पॉलीटॉप: Difference between revisions

Revision as of 17:29, 17 November 2022

File:First stellation of octahedron.png	File:First stellation of dodecahedron.png	File:Second stellation of dodecahedron.png	File:Third stellation of dodecahedron.png	File:Sixteenth stellation of icosahedron.png	File:First stellation of icosahedron.png
A polyhedron is a 3-dimensional polytope

File:Assorted polygons.svg

एक बहुभुज एक 2-आयामी पॉलीटॉप है। बहुभुज को विभिन्न मानदंडों के अनुसार चित्रित किया जा सकता है। कुछ उदाहरण है, खुला (इसकी सीमा को छोड़कर), केवल बाउंडिंग सर्किट (इसके आंतरिक भाग को अनदेखा करना), बंद (इसकी सीमा और इसके आंतरिक दोनों सहित), और विभिन्न क्षेत्रों के अलग-अलग घनत्व के साथ स्व-प्रतिच्छेद करना

प्रारंभिक ज्यामिति में, एक पॉलीटोप एक ज्यामितीय वस्तु है जिसमें फ्लैट फेसेस का सामना करना पड़ता है। पॉलीटोप्स किसी भी संख्या के आयामों के लिए त्रि-आयामी बहुतल का सामान्यीकरण होता हैं। पॉलीटोप्स किसी भी सामान्य संख्या में आयाम $n$ में $n$ -विमीय पॉलीटोप या $n$ -पॉलीटोप के रूप में मौजूद हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, एक द्वि-आयामी बहुभुज एक 2-पॉलीटॉप है और एक त्रि-आयामी पॉलीहेड्रॉन 3-पॉलीटॉप है। इस संदर्भ में, चपटी भुजाओं का अर्थ है कि a की भुजाएँ $(k + 1)$ पॉलीटोप से मिलकर बनता है और $k$ -पॉलीटोप्स होते हैं जिनमें $(k - 1)$ पॉलीटोप्स समान हो सकते हैं।

कुछ सिद्धांत आगे चलकर इस तरह की वस्तुओं को सम्मिलित करने के विचार को सामान्यीकृत करते हैं जैसे कि अनबाउंड अनंतता और चौकोर, अपघटन या घुमावदार मैनिफोल्ड्स की टाइलिंग जिसमें गोलाकार पॉलीहेड्रा, और सम्मुचय-सैद्धांतिक सार पॉलीटोप्स में सम्मिलित होते हैं।

1853 से पहले लुडविग श्लाफली द्वारा पहली बार तीन से अधिक आयामों के पॉलीटोप्स की खोज की गई थी, जिन्होंने इस तरह के एक आंकड़े को एक पॉलीसेम कहा था।^[1] जर्मन भाषा का शब्द पॉलीटॉप गणितज्ञ रेनहोल्ड हॉपी द्वारा निर्मित किया गया था, और एलिसिया बोले स्टॉट द्वारा अंग्रेजी गणितज्ञों को पॉलीटॉप के रूप में पेश किया गया था।

परिभाषा के दृष्टिकोण

आजकल, पॉलीटॉप शब्द एक व्यापक शब्द है जिसमें वस्तुओं की एक विस्तृत श्रेणी शामिल है, और गणितीय साहित्य में विभिन्न परिभाषाएँ दिखाई देती हैं। इनमें से कई परिभाषाएँ एक-दूसरे के समतुल्य नहीं हैं, जिसके परिणामस्वरूप वस्तुओं के अलग-अलग अतिव्यापी सम्मुचयों को पॉलीटॉप्स कहा जाता है। वे समान गुणों वाली अन्य वस्तुओं को शामिल करने के लिए उत्तल पॉलीटोप्स को सामान्य बनाने के लिए विभिन्न दृष्टिकोणों का प्रतिनिधित्व करते हैं।

मूल दृष्टिकोण सामान्तया लुडविग श्लाफली, थोरोल्ड गॉसम्मुचय और अन्य द्वारा व्यापक रूप से अनुसरण किया जाता है, क्रमशः दो या तीन आयामों में बहुभुज और पॉलीहेड्रॉन के विचार के चार या अधिक आयामों में सादृश्य द्वारा विस्तार के साथ शुरू होता है।^[2]

