{MathWorld |title=Improper Fraction |id=ImproperFraction}}</ref> एक अनुचित अंश की अवधारणा एक देर से विकास है, इस तथ्य से प्राप्त शब्दावली के साथ कि अंश का अर्थ है एक टुकड़ा, इसलिए एक उचित अंश 1 से कम होना चाहिए।<ref name="Smith1958"/>यह 17 वीं शताब्दी की पाठ्यपुस्तक द ग्राउंड ऑफ आर्ट्स में समझाया गया था।<ref name="Williams2011">{{cite book |author=Jack Williams |title=Robert Recorde: Tudor Polymath, Expositor and Practitioner of Computation |url=https://books.google.com/books?id=dTqHIM1ds1kC&pg=PA87 |date=19 November 2011 |publisher=Springer Science & Business Media |isbn=978-0-85729-862-1 |pages=87–}}</ref><ref name="Record1654">{{cite book |last=Record |first=Robert |title=Record's Arithmetick: Or, the Ground of Arts: Teaching the Perfect Work and Practise of Arithmetick ... Made by Mr. Robert Record ... Afterward Augmented by Mr. John Dee. And Since Enlarged with a Third Part of Rules of Practise ... By John Mellis. And Now Diligently Perused, Corrected ... and Enlarged ; with an Appendix of Figurative Numbers ... with Tables of Board and Timber Measure ... the First Calculated by R. C. But Corrected, and the Latter ... Calculated by Ro. Hartwell ... |url=https://books.google.com/books?id=colv-l9SOlcC&pg=PA266 |year=1654 |publisher=James Flesher, and are to be sold by Edward Dod |pages=266–}}</ref> | सामान्य अंशों को या तो उचित या अनुचित के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है।जब अंश और हर दोनों सकारात्मक होते हैं, तो अंश को उचित कहा जाता है यदि अंश हर से कम है, और अन्यथा अनुचित है।<ref>{{cite web |url=http://www.worldwidewords.org/qa/qa-vul1.htm |title=World Wide Words: Vulgar fractions |work=World Wide Words |access-date=2014-10-30 |archive-url=https://web.archive.org/web/20141030183347/http://www.worldwidewords.org/qa/qa-vul1.htm |archive-date=2014-10-30 |url-status=live}}</ref><ref>{{MathWorld |title=Improper Fraction |id=ImproperFraction}}</ref> एक अनुचित अंश की अवधारणा एक देर से विकास है, इस तथ्य से प्राप्त शब्दावली के साथ कि अंश का अर्थ है एक टुकड़ा, इसलिए एक उचित अंश 1 से कम होना चाहिए।<ref name="Smith1958"/>यह 17 वीं शताब्दी की पाठ्यपुस्तक द ग्राउंड ऑफ आर्ट्स में समझाया गया था।<ref name="Williams2011">{{cite book |author=Jack Williams |title=Robert Recorde: Tudor Polymath, Expositor and Practitioner of Computation |url=https://books.google.com/books?id=dTqHIM1ds1kC&pg=PA87 |date=19 November 2011 |publisher=Springer Science & Business Media |isbn=978-0-85729-862-1 |pages=87–}}</ref><ref name="Record1654">{{cite book |last=Record |first=Robert |title=Record's Arithmetick: Or, the Ground of Arts: Teaching the Perfect Work and Practise of Arithmetick ... Made by Mr. Robert Record ... Afterward Augmented by Mr. John Dee. And Since Enlarged with a Third Part of Rules of Practise ... By John Mellis. And Now Diligently Perused, Corrected ... and Enlarged ; with an Appendix of Figurative Numbers ... with Tables of Board and Timber Measure ... the First Calculated by R. C. But Corrected, and the Latter ... Calculated by Ro. Hartwell ... |url=https://books.google.com/books?id=colv-l9SOlcC&pg=PA266 |year=1654 |publisher=James Flesher, and are to be sold by Edward Dod |pages=266–}}</ref> | ||
