संबंध (गणित): Difference between revisions

Revision as of 11:41, 1 December 2022

एक समुच्चय पर एक उदाहरण संबंध का चित्रण

A = { a, b, c, d }

। से एक तीर

x

प्रति

y

इंगित करता है कि संबंध के बीच रहता है

x

तथा

y

। संबंध समुच्चय द्वारा दर्शाया गया है

{ (a,a), (a,b), (a,d),

(b,a), (b,d),

(c,b), (d,c), (d,d) }

आदेशित जोड़े की।

गणित में, समुच्चय पर दो दिए गए समुच्चय अवयव के बीच संबंध हो भी सकता है और नहीं भी। उदाहरण के लिए, "इससे कम है" प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय पर एक संबंध है,यह धारण करता है उदाहरण 1 और 3 के बीच (1<3 के रूप में दर्शाता है), और इसी तरह 3 और 4 के बीच (3<4 के रूप में चिह्नित), लेकिन न तो 3 और 1 के बीच और न ही 4 और 4 के बीच संबंध है। एक अन्य उदाहरण के रूप में, "इसकी बहन" संबंध है सभी लोगों के समुच्चय पर, यह धारण करता है उदाहरण मैरी क्यूरी और ब्रोनिस्लावा डुस्का के बीच, और इसी तरह इसके विपरीत। समुच्चय सदस्य "एक निश्चित डिग्री" के संबंध में नहीं हो सकते हैं, इसलिए उदाहरण "इसमें कुछ समानता है" एक संबंध नहीं हो सकता।

औपचारिक रूप से, समुच्चय X पर संबंध R को X के सदस्यों के क्रमित युग्मों (x, y) के समुच्चय के रूप में देखा जा सकता है।^[1]संबंध R, x और y के बीच रखता है यदि (x, y) R का सदस्य है। उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याओं पर संबंध "से कम है" अनंत समुच्चय है जिसमें प्राकृतिक संख्याओं जिनमें दोनों (1, 3) और (3,4), लेकिन न तो (3,1) और न ही (4,4) के जोड़े सम्मिलित हैं। अंकीय प्राकृत संख्याओं के समुच्चय पर संबंध "का गैर-तुच्छ भाजक है" यहाँ दिखाए जाने के लिए पर्याप्त रूप से छोटा है: R_div = { (2,4), (2,6), (2,8), (3, 6), (3,9), (4,8)},उदाहरण के लिए 2, 8 का गैर-तुच्छ भाजक है, लेकिन इसके विपरीत नहीं, इसलिए (2,8) ∈ R_div , लेकिन (8,2) ∈ R_div ।

यदि R एक ऐसा संबंध है जो x और y के लिए है तो अक्सर xRy लिखा जाता है। गणित में सबसे आम संबंधों के लिए, विशेष प्रतीकों को पेश किया जाता है, जैसे "<" के लिए "इससे कम है", और "|" के लिए "का गैर-तुच्छ भाजक है", और, सबसे लोकप्रिय "=" के लिए "के बराबर है"। उदाहरण के लिए, "1<3", "1, 3 से कम है", और "(1,3) ∈ R_less" का अर्थ सभी समान है,कुछ लेखक "(1,3) ∈ (<)" भी लिखते हैं।

संबंधों के विभिन्न गुणों की जांच की जाती है। संबंध R स्वतुल्य है यदि xRx सभी x के लिए धारण करता है, और अपरिवर्तनीय है यदि xRx कोई x के लिए धारण नहीं करता है। यह सममित है यदि xRy का अर्थ हमेशा yRx होता है, और असममित यदि xRy का अर्थ है कि yRx असंभव है। यह संक्रामी है यदि xRy और yRz का अर्थ हमेशा xRz होता है। उदाहरण के लिए, "इससे कम है" अपरिवर्तनीय, असममित और संक्रामी है, लेकिन न तो प्रतिवर्त और न ही सममित, "की बहन है" सममित और संक्रमणीय है, लेकिन न तो प्रतिवर्त (जैसे पियरे क्यूरी खुद की बहन नहीं है) और न ही असममित, जबकि अपरिवर्तनीय होना या न होना परिभाषा का विषय हो सकता है (क्या हर महिला खुद की बहन है?), "पूर्वज है" संक्रामी है, जबकि "माता-पिता" नहीं है। गणितीय प्रमेयों को संबंध गुणों के संयोजन के बारे में जाना जाता है, जैसे "एक संक्रमणीय संबंध अपरिवर्तनीय है, और केवल अगर, यह असममित है"।

विशेष महत्व के संबंध हैं जो गुणों के कुछ संयोजनों को संतुष्ट करते हैं।आंशिक क्रम एक ऐसा संबंध है जो अपरिवर्तनीय, असममित और संक्रमणीय है, तुल्यता संबंध ऐसा संबंध है जो प्रतिवर्त, सममित और संक्रमणीय है,^{[citation needed]} फलन एक ऐसा संबंध है जो सही-अद्वितीय और बाएं-कुल है (नीचे देखें) है।^[2]