पॉलीहेड्रा की यूलर विशेषता को उच्च-आयामी पॉलीटोप्स के सामान्यीकरण के प्रयासों ने टोपोलॉजी के विकास और एक अपघटन या सीडब्ल्यू-जटिल के उपचार को एक पॉलीटॉप के अनुरूप बनाया गया है।^[3] इस दृष्टिकोण में, एक पॉलीटॉप को कुछ दिए गए कई गुना के चौकोर या अपघटन के रूप में माना जा सकता है। इस दृष्टिकोण का एक उदाहरण एक पॉलीटॉप को उन बिंदुओं के एक सम्मुचय के रूप में परिभाषित करता है जो एक साधारण परिसर को स्वीकार करते हैं। इस परिभाषा में, एक पॉलीटॉप, अतिरिक्त संपत्ति के साथ, बहुत से सरलताओं का संघ है, जो किसी भी दो सरलताओं के लिए, एक गैर-रिक्त प्रतिच्छेदन है। उनका प्रतिच्छेदन दोनों का एक शीर्ष, किनारा या उच्च आयामी फेस है।^[4] चूँकि, यह परिभाषा आंतरिक संरचनाओं के साथ तारक (स्टार) पॉलीटोप्स की अनुमति नहीं देती है, और इसलिए यह गणित के कुछ क्षेत्रों तक ही सीमित है।

तारक (स्टार) पॉलीहेड्रा और अन्य असामान्य निर्माणों की खोज ने एक पॉलीहेड्रॉन को एक बाउंडिंग सतह के रूप में देखा, इसके आंतरिक भाग की अनदेखी की। इस प्रकाश के पी-स्पेस में उत्तल पॉलीटोप्स (पी-1) क्षेत्र के टाइलिंग के बराबर हैं, जबकि अन्य अन्य अंडाकार, फ्लैट या टोरॉयडल (पी-1) सतहों के टाइलिंग हो सकते हैं, उदाहरण के लिए अंडाकार टाइलिंग और टोरॉयडल पॉलीहेड्रॉन देखें। पॉलीहेड्रॉन को एक ऐसी सतह के रूप में समझा जाता है जिसके फेस ज्यामिति बहुभुज के होते हैं, एक 4-पॉलीटॉप एक हाइपरसर्फेस के रूप में होता है। जिसके फेस ज्यामिति पॉलीहेड्रा के होते हैं।

निचले आयाम वाले लोगों से एक उच्च पॉलीटोप का निर्माण करने का विचार कभी-कभी आयाम में नीचे की ओर बढ़ाया जाता है, जिसमें एक किनारे को एक बिंदु जोड़ी द्वारा बंधे 1-पॉलीटॉप के रूप में देखा जाता है, और एक बिंदु या शीर्ष को 0-पॉलीटॉप के रूप में देखा जाता है। इस दृष्टिकोण का उपयोग उदाहरण के लिए अमूर्त पॉलीटोप्स के सिद्धांत में किया जाता है।

गणित के कुछ क्षेत्रों में, पॉलीटोप और पॉलीहेड्रॉन शब्द एक अलग अर्थ में उपयोग किए जाते हैं: एक पॉलीहेड्रॉन किसी भी आयाम में सामान्य वस्तु है (इस आलेख में पॉलीटोप के रूप में संदर्भित) और पॉलीटोप का अर्थ है एक घिरा हुआ सम्मुचय पॉलीहेड्रॉन। रेफ> नेमहौसर और वोल्सी, इंटीजर और कॉम्बिनेटोरियल ऑप्टिमाइजेशन, 1999, ISBN 978-0471359432, परिभाषा 2.2। </ रेफ> यह शब्दावली विशिष्ट रूप से पॉलीटोप्स और पॉलीहेड्रा तक ही सीमित है जो उत्तल हैं। इस शब्दावली के साथ, एक उत्तल पॉलीहेड्रॉन अर्ध स्थानों की एक परिमित संख्या का प्रतिच्छेदन है और इसके पक्षों द्वारा परिभाषित किया गया है, जबकि एक उत्तल पॉलीटोप बिंदुओं की एक परिमित संख्या का उत्तल पतवार है और इसके शीर्षों द्वारा परिभाषित किया गया है।