सामान्य तौर पर, एक सामान्य अंश को एक उचित अंश कहा जाता है, यदि अंश का निरपेक्ष मूल्य एक से कम है - अर्थात्, यदि अंश −1 से अधिक है और 1 से कम है।<ref>{{cite web |url=http://mathforum.org/library/drmath/view/65128.html |title=Math Forum – Ask Dr. Math: Can Negative Fractions Also Be Proper or Improper? |author=Laurel |date=31 March 2004 |access-date=2014-10-30 |archive-url=https://web.archive.org/web/20141109010850/http://mathforum.org/library/drmath/view/65128.html |archive-date=9 November 2014 |url-status=live}}</ref><ref>{{cite web |url=http://www.necompact.org/ea/gle_support/Math/resources_number/prop_fraction.htm |title=New England Compact Math Resources |access-date=2011-12-31 |archive-url=https://web.archive.org/web/20120415053421/http://www.necompact.org/ea/gle_support/Math/resources_number/prop_fraction.htm |archive-date=2012-04-15 |url-status=dead}}</ref> यह एक अनुचित अंश, या कभी-कभी शीर्ष-भारी अंश कहा जाता है,<ref>{{cite book |last1=Greer |first1=A. |title=New comprehensive mathematics for 'O' level |date=1986 |publisher=Thornes |location=Cheltenham |isbn=978-0-85950-159-0 |page=5 |edition=2nd ed., reprinted |url=https://books.google.com/books?id=wX2dxeDahAwC&pg=PA5 |access-date=2014-07-29 |archive-url=https://web.archive.org/web/20190119204758/https://books.google.com/books?id=wX2dxeDahAwC&pg=PA5 |archive-date=2019-01-19 |url-status=live}}</ref> यदि अंश का निरपेक्ष मान 1. से अधिक या बराबर है। उचित अंशों के उदाहरण 2/3, −3/4, और 4/9 हैं, जबकि अनुचित अंशों के उदाहरण 9/4, −4/3, और हैं, और3/3। | सामान्य तौर पर, एक सामान्य अंश को एक उचित अंश कहा जाता है, यदि अंश का निरपेक्ष मूल्य एक से कम है - अर्थात्, यदि अंश −1 से अधिक है और 1 से कम है।<ref>{{cite web |url=http://mathforum.org/library/drmath/view/65128.html |title=Math Forum – Ask Dr. Math: Can Negative Fractions Also Be Proper or Improper? |author=Laurel |date=31 March 2004 |access-date=2014-10-30 |archive-url=https://web.archive.org/web/20141109010850/http://mathforum.org/library/drmath/view/65128.html |archive-date=9 November 2014 |url-status=live}}</ref><ref>{{cite web |url=http://www.necompact.org/ea/gle_support/Math/resources_number/prop_fraction.htm |title=New England Compact Math Resources |access-date=2011-12-31 |archive-url=https://web.archive.org/web/20120415053421/http://www.necompact.org/ea/gle_support/Math/resources_number/prop_fraction.htm |archive-date=2012-04-15 |url-status=dead}}</ref> यह एक अनुचित अंश, या कभी-कभी शीर्ष-भारी अंश कहा जाता है,<ref>{{cite book |last1=Greer |first1=A. |title=New comprehensive mathematics for 'O' level |date=1986 |publisher=Thornes |location=Cheltenham |isbn=978-0-85950-159-0 |page=5 |edition=2nd ed., reprinted |url=https://books.google.com/books?id=wX2dxeDahAwC&pg=PA5 |access-date=2014-07-29 |archive-url=https://web.archive.org/web/20190119204758/https://books.google.com/books?id=wX2dxeDahAwC&pg=PA5 |archive-date=2019-01-19 |url-status=live}}</ref> यदि अंश का निरपेक्ष मान 1. से अधिक या बराबर है। उचित अंशों के उदाहरण 2/3, −3/4, और 4/9 हैं, जबकि अनुचित अंशों के उदाहरण 9/4, −4/3, और हैं, और3/3। | ||
| Line 88: | Line 88: | ||
==== मिस्र का अंश ==== | ==== मिस्र का अंश ==== | ||
एक मिस्र का अंश विशिष्ट सकारात्मक इकाई अंशों का योग है, उदाहरण के लिए <math>\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}</math>।यह परिभाषा इस तथ्य से निकली है कि प्राचीन मिस्रियों ने सभी अंशों को छोड़कर व्यक्त किया <math>\tfrac{1}{2}</math>, <math>\tfrac{2}{3}</math> तथा <math>\tfrac{3}{4}</math> इस तरह से।प्रत्येक सकारात्मक | एक मिस्र का अंश विशिष्ट सकारात्मक इकाई अंशों का योग है, उदाहरण के लिए <math>\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}</math>।यह परिभाषा इस तथ्य से निकली है कि प्राचीन मिस्रियों ने सभी अंशों को छोड़कर व्यक्त किया <math>\tfrac{1}{2}</math>, <math>\tfrac{2}{3}</math> तथा <math>\tfrac{3}{4}</math> इस तरह से।प्रत्येक सकारात्मक परिमेय संख्या को मिस्र के अंश के रूप में विस्तारित किया जा सकता है।उदाहरण के लिए, <math>\tfrac{5}{7}</math> के रूप में लिखा जा सकता है <math>\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{6} + \tfrac{1}{21}.</math> किसी भी सकारात्मक परिमेय संख्या को असीम रूप से कई तरीकों से इकाई अंशों के योग के रूप में लिखा जा सकता है।लिखने के दो तरीके <math>\tfrac{13}{17}</math> हैं <math>\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{68}</math> तथा <math>\tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{68}</math>। | ||
==== जटिल और यौगिक अंश ==== | ==== जटिल और यौगिक अंश ==== | ||
| Line 267: | Line 267: | ||
और इसी तरह अन्य संचालन के लिए। | और इसी तरह अन्य संचालन के लिए। | ||
पूर्णांक के अंशों के मामले में, अंश {{sfrac|a|b}} साथ {{mvar|a}} तथा {{mvar|b}} कोपराइम और {{math|''b'' > 0}} अक्सर उनके समकक्ष अंशों के लिए विशिष्ट रूप से निर्धारित प्रतिनिधियों के रूप में लिया जाता है, जिन्हें समान | पूर्णांक के अंशों के मामले में, अंश {{sfrac|a|b}} साथ {{mvar|a}} तथा {{mvar|b}} कोपराइम और {{math|''b'' > 0}} अक्सर उनके समकक्ष अंशों के लिए विशिष्ट रूप से निर्धारित प्रतिनिधियों के रूप में लिया जाता है, जिन्हें समान परिमेय संख्या माना जाता है।इस तरह से पूर्णांक के अंश परिमेय संख्याओं का क्षेत्र बनाते हैं। | ||
