चक्रज

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File:Cycloid f.gif

रोलिंग सर्कल द्वारा उत्पन्न चक्रज

ज्यामिति में, एक चक्रज (साइक्लोइड ) वृत्त पर बिंदु द्वारा पता लगाया गया वक्र होता है क्योंकि यह बिना स्पर्श के ही सीधी रेखा के साथ लुढ़कता है। साइक्लोइड एक ट्रोकॉइड का विशिष्ट रूप है और वक्र का उदाहरण है, जो एक दूसरे पर लुढ़कते हुए वक्र द्वारा उत्पन्न होता है।

साइक्लोइड, एकसमान गुरुत्वाकर्षण (ब्राचिस्टोक्रोन वक्र ) के अनुसार सबसे तेज़ वक्र है। यह वक्र का रूप भी है जिसके लिए वक्र के साथ सरल आवर्त गति में किसी वस्तु की अवधि (आवृत्ति) वस्तु की प्रारंभिक स्थिति (टॉटोक्रोन वक्र) पर निर्भर नहीं करती है।

इतिहास

It was in the left hand try-pot of the Pequod, with the soapstone diligently circling round me, that I was first indirectly struck by the remarkable fact, that in geometry all bodies gliding along the cycloid, my soapstone for example, will descend from any point in precisely the same time.

Moby Dick by Herman Melville, 1851

साइक्लोइड को जियोमीटर का हेलेन ऑफ़ ट्रॉय कहा जाता है क्योंकि यह 17वीं शतक के गणितज्ञों के बीच अधिकतर विवादों का कारण बनता है गणित के इतिहासकारों ने चक्रवात के खोजकर्ता के लिए कई सफल गणितज्ञों का प्रस्ताव दिया है। गणितीय इतिहासकार पॉल टैनरी ने सीरियाई दार्शनिक एंब्लिचस द्वारा किए गए काम को प्रमाण के रूप में संकेत किया कि वक्र पूर्वकालीन जाना जाता था।1679 में गणितज्ञ जॉन वालिस ने निकोलस को खोज के लिए जिम्मेदार ठहराया,लेकिन पहले की योग्यता दर्शाती है कि या तो वालिस से गलती हुई थी या उसके द्वारा प्रयोग किए गए प्रमाण जो अब खो गए हैं।19वीं शतक के अंत में गैलिलियो गैलिली का नाम सामने आया थाऔर एक लेखक ने इसका श्रेय मारिन Mersenne को दिया है। मोरित्ज़ कैंटोर और सीगमंड गेंथर के काम से शुरुआत करते हुए, विद्वान अब फ्रांसीसी गणितज्ञ चार्ल्स डी बोवेल्स को महत्व देते हैंजो की 1503 में प्रकाशित अपने परिचय ज्यामिति में साइक्लोइड के उनके विवरण के आधार पर है। इस काम में,बोवेल्स एक रोलिंग व्हील द्वारा पता किए गए चाप को एक बड़े घेरे के हिस्से के रूप में गलती करता है, जिसमें छोटे चक्र की तुलना में 120% बड़ा त्रिज्या होता है।

साइक्लोइड शब्द की शुरूआत और वक्र का गहन अध्ययन करने वाले पहले व्यक्ति गैलीलियो थे।इवेंजेलिस्टा टोरिसेली के अनुसार,1599 में गैलीलियो ने एक असाधारण रूप से अपनी अनुभवी दृष्टिकोण के साथ साइक्लोइड के चतुर्भुज का प्रयास किया, जिसमें धातु की चादर पर उत्पन्न सर्कल और परिणामी चक्रज दोनों का पता लगाना, उन्हें काटना और उनका वजन करना सम्मिलित था। जिसका अनुपात लगभग 3:1 था, जो सही मान है, लेकिन उन्होंने गलत निष्कर्ष निकाला कि अनुपात एक अपरिमेय अंश था,1628 के आसपास, गाइल्स डी रोबरवाल ने संभवतः मारिन मेर्सन से चतुर्भुज समस्या के बारे में सीखा और कैवलियरी के प्रमेय का उपयोग करके 1634 में चतुष्कोण को प्रभावित किया।हालाँकि,यह काम 1693 तक प्रकाशित नहीं हुआ था।