चूंकि संबंध समुच्चय हैं, इसलिए उन्हें समुच्चय संचालन का उपयोग करके जोड़-तोड़ किया जा सकता है, जिसमें संघ (समुच्चय सिद्धांत), प्रतिच्छेदन, और पूरक (समुच्चय सिद्धांत) सम्मिलित हैं, और समुच्चय के बीजगणित के नियमों को संतुष्ट करते हैं। इसके अलावा, संबंध के विपरीत और संबंधों की संरचना संबंधों के गहन विश्लेषण में उन्हें अवधारणा नामक उपसमुच्चय में विघटित करना और उन्हें पूर्ण नियम में रखना सम्मिलित है।

संबंध की उपरोक्त अवधारणा^{[note 1]} को दो अलग-अलग समुच्चय के सदस्यों के बीच संबंधों को स्वीकार करने के लिए सामान्यीकृत किया गया है (विषम संबंध,जैसे सभी बिंदुओं के समुच्चय के बीच "स्थित" और ज्यामिति में सभी पंक्तियों के बीच), तीन या अधिक के बीच संबंध समुच्चय (समुच्चय संबंध,जैसे "व्यक्ति x समय z पर शहर y में रहता है"), और वर्ग (गणित) के बीच संबंध^{[note 2]}(जैसे सभी समुच्चय के वर्ग पर "का एक तत्व है", द्वयाधारी संबंध देखें समुच्चय बनाम वर्ग)।

परिभाषा

दिए गए समुच्चय X और Y, कार्तीय गुणन फल $X \times Y$ {(x, y) | के रूप में परिभाषित किया गया है x ∈ X और y ∈ Y}, और इसके अवयवों को क्रमित युग्म कहा जाता है।

समुच्चय X और Y पर द्वयी संबंध R का उपसमुच्चय है $X \times Y$ ।^[1]^[3] समुच्चय X को 'डोमेन' कहा जाता है^[1]या R के प्रस्थान का समुच्चय, और समुच्चय Y को कोडोमेन या R के गंतव्य का समुच्चय कहा जाता है। समुच्चय X और Y के विकल्पों को निर्दिष्ट करने के लिए, कुछ लेखक द्विआधारी संबंध या पत्राचार को आदेशित त्रिगुण के रूप में परिभाषित करते हैं $(X, Y, G)$ , जहां G का उपसमुच्चय है $X \times Y$ द्वयी संबंध का ग्राफ कहा जाता है। कथन $(x, y) \in R$ पढ़ता है कि x, R से संबंधित है और इसे infix संकेतन में xRy के रूप में लिखा गया है।^[4]^[5]परिभाषा का डोमेन या सक्रिय डोमेन^[1]R का सभी x का ऐसा समुच्चय है कि कम से कम एक y के लिए xRy है। परिभाषा का कोडोमेन, सक्रिय कोडोमेन,^[1]छवि (गणित) या R के किसी फलन की श्रेणी सभी y का ऐसा समुच्चय है जो कम से कम एक x के लिए xRy हो। R का क्षेत्र परिभाषा के अपने डोमेन और परिभाषा के कोडोमेन का संघ है।^[6]^[7]^[8] कब $X = Y$ , एक द्विआधारी संबंध को #सजातीय संबंध (या एंडोरेलेशन) कहा जाता है।^[9] अन्यथा यह एक विषम संबंध है।^[10]^[11]^[12]

द्विआधारी संबंध में, तत्वों का क्रम महत्वपूर्ण होता है,यदि $x \neq y$ तब yRx, xRy से स्वतंत्र होकर सत्य या असत्य हो सकता है। उदाहरण के लिए, 3 9 को विभाजित करता है, लेकिन 9 3 को विभाजित नहीं करता है।

संबंधों के गुण

सजातीय संबंध के कुछ महत्वपूर्ण गुण $R$ समुच्चय पर $X$ हो सकता है:

स्वतुल्य संबंध: सभी के लिए $x \in X$ , $xRx$ उदाहरण के लिए, ≥ स्वतुल्य संबंध है लेकिन > नहीं है।

अपरावर्ती संबंध (या पूर्णतः): सभी के लिए $x \in X$ , नहीं $xRx$ , उदाहरण के लिए, > अपरावर्ती संबंध है, लेकिन ≥ नहीं है।

पिछले 2 विकल्प संपूर्ण नहीं हैं,उदाहरण के लिए, लाल द्वयाधारी संबंध $y = x 2$ खण्ड में दिया गया है § Special types of binary relations न तो अपवर्तक है, न ही प्रतिवर्ती है, क्योंकि इसमें युग्म $(0, 0)$ , लेकिन नहीं $(2, 2)$ , क्रमश है।

सममित संबंध: सभी के लिए $x, y \in X$ , यदि $xRy$ फिर $yRx$ है। उदाहरण के लिए, रक्त रिश्तेदार एक सममित संबंध है, क्योंकि $x$ का रक्त संबंधी है $y$ केवल अगर $y$ का रक्त संबंधी है $x$ ।