आयामों की कम संख्या वाले पॉलीटोप्स के मानक नाम हैं।

आयाम पॉलीटोप का	विवरण
−1	नुलिटोप
0	Monon
1	डायोन
2	बहुभुज
3	बहुतल
4	पॉलीकोरोन

तत्व

एक पॉलीटोप में विभिन्न आयामों के तत्व सम्मिलित होते हैं जैसे कोने, किनारे, फेसेस, कोशिकाएं आदि। इनके लिए शब्दावली विभिन्न लेखकों के बीच पूरी तरह से संगत नहीं है। उदाहरण के लिए, कुछ लेखक एक (n − 1) आयामी तत्व को संदर्भित करने के लिए फेसेस का उपयोग करते हैं जबकि अन्य विशेष रूप से 2-फेसेस को निरूपित करने के लिए फेसेस का उपयोग करते हैं। जे आयामों के एक तत्व को इंगित करने के लिए लेखक जे फेस या जे फलक का उपयोग कर सकते हैं। कुछ किनारे का उपयोग रिज को संदर्भित करने के लिए करते हैं, जबकि एच.एस.एम. कॉक्सम्मुचयर सेल का उपयोग एन -1 आयामी तत्व को निरूपित करने के लिए सेल का उपयोग करता है।^[5]^{[citation needed]} इस लेख में अपनाई गई शर्तें नीचे दी गई तालिका में दी गई हैं।

आयाम तत्व का	शर्त (एन-पॉलीटॉप में)
−1	शून्यता (अमूर्त सिद्धांत में आवश्यक))^[6]
0	शिखर
1	किनारा
2	फेस
3	कक्ष
$\vdots$	$\vdots$
j	j-फेस – पद का तत्व j = −1, 0, 1, 2, 3, ..., n
$\vdots$	$\vdots$
n − 3	शिखर – (n − 3)-फेस
n − 2	चोटी or subfacet – (n − 2)-फेस
n − 1	पहलू– (n − 1)-फेस
n	पॉलीटॉप ही

एक n-आयामी पॉलीटोप कई (n − 1) आयामी पहलुओं गणित से घिरा होता है। ये पहलू स्वयं पॉलीटोप हैं, जिनके पहलू मूल पॉलीटोप के (n -2) आयामी रिज (ज्यामिति) के हैं। प्रत्येक रिज दो पहलुओं के प्रतिच्छेदन के रूप में उत्पन्न होती है लेकिन दो पहलुओं के प्रतिच्छेदन को एक रिज होना आवश्यक नहीं है। रिज एक बार फिर से पॉलीटोप हैं जिनके पहलू मूल पॉलीटोप की (n - 3) आयामी सीमाओं को जन्म देते हैं, और इसी तरह इन बाउंडिंग सब-पॉलीटॉप्स को फेस (ज्यामिति), या विशेष रूप से जे-विमीय फेस या जे-फेस के रूप में संदर्भित किया जा सकता है। एक 0-आयामी फेसेस को एक शीर्ष कहा जाता है, और इसमें एक बिंदु होता है। 1-आयामी फेसेस को किनारा कहा जाता है, और इसमें एक रेखा खंड होता है। एक 2-आयामी फेसेस में एक बहुभुज होता है, और एक 3-आयामी फेस, जिसे कभी-कभी सेल (गणित) कहा जाता है, और इसमें एक पॉलीहेड्रॉन होता है।

बहुलकों के महत्वपूर्ण वर्ग

उत्तल पॉलीटोप्स

पॉलीटॉप उत्तल भी हो सकता है। उत्तल पॉलीटोप्स सबसे सरल प्रकार के पॉलीटोप्स होते हैं, और पॉलीटोप्स की अवधारणा कई अलग-अलग सामान्यीकरणों के लिए आधार बनाते हैं। एक उत्तल पॉलीटॉप को कभी-कभी अर्ध-रिक्त स्थान के सम्मुचय को प्रतिच्छेदन के रूप में परिभाषित किया जाता है। यह परिभाषा पॉलीटॉप को न तो बाध्य और न ही परिमित होने की अनुमति देती है। पॉलीटोप्स को इस तरह परिभाषित किया जाता है, उदाहरण के लिए, रैखिक फलन में एक पॉलीटोप को बांधा जाता है यदि परिमित त्रिज्या की एक गेंद होती है। इसमें पॉलीटॉप को पॉइंटेड कहा जाता है यदि इसमें कम से कम एक शीर्ष होता है। और हर घिरा हुआ गैर-खाली पॉलीटॉप पॉइंटेड होता है। यह एक गैर-पॉइंटेड पॉलीटॉप का उदाहरण सम्मुचय है $\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x\geq 0\}$ , पॉलीटॉप परिमित है यदि इसे परिमित संख्या में वस्तुओं के रूप में परिभाषित जाता है, उदाहरण के लिए, अर्ध समतल की परिमित संख्या के प्रतिच्छेदन के रूप में है। यदि इसके सभी शीर्षों में पूर्णांक निर्देशांक हैं, तो यह एक अभिन्न पॉलीटॉप है।