साइक्लॉयड की स्पर्शरेखा का निर्माण अगस्त 1638 में हुआ जब मेर्सन को रॉबरवाल, पियरे डी फ़र्माटा और रेने डेसकार्टेस से अद्वितीय तरीके प्राप्त किए। मेर्सन ने इन परिणामों को गैलीलियो के पास भेज दिया, जिन्होंने उन्हें अपने छात्रों टोरिसेली और विवियाना को दिया, जो एक चतुष्कोण उत्पन्न करने में सक्षम थे। यह परिणाम और अन्य 1644 में टोरिकेली द्वारा प्रकाशित किए गए थे,जो साइक्लोइड पर पहला कॉपीराइटर है। इसके कारण रॉबर्वाल ने टोरिकेली पर साहित्यिक चोरी का आरोप लगाया, 1647 में टोरिकेली की मौत से विवाद कम हो गया।

1658 में, ब्लेज़ पास्कल ने धर्मशास्त्र के लिए गणित छोड़ दिया था, लेकिन दांत दर्द से पीड़ित होने के दौरान, साइक्लोइड से संबंधित कई समस्याओं पर विचार करना शुरू किया। दांत दर्द गायब होने के बाद उन्होंने अपने शोध को आगे बढ़ाने के लिए इसे एक प्रतीक के रूप में लिया। आठ दिन बाद उन्होंने अपना निबंध पूरा कर लिया था और परिणामों को प्रचारित करने के लिए एक प्रतियोगिता का प्रस्ताव रखा। पास्कल ने साइक्लॉयड के द्रव्यमान, क्षेत्रफल और आयतन के केंद्र से संबंधित तीन प्रश्नों का प्रस्ताव रखा, जिसमें सभी विजेता को 20 और 40 स्पेनिश डबलून के पुरस्कार प्राप्त होंगे। पास्कल, रोबरवाल और सीनेटर कारकेवी न्यायाधीश थे, और दो सबमिशन (जॉन वालिस और एंटोनी डी लालौवेरे द्वारा) में से किसी को भी पर्याप्त नहीं माना गया था। जब प्रतियोगिता चल रही थी, तब क्रिस्टोफर व्रेन ने पास्कल को चक्रज चाप की लंबाई के सुधार के प्रमाण के लिए एक प्रस्ताव भेजा; रॉबर्वल ने तुरंत दावा किया कि उन्हें सालों से सबूत के बारे में पता था। वालिस ने वालिस के ट्रैक्टस डुओ में व्रेन के प्रमाण (व्रेन को श्रेय देते हुए) को प्रकाशित किया, जिसमें पहले प्रकाशित प्रमाण के लिए व्रेन को प्राथमिकता दी गई थी। [14]

पंद्रह साल बाद, क्रिस्टियान ह्यूजेंस ने क्रोनोमीटर में सुधार के लिए साइक्लोइडल पेंडुलम को तैनात किया था और पता लगाया था कि एक कण उल्टे साइक्लोइडल आर्क के एक खंड को उसी समय में पार कर जाएगा, चाहे उसका शुरुआती बिंदु कुछ भी हो। 1686 में, गॉटफ्राइड विल्हेम लिबनिज़ो ने एकल समीकरण के साथ वक्र को परिभाषित करने के लिए विश्लेषणात्मक ज्यामिति का प्रयोग किया। 1696 में, जोहान बर्नौली ने ब्राचिस्टोक्रोन वक्र प्रस्तुत किया, जिसका समाधान एक चक्रज है।