आम तौर पर, ए और बी किसी भी अभिन्न डोमेन आर के तत्व हो सकते हैं, जिस स्थिति में एक अंश आर के अंशों के क्षेत्र का एक तत्व है। उदाहरण के लिए, एक अनिश्चित में बहुपद, कुछ अभिन्न डोमेन डी से गुणांक के साथ, स्वयं एक हैं।इंटीग्रल डोमेन, इसे पी। पी। इसलिए पी के ए और बी तत्वों के लिए, अंशों का उत्पन्न क्षेत्र | आम तौर पर, ए और बी किसी भी अभिन्न डोमेन आर के तत्व हो सकते हैं, जिस स्थिति में एक अंश आर के अंशों के क्षेत्र का एक तत्व है। उदाहरण के लिए, एक अनिश्चित में बहुपद, कुछ अभिन्न डोमेन डी से गुणांक के साथ, स्वयं एक हैं।इंटीग्रल डोमेन, इसे पी। पी। इसलिए पी के ए और बी तत्वों के लिए, अंशों का उत्पन्न क्षेत्र परिमेय अंशों का क्षेत्र है (जिसे परिमेय कार्यों के क्षेत्र के रूप में भी जाना जाता है)। | ||
== बीजगणितीय अंश == | == बीजगणितीय अंश == | ||
| Line 275: | Line 275: | ||
एक बीजीय अंश दो बीजगणितीय अभिव्यक्तियों का संकेतित भागफल है।पूर्णांक के अंशों के साथ, एक बीजगणितीय अंश के हर शून्य नहीं हो सकते हैं।बीजीय अंशों के दो उदाहरण हैं <math>\frac{3x}{x^2+2x-3}</math> तथा <math>\frac{\sqrt{x+2}}{x^2-3}</math>।बीजगणितीय अंश अंकगणितीय अंशों के समान क्षेत्र गुणों के अधीन हैं। | एक बीजीय अंश दो बीजगणितीय अभिव्यक्तियों का संकेतित भागफल है।पूर्णांक के अंशों के साथ, एक बीजगणितीय अंश के हर शून्य नहीं हो सकते हैं।बीजीय अंशों के दो उदाहरण हैं <math>\frac{3x}{x^2+2x-3}</math> तथा <math>\frac{\sqrt{x+2}}{x^2-3}</math>।बीजगणितीय अंश अंकगणितीय अंशों के समान क्षेत्र गुणों के अधीन हैं। | ||
यदि अंश और हर बहुपद हैं, जैसा कि <math>\frac{3x}{x^2+2x-3}</math>, बीजीय अंश को एक | यदि अंश और हर बहुपद हैं, जैसा कि <math>\frac{3x}{x^2+2x-3}</math>, बीजीय अंश को एक परिमेय अंश (या परिमेय अभिव्यक्ति) कहा जाता है।एक तर्कहीन अंश वह है जो परिमेय नहीं है, जैसे, उदाहरण के लिए, एक जिसमें एक आंशिक घातांक या जड़ के तहत चर होता है, जैसा कि <math>\frac{\sqrt{x+2}}{x^2-3}</math>। | ||
बीजीय अंशों का वर्णन करने के लिए उपयोग की जाने वाली शब्दावली साधारण अंशों के लिए उपयोग की जाने वाली समान है।उदाहरण के लिए, एक बीजगणितीय अंश सबसे कम शब्दों में है यदि केवल अंश और हर के लिए सामान्य कारक 1 और −1 हैं।एक बीजीय अंश जिसका अंश या हर, या दोनों, एक अंश होता है, जैसे <math>\frac{1 + \tfrac{1}{x}}{1 - \tfrac{1}{x}}</math>, एक जटिल अंश कहा जाता है। | बीजीय अंशों का वर्णन करने के लिए उपयोग की जाने वाली शब्दावली साधारण अंशों के लिए उपयोग की जाने वाली समान है।उदाहरण के लिए, एक बीजगणितीय अंश सबसे कम शब्दों में है यदि केवल अंश और हर के लिए सामान्य कारक 1 और −1 हैं।एक बीजीय अंश जिसका अंश या हर, या दोनों, एक अंश होता है, जैसे <math>\frac{1 + \tfrac{1}{x}}{1 - \tfrac{1}{x}}</math>, एक जटिल अंश कहा जाता है। | ||
परिमेय संख्याओं का क्षेत्र पूर्णांक के अंशों का क्षेत्र है, जबकि पूर्णांक स्वयं एक क्षेत्र नहीं हैं, बल्कि एक अभिन्न डोमेन हैं।इसी तरह, एक क्षेत्र में गुणांक के साथ परिमेय अंश उस क्षेत्र में गुणांक के साथ बहुपद के अंशों का क्षेत्र बनाते हैं।वास्तविक गुणांक के साथ परिमेय अंशों को ध्यान में रखते हुए, संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने वाले कट्टरपंथी भाव, जैसे <math>\textstyle \sqrt{2}/2,</math> परिमेय अंश भी हैं, जैसे कि एक पारलौकिक संख्याएं हैं जैसे <math display="inline">\pi/2,</math> के बाद से <math>\sqrt{2},\pi,</math> तथा <math>2</math> वास्तविक संख्याएं हैं, और इस प्रकार गुणांक के रूप में माना जाता है।ये समान संख्या, हालांकि, पूर्णांक गुणांक के साथ परिमेय अंश नहीं हैं। | |||
आंशिक अंश शब्द का उपयोग तब किया जाता है जब | आंशिक अंश शब्द का उपयोग तब किया जाता है जब परिमेय अंशों को सरल अंशों में विघटित किया जाता है।उदाहरण के लिए, परिमेय अंश <math>\frac{2x}{x^2-1}</math> दो अंशों के योग के रूप में विघटित किया जा सकता है: <math>\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x-1}.</math> यह परिमेय कार्यों के एंटीडाइवेटिव्स की गणना के लिए उपयोगी है (अधिक के लिए आंशिक अंश अपघटन देखें)। | ||
== कट्टरपंथी भाव == | == कट्टरपंथी भाव == | ||
{{Main|Nth root|Rationalization (mathematics)}} | {{Main|Nth root|Rationalization (mathematics)}} | ||
एक अंश में अंश या हर में कट्टरपंथी भी हो सकते हैं।यदि हर में कट्टरपंथी होते हैं, तो यह इसे | एक अंश में अंश या हर में कट्टरपंथी भी हो सकते हैं।यदि हर में कट्टरपंथी होते हैं, तो यह इसे परिमेय बनाने के लिए सहायक हो सकता है (एक कट्टरपंथी अभिव्यक्ति के सरलीकृत रूप की तुलना करें), खासकर यदि आगे के संचालन, जैसे कि उस अंश को दूसरे से जोड़ना या तुलना करना, को बाहर किया जाना है।यह भी अधिक सुविधाजनक है अगर विभाजन को मैन्युअल रूप से किया जाना है।जब हर एक मोनोमियल स्क्वायर रूट होता है, तो इसे भड़काने वाले द्वारा अंश के शीर्ष और नीचे दोनों को गुणा करके परिमेय बनाया जा सकता है: | ||
: <math>\frac{3}{\sqrt{7}} = \frac{3}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}} = \frac{3\sqrt{7}}{7}</math> | : <math>\frac{3}{\sqrt{7}} = \frac{3}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}} = \frac{3\sqrt{7}}{7}</math> | ||
द्विपदीय हर के युक्तिकरण की प्रक्रिया में हर में एक अंश के शीर्ष और नीचे को गुणा करना शामिल है, ताकि हर में हर के रूप में होता है ताकि हर एक | द्विपदीय हर के युक्तिकरण की प्रक्रिया में हर में एक अंश के शीर्ष और नीचे को गुणा करना शामिल है, ताकि हर में हर के रूप में होता है ताकि हर एक परिमेय संख्या बन जाए।उदाहरण के लिए: | ||
:<math>\frac{3}{3-2\sqrt{5}} = \frac{3}{3-2\sqrt{5}} \cdot \frac{3+2\sqrt{5}}{3+2\sqrt{5}} = \frac{3(3+2\sqrt{5})}{{3}^2 - (2\sqrt{5})^2} = \frac{ 3 (3 + 2\sqrt{5} ) }{ 9 - 20 } = - \frac{ 9+6 \sqrt{5} }{11}</math> | :<math>\frac{3}{3-2\sqrt{5}} = \frac{3}{3-2\sqrt{5}} \cdot \frac{3+2\sqrt{5}}{3+2\sqrt{5}} = \frac{3(3+2\sqrt{5})}{{3}^2 - (2\sqrt{5})^2} = \frac{ 3 (3 + 2\sqrt{5} ) }{ 9 - 20 } = - \frac{ 9+6 \sqrt{5} }{11}</math> | ||
Revision as of 17:05, 4 September 2022
[[File:Cake quarters.svg|thumb|एक क्वार्टर (एक चौथाई) के साथ एक केक हटा दिया गया। शेष तीन चौथे को बिंदीदार लाइनों द्वारा दिखाया गया है और भिन्न द्वारा लेबल किया गया है 1/4।
एक भिन्न (लैटिन शब्द fractus से लिया हुआ) एक पूरे या, अधिक आम तौर पर, समान भागों की संख्या का एक हिस्सा का प्रतिनिधित्व करता है। जब रोजमर्रा की अंग्रेजी में बोली जाती है, तो एक भिन्न बताता है कि एक निश्चित आकार के कितने हिस्से हैं, उदाहरण के लिए, एक-आधा, आठ-पांचवें, तीन-चौथाई। एक सामान्य, अशिष्ट, या सरल भिन्न (उदाहरण: तथा ) एक भिन्न के होते हैं, एक पंक्ति के ऊपर प्रदर्शित होते हैं (या जैसे स्लैश से पहले 1⁄2), और एक गैर-शून्य हर, नीचे (या बाद में) उस लाइन को प्रदर्शित किया गया। अंशों और हर का उपयोग उन भिन्नों में भी किया जाता है जो आम नहीं हैं, जिसमें यौगिक भिन्न, जटिल भिन्न और मिश्रित अंक शामिल हैं।
सकारात्मक सामान्य भिन्नों में, अंश और हर प्राकृतिक संख्याएं हैं। अंश कई समान भागों का प्रतिनिधित्व करता है, और हर इंगित करता है कि उन भागों में से कितने एक इकाई या संपूर्ण बनाते हैं। हर शून्य नहीं हो सकता है, क्योंकि शून्य भाग कभी भी पूरी नहीं कर सकते। उदाहरण के लिए, अंश में 3/4, अंश 3 इंगित करता है कि अंश 3 बराबर भागों का प्रतिनिधित्व करता है, और हर 4 इंगित करता है कि 4 भाग एक पूरे बनाते हैं। दाईं ओर चित्र दिखाता है 3/4 एक केक का।
एक सामान्य भिन्न एक अंक है जो एक परिमेय संख्या का प्रतिनिधित्व करता है। उसी संख्या को दशमलव, एक प्रतिशत या नकारात्मक घातांक के साथ भी दर्शाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 0.01, 1% और 10−2 सभी अंश 1/100 के बराबर हैं। एक पूर्णांक को एक के निहित हर के रूप में सोचा जा सकता है (उदाहरण के लिए, 7, 7/1 के बराबर)।
भिन्नों के लिए अन्य उपयोग अनुपात और विभाजन का प्रतिनिधित्व करते हैं।[1] इस प्रकार भिन्न 3/4 अनुपात 3:4 (पूरे के लिए भाग का अनुपात), और डिवीजन 3 ÷ 4 (चार से तीन विभाजित) का प्रतिनिधित्व करने के लिए भी उपयोग किया जा सकता है। गैर-शून्य हर नियम, जो एक विभाजन के रूप में एक विभाजन का प्रतिनिधित्व करते समय लागू होता है, नियम का एक उदाहरण है कि शून्य द्वारा विभाजन अपरिभाषित है।
हम नकारात्मक भिन्न भी लिख सकते हैं, जो एक सकारात्मक भिन्न के विपरीत का प्रतिनिधित्व करते हैं। उदाहरण के लिए, यदि 1/2 एक आधा डॉलर के लाभ का प्रतिनिधित्व करता है, तो -1/2 एक आधा डॉलर के हानि का प्रतिनिधित्व करता है। चिह्न वाली संख्याओं के विभाजन के नियमों के कारण (जो कि भाग में यह बताता है कि नकारात्मक सकारात्मक द्वारा विभाजित नकारात्मक है), -1/2, −1/2 तथा 1/−2 सभी एक ही अंश का प्रतिनिधित्व करते हैं -नकारात्मक एक-आधा। और क्योंकि एक नकारात्मक द्वारा विभाजित एक नकारात्मक एक सकारात्मक पैदा करता है, −1/−2 सकारात्मक एक-आधा का प्रतिनिधित्व करता है।
गणित में सभी संख्याओं का सेट जो फॉर्म में व्यक्त किया जा सकता है a/b, जहां a और b पूर्णांक हैं और b शून्य नहीं है, को परिमेय संख्याओं का सेट कहा जाता है और इसे प्रतीक Q द्वारा दर्शाया जाता है, जिसका अर्थ भागफल है। एक संख्या एक परिमेय संख्या है जब इसे उस रूप में लिखा जा सकता है (यानी, एक सामान्य अंश के रूप में)। हालांकि, शब्द अंश का उपयोग गणितीय अभिव्यक्तियों का वर्णन करने के लिए भी किया जा सकता है जो परिमेय संख्या नहीं हैं। इन उपयोगों के उदाहरणों में बीजीय भिन्न (बीजगणितीय व्यंजकों के भागफल), और व्यंजक शामिल हैं जिनमें अपरिमेय संख्या हैं, जैसे (देखें 2 का वर्गमूल) और π/4 (प्रमाण देखें कि π अपरिमेय है)।