उत्तल पॉलीटॉप्स का एक निश्चित वर्ग प्रतिवर्ती पॉलीटोप्स हैं। एक अभिन्न $d$ -polytope ${\mathcal {P}}$ कुछ पूर्णांक मैट्रिक्स के लिए प्रतिवर्ती है $\mathbf {A}$ ,

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 | colspan="6" | A [[polyhedron]] is a 3-dimensional polytope
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-[[File:Assorted polygons.svg|thumb|400px|right|एक [[ बहुभुज ]] एक 2-आयामी पॉलीटॉप है। बहुभुज को विभिन्न मानदंडों के अनुसार चित्रित किया जा सकता है। कुछ उदाहरण हैं: खुला (इसकी सीमा को छोड़कर), केवल बाउंडिंग सर्किट (इसके आंतरिक भाग की उपेक्षा), बंद (इसकी सीमा और इसके आंतरिक दोनों सहित), और विभिन्न क्षेत्रों के विभिन्न घनत्वों के साथ स्व-प्रतिच्छेद।]]प्रारंभिक ज्यामिति में, एक पॉलीटोप एक ज्यामितीय वस्तु है जिसमें फ्लैट [[फेसेस]] का सामना करना पड़ता है। पॉलीटोप्स किसी भी संख्या के आयामों के लिए त्रि-आयामी [[ बहुतल ]] का सामान्यीकरण होता हैं। पॉलीटोप्स किसी भी सामान्य संख्या में आयाम {{mvar|n}} में {{mvar|n}}-विमीय पॉलीटोप या {{mvar|n}}-पॉलीटोप के रूप में मौजूद हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, एक द्वि-आयामी बहुभुज एक 2-पॉलीटॉप है और एक त्रि-आयामी पॉलीहेड्रॉन 3-पॉलीटॉप है। इस संदर्भ में, चपटी भुजाओं का अर्थ है कि a की भुजाएँ {{math|(''k'' + 1)}} पॉलीटोप से मिलकर बनता है और {{mvar|k}}-पॉलीटोप्स होते हैं जिनमें  {{math|(''k'' – 1)}} पॉलीटोप्स समान हो सकते हैं।
+[[File:Assorted polygons.svg|thumb|400px|right|एक [[बहुभुज]] एक 2-आयामी पॉलीटॉप है। बहुभुज को विभिन्न मानदंडों के अनुसार चित्रित किया जा सकता है। कुछ उदाहरण है, खुला (इसकी सीमा को छोड़कर), केवल बाउंडिंग सर्किट (इसके आंतरिक भाग को अनदेखा करना), बंद (इसकी सीमा और इसके आंतरिक दोनों सहित), और विभिन्न क्षेत्रों के अलग-अलग घनत्व के साथ स्व-प्रतिच्छेद करना]]प्रारंभिक ज्यामिति में, एक पॉलीटोप एक ज्यामितीय वस्तु है जिसमें फ्लैट [[फेसेस]] का सामना करना पड़ता है। पॉलीटोप्स किसी भी संख्या के आयामों के लिए त्रि-आयामी [[ बहुतल ]] का सामान्यीकरण होता हैं। पॉलीटोप्स किसी भी सामान्य संख्या में आयाम {{mvar|n}} में {{mvar|n}}-विमीय पॉलीटोप या {{mvar|n}}-पॉलीटोप के रूप में मौजूद हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, एक द्वि-आयामी बहुभुज एक 2-पॉलीटॉप है और एक त्रि-आयामी पॉलीहेड्रॉन 3-पॉलीटॉप है। इस संदर्भ में, चपटी भुजाओं का अर्थ है कि a की भुजाएँ {{math|(''k'' + 1)}} पॉलीटोप से मिलकर बनता है और {{mvar|k}}-पॉलीटोप्स होते हैं जिनमें  {{math|(''k'' – 1)}} पॉलीटोप्स समान हो सकते हैं।