समीकरण

मूल के अनुसार चक्रज, त्रिज्या के एक चक्र द्वारा उत्पन्न r पर लुढ़कना x-अक्ष सकारात्मक पक्ष पर (y ≥ 0), बिंदुओं से मिलकर बनता है (x, y), साथ

$${\begin{aligned}x&=r(t-\sin t)\\y&=r(1-\cos t),\end{aligned}}$$

t उस कोण के अनुरूप एक वास्तविक पैरामीटर है जिससे रोलिंग सर्कल घूमता है। दिया गया t, वृत्त के केंद्र पर स्थित है (x, y) = (rt, r).

कार्टेशियन समीकरण को हल करके प्राप्त किया जाता है। y के लिए समीकर,

$$x=r\cos ^{-1}\left(1-{\frac {y}{r}}\right)-{\sqrt {y(2r-y)}},$$

ण t और में प्रतिस्थापित करनाx-समीकरण:

या, बहु-मूल्यवान प्रतिलोम कोज्या को समाप्त करना:

$r\cos \!\left({\frac {x+{\sqrt {y(2r-y)}}}{r}}\right)+y=r.$

कब y के एक समान रूप में देखा जाता है x, साइक्लोइड पर Cusp (विलक्षणता) को छोड़कर हर जगह अवकलनीय कार्य है x-अक्ष, व्युत्पन्न प्रवृत्ति के साथ $\infty$ या $-\infty$ एक कुंड के पास। से नक्शा t प्रति (x, y) अलग-अलग है, वास्तव में वर्ग C, व्युत्पन्न 0 के साथ क्यूप्स पर।

बिंदु पर चक्रज को स्पर्शरेखा का ढलान $(x,y)$ द्वारा दिया गया है ${\textstyle {\frac {dy}{dx}}=\cot({\frac {t}{2}})}$.

एक सिरे से दूसरे सिरे तक चक्रज खंड को चक्रज का चाप कहा जाता है, उदाहरण के लिए बिंदु के साथ $0\leq t\leq 2\pi$ तथा $0\leq x\leq 2\pi$.

साइक्लोइड को एक फलन का ग्राफ मानते हुए $y=f(x)$, यह साधारण अंतर समीकरण को पूरा करता है:

$\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}={\frac {2r}{y}}-1.$

शामिल

File:Evolute generation.png

आधे साइक्लॉयड चाप ( लाल रेखा) पर रखे तनावपूर्ण तार को खोलकर साइक्लोइड के व्युत्क्रम का निर्माण

साइक्लोइड के व्युत्क्रम में ठीक वैसा ही ज्यामिति होता है, जिससे यह उत्पन्न होता है। इसे एक तार की नोक द्वारा खोजे गए पथ के रूप में देखा जा सकता है जो शुरू में साइक्लोइड के आधे आर्क पर पड़ा था: चूंकि यह मूल साइक्लोइड के स्पर्शरेखा के दौरान खुलता है, यह एक नए साइक्लोइड का वर्णन करता है (साइक्लॉयडल पेंडुलम और चाप की लंबाई भी देखें)।

प्रदर्शन

File:Evolute demo.png

एक साइक्लोइड के मिलते हुए गुणों का प्रदर्शन

यह प्रदर्शन चक्रज की रोलिंग सर्कल परिभाषा का उपयोग करता है, साथ ही गतिमान बिंदु का तात्कालिक वेग सदिश,। बगल की तस्वीर में, $P_{1}$ तथा $P_{2}$ दो रोलिंग सर्कल से संबंधित दो बिंदु हैं, जिनमें से पहले का आधार दूसरे के शीर्ष के ठीक ऊपर है। शुरू में, $P_{1}$ तथा $P_{2}$ दो रोलिंग सर्कल से संबंधित दो बिंदु हैं, जब वृत्त समान गति से क्षैतिज रूप से लुढ़कते हैं, $P_{}$