पॉलीटॉप: Difference between revisions

कुछ सिद्धांतों ने इस विचार को सामान्य बना दिया है जैसे कि अपरिबद्ध [[ अनंतता |अनंतता]] और चौकोर, अपघटन या घुमावदार मैनिफोल्ड्स की टाइलिंग जिसमें [[गोलाकार पॉलीहेड्रा,|गोलाकार बहुकोणीय आकृति,]] और सम्मुचय-सैद्धांतिक का सार पॉलीटोप्स में सम्मिलित होता हैं।

तारक(स्टार) बहुकोणीय आकृति  और अन्य असामान्य निर्माणों की खोज ने एक बहुकोणीय आकृति  को एक बाउंडिंग सतह के रूप में देखा, इसके आंतरिक भाग की अनदेखी की। इस प्रकाश के पी-स्पेस में उत्तल पॉलीटोप्स (पी-1) क्षेत्र के टाइलिंग के बराबर हैं, जबकि अन्य अर्धवृत्ताकार, फ्लैट या टोरॉयडल(पी-1) सतहों के टाइलिंग हो सकते हैं, उदाहरण के लिए [[अंडाकार टाइलिंग|अर्धवृत्ताकार टाइलिंग]] और [[टोरॉयडल पॉलीहेड्रॉन|टोरॉयडल]] बहुकोणीय आकृति देखें। बहुकोणीय आकृति को एक ऐसी सतह के रूप में समझा जाता है जिसके फेस  [[ बहुभुज |ज्यामिति बहुभुज]] के होते हैं, एक [[ 4-पॉलीटॉप | 4-पॉलीटॉप]] एक हाइपरसर्फेस के रूप में होता है। जिसके फेस ज्यामिति बहुकोणीय आकृति के होते हैं।

निचले आयाम वाले लोगों से एक उच्च पॉलीटोप का निर्माण करने का विचार कभी-कभी आयाम में नीचे की ओर बढ़ाया जाता है, जिसमें एक किनारे को एक बिंदु जोड़ी द्वारा बंधे [[1-पॉलीटॉप]] के रूप में देखा जाता है, और एक बिंदु या [[शीर्ष]] को 0-पॉलीटॉप के रूप में देखा जाता है। इस दृष्टिकोण का उपयोग उदाहरण के लिए अमूर्त पॉलीटोप्स के सिद्धांत में किया जाता है।

गणित के कुछ क्षेत्रों में, पॉलीटोप और बहुकोणीय आकृति शब्द एक अलग अर्थ में उपयोग किए जाते हैं: एक बहुकोणीय आकृति किसी भी आयाम में सामान्य वस्तु है (इस आलेख में पॉलीटोप के रूप में संदर्भित) और पॉलीटोप का अर्थ है एक [[ घिरा हुआ सेट | घिरा हुआ सम्मुचय]] पॉलीहेड्रॉन। <nowiki><ref>नेमहौसर और वोल्सी, इंटीजर और कॉम्बिनेटोरियल ऑप्टिमाइजेशन, 1999, </nowiki>{{isbn|978-0471359432}}, परिभाषा 2.2।<nowiki></ref></nowiki> यह शब्दावली विशिष्ट रूप से पॉलीटोप्स और बहुकोणीय आकृति तक ही सीमित है जो [[उत्तल]] हैं। इस शब्दावली के साथ, एक उत्तल बहुकोणीय आकृति अर्ध स्थानों की एक परिमित संख्या का प्रतिच्छेदन है और इसके पक्षों द्वारा परिभाषित किया गया है, जबकि एक उत्तल पॉलीटोप बिंदुओं की एक परिमित संख्या का [[उत्तल पतवार]] है और इसके शीर्षों द्वारा परिभाषित किया गया है।