प्रतिसममित: सभी के लिए $x, y \in X$ , यदि $xRy$ तथा $yRx$ है फिर $x = y$ है। उदाहरण के लिए, ≥ प्रतिसममित संबंध है,ऐसा है >, लेकिन निर्वात सत्य (परिभाषा में स्थिति हमेशा गलत होती है)।^[13]
असममित संबंध: सभी के लिए $x, y \in X$ , यदि $xRy$ फ़िर $yRx$ नही। संबंध असममित है यदि और केवल यदि यह प्रतिसममित और अपरिवर्तनीय दोनों है।^[14] उदाहरण के लिए, > असममित संबंध है, लेकिन ≥ नहीं है।

फिर से, पिछले 3 विकल्प संपूर्ण होने से बहुत दूर हैं, प्राकृतिक संख्या, संबंध पर उदाहरण के रूप में $xRy$ द्वारा परिभाषित $x > 2$ न तो सममित है और न ही विषम है, अकेले असममित होने दें।

संक्रामी संबंध: सभी के लिए $x, y, z \in X$ , यदि $xRy$ तथा $yRz$ फिर $xRz$ । संक्रामी संबंध अपरिवर्तनीय है अगर और केवल अगर यह असममित है।^[15] उदाहरण के लिए, "के पूर्वज में" संक्रामी संबंध है, जबकि का जनक नहीं है।

सघन: सभी x, y ∈ X के लिए ऐसा है कि xRy, कुछ z ∈ X ऐसे शामिलहैं कि xRz और zRy। इसका उपयोग घने आदेशों में किया जाता है।

सम्बद्ध संबंध: सभी $x, y \in X$ के लिए, यदि $x \neq y$ फिर $xRy$ या $yRx$ हैं । इस गुण को कभी-कभी कुल कहा जाता है, जो खंड में दी गई कुल परिभाषा से अलग है संबंध (गणित) § (विषम) संबंधों के गुण। § Notes।

मजबूत सम्बद्ध संबंध: सभी $x, y \in X$ , के लिए $xRy$ या $yRx$ । इस गुण को कभी-कभी कुल कहा जाता है, जो खंड में दी गई कुल परिभाषा से अलग है संबंध (गणित) § (विषम) संबंधों के गुण। § Notes।

त्रिगुणात्मक: सभी $x, y \in X$ के लिए, बिल्कुल एक $xRy$ , $yRx$ या $x = y$ रखती है। उदाहरण के लिए, > त्रिगुणात्मक संबंध है, जबकि प्राकृतिक संख्याओं पर विभाजित संबंध नहीं है।^[16]
सुस्थापित संबंध: हर गैर-खाली उपसमुच्चय $S$ का $X$ के संबंध में अधिकतम और न्यूनतम तत्व सम्मिलित हैं $R$ । सुस्थापित होने का तात्पर्य अवरोही श्रृंखला की स्थिति से है (अर्थात, कोई अनंत श्रृंखला नहीं है..... $x n R ... Rx 3 Rx 2 Rx 1$ सम्मिलित हो सकता है)। यदि आश्रित पसंद का स्वयंसिद्ध मान लिया जाए, तो दोनों स्थितियाँ समतुल्य हैं।^[17]^[18]
पूर्व क्रम
रिश्ता जो स्वतुल्य और संक्रामी है।

कुल अग्रिम क्रम (भी, रेखीय अग्रिम क्रम या कमजोर क्रम)

संबंध जो प्रतिवर्त, संक्रामी और जुड़ा हुआ है।

आंशिक क्रम (भी, क्रम^{[citation needed]}): संबंध जो प्रतिवर्ती, प्रतिसममित और संक्रामी ह:पूर्णतः आंशिक क्रम (भी, पूर्णतः क्रम^{[citation needed]}); संबंध जो अपरावर्ती , प्रतिसममित और संक्रामी है।; कुल क्रम (भी, रैखिक क्रम, simple order, या chain); संबंध जो प्रतिवर्त, प्रतिसममित, संक्रामी और जुड़ा हुआ है।^[19]; पूर्णतः कुल क्रम (भी, पूर्णतः रैखिक क्रम, पूर्णतः सरल क्रम, या strict chain); संबंध जो अप्रतिवर्ती, प्रतिसममित, संक्रामी और जुड़ा हुआ है।; आंशिक तुल्यता संबंध; संबंध जो सममित और संक्रामी है।; तुल्यता संबंध; संबंध जो स्वतुल्य, सममित और संक्रामी है। यह ऐसा संबंध भी है जो सममित, संक्रामी और क्रमिक है, क्योंकि ये गुण प्रतिवर्तता का संकेत देते हैं।

(विषम) संबंधों के गुण

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वास्तविक संख्याओं पर चार प्रकार के द्विआधारी संबंधों के उदाहरण: एक-से-एक (हरे रंग में), एक-से-अनेक (नीले रंग में), कई-से-एक (लाल रंग में), कई-से-अनेक (काले रंग में) )।

समुच्चय X और Y पर कुछ महत्वपूर्ण प्रकार के द्वयाधारी संबंध R नीचे सूचीबद्ध हैं।

विशिष्टता गुण:

अंतःक्षेपक(जिसे वाम-अद्वितीय भी कहा जाता है)^[20] सभी के लिए $x, z \in X$ और सभी $y \in Y$ , यदि $xRy$ तथा $zRy$ फिर $x = z$ । ऐसे संबंध के लिए, {Y} को R की प्राथमिक कुंजी कहा जाता है।^[1]उदाहरण के लिए, आरेख में हरे और नीले द्विआधारी संबंध अंतःक्षेपकहैं, लेकिन लाल वाला नहीं है (क्योंकि यह -1 और 1 से 1 दोनों से संबंधित है), न ही काला वाला (क्योंकि यह -1 और 1 से 0 दोनों से संबंधित है) ।
कार्यात्मक (जिसे सही-अद्वितीय भी कहा जाता है,^[20]सही-निश्चित^[21] या असंबद्ध): ^[22] सभी के लिए $x \in X$ और सभी $y, z \in Y$ , यदि $xRy$ तथा $xRz$ फिर $y = z$ । इस तरह के द्वयी संबंध को कहा जाता है partial function। ऐसे संबंध के लिए, {X} कहा जाता है a primary key R का^[1]उदाहरण के लिए, आरेख में लाल और हरे रंग के द्विआधारी संबंध कार्यात्मक हैं, लेकिन नीला नहीं है (क्योंकि यह 1 से -1 और 1 दोनों से संबंधित है), और न ही काला वाला (क्योंकि यह 0 से -1 और 1 दोनों से संबंधित है) ।
एक-से-एक: अंतःक्षेपक और कार्यात्मक। उदाहरण के लिए, आरेख में हरा द्वयाधारी संबंध एक-से-एक है, लेकिन लाल, नीला और काला नहीं है।
एक-से-कई: अंतःक्षेपक और कार्यात्मक नहीं। उदाहरण के लिए, आरेख में नीला द्वयाधारी संबंध एक-से-कई है, लेकिन लाल, हरा और काला नहीं है।
कई-से-एक: कार्यात्मक और अंतःक्षेपक नहीं। उदाहरण के लिए, आरेख में लाल द्वयाधारी संबंध कई-से-एक है, लेकिन हरा, नीला और काला नहीं है।
कई-से-अनेक: न तो अंतःक्षेपक और न ही फलनक। उदाहरण के लिए, आरेख में काला द्वयाधारी संबंध कई-से-अनेक है, लेकिन लाल, हरा और नीला नहीं है।

संपूर्णता गुण (केवल तभी परिभाषित किया जा सकता है जब डोमेन X और कोडोमेन Y निर्दिष्ट हों):

कुल (बाएं-कुल भी कहा जाता है)

X में सभी X के लिए Y में ऐसा सम्मिलित है

xRy

। दूसरे शब्दों में, R की परिभाषा का डोमेन X के बराबर है। यह गुण जुड़ा हुआ संबंध की परिभाषा से खंड द्वयाधारी संबंध गुण में अलग है (जिसे कुछ लेखकों द्वारा कुल भी कहा जाता है)^{[citation needed]}। इस तरह के द्वयी संबंध को बहुविकल्पी फलन कहा जाता है। उदाहरण के लिए, आरेख में लाल और हरे रंग के द्विआधारी संबंध कुल हैं, लेकिन नीला वाला नहीं है (क्योंकि यह -1 को किसी वास्तविक संख्या से संबंधित नहीं करता है), और न ही काला वाला (क्योंकि यह 2 को किसी वास्तविक संख्या से संबंधित नहीं करता है) )।:क्रमिक संबंधl (या बाएं-कुल)

सभी के लिए

x \in X

, कुछ शामिलहै

y \in X

ऐसा है कि

xRy

। उदाहरण के लिए, > पूर्णांकों पर एक क्रमिक संबंध है। लेकिन यह धनात्मक पूर्णांकों पर क्रमिक संबंध नहीं है, क्योंकि ऐसा नहीं है

y

सकारात्मक पूर्णांकों में जैसे कि

1 > y

।^[23] हालाँकि, < धनात्मक पूर्णांकों, परिमेय संख्याओं और वास्तविक संख्याओं पर एक क्रमिक संबंध है। हर स्वतुल्य संबंध क्रमिक संबंध है: दिए गए के लिए

x

, चुनें

y = x

।

विशेषण (जिसे दायां-कुल भी कहा जाता है^[20]or on)

Y में सभी y के लिए, X में x सम्मिलित है जैसे कि xRy। दूसरे शब्दों में, R की परिभाषा का कोडोमेन Y के बराबर है। उदाहरण के लिए, आरेख में हरे और नीले रंग के द्वयाधारी संबंध विशेषण हैं, लेकिन लाल नहीं है (क्योंकि यह किसी वास्तविक संख्या को -1 से संबंधित नहीं करता है), न ही काला वाला (क्योंकि यह किसी भी वास्तविक संख्या को 2 से संबंधित नहीं करता है)।

विशिष्टता और समग्रता गुण (केवल डोमेन X और कोडोमेन Y निर्दिष्ट होने पर परिभाषित किया जा सकता है):

फलन: द्विआधारी संबंध ज

[1]

[2]

[note 1]

[note 2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

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 गणित में, समुच्चय पर दो दिए गए समुच्चय अवयव के बीच संबंध हो भी सकता है और नहीं भी। उदाहरण के लिए, "इससे कम है" [[प्राकृतिक संख्या]]ओं के समुच्चय पर एक संबंध है,यह धारण करता है उदाहरण 1 और 3 के बीच (1<3 के रूप में दर्शाता है), और इसी तरह 3 और 4 के बीच (3<4 के रूप में चिह्नित), लेकिन न तो 3 और 1 के बीच और न ही 4 और 4 के बीच संबंध है। एक अन्य उदाहरण के रूप में, "इसकी बहन" संबंध है सभी लोगों के समुच्चय पर, यह धारण करता है उदाहरण [[मैरी क्यूरी]] और ब्रोनिस्लावा डुस्का के बीच, और इसी तरह इसके विपरीत। समुच्चय सदस्य "एक निश्चित डिग्री" के संबंध में नहीं हो सकते हैं, इसलिए उदाहरण "इसमें कुछ समानता है" एक संबंध नहीं हो सकता।
-औपचारिक रूप से, समुच्चय X पर संबंध R को X के सदस्यों के [[क्रमित युग्म|क्रमित युग्मों]] (x, y) के समुच्चय के रूप में देखा जा सकता है।<ref name="Codd1970">{{cite journal |last1=Codd |first1=Edgar Frank |date=June 1970 |title=बड़े साझा डेटा बैंकों के लिए डेटा का एक संबंधपरक मॉडल|url=https://www.seas.upenn.edu/~zives/03f/cis550/codd.pdf |journal=Communications of the ACM |volume=13 |issue=6 |pages=377–387 |doi=10.1145/362384.362685 |s2cid=207549016 |access-date=2020-04-29}}</ref>संबंध R, x और y के बीच रखता है यदि (x, y) R का सदस्य है। उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याओं पर संबंध "से कम है" अनंत समुच्चय है जिसमें प्राकृतिक संख्याओं जिनमें दोनों (1, 3) और (3,4), लेकिन न तो (3,1) और न ही (4,4)  के जोड़े शामिल हैं। अंकीय प्राकृत संख्याओं के समुच्चय पर संबंध "का गैर-तुच्छ भाजक है" यहाँ दिखाए जाने के लिए पर्याप्त रूप से छोटा है: R<sub>div</sub>  = { (2,4), (2,6), (2,8), (3, 6), (3,9), (4,8)},उदाहरण के लिए 2, 8 का गैर-तुच्छ भाजक है, लेकिन इसके विपरीत नहीं, इसलिए (2,8) ∈ R<sub>div</sub> , लेकिन (8,2) ∈ R<sub>div</sub> ।
+औपचारिक रूप से, समुच्चय X पर संबंध R को X के सदस्यों के [[क्रमित युग्म|क्रमित युग्मों]] (x, y) के समुच्चय के रूप में देखा जा सकता है।<ref name="Codd1970">{{cite journal |last1=Codd |first1=Edgar Frank |date=June 1970 |title=बड़े साझा डेटा बैंकों के लिए डेटा का एक संबंधपरक मॉडल|url=https://www.seas.upenn.edu/~zives/03f/cis550/codd.pdf |journal=Communications of the ACM |volume=13 |issue=6 |pages=377–387 |doi=10.1145/362384.362685 |s2cid=207549016 |access-date=2020-04-29}}</ref>संबंध R, x और y के बीच रखता है यदि (x, y) R का सदस्य है। उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याओं पर संबंध "से कम है" अनंत समुच्चय है जिसमें प्राकृतिक संख्याओं जिनमें दोनों (1, 3) और (3,4), लेकिन न तो (3,1) और न ही (4,4)  के जोड़े सम्मिलित हैं। अंकीय प्राकृत संख्याओं के समुच्चय पर संबंध "का गैर-तुच्छ भाजक है" यहाँ दिखाए जाने के लिए पर्याप्त रूप से छोटा है: R<sub>div</sub>  = { (2,4), (2,6), (2,8), (3, 6), (3,9), (4,8)},उदाहरण के लिए 2, 8 का गैर-तुच्छ भाजक है, लेकिन इसके विपरीत नहीं, इसलिए (2,8) ∈ R<sub>div</sub> , लेकिन (8,2) ∈ R<sub>div</sub> ।
 यदि R एक ऐसा संबंध है जो x और y के लिए है तो अक्सर xRy लिखा जाता है। गणित में सबसे आम संबंधों के लिए, विशेष प्रतीकों को पेश किया जाता है, जैसे "<" के लिए "इससे कम है", और "|" के लिए "का गैर-तुच्छ भाजक है", और, सबसे लोकप्रिय "=" के लिए "के बराबर है"। उदाहरण के लिए, "1<3", "1, 3 से कम है", और "(1,3) ∈ R<sub>less</sub>" का अर्थ सभी समान है,कुछ लेखक "(1,3) ∈ (<)" भी लिखते हैं।