 कुछ सिद्धांत आगे चलकर इस तरह की वस्तुओं को सम्मिलित करने के विचार को सामान्यीकृत करते हैं जैसे कि अनबाउंड [[ अनंतता |अनंतता]] और चौकोर, अपघटन या घुमावदार मैनिफोल्ड्स की टाइलिंग जिसमें [[गोलाकार पॉलीहेड्रा,]] और सम्मुचय-सैद्धांतिक सार पॉलीटोप्स में सम्मिलित होते हैं।
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 मूल दृष्टिकोण सामान्तया लुडविग श्लाफली, [[थोरोल्ड गॉसेट|थोरोल्ड गॉसम्मुचय]] और अन्य द्वारा व्यापक रूप से अनुसरण किया जाता है, क्रमशः दो या तीन आयामों में बहुभुज और पॉलीहेड्रॉन के विचार के चार या अधिक आयामों में सादृश्य द्वारा विस्तार के साथ शुरू होता है।<ref name="coxeter1973">Coxeter (1973)</ref>
-पॉलीहेड्रा की [[यूलर विशेषता]] को उच्च-आयामी पॉलीटोप्स के सामान्यीकरण के प्रयासों ने टोपोलॉजी के विकास और एक अपघटन या [[ स.ग.-जटिल |सीडब्ल्यू-जटिल]] के उपचार को एक पॉलीटॉप के अनुरूप बनाया गया है।<ref>{{cite book|author-link=David Richeson|last=Richeson|first=D.|title=यूलर का रत्न: पॉलीहेड्रॉन फॉर्मूला और टोपोलॉजी का जन्म|title-link= Euler's Gem|publisher=Princeton University Press|year=2008}}</ref> इस दृष्टिकोण में, एक पॉलीटॉप को कुछ दिए गए कई गुना के टेस्सेलेशन या अपघटन के रूप में माना जा सकता है। इस दृष्टिकोण का एक उदाहरण एक पॉलीटॉप को उन बिंदुओं के एक सम्मुचय के रूप में परिभाषित करता है जो एक साधारण परिसर को स्वीकार करते हैं। इस परिभाषा में, एक पॉलीटॉप, अतिरिक्त संपत्ति के साथ, बहुत से [[ सरल |सरलताओं]] का संघ है, जो किसी भी दो सरलताओं के लिए, एक गैर-रिक्त प्रतिच्छेदन है। उनका प्रतिच्छेदन दोनों का एक शीर्ष, किनारा या उच्च आयामी फेस है।<ref name="Grünbaum2003">ग्रुनबाम (2003) </ रेफ> हालांकि यह परिभाषा आंतरिक संरचनाओं के साथ [[ स्टार पॉलीटॉप ]]्स की अनुमति नहीं देती है, और इसलिए यह गणित के कुछ क्षेत्रों तक ही सीमित है।
+पॉलीहेड्रा की [[यूलर विशेषता]] को उच्च-आयामी पॉलीटोप्स के सामान्यीकरण के प्रयासों ने टोपोलॉजी के विकास और एक अपघटन या [[ स.ग.-जटिल |सीडब्ल्यू-जटिल]] के उपचार को एक पॉलीटॉप के अनुरूप बनाया गया है।<ref>{{cite book|author-link=David Richeson|last=Richeson|first=D.|title=यूलर का रत्न: पॉलीहेड्रॉन फॉर्मूला और टोपोलॉजी का जन्म|title-link= Euler's Gem|publisher=Princeton University Press|year=2008}}</ref> इस दृष्टिकोण में, एक पॉलीटॉप को कुछ दिए गए कई गुना के चौकोर या अपघटन के रूप में माना जा सकता है। इस दृष्टिकोण का एक उदाहरण एक पॉलीटॉप को उन बिंदुओं के एक सम्मुचय के रूप में परिभाषित करता है जो एक साधारण परिसर को स्वीकार करते हैं। इस परिभाषा में, एक पॉलीटॉप, अतिरिक्त संपत्ति के साथ, बहुत से [[ सरल |सरलताओं]] का संघ है, जो किसी भी दो सरलताओं के लिए, एक गैर-रिक्त प्रतिच्छेदन है। उनका प्रतिच्छेदन दोनों का एक शीर्ष, किनारा या उच्च आयामी फेस है।<ref name="Grünbaum2003">ग्रुनबाम (2003) </ रेफ> हालांकि यह परिभाषा आंतरिक संरचनाओं के साथ [[ स्टार पॉलीटॉप ]]्स की अनुमति नहीं देती है, और इसलिए यह गणित के कुछ क्षेत्रों तक ही सीमित है।