आयामों की कम संख्या वाले पॉलीटोप्स के मानक नाम हैं।

एक पॉलीटोप में विभिन्न आयामों के तत्व सम्मिलित होते हैं जैसे कोने, किनारे, फेसेस, कोशिकाएं आदि। इनके लिए शब्दावली विभिन्न लेखकों के बीच पूरी तरह से संगत नहीं है। उदाहरण के लिए, कुछ लेखक एक (n − 1) आयामी तत्व को संदर्भित करने के लिए फेसेस का उपयोग करते हैं जबकि अन्य विशेष रूप से 2-फेसेस को निरूपित करने के लिए फेसेस का उपयोग करते हैं। जे आयामों के एक तत्व को इंगित करने के लिए लेखक जे फेस या जे फलक का उपयोग कर सकते हैं। कुछ किनारे का उपयोग रिज को संदर्भित करने के लिए करते हैं, जबकि एच.एस.एम. कॉक्सम्मुचयर सेल का उपयोग एन -1 आयामी तत्व को निरूपित करने के लिए सेल का उपयोग करता है।<ref>Regular polytopes, p. 127 ''The part of the polytope that lies in one of the hyperplanes is called a cell''</ref>{{citation needed|date=February 2015|reason=need to cite each definition claimed}}

एक n-आयामी पॉलीटोप कई (n − 1) आयामी [[ पहलू (गणित) | पहलुओं गणित]] से घिरा होता है। ये पहलू स्वयं पॉलीटोप हैं, जिनके पहलू मूल पॉलीटोप के (n -2) आयामी [[ रिज (ज्यामिति) | रिज (ज्यामिति)]] के हैं। प्रत्येक रिज दो पहलुओं के प्रतिच्छेदन के रूप में उत्पन्न होती है लेकिन दो पहलुओं के प्रतिच्छेदन को एक रिज होना आवश्यक नहीं है। रिज एक बार फिर से पॉलीटोप हैं जिनके पहलू मूल पॉलीटोप की(n - 3) आयामी सीमाओं को निर्मित करते हैं, और इसी तरह इन बाउंडिंग सब-पॉलीटॉप्स को फेस(ज्यामिति), या विशेष रूप से जे-विमीय फेस या जे-फेस के रूप में संदर्भित किया जा सकता है। एक 0-आयामी फेसेस को एक शीर्ष कहा जाता है, और इसमें एक बिंदु होता है। 1-आयामी फेसेस को किनारा कहा जाता है, और इसमें एक रेखा खंड होता है। एक 2-आयामी फेसेस में एक बहुभुज होता है, और एक 3-आयामी फेस, जिसे कभी-कभी [[ सेल (गणित) |सेल (गणित)]] कहा जाता है, और इसमें एक बहुकोणीय आकृति होता है।

पॉलीटॉप उत्तल भी हो सकता है। उत्तल पॉलीटोप्स सबसे सरल प्रकार के पॉलीटोप्स होते हैं, और पॉलीटोप्स की अवधारणा कई अलग-अलग सामान्यीकरणों के लिए आधार बनाते हैं। एक उत्तल पॉलीटॉप को कभी-कभी अर्ध-रिक्त स्थान के सम्मुचय को प्रतिच्छेदन के रूप में परिभाषित किया जाता है। यह परिभाषा पॉलीटॉप को न तो बाध्य और न ही परिमित होने की अनुमति देती है। पॉलीटोप्स को इस तरह परिभाषित किया जाता है, उदाहरण के लिए, रैखिक फलन में एक पॉलीटोप को बांधा जाता है यदि परिमित त्रिज्या की एक गेंद होती है। इसमें पॉलीटॉप को पॉइंटेड कहा जाता है यदि इसमें कम से कम एक शीर्ष होता है। और हर घिरा हुआ गैर-खाली पॉलीटॉप पॉइंटेड होता है। यह एक गैर-पॉइंटेड पॉलीटॉप का उदाहरण सम्मुचय है <math>\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x \geq 0\}</math>, पॉलीटॉप परिमित है यदि इसे परिमित संख्या में ऑब्जेक्ट्स के रूप में परिभाषित जाता है, उदाहरण के लिए, अर्ध समतल की परिमित संख्या के प्रतिच्छेदन के रूप में है।