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 विशेष महत्व के संबंध हैं जो गुणों के कुछ संयोजनों को संतुष्ट करते हैं।आंशिक क्रम एक ऐसा संबंध है जो अपरिवर्तनीय, असममित और संक्रमणीय है, [[तुल्यता संबंध]] ऐसा संबंध है जो प्रतिवर्त, सममित और संक्रमणीय है,{{cn|date=November 2022}} फलन एक ऐसा संबंध है जो सही-अद्वितीय और बाएं-कुल है (नीचे देखें) है।<ref>{{Cite web|url=https://mathinsight.org/definition/relation|title=संबंध परिभाषा - गणित अंतर्दृष्टि|website=mathinsight.org|access-date=2019-12-11}}</ref>
-चूंकि संबंध समुच्चय हैं, इसलिए उन्हें समुच्चय  संचालन का उपयोग करके जोड़-तोड़ किया जा सकता है, जिसमें [[संघ (सेट सिद्धांत)|संघ (समुच्चय सिद्धांत)]], प्रतिच्छेदन, और [[पूरक (सेट सिद्धांत)|पूरक (समुच्चय सिद्धांत)]] शामिल हैं, और समुच्चय के बीजगणित के नियमों को संतुष्ट करते हैं। इसके अलावा, संबंध के विपरीत  और संबंधों की संरचना संबंधों के गहन विश्लेषण में उन्हें अवधारणा नामक उपसमुच्चय में विघटित करना और उन्हें [[पूर्ण जाली|पूर्ण नियम]] में रखना शामिल है।
+चूंकि संबंध समुच्चय हैं, इसलिए उन्हें समुच्चय  संचालन का उपयोग करके जोड़-तोड़ किया जा सकता है, जिसमें [[संघ (सेट सिद्धांत)|संघ (समुच्चय सिद्धांत)]], प्रतिच्छेदन, और [[पूरक (सेट सिद्धांत)|पूरक (समुच्चय सिद्धांत)]] सम्मिलित हैं, और समुच्चय के बीजगणित के नियमों को संतुष्ट करते हैं। इसके अलावा, संबंध के विपरीत  और संबंधों की संरचना संबंधों के गहन विश्लेषण में उन्हें अवधारणा नामक उपसमुच्चय में विघटित करना और उन्हें [[पूर्ण जाली|पूर्ण नियम]] में रखना सम्मिलित है।
 संबंध की उपरोक्त अवधारणा<ref group="note">called "homogeneous binary relation (on sets)" when delineation from its generalizations is important</ref> को दो अलग-अलग समुच्चय के सदस्यों के बीच संबंधों को स्वीकार करने के लिए सामान्यीकृत किया गया है ([[विषम संबंध]],जैसे सभी बिंदुओं के समुच्चय के बीच "स्थित" और ज्यामिति में सभी पंक्तियों के बीच), तीन या अधिक के बीच संबंध समुच्चय ([[परिमित संबंध|समुच्चय संबंध]],जैसे "व्यक्ति x समय z पर शहर y में रहता है"), और [[वर्ग (गणित)]] के बीच संबंध<ref group="note">a generalization of sets</ref>(जैसे सभी समुच्चय के वर्ग पर "का एक तत्व है", द्वयाधारी संबंध देखें समुच्चय बनाम वर्ग)।
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 </ref>'''
 कब {{math|1=''X'' = ''Y''}}, एक द्विआधारी संबंध को #सजातीय संबंध (या एंडोरेलेशन) कहा जाता है।<ref name="Müller2012">{{cite book|author=M. E. Müller|title=संबंधपरक ज्ञान की खोज|year=2012|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-19021-3|page=22}}</रेफरी><nowiki><ref name="PahlDamrath2001-p496"></nowiki>{{cite book|author1=Peter J. Pahl|author2=Rudolf Damrath|title=कम्प्यूटेशनल इंजीनियरिंग की गणितीय नींव: एक पुस्तिका|year=2001|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-3-540-67995-0|page=496}}</ref> अन्यथा यह एक विषम संबंध है।<ref name="Schmidt">{{cite book|last1=Schmidt|first1=Gunther|last2=Ströhlein|first2=Thomas|title=संबंध और रेखांकन: कंप्यूटर वैज्ञानिकों के लिए असतत गणित|url={{google books |plainurl=y |id=ZgarCAAAQBAJ|paged=277}}|date=2012|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-3-642-77968-8|author-link1=Gunther Schmidt |location=Definition 4.1.1.}}</ref><ref name="FloudasPardalos2008">{{cite book|author1=Christodoulos A. Floudas|author-link1=Christodoulos Floudas|author2=Panos M. Pardalos|title=अनुकूलन का विश्वकोश|year=2008|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-387-74758-3|pages=299–300|edition=2nd|url=https://books.google.com/books?id=1a6lSRbQ4YsC&q=relation}}</ref><ref name="Winter2007">{{cite book|author=Michael Winter|title=गोगुएन श्रेणियाँ: एल-फ़ज़ी संबंधों के लिए एक स्पष्ट दृष्टिकोण|year=2007|publisher=Springer|isbn=978-1-4020-6164-6|pages=x-xi}}</ref>
-एक द्विआधारी संबंध में, तत्वों का क्रम महत्वपूर्ण होता है,यदि {{math|''x'' ≠ ''y''}} तब yRx, xRy से स्वतंत्र होकर सत्य या असत्य हो सकता है। उदाहरण के लिए, 3 9 को विभाजित करता है, लेकिन 9 3 को विभाजित नहीं करता है।
+द्विआधारी संबंध में, तत्वों का क्रम महत्वपूर्ण होता है,यदि {{math|''x'' ≠ ''y''}} तब yRx, xRy से स्वतंत्र होकर सत्य या असत्य हो सकता है। उदाहरण के लिए, 3 9 को विभाजित करता है, लेकिन 9 3 को विभाजित नहीं करता है।
 == संबंधों के गुण ==
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 ; {{em|[[ स्वतुल्य संबंध]]}}: सभी के लिए {{math|''x'' ∈ ''X''}}, {{math|''xRx''}} उदाहरण के लिए, ≥ स्वतुल्य संबंध है लेकिन > नहीं है।
-; {{em|[[अपरावर्ती संबंध]]}} (या {{em|strict}}): सभी के लिए {{math|''x'' ∈ ''X''}}, नहीं {{math|''xRx''}}, उदाहरण के लिए, > अपरावर्ती  संबंध है, लेकिन ≥ नहीं है।
+; {{em|[[अपरावर्ती संबंध]]}} (या {{em|पूर्णतः}}): सभी के लिए {{math|''x'' ∈ ''X''}}, नहीं {{math|''xRx''}}, उदाहरण के लिए, > अपरावर्ती  संबंध है, लेकिन ≥ नहीं है।
 पिछले 2 विकल्प संपूर्ण नहीं हैं,उदाहरण के लिए, लाल द्वयाधारी संबंध {{math|1=''y'' = ''x''<sup>2</sup>}} खण्ड में दिया गया है {{section link||Special types of binary relations}} न तो अपवर्तक है, न ही प्रतिवर्ती है, क्योंकि इसमें युग्म {{math|(0, 0)}}, लेकिन नहीं {{math|(2, 2)}}, क्रमश है।
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 ; {{em|[[ त्रिगुणात्मक]]}}: सभी {{math|''x'', ''y'' ∈ ''X''}}  के लिए, बिल्कुल एक {{math|''xRy''}}, {{math|''yRx''}} या {{math|1=''x'' = ''y''}} रखती है। उदाहरण के लिए, >  त्रिगुणात्मक संबंध है, जबकि प्राकृतिक संख्याओं पर विभाजित संबंध नहीं है।<ref>Since neither 5 divides 3, nor 3 divides 5, nor 3=5.</ref>
-; {{em|[[सुस्थापित संबंध]]}}: हर गैर-खाली उपसमुच्चय {{mvar|S}} का {{mvar|X}} के संबंध में [[अधिकतम और न्यूनतम तत्व]] शामिल हैं {{mvar|R}}। सुस्थापित होने का तात्पर्य [[अवरोही श्रृंखला की स्थिति]] से है (अर्थात, कोई अनंत श्रृंखला नहीं है..... {{math|''x''<sub>''n''</sub>''R''...''Rx''<sub>3</sub>''Rx''<sub>2</sub>''Rx''<sub>1</sub>}} शामिल हो सकता है)। यदि आश्रित पसंद का स्वयंसिद्ध मान लिया जाए, तो दोनों स्थितियाँ समतुल्य हैं।<ref>{{cite web |title=अच्छी तरह से स्थापित होने की स्थिति|url=https://proofwiki.org/wiki/Condition_for_Well-Foundedness |website=ProofWiki |access-date=20 February 2019 |archive-date=20 February 2019 |archive-url=https://web.archive.org/web/20190220181521/https://proofwiki.org/wiki/Condition_for_Well-Foundedness |url-status=dead }}</ref><ref>{{cite book |last1=Fraisse |first1=R. |title=संबंधों का सिद्धांत, खंड 145 - पहला संस्करण|date=15 December 2000 |publisher=Elsevier |isbn=9780444505422 |page=46 |edition=1st |url=https://www.elsevier.com/books/theory-of-relations/fraisse/978-0-444-50542-2 |access-date=20 February 2019}}</ref>
+; {{em|[[सुस्थापित संबंध]]}}: हर गैर-खाली उपसमुच्चय {{mvar|S}} का {{mvar|X}} के संबंध में [[अधिकतम और न्यूनतम तत्व]] सम्मिलित हैं {{mvar|R}}। सुस्थापित होने का तात्पर्य [[अवरोही श्रृंखला की स्थिति]] से है (अर्थात, कोई अनंत श्रृंखला नहीं है..... {{math|''x''<sub>''n''</sub>''R''...''Rx''<sub>3</sub>''Rx''<sub>2</sub>''Rx''<sub>1</sub>}} सम्मिलित हो सकता है)। यदि आश्रित पसंद का स्वयंसिद्ध मान लिया जाए, तो दोनों स्थितियाँ समतुल्य हैं।<ref>{{cite web |title=अच्छी तरह से स्थापित होने की स्थिति|url=https://proofwiki.org/wiki/Condition_for_Well-Foundedness |website=ProofWiki |access-date=20 February 2019 |archive-date=20 February 2019 |archive-url=https://web.archive.org/web/20190220181521/https://proofwiki.org/wiki/Condition_for_Well-Foundedness |url-status=dead }}</ref><ref>{{cite book |last1=Fraisse |first1=R. |title=संबंधों का सिद्धांत, खंड 145 - पहला संस्करण|date=15 December 2000 |publisher=Elsevier |isbn=9780444505422 |page=46 |edition=1st |url=https://www.elsevier.com/books/theory-of-relations/fraisse/978-0-444-50542-2 |access-date=20 February 2019}}</ref>
 ; {{em|[[ पूर्व क्रम]]}}
 ;'''रिश्ता जो स्वतुल्य और संक्रामी  है।'''
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 '''कुल (बाएं-कुल भी कहा जाता है)'''
-: X में सभी X के लिए Y में ऐसा शामिल है  {{math|''xRy''}}। दूसरे शब्दों में, R की परिभाषा का डोमेन X के बराबर है। यह गुण [[जुड़ा हुआ संबंध]] की परिभाषा से खंड द्वयाधारी संबंध गुण में अलग है (जिसे कुछ लेखकों द्वारा कुल भी कहा जाता है){{citation needed|date=June 2020}}। इस तरह के  द्वयी संबंध को [[बहुविकल्पी समारोह|बहुविकल्पी फलन]] कहा जाता है। उदाहरण के लिए, आरेख में लाल और हरे रंग के द्विआधारी संबंध कुल हैं, लेकिन नीला वाला नहीं है (क्योंकि यह -1 को किसी वास्तविक संख्या से संबंधित नहीं करता है), और न ही काला वाला (क्योंकि यह 2 को किसी वास्तविक संख्या से संबंधित नहीं करता है) )।:'''{{em|[[क्रमिक संबंधl]]}}''' (या {{em|बाएं-कुल}})
+: X में सभी X के लिए Y में ऐसा सम्मिलित है  {{math|''xRy''}}। दूसरे शब्दों में, R की परिभाषा का डोमेन X के बराबर है। यह गुण [[जुड़ा हुआ संबंध]] की परिभाषा से खंड द्वयाधारी संबंध गुण में अलग है (जिसे कुछ लेखकों द्वारा कुल भी कहा जाता है){{citation needed|date=June 2020}}। इस तरह के  द्वयी संबंध को [[बहुविकल्पी समारोह|बहुविकल्पी फलन]] कहा जाता है। उदाहरण के लिए, आरेख में लाल और हरे रंग के द्विआधारी संबंध कुल हैं, लेकिन नीला वाला नहीं है (क्योंकि यह -1 को किसी वास्तविक संख्या से संबंधित नहीं करता है), और न ही काला वाला (क्योंकि यह 2 को किसी वास्तविक संख्या से संबंधित नहीं करता है) )।:'''{{em|[[क्रमिक संबंधl]]}}''' (या {{em|बाएं-कुल}})
 : सभी के लिए {{math|''x'' ∈ ''X''}}, कुछ शामिलहै {{math|''y'' ∈ ''X''}} ऐसा है कि {{math|''xRy''}}। उदाहरण के लिए, > पूर्णांकों पर एक क्रमिक संबंध है। लेकिन यह धनात्मक पूर्णांकों पर क्रमिक संबंध नहीं है, क्योंकि ऐसा नहीं है {{mvar|y}} सकारात्मक पूर्णांकों में जैसे कि {{math|1 > ''y''}}।<ref>{{cite journal|last = Yao|first = Y.Y.|author2=Wong, S.K.M.|title = विशेषता मानों के बीच संबंधों का उपयोग करते हुए किसी न किसी सेट का सामान्यीकरण|journal = Proceedings of the 2nd Annual Joint Conference on Information Sciences|year = 1995|pages = 30–33|url = http://www2.cs.uregina.ca/~yyao/PAPERS/relation.pdf}}.</ref> हालाँकि, < धनात्मक पूर्णांकों, परिमेय संख्याओं और वास्तविक संख्याओं पर एक क्रमिक संबंध है। हर स्वतुल्य संबंध क्रमिक संबंध है: दिए गए के लिए {{mvar|x}}, चुनें {{math|1=''y'' = ''x''}}।
 '''विशेषण (जिसे दायां-कुल भी कहा जाता है'''<ref name="kkm" />or on)
-: Y में सभी y के लिए, X में x शामिल है जैसे कि xRy। दूसरे शब्दों में, R की परिभाषा का कोडोमेन Y के बराबर है। उदाहरण के लिए, आरेख में हरे और नीले रंग के  द्वयाधारी संबंध विशेषण हैं, लेकिन लाल नहीं है (क्योंकि यह किसी वास्तविक संख्या को -1 से संबंधित नहीं करता है), न ही काला वाला (क्योंकि यह किसी भी वास्तविक संख्या को 2 से संबंधित नहीं करता है)।
+: Y में सभी y के लिए, X में x सम्मिलित है जैसे कि xRy। दूसरे शब्दों में, R की परिभाषा का कोडोमेन Y के बराबर है। उदाहरण के लिए, आरेख में हरे और नीले रंग के  द्वयाधारी संबंध विशेषण हैं, लेकिन लाल नहीं है (क्योंकि यह किसी वास्तविक संख्या को -1 से संबंधित नहीं करता है), न ही काला वाला (क्योंकि यह किसी भी वास्तविक संख्या को 2 से संबंधित नहीं करता है)।
 विशिष्टता और समग्रता गुण (केवल डोमेन X और कोडोमेन Y निर्दिष्ट होने पर परिभाषित किया जा सकता है):

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परिभाषा

संबंधों के गुण

(विषम) संबंधों के गुण