 [[ स्टार पॉलीहेड्रॉन ]] और अन्य असामान्य निर्माणों की खोज ने इसके इंटीरियर की अनदेखी करते हुए एक पॉलीहेड्रॉन को एक बाउंडिंग सतह के रूप में देखा। रेफरी> क्रॉमवेल, पी।; पॉलीहेड्रा, सीयूपी (पीपीबीके 1999) पीपी 205 एफएफ।</ref> चूँकि, यह परिभाषा आंतरिक संरचनाओं के साथ तारक (स्टार) पॉलीटोप्स की अनुमति नहीं देती है, और इसलिए यह गणित के कुछ क्षेत्रों तक ही सीमित है।
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 बहुभुज और बहुफलक प्राचीन काल से जाने जाते हैं।
-उच्च आयामों का एक प्रारंभिक संकेत 1827 में आया जब अगस्त फर्डिनेंड मोबियस ने पाया कि दो दर्पण-छवि वाले ठोस को चौथे गणितीय आयाम के माध्यम से उनमें से एक को घुमाकर आरोपित किया जा सकता है। 1850 के दशक तक, मुट्ठी भर अन्य गणितज्ञों जैसे [[ आर्थर केली ]] और [[ हरमन ग्रासमैन ]] ने भी उच्च आयामों पर विचार किया था।
+अगस्त 1827 में फर्डिनैंड मोबियस को पता चला कि दर्पण छवि के दो ठोस तत्वों को एक को चौथे गणितीय आयाम में घुमा कर परतदार किया जाता है। 1850 के दशक तक, मुट्ठी भर अन्य गणितज्ञों जैसे [[ आर्थर केली ]] और [[ हरमन ग्रासमैन ]] ने भी उच्च आयामों पर विचार किया था।
 लुडविग श्लाफली इन उच्च स्थानों में बहुभुज और पॉलीहेड्रा के अनुरूपों पर विचार करने वाले पहले व्यक्ति थे। उन्होंने 1852 में छह उत्तल नियमित 4-पॉलीटोप्स का वर्णन किया लेकिन उनकी मृत्यु के छह साल बाद 1901 तक उनका काम प्रकाशित नहीं हुआ। 1854 तक, [[ बर्नहार्ड रीमैन ]] की [[ आवास थीसिस ]] ने उच्च आयामों की ज्यामिति को दृढ़ता से स्थापित किया था, और इस प्रकार एन-आयामी पॉलीटोप्स की अवधारणा को स्वीकार्य बना दिया गया था। श्लाफली के पॉलीटॉप्स को उनके जीवनकाल में भी, बाद के दशकों में कई बार फिर से खोजा गया।
-में जर्मन में लिखते हुए रीनहोल्ड होप ने बहुभुज और पॉलीहेड्रा की इस अधिक सामान्य अवधारणा को संदर्भित करने के लिए :de:Polytop (ज्यामिति) शब्द गढ़ा। नियत समय में तर्कशास्त्री [[ जॉर्ज बूले ]] की बेटी एलिसिया बूल स्टॉट ने अंग्रेजी भाषा में अंग्रेजी भाषा में पॉलीटॉप पेश किया।<ref name="coxeter1973"/>{{rp|vi}}
+में जर्मन में लिखते हुए रीनहोल्ड होप ने बहुभुज और पॉलीहेड्रा की इस अधिक सामान्य अवधारणा को संदर्भित करने के लिए डी पॉलीटॉप (ज्यामिति) शब्द बनाया। नियत समय में तर्कशास्त्री [[ जॉर्ज बूले ]] की बेटी एलिसिया बूल स्टॉट ने अंग्रेजी भाषा में पॉलीटॉप पेश किया।<ref name="coxeter1973"/>{{rp|vi}}
-में, थोरोल्ड गॉसम्मुचय ने न केवल श्लाफली के नियमित पॉलीटोप्स को फिर से खोजा, बल्कि उच्च आयामों में [[ अर्धनियमित पॉलीटोप ]] और स्पेस-फिलिंग टेस्सेलेशन के विचारों की भी जांच की। पॉलीटोप्स का अध्ययन गैर-यूक्लिडियन स्थानों जैसे हाइपरबोलिक स्पेस में भी किया जाने लगा।
-में हेरोल्ड स्कॉट मैकडोनाल्ड कॉक्सम्मुचयर | एच। एस एम कॉक्सम्मुचयर की किताब [[ नियमित पॉलीटोप्स (पुस्तक) ]]पुस्तक), आज तक के काम को सारांशित करते हुए और अपने स्वयं के नए निष्कर्षों को जोड़ते हुए।
+में, थोरल्ड कोणिका की न केवल शीलफली की नियमित पोलिटोप की खोज की बल्कि [[ अर्धनियमित पॉलीटोप |अर्धनियमित पॉलीटोप]] पोलिटोप और स्पेस भरने की चौकोर के उच्च आयामों में खोज की। पॉलीटोप्स का अध्ययन गैर यूक्लिडियन स्पेस जैसे हाइपरबोलिक स्पेस में भी शुरू हुआ।
-इस बीच, फ्रांसीसी गणितज्ञ हेनरी पोंकारे ने एक पॉलीटोप के टोपोलॉजी विचार को [[ कई गुना (टोपोलॉजी) ]] के टुकड़े-टुकड़े अपघटन (जैसे सीडब्ल्यू-कॉम्प्लेक्स) के रूप में विकसित किया था। ब्रैंको ग्रुनबाम ने 1967 में [[ उत्तल पॉलीटोप्स ]] पर अपना प्रभावशाली काम प्रकाशित किया।
+सन् 1948 में एच. एस. एम. कोक्सेटर की [[पुस्तक]] नियमित रूप से पॉलिटोपस के साथ 1948 में एक महत्वपूर्ण मील का पत्थर साबित हुई।
-में [[ जेफ्री कॉलिन शेफर्ड ]] ने इस विचार को जटिल अंतरिक्ष में [[ जटिल पॉलीटोप ]]्स के रूप में सामान्यीकृत किया, जहां प्रत्येक वास्तविक आयाम के साथ एक काल्पनिक जुड़ा होता है। कॉक्सम्मुचयर ने सिद्धांत को और विकसित किया।
+इस बीच, फ्रांसीसी गणितज्ञ हेनरी पोंकारे ने एक पॉलीटोप के टोपोलॉजी विचार को [[ कई गुना (टोपोलॉजी) | कई गुना (टोपोलॉजी)]] के टुकड़े-टुकड़े अपघटन जैसे सीडब्ल्यू-कॉम्प्लेक्स के रूप में विकसित किया था। ब्रैंको ग्रुनबाम ने 1967 में [[ उत्तल पॉलीटोप्स | उत्तल पॉलीटोप्स]] पर अपना प्रभावशाली काम प्रकाशित किया।
-जटिल पॉलीटोप्स, गैर-उत्तलता, द्वैत और अन्य घटनाओं द्वारा उठाए गए वैचारिक मुद्दों ने ग्रुनबाम और अन्य को शिखर, किनारों, चेहरों आदि से संबंधित अमूर्त संयोजन गुणों के अधिक सामान्य अध्ययन के लिए प्रेरित किया। एक संबंधित विचार घटना परिसरों का था, जो एक दूसरे के साथ विभिन्न तत्वों की घटनाओं या कनेक्शन का अध्ययन करता था। इन विकासों ने अंततः ऐसे तत्वों के आंशिक रूप से आदेशित सम्मुचय, या पॉसम्मुचय के रूप में अमूर्त पॉलीटोप्स के सिद्धांत का नेतृत्व किया। [[ पीटर मैकमुलेन ]] और एगॉन शुल्ते ने 2002 में अपनी पुस्तक एब्सट्रैक्ट रेगुलर पॉलीटोप्स प्रकाशित की।
+में [[ जेफ्री कॉलिन शेफर्ड | जेफ्री कॉलिन शेफर्ड]] ने इस विचार को जटिल रूप में [[ जटिल पॉलीटोप | जटिल]] [[ उत्तल पॉलीटोप्स |पॉलीटोप्स]] के रूप में सामान्यीकृत किया, जहां प्रत्येक वास्तविक आयाम के साथ एक काल्पनिक जुड़ा होता है। कॉक्सम्मुचयर ने सिद्धांत को और विकसित किया।
+जटिल पॉलीटोप्स, गैर-उत्तलता, द्वैत और अन्य घटनाओं द्वारा उठाए गए वैचारिक विषय ने ग्रुनबाम और अन्य को शिखर, किनारों, फेसेस आदि से संबंधित अमूर्त संयोजन गुणों के अधिक सामान्य अध्ययन के लिए प्रेरित किया। एक संबंधित विचार घटना परिसरों का था, जो एक दूसरे के साथ विभिन्न तत्वों की घटनाओं या संयोजन का अध्ययन करता था। इन विकासों ने अंततः ऐसे तत्वों के आंशिक रूप से आदेशित सम्मुचय, या पॉसम्मुचय के रूप में अमूर्त पॉलीटोप्स के सिद्धांत का नेतृत्व किया। [[ पीटर मैकमुलेन | पीटर मैकमुलेन]] और एगॉन शुल्ते ने 2002 में अपनी पुस्तक एब्सट्रैक्ट रेगुलर पॉलीटोप्स प्रकाशित की।
 चार या अधिक आयामों में एक समान पॉलीटॉप, उत्तल और गैर-उत्तल की गणना करना एक उत्कृष्ट समस्या बनी हुई है। [[ जॉन कॉनवे ]] और [[ माइकल गाइ ]] द्वारा 1965 में कंप्यूटर का उपयोग करते हुए उत्तल वर्दी 4-पॉलीटॉप्स की पूरी तरह से गणना की गई थी;<ref>[http://math.fau.edu/Yiu/Oldwebsites/RM2003/cmjConway825.pdf John Horton Conway: Mathematical Magus] - Richard K. Guy</ref><ref>{{cite journal | url=https://royalsocietypublishing.org/doi/10.1098/rsbm.2021.0034 | doi=10.1098/rsbm.2021.0034 | title=जॉन हॉर्टन कॉनवे। 26 दिसंबर 1937-11 अप्रैल 2020| journal=Biographical Memoirs of Fellows of the Royal Society | date=June 2022 | volume=72 | pages=117–138 | last1=Curtis | first1=Robert Turner }}</ref> उच्च आयामों में यह समस्या अभी भी 1997 तक खुली थी।<ref>[http://mathserver.neu.edu/~schulte/symchapter.pdf Symmetry of Polytopes and Polyhedra], Egon Schulte. p. 12: "However, there are many more uniform polytopes but a complete list is known only for d = 4 [Joh]."</ref> 2008 के रूप में गैर-उत्तल समान पॉलीटोप्स के लिए पूर्ण गणना चार और उच्चतर आयामों में ज्ञात नहीं है।<ref>[[John Horton Conway]], Heidi Burgiel, and [[Chaim Goodman-Strauss]]: ''[[The Symmetries of Things]]'', p. 408. "There are also starry analogs of the Archimedean polyhedra...So far as we know, nobody has yet enumerated the analogs in four or higher dimensions."</ref>
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 == अनुप्रयोग ==
-अनुकूलन (गणित) के क्षेत्र में, [[ रैखिक ]] फलन रैखिक कार्यों के अधिकतम और न्यूनतम का अध्ययन करती है; ये [[ मैक्सिमा और मिनिमा ]] एक एन-विमीय पॉलीटॉप की [[ सीमा (टोपोलॉजी) ]] पर होते हैं। रैखिक फलन में, सामान्यीकृत बैरीसेंट्रिक निर्देशांक और [[ सुस्त चर ]] के उपयोग में पॉलीटॉप होते हैं।
+अनुकूलन (गणित) के क्षेत्र में, [[ रैखिक ]] फलन रैखिक कार्यों के अधिकतम और न्यूनतम का अध्ययन करती है, ये [[ मैक्सिमा और मिनिमा ]] एक एन-विमीय पॉलीटॉप की [[ सीमा (टोपोलॉजी) | सीमा टोपोलॉजी]] पर होते हैं। रैखिक फलन में, सामान्यीकृत बैरीसेंट्रिक निर्देशांक और [[ सुस्त चर ]] के उपयोग में पॉलीटॉप होते हैं।
 ट्विस्टर सिद्धांत में, [[ सैद्धांतिक भौतिकी ]] की एक शाखा, एम्प्लिटुहेड्रोन नामक एक पॉलीटॉप का उपयोग उप