यदि इसके सभी शीर्षों में पूर्णांक निर्देशांक हैं, तो यह एक [[ अभिन्न पॉलीटॉप ]] है।

उत्तल पॉलीटॉप्स का एक निश्चित वर्ग प्रतिवर्ती पॉलीटोप्स हैं। एक अभिन्न {{nobr|<math>d</math>-पॉलीटॉप}} <math>\mathcal{P}</math> कुछ [[ पूर्णांक मैट्रिक्स ]] के लिए प्रतिवर्ती है <math>\mathbf{A}</math>, <math>\mathcal{P} = \{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^d : \mathbf{Ax} \leq \mathbf{1}\}</math>, जहां पे <math>\mathbf{1}</math> सभी के सदिश को दर्शाता है, और असमानता घटक-वार है। और इस परिभाषा से हमें पता चलता कि <math>\mathcal{P}</math> प्रतिवर्ती है अगर और केवल अगर <math>(t+1)\mathcal{P}^\circ \cap \mathbb{Z}^d = t\mathcal{P} \cap \mathbb{Z}^d</math> सभी के लिए है <math>t \in \mathbb{Z}_{\geq 0}</math>. दूसरे शब्दों में, ए {{nobr|<math>(t + 1)</math>-डाईलेट}} का <math>\mathcal{P}</math> भिन्न, पूर्णांक जालक बिंदुओं के संदर्भ में, a {{nobr|<math>t</math>-dilate}} का <math>\mathcal{P}</math> केवल सीमा पर प्राप्त जाली बिंदुओं से समान रूप से, <math>\mathcal{P}</math> प्रतिवर्ती है अगर और केवल अगर यह [[ दोहरी पॉलीहेड्रॉन | दोहरी बहुकोणीय आकृति]] है तो <math>\mathcal{P}^*</math> एक अभिन्न पॉलीटॉप है।<ref>Beck, Matthias; Robins, Sinai (2007), ''[[Computing the Continuous Discretely|Computing the Continuous Discretely: Integer-point enumeration in polyhedra]]'', Undergraduate Texts in Mathematics, New York: Springer-Verlag, {{ISBN|978-0-387-29139-0}}, MR 2271992</ref>

*समबाहु त्रिभुज और नियमित टेट्राहेड्रॉन सहित [[सरलताएं]] हैं।

*[[अतिविम]] या वर्ग और घन सहित पॉलीटोप्स को मापें।

*वर्गाकार और [[ नियमित अष्टफलक ]] सहित [[ ऑर्थोप्लेक्स ]] या क्रॉस पॉलीटोप हैं।

आयाम दो, तीन और चार में नियमित आंकड़े सम्मिलित होते हैं जिनमें पांच गुना समरूपता होती है और जिनमें से कुछ गैर-उत्तल तारक (तारक (स्टार)) होते हैं, और दो आयामों में अनंत रूप से एन-गुना समरूपता के कई [[ नियमित बहुभुज ]] होते हैं, दोनों उत्तल और n ≥ 5 के लिए तारक (तारक (स्टार))। लेकिन उच्च आयामों में कोई अन्य नियमित पॉलीटॉप नहीं होता हैं।<ref name="coxeter1973"/>

आयाम दो, तीन और चार में नियमित आंकड़े सम्मिलित होते हैं जिनमें पांच गुना समरूपता होती है और जिनमें से कुछ गैर-उत्तल तारक (तारक (स्टार)) होते हैं, और दो आयामों में अनंत रूप से एन-गुना समरूपता के कई नियमित बहुभुज होते हैं, दोनों उत्तल और n ≥ 5 के लिए तारक (तारक (स्टार)) होते हैं। लेकिन उच्च आयामों में कोई अन्य नियमित पॉलीटॉप्स नहीं होते हैं।

