भिन्न: Difference between revisions

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एक भिन्न (लैटिन शब्द {{lang|la|fractus}} से लिया हुआ) एक पूरे या, अधिक आम तौर पर, समान भागों की संख्या का एक हिस्सा का प्रतिनिधित्व करता है। जब रोजमर्रा की अंग्रेजी में बोली जाती है, तो एक भिन्न बताता है कि एक निश्चित आकार के कितने हिस्से हैं, उदाहरण के लिए, एक-आधा, आठ-पांचवें, तीन-चौथाई। एक सामान्य, अशिष्ट, या सरल भिन्न (उदाहरण: <math>\tfrac{1}{2}</math> तथा <math>\tfrac{17}{3}</math>) एक भिन्न के होते हैं, एक पंक्ति के ऊपर प्रदर्शित होते हैं (या जैसे स्लैश से पहले {{frac|1|2}}), और एक गैर-शून्य भाजक(हर), नीचे (या बाद में) उस लाइन को प्रदर्शित किया गया। अंशों और भाजक(हर) का उपयोग उन भिन्नों में भी किया जाता है जो आम नहीं हैं, जिसमें यौगिक भिन्न, जटिल भिन्न और मिश्रित अंक शामिल हैं।
एक भिन्न (लैटिन शब्द {{lang|la|fractus}} से लिया हुआ) एक पूरे या, अधिक आम तौर पर, समान भागों की संख्या का एक हिस्सा का प्रतिनिधित्व करता है। जब रोजमर्रा की अंग्रेजी में बोली जाती है, तो एक भिन्न बताता है कि एक निश्चित आकार के कितने हिस्से हैं, उदाहरण के लिए, एक-आधा, आठ-पांचवें, तीन-चौथाई। एक सामान्य, अशिष्ट, या सरल भिन्न (उदाहरण: <math>\tfrac{1}{2}</math> तथा <math>\tfrac{17}{3}</math>) एक भिन्न के होते हैं, एक पंक्ति के ऊपर प्रदर्शित होते हैं (या जैसे स्लैश से पहले {{frac|1|2}}), और एक गैर-शून्य भाजक(हर), नीचे (या बाद में) उस लाइन को प्रदर्शित किया गया। अंशों और भाजक(हर) का उपयोग उन भिन्नों में भी किया जाता है जो आम नहीं हैं, जिसमें यौगिक भिन्न, जटिल भिन्न और मिश्रित अंक शामिल हैं।


सकारात्मक सामान्य भिन्नों में, अंश और भाजक प्राकृतिक संख्याएं हैं।अंश कई समान भागों का प्रतिनिधित्व करता है, और भाजक(हर) इंगित करता है कि उन भागों में से कितने एक इकाई या संपूर्ण बनाते हैं। हर शून्य नहीं हो सकता है, क्योंकि शून्य भाग कभी भी पूरी नहीं कर सकते।उदाहरण के लिए, अंश में {{sfrac|3|4}}, अंश 3 इंगित करता है कि अंश 3 बराबर भागों का प्रतिनिधित्व करता है, और भाजक 4 इंगित करता है कि 4 भाग एक पूरे बनाते हैं।दाईं ओर चित्र दिखाता है {{sfrac|3|4}} एक केक का।
सकारात्मक सामान्य भिन्नों में, अंश और भाजक प्राकृतिक संख्याएं हैं।अंश कई समान भागों का प्रतिनिधित्व करता है, और भाजक(हर) इंगित करता है कि उन भागों में से कितने एक इकाई या संपूर्ण बनाते हैं। हर शून्य नहीं हो सकता है, क्योंकि शून्य भाग कभी भी पूरी नहीं कर सकते। उदाहरण के लिए, अंश में {{sfrac|3|4}}, अंश 3 इंगित करता है कि अंश 3 बराबर भागों का प्रतिनिधित्व करता है, और भाजक 4 इंगित करता है कि 4 भाग एक पूरे बनाते हैं। दाईं ओर चित्र दिखाता है {{sfrac|3|4}} एक केक का।


एक सामान्य अंश एक अंक है जो एक तर्कसंगत संख्या का प्रतिनिधित्व करता है।उसी संख्या को दशमलव, एक प्रतिशत या नकारात्मक प्रतिपादक के साथ भी दर्शाया जा सकता है।उदाहरण के लिए, 0.01, 1%और 10<sup>−2 </sup> सभी अंश 1/100 के बराबर हैं।एक पूर्णांक को एक के निहित भाजक के रूप में सोचा जा सकता है (उदाहरण के लिए, 7 7/1 के बराबर)।
एक सामान्य अंश एक अंक है जो एक तर्कसंगत संख्या का प्रतिनिधित्व करता है। उसी संख्या को दशमलव, एक प्रतिशत या नकारात्मक प्रतिपादक के साथ भी दर्शाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 0.01, 1%और 10<sup>−2 </sup> सभी अंश 1/100 के बराबर हैं। एक पूर्णांक को एक के निहित भाजक के रूप में सोचा जा सकता है (उदाहरण के लिए, 7 7/1 के बराबर)।


अंशों के लिए अन्य उपयोग अनुपात और विभाजन का प्रतिनिधित्व करते हैं।<ref>H. Wu,  The Mis-Education of Mathematics Teachers , ''Notices of the American Mathematical Society'', Volume 58, Issue 03 (March 2011), [https://www.ams.org/notices/201103/rtx110300372p.pdf#page374 p. 374] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170820101254/http://www.ams.org/notices/201103/rtx110300372p.pdf#page374 |date=2017-08-20 }}</ref> इस प्रकार अंश {{sfrac|3|4}} अनुपात 3: 4 (पूरे के लिए भाग का अनुपात), और डिवीजन 3 (4 (चार से तीन विभाजित) का प्रतिनिधित्व करने के लिए भी उपयोग किया जा सकता है।गैर-शून्य भाजक नियम, जो एक विभाजन के रूप में एक विभाजन का प्रतिनिधित्व करते समय लागू होता है, नियम का एक उदाहरण है कि शून्य द्वारा विभाजन अपरिभाषित है।
अंशों के लिए अन्य उपयोग अनुपात और विभाजन का प्रतिनिधित्व करते हैं।<ref>H. Wu,  The Mis-Education of Mathematics Teachers , ''Notices of the American Mathematical Society'', Volume 58, Issue 03 (March 2011), [https://www.ams.org/notices/201103/rtx110300372p.pdf#page374 p. 374] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170820101254/http://www.ams.org/notices/201103/rtx110300372p.pdf#page374 |date=2017-08-20 }}</ref> इस प्रकार अंश {{sfrac|3|4}} अनुपात 3:4 (पूरे के लिए भाग का अनुपात), और डिवीजन 3 ÷ 4 (चार से तीन विभाजित) का प्रतिनिधित्व करने के लिए भी उपयोग किया जा सकता है। गैर-शून्य भाजक नियम, जो एक विभाजन के रूप में एक विभाजन का प्रतिनिधित्व करते समय लागू होता है, नियम का एक उदाहरण है कि शून्य द्वारा विभाजन अपरिभाषित है।


हम नकारात्मक अंश भी लिख सकते हैं, जो एक सकारात्मक अंश के विपरीत का प्रतिनिधित्व करते हैं।उदाहरण के लिए, यदि {{sfrac|1|2}} एक आधा डॉलर के लाभ का प्रतिनिधित्व करता है, तो -{{sfrac|1|2}} एक आधा डॉलर के नुकसान का प्रतिनिधित्व करता है।हस्ताक्षरित संख्याओं के विभाजन के नियमों के कारण (जो कि भाग में यह बताता है कि नकारात्मक सकारात्मक द्वारा विभाजित नकारात्मक है), -{{sfrac|1|2}}, {{sfrac|−1|2}} तथा {{sfrac|1|−2}} सभी एक ही अंश का प्रतिनिधित्व करते हैं-नकारात्मक एक-आधा।और क्योंकि एक नकारात्मक द्वारा विभाजित एक नकारात्मक एक सकारात्मक पैदा करता है, {{sfrac|−1|−2}} सकारात्मक एक-आधा का प्रतिनिधित्व करता है।
हम नकारात्मक भिन्न भी लिख सकते हैं, जो एक सकारात्मक भिन्न के विपरीत का प्रतिनिधित्व करते हैं। उदाहरण के लिए, यदि {{sfrac|1|2}} एक आधा डॉलर के लाभ का प्रतिनिधित्व करता है, तो -{{sfrac|1|2}} एक आधा डॉलर के हानि का प्रतिनिधित्व करता है। चिह्न वाली संख्याओं के विभाजन के नियमों के कारण (जो कि भाग में यह बताता है कि नकारात्मक सकारात्मक द्वारा विभाजित नकारात्मक है), -{{sfrac|1|2}}, {{sfrac|−1|2}} तथा {{sfrac|1|−2}} सभी एक ही अंश का प्रतिनिधित्व करते हैं -नकारात्मक एक-आधा। और क्योंकि एक नकारात्मक द्वारा विभाजित एक नकारात्मक एक सकारात्मक पैदा करता है, {{sfrac|−1|−2}} सकारात्मक एक-आधा का प्रतिनिधित्व करता है।


गणित में सभी संख्याओं का सेट जो फॉर्म में व्यक्त किया जा सकता है {{sfrac|''a''|''b''}}, जहां ए और बी पूर्णांक हैं और बी शून्य नहीं है, को तर्कसंगत संख्याओं का सेट कहा जाता है और इसे प्रतीक क्यू द्वारा दर्शाया जाता है, जो भागफल के लिए खड़ा है।एक संख्या एक तर्कसंगत संख्या है जब इसे उस रूप में लिखा जा सकता है (यानी, एक सामान्य अंश के रूप में)।हालांकि, शब्द अंश का उपयोग गणितीय अभिव्यक्तियों का वर्णन करने के लिए भी किया जा सकता है जो तर्कसंगत संख्या नहीं हैं।इन उपयोगों के उदाहरणों में बीजीय अंश (बीजगणितीय अभिव्यक्तियों के उद्धरण), और अभिव्यक्ति शामिल हैं जिनमें तर्कहीन संख्याएं हैं, जैसे <math display=inline>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> (देखें 2 का वर्गमूल) और {{sfrac|π|4}} (प्रमाण देखें कि π तर्कहीन है)।
गणित में सभी संख्याओं का सेट जो फॉर्म में व्यक्त किया जा सकता है {{sfrac|''a''|''b''}}, जहां a और b पूर्णांक हैं और b शून्य नहीं है, को तर्कसंगत संख्याओं का सेट कहा जाता है और इसे प्रतीक Q द्वारा दर्शाया जाता है, जो भागफल के लिए खड़ा है। एक संख्या एक परिमेय संख्या है जब इसे उस रूप में लिखा जा सकता है (यानी, एक सामान्य अंश के रूप में)। हालांकि, शब्द अंश का उपयोग गणितीय अभिव्यक्तियों का वर्णन करने के लिए भी किया जा सकता है जो तर्कसंगत संख्या नहीं हैं।इन उपयोगों के उदाहरणों में बीजीय अंश (बीजगणितीय अभिव्यक्तियों के उद्धरण), और अभिव्यक्ति शामिल हैं जिनमें तर्कहीन संख्याएं हैं, जैसे <math display=inline>\frac{\sqrt{2}}{2}</math> (देखें 2 का वर्गमूल) और {{sfrac|π|4}} (प्रमाण देखें कि π तर्कहीन है)।


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Revision as of 11:49, 26 August 2022

For other uses, see भिन्न (disambiguation).

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एक भिन्न (लैटिन शब्द fractus से लिया हुआ) एक पूरे या, अधिक आम तौर पर, समान भागों की संख्या का एक हिस्सा का प्रतिनिधित्व करता है। जब रोजमर्रा की अंग्रेजी में बोली जाती है, तो एक भिन्न बताता है कि एक निश्चित आकार के कितने हिस्से हैं, उदाहरण के लिए, एक-आधा, आठ-पांचवें, तीन-चौथाई। एक सामान्य, अशिष्ट, या सरल भिन्न (उदाहरण: तथा ) एक भिन्न के होते हैं, एक पंक्ति के ऊपर प्रदर्शित होते हैं (या जैसे स्लैश से पहले 1⁄2), और एक गैर-शून्य भाजक(हर), नीचे (या बाद में) उस लाइन को प्रदर्शित किया गया। अंशों और भाजक(हर) का उपयोग उन भिन्नों में भी किया जाता है जो आम नहीं हैं, जिसमें यौगिक भिन्न, जटिल भिन्न और मिश्रित अंक शामिल हैं।

सकारात्मक सामान्य भिन्नों में, अंश और भाजक प्राकृतिक संख्याएं हैं।अंश कई समान भागों का प्रतिनिधित्व करता है, और भाजक(हर) इंगित करता है कि उन भागों में से कितने एक इकाई या संपूर्ण बनाते हैं। हर शून्य नहीं हो सकता है, क्योंकि शून्य भाग कभी भी पूरी नहीं कर सकते। उदाहरण के लिए, अंश में 3/4, अंश 3 इंगित करता है कि अंश 3 बराबर भागों का प्रतिनिधित्व करता है, और भाजक 4 इंगित करता है कि 4 भाग एक पूरे बनाते हैं। दाईं ओर चित्र दिखाता है 3/4 एक केक का।

एक सामान्य अंश एक अंक है जो एक तर्कसंगत संख्या का प्रतिनिधित्व करता है। उसी संख्या को दशमलव, एक प्रतिशत या नकारात्मक प्रतिपादक के साथ भी दर्शाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 0.01, 1%और 10−2 सभी अंश 1/100 के बराबर हैं। एक पूर्णांक को एक के निहित भाजक के रूप में सोचा जा सकता है (उदाहरण के लिए, 7 7/1 के बराबर)।

अंशों के लिए अन्य उपयोग अनुपात और विभाजन का प्रतिनिधित्व करते हैं।[1] इस प्रकार अंश 3/4 अनुपात 3:4 (पूरे के लिए भाग का अनुपात), और डिवीजन 3 ÷ 4 (चार से तीन विभाजित) का प्रतिनिधित्व करने के लिए भी उपयोग किया जा सकता है। गैर-शून्य भाजक नियम, जो एक विभाजन के रूप में एक विभाजन का प्रतिनिधित्व करते समय लागू होता है, नियम का एक उदाहरण है कि शून्य द्वारा विभाजन अपरिभाषित है।

हम नकारात्मक भिन्न भी लिख सकते हैं, जो एक सकारात्मक भिन्न के विपरीत का प्रतिनिधित्व करते हैं। उदाहरण के लिए, यदि 1/2 एक आधा डॉलर के लाभ का प्रतिनिधित्व करता है, तो -1/2 एक आधा डॉलर के हानि का प्रतिनिधित्व करता है। चिह्न वाली संख्याओं के विभाजन के नियमों के कारण (जो कि भाग में यह बताता है कि नकारात्मक सकारात्मक द्वारा विभाजित नकारात्मक है), -1/2, −1/2 तथा 1/−2 सभी एक ही अंश का प्रतिनिधित्व करते हैं -नकारात्मक एक-आधा। और क्योंकि एक नकारात्मक द्वारा विभाजित एक नकारात्मक एक सकारात्मक पैदा करता है, −1/−2 सकारात्मक एक-आधा का प्रतिनिधित्व करता है।

गणित में सभी संख्याओं का सेट जो फॉर्म में व्यक्त किया जा सकता है a/b, जहां a और b पूर्णांक हैं और b शून्य नहीं है, को तर्कसंगत संख्याओं का सेट कहा जाता है और इसे प्रतीक Q द्वारा दर्शाया जाता है, जो भागफल के लिए खड़ा है। एक संख्या एक परिमेय संख्या है जब इसे उस रूप में लिखा जा सकता है (यानी, एक सामान्य अंश के रूप में)। हालांकि, शब्द अंश का उपयोग गणितीय अभिव्यक्तियों का वर्णन करने के लिए भी किया जा सकता है जो तर्कसंगत संख्या नहीं हैं।इन उपयोगों के उदाहरणों में बीजीय अंश (बीजगणितीय अभिव्यक्तियों के उद्धरण), और अभिव्यक्ति शामिल हैं जिनमें तर्कहीन संख्याएं हैं, जैसे (देखें 2 का वर्गमूल) और π/4 (प्रमाण देखें कि π तर्कहीन है)।

शब्दावली

See also: Numeral (linguistics) § Fractional numbers, and English numerals § Fractions and decimals

एक अंश में, वर्णित किए जा रहे समान भागों की संख्या अंश (लैटिन से हैnumerātor, काउंटर या नंबरर), और भागों का प्रकार या विविधता 'हर' (लैटिन से 'हैdēnōminātor, बात जो नाम या नामित करती है)।[2][3] एक उदाहरण के रूप में, अंश 8/5 आठ भागों की मात्रा, जिनमें से प्रत्येक पांचवें नाम के प्रकार का है।विभाजन के संदर्भ में, अंश लाभांश से मेल खाती है, और भाजक भाजक से मेल खाता है।

अनौपचारिक रूप से, अंश और भाजक को अकेले प्लेसमेंट द्वारा प्रतिष्ठित किया जा सकता है, लेकिन औपचारिक संदर्भों में वे आमतौर पर एक अंश बार द्वारा अलग किए जाते हैं।अंश बार क्षैतिज हो सकता है (जैसा कि में) 1/3), तिरछे (2/5 के रूप में), या विकर्ण (के रूप में 4⁄9)।[4]इन निशानों को क्रमशः क्षैतिज बार के रूप में जाना जाता है;द वर्जुले, स्लैश (यूएस), या स्ट्रोक (यूके);और अंश बार, सॉलिडस,[5] या अंश स्लैश।[n 1] टाइपोग्राफी में, लंबवत रूप से स्टैक किए गए अंशों को एन या अखरोट अंशों के रूप में भी जाना जाता है, और विकर्ण को ईएम या मटन अंशों के रूप में जाना जाता है, इस पर आधारित है कि क्या एक एकल-अंकों के अंश और हर के साथ एक अंश एक संकीर्ण एन वर्ग, या एक व्यापक एम के अनुपात पर कब्जा कर लेता है।वर्ग।[4] पारंपरिक टाइपफाउंडिंग में, एक पूर्ण अंश को प्रभावित करने वाला प्रकार का एक टुकड़ा (उदा। 1/2) को एक केस अंश के रूप में जाना जाता था, जबकि अंश के केवल हिस्से का प्रतिनिधित्व करने वालों को टुकड़ा अंश कहा जाता था।

अंग्रेजी अंशों के भाजक को आम तौर पर क्रमिक संख्या के रूप में व्यक्त किया जाता है, बहुवचन में यदि अंश 1. नहीं है (उदाहरण के लिए, 2/5 तथा 3/5 दोनों को पांचवें स्थान के रूप में पढ़ा जाता है।) अपवादों में डेनोमिनेटर 2 शामिल हैं, जो हमेशा आधा या हिस्सों को पढ़ा जाता है, भाजक 4, जिसे वैकल्पिक रूप से क्वार्टर / क्वार्टर या चौथे / चौथे के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, और डेनोमिनेटर 100, जो हो सकता हैवैकल्पिक रूप से सौवें / सौवें या प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाए।

जब भाजक 1 होता है, तो इसे पूरी तरह से व्यक्त किया जा सकता है, लेकिन आमतौर पर अधिक अनदेखा किया जाता है, अंश के साथ एक पूरी संख्या के रूप में पढ़ा जाता है।उदाहरण के लिए, 3/1 तीन थोक के रूप में, या बस तीन के रूप में वर्णित किया जा सकता है।जब अंश 1 होता है, तो इसे छोड़ा जा सकता है (जैसा कि दसवें या प्रत्येक तिमाही में)।

पूरे अंश को एक एकल रचना के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिस स्थिति में यह हाइफ़न किया जाता है, या एक के एक अंश के साथ कई अंशों के रूप में, जिस स्थिति में वे नहीं हैं।(उदाहरण के लिए, दो-पांचवें अंश है 2/5 और दो पांचवें एक ही अंश है जो 2 उदाहरणों के रूप में समझा जाता है 1/5।) विशेषण के रूप में उपयोग किए जाने पर अंशों को हमेशा हाइफ़न किया जाना चाहिए।वैकल्पिक रूप से, एक अंश का वर्णन इसे डेनोमिनेटर पर अंश के रूप में पढ़कर, कार्डिनल नंबर के रूप में व्यक्त किए गए हर के साथ किया जा सकता है।(उदाहरण के लिए, 3/1 एक से अधिक एक के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है।) इस शब्द का उपयोग सॉलिडस अंशों के मामले में भी किया जाता है, जहां संख्याओं को एक स्लैश मार्क के बाएं और दाएं रखा जाता है।(उदाहरण के लिए, 1/2 को एक-आधा, एक आधा या दो से अधिक पढ़ा जा सकता है।) बड़े भाजक के साथ अंश जो दस की शक्तियां नहीं हैं, अक्सर इस फैशन में प्रदान किए जाते हैं (जैसे, 1/117 एक सौ से अधिक सत्रह से अधिक के रूप में, जबकि दस से विभाज्य के साथ उन लोगों को आमतौर पर सामान्य क्रमिक फैशन में पढ़ा जाता है (जैसे, 6/1000000 छह-मिलियन, छह मिलियन, या छह एक-मिलियनवें के रूप में)।

अंशों के रूप

सरल, सामान्य, या अशिष्ट अंश

एक साधारण अंश (जिसे एक सामान्य अंश या अशिष्ट अंश के रूप में भी जाना जाता है, जहां अशिष्ट लैटिन के लिए आम है) एक तर्कसंगत संख्या है, जिसे / 'बी' 'या के रूप में लिखा गया है , जहां ए और बी दोनों पूर्णांक हैं।[9] अन्य अंशों के साथ, भाजक (बी) शून्य नहीं हो सकता है।उदाहरणों में शामिल , , , तथा ।इस शब्द का उपयोग मूल रूप से खगोल विज्ञान में उपयोग किए जाने वाले सेक्सेजिमल अंश से इस प्रकार के अंश को अलग करने के लिए किया गया था।[10] सामान्य अंश सकारात्मक या नकारात्मक हो सकते हैं, और वे उचित या अनुचित हो सकते हैं (नीचे देखें)।यौगिक अंश, जटिल अंश, मिश्रित अंक, और दशमलव (नीचे देखें) सामान्य अंश नहीं हैं;हालांकि, जब तक तर्कहीन नहीं होता है, तब तक उन्हें एक सामान्य अंश का मूल्यांकन नहीं किया जा सकता है।

  • एक इकाई अंश 1 के एक अंश के साथ एक सामान्य अंश है (जैसे,, )।यूनिट अंशों को नकारात्मक घातांक का उपयोग करके भी व्यक्त किया जा सकता है, जैसा कि 2 में है−1 , जो 1/2, और 2 का प्रतिनिधित्व करता है−2 , जो 1/(2 का प्रतिनिधित्व करता है2 ) या 1/4।
  • एक डायडिक अंश एक सामान्य अंश है जिसमें भाजक दो की शक्ति है, उदा। ।

यूनिकोड में, प्रीकोम्ड अंश वर्ण संख्या रूपों के ब्लॉक में होते हैं।

उचित और अनुचित अंश

सामान्य अंशों को या तो उचित या अनुचित के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है।जब अंश और हर दोनों सकारात्मक होते हैं, तो अंश को उचित कहा जाता है यदि अंश भाजक से कम है, और अन्यथा अनुचित है।[11][12] एक अनुचित अंश की अवधारणा एक देर से विकास है, इस तथ्य से प्राप्त शब्दावली के साथ कि अंश का अर्थ है एक टुकड़ा, इसलिए एक उचित अंश 1 से कम होना चाहिए।[10]यह 17 वीं शताब्दी की पाठ्यपुस्तक द ग्राउंड ऑफ आर्ट्स में समझाया गया था।[13][14] सामान्य तौर पर, एक सामान्य अंश को एक उचित अंश कहा जाता है, यदि अंश का निरपेक्ष मूल्य एक से कम है - अर्थात्, यदि अंश −1 से अधिक है और 1 से कम है।[15][16] यह एक अनुचित अंश, या कभी-कभी शीर्ष-भारी अंश कहा जाता है,[17] यदि अंश का निरपेक्ष मान 1. से अधिक या बराबर है। उचित अंशों के उदाहरण 2/3, −3/4, और 4/9 हैं, जबकि अनुचित अंशों के उदाहरण 9/4, −4/3, और हैं, और3/3।

पारस्परिक और अदृश्य हरकिनक

एक अंश का पारस्परिक अंश और भाजक के साथ एक और अंश है।का पारस्परिक उदाहरण के लिए, है ।एक अंश और इसके पारस्परिक का उत्पाद 1 है, इसलिए पारस्परिक एक अंश का गुणक व्युत्क्रम है।एक उचित अंश का पारस्परिक अनुचित है, और एक अनुचित अंश का पारस्परिक 1 के बराबर नहीं है (यानी, अंश और भाजक समान नहीं हैं) एक उचित अंश है।

जब एक अंश के अंश और भाजक समान होते हैं (उदाहरण के लिए, ), इसका मूल्य 1 है, और इसलिए अंश अनुचित है।इसका पारस्परिक समान है और इसलिए 1 और अनुचित के बराबर भी है।

किसी भी पूर्णांक को नंबर एक के साथ एक अंश के रूप में लिखा जा सकता है।उदाहरण के लिए, 17 को लिखा जा सकता है , जहां 1 को कभी -कभी अदृश्य भाजक के रूप में जाना जाता है।इसलिए, शून्य को छोड़कर प्रत्येक अंश या पूर्णांक में एक पारस्परिक होता है।उदाहरण के लिए।17 का पारस्परिक है ।

अनुपात

एक अनुपात दो या अधिक संख्याओं के बीच एक संबंध है जिसे कभी -कभी एक अंश के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।आमतौर पर, कई वस्तुओं को समूहीकृत किया जाता है और एक अनुपात में तुलना की जाती है, जो प्रत्येक समूह के बीच संबंध को संख्यात्मक रूप से निर्दिष्ट करती है।अनुपात समूह 1 से समूह 2 ... समूह n के रूप में व्यक्त किए जाते हैं।उदाहरण के लिए, यदि एक कार लॉट में 12 वाहन थे, जिनमें से

  • 2 सफेद हैं,
  • 6 लाल हैं, और
  • 4 पीले हैं,

फिर लाल से सफेद से पीली कारों का अनुपात 6 से 2 से 4 है। पीली कारों के लिए सफेद कारों का अनुपात 4 से 2 है और इसे 4: 2 या 2: 1 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

एक अनुपात को अक्सर एक अंश में परिवर्तित किया जाता है जब इसे पूरे अनुपात के रूप में व्यक्त किया जाता है।उपरोक्त उदाहरण में, लॉट पर सभी कारों के लिए पीली कारों का अनुपात 4:12 या 1: 3 है।हम इन अनुपातों को एक अंश में बदल सकते हैं, और कह सकते हैं कि 4/12 कारों की या 1/3 बहुत से कारें पीले हैं।इसलिए, यदि किसी व्यक्ति ने बेतरतीब ढंग से एक कार को बहुत से चुना है, तो तीन मौका या संभावना में से एक है कि यह पीला होगा।

दशमलव अंश और प्रतिशत

एक दशमलव अंश एक ऐसा अंश है जिसका हर स्पष्ट रूप से नहीं दिया जाता है, लेकिन इसे दस की पूर्णांक शक्ति माना जाता है।दशमलव अंशों को आमतौर पर दशमलव अंकन का उपयोग करके व्यक्त किया जाता है जिसमें निहित भाजक को दशमलव विभाजक के दाईं ओर अंकों की संख्या से निर्धारित किया जाता है, जिसकी उपस्थिति (जैसे, एक अवधि, एक उठाया अवधि (•), एक अल्पविराम) निर्भर करता हैलोकेल (उदाहरण के लिए, दशमलव विभाजक#हिंदू -अरबिक अंक प्रणाली देखें | दशमलव विभाजक)।इस प्रकार, 0.75 के लिए अंश 75 है और निहित भाजक 10 से दूसरी शक्ति है, अर्थात। 100, क्योंकि दशमलव विभाजक के दाईं ओर दो अंक हैं।1 (जैसे 3.75) से अधिक दशमलव संख्या में, संख्या का आंशिक भाग अंक द्वारा दशमलव के दाईं ओर (इस मामले में 0.75 के मान के साथ) द्वारा व्यक्त किया जाता है।3.75 या तो एक अनुचित अंश के रूप में लिखा जा सकता है, 375/100, या मिश्रित संख्या के रूप में, ।

दशमलव अंशों को नकारात्मक घातांक के साथ वैज्ञानिक संकेतन का उपयोग करके भी व्यक्त किया जा सकता है, जैसे 6.023×10−7, जो 0.0000006023 का प्रतिनिधित्व करता है। 10−7 }} के एक भयावह का प्रतिनिधित्व करता है 107।विभाजित करना 107 दशमलव बिंदु 7 स्थानों को बाईं ओर ले जाता है।

दशमलव विभाजक के दाईं ओर असीम रूप से कई अंकों के साथ दशमलव अंश एक अनंत श्रृंखला का प्रतिनिधित्व करते हैं।उदाहरण के लिए, 1/3 = 0.333 ... अनंत श्रृंखला 3/10 + 3/100 + 3/1000 + ... का प्रतिनिधित्व करता है।

एक अन्य प्रकार का अंश प्रतिशत (लैटिन प्रतिशत प्रति सौ अर्थ, प्रतीक % द्वारा दर्शाया गया) है, जिसमें निहित भाजक हमेशा 100 होता है। इस प्रकार, 51 % का अर्थ है 51/100। शून्य से 100 या उससे कम प्रतिशत का इलाज उसी तरह से किया जाता है, उदा। 311% 311/100 के बराबर है, और −27% −27/100 के बराबर है।

पर्मिल या पार्ट्स प्रति हजार (पीपीटी) की संबंधित अवधारणा में 1000 का एक निहित भाजक है, जबकि अधिक सामान्य भागों-प्रति संकेतन, जैसा कि 75 भागों प्रति मिलियन (पीपीएम) में है, इसका मतलब है कि अनुपात 75/1,000,000 है।

क्या सामान्य अंश या दशमलव अंशों का उपयोग किया जाता है, अक्सर स्वाद और संदर्भ का मामला होता है। आम अंशों का उपयोग सबसे अधिक बार किया जाता है जब भाजक अपेक्षाकृत छोटा होता है। मानसिक गणना के द्वारा, अंश के दशमलव समकक्ष (0.1875) का उपयोग करके एक ही गणना करने की तुलना में 16 से 3/16 से गुणा करना आसान है। और यह 15 से 1/3 से गुणा करने के लिए अधिक सटीक है, उदाहरण के लिए, यह एक तिहाई के किसी भी दशमलव सन्निकटन द्वारा 15 को गुणा करना है। मौद्रिक मूल्यों को आमतौर पर हर 100 के साथ दशमलव अंशों के रूप में व्यक्त किया जाता है, अर्थात, दो दशमलव के साथ, उदाहरण के लिए $ 3.75। हालांकि, जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, पूर्व-दशिष्ट ब्रिटिश मुद्रा में, शिलिंग और पेंस को अक्सर एक अंश का रूप (लेकिन अर्थ नहीं) दिया जाता था, जैसे, उदाहरण के लिए 3/6 (तीन और छह पढ़ें) का अर्थ है 3 शिलिंग और 6 पेंस , और अंश 3/6 से कोई संबंध नहीं है।