 

चार आयामों में नियमित 4-पॉलीटॉप में चार गुना समरूपता के साथ एक अतिरिक्त उत्तल ठोस और पांच गुना समरूपता के साथ सम्मिलित हैं। दस तारक (तारक (स्टार)) श्लाफली-हेस 4-पॉलीटॉप हैं, और सभी पांच गुना समरूपता के साथ, सभी सोलह नियमित 4-पॉलीटॉप में दे रहे हैं।

एक गैर-उत्तल पॉलीटोप स्वयं प्रतिच्छेदन हो सकता है, पॉलीटोप्स के इस वर्ग में तारक (स्टार) पॉलीटोप्स में सम्मिलित हैं। कुछ नियमित पॉलीटॉप तारक (स्टार)) हैं।<ref name="coxeter1973" />

यह बहुकोणीय आकृति के लिए यूलर के सूत्र को सामान्यीकृत करता है।<ref name="pands"/>

ग्राम-यूलर प्रमेय इसी तरह [[ आंतरिक और बाहरी कोण | आंतरिक और बाहरी कोणों]] के वैकल्पिक योग को सामान्य करता है <math display="inline"> \sum \varphi</math> उत्तल बहुकोणीय आकृति के लिए उच्च-आयामी पॉलीटोप्स के लिए है<ref name="pands">M. A. Perles and G. C. Shephard. 1967. "Angle sums of convex polytopes". ''Math. Scandinavica'', Vol 21, No 2. March 1967. pp. 199–218.</ref>

सभी गुण परिमित नहीं होते। जहां एक पॉलीटॉप को मैनिफोल्ड के टाइलिंग या अपघटन के रूप में समझा जाता है, इस विचार को अनंत मैनिफोल्ड तक बढ़ाया जा सकता है। टेसलेशन, स्पेस-फिलिंग, हनीकॉम्ब ज्यामिति और [[ अतिशयोक्तिपूर्ण टाइलिंग ]] इस अर्थ में पॉलीटोप्स हैं, और कभी-कभी इन्हें एपिरोटोप्स कहा जाता है क्योंकि उनमें असीम रूप से कई कोशिकाएं होती हैं।

इनमें [[ नियमित तिरछा पॉलीहेड्रॉन | नियमित तिरछा बहुकोणीय आकृति]]  और नियमित एपिरोगोन, स्क्वायर टाइलिंग, क्यूबिक मधुकोश, और इतने पर प्रतिनिधित्व करने वाली टाइलिंग की अनंत श्रृंखला सहित नियमित रूप से हैं।

एक ज्यामितीय पॉलीटोप के मामले में, दोहरीकरण के लिए कुछ ज्यामितीय नियम आवश्यक हैं, उदाहरण के लिए दोहरे बहुकोणीय आकृति के लिए वर्णित नियम देखें। परिस्थिति के आधार पर, दोहरी आकृति और ज्यामितीय पॉलीटॉप हो सकती है या नहीं भी हो सकती है।<ref>Wenninger, M.; ''Dual Models'', CUP (1983).</ref>

यदि दोहरे को उलट दिया जाता है, तो मूल पॉलीटोप पुनः प्राप्त हो जाता है। इस प्रकार, पॉलीटोप्स दोहरे जोड़े में उपलब्ध हैं।

[[File:Schlegel wireframe 5-cell.png|120px|thumb|[[ 5-कोशिका ]] (4-सिम्प्लेक्स) 5 कोने और 5 टेट्राहेड्रल कोशिकाओं के साथ स्व-दोहरी है।]]यदि एक पॉलीटॉप में किनारों की संख्या समान है tatha किनारों par लकीरें हैं, iske sath आगे समान संयोजकताएं bhi sammlit ho, तो yein दोहरी आकृति wale मूल के समान hongi और पॉलीटॉप स्व-दोहरी hogi।

*किसी भी आयाम में हर [[ हाइपरक्यूबिक मधुकोश |छिद्रान्वेषी मधुकोश]] hoga। jinमें एपिरोगोन {∞}, [[ चौकोर खपरैल ]] {4,4} और [[ घन मधुकोश ]] {4,3,4} सम्मिलित हैं।

*कई कॉम्पैक्ट, पैराकॉम्पैक्ट और नॉनकॉम्पैक्ट हाइपरबोलिक टाइलिंग, जैसे कि [[ इकोसाहेड्रल मधुकोश ]] {3,5,3}, और [[ क्रम-5 पंचकोणीय खपरैल ]] {5,5}।

*3 आयामों में, विहित रूप [[ बहुभुज पिरामिड ]] और [[ लम्बी पिरामिड ]], और चतुष्फलकीय रूप से कम डोडेकाहेड्रोन हैं।

*श्लाफली प्रतीक {3,4,3} के साथ 4 आयामों में, [[ 24-सेल |24-सेल]]। इसके अलावा [[ महान 120-सेल | प्रमुख 120-सेल]]  {5,5/2,5} और [[ भव्य तारकीय 120-सेल ]] {5/2,5,5/2}।

अगस्त 1827 में फर्डिनैंड मोबियस को पता चला कि दर्पण छवि के दो ठोस तत्वों को एक को चौथे गणितीय आयाम में घुमा कर परतदार किया जाता है। 1850 के दशक तक, मुट्ठी भर अन्य गणितज्ञों जैसे [[ आर्थर केली ]] और [[ हरमन ग्रासमैन ]] ने भी उच्च आयामों पर विचार किया था।

लुडविग श्लाफली इन उच्च स्थानों में बहुभुज और बहुकोणीय आकृति के अनुरूपों पर विचार करने वाले पहले व्यक्ति थे। उन्होंने 1852 में छह उत्तल नियमित 4-पॉलीटोप्स का वर्णन किया लेकिन उनकी मृत्यु के छह साल बाद 1901 तक उनका काम प्रकाशित नहीं हुआ। 1854 तक, [[ बर्नहार्ड रीमैन ]] की [[ आवास थीसिस ]] ने उच्च आयामों की ज्यामिति को दृढ़ता से स्थापित किया था, और इस प्रकार एन-आयामी पॉलीटोप्स की अवधारणा को स्वीकार्य बना दिया गया था। श्लाफली के पॉलीटॉप्स को उनके जीवनकाल में भी, बाद के दशकों में कई बार फिर से खोजा गया।

1882 में जर्मन में लिखते हुए रीनहोल्ड होप ने बहुभुज और बहुकोणीय आकृति की इस अधिक सामान्य अवधारणा को संदर्भित करने के लिए डी पॉलीटॉप (ज्यामिति) शब्द बनाया। नियत समय में तर्कशास्त्री [[ जॉर्ज बूले ]] की बेटी एलिसिया बूल स्टॉट ने अंग्रेजी भाषा में पॉलीटॉप पेश किया।<ref name="coxeter1973"/>{{rp|vi}}

1895 में, थोरल्ड कोणिका की न केवल शीलफली की नियमित पोलिटोप की खोज की बल्कि [[ अर्धनियमित पॉलीटोप |अर्धनियमित पॉलीटोप]] पोलिटोप और स्पेस भरने की चौकोर के उच्च आयामों में खोज की। पॉलीटोप्स का अध्ययन गैर यूक्लिडियन स्पेस जैसे हाइपरबोलिक स्पेस में भी शुरू हुआ।

सन् 1948 में एच. एस. एम. कोक्सेटर की [[पुस्तक]] नियमित रूप से पॉलिटोपस के साथ 1948 में एक महत्वपूर्ण मील का पत्थर साबित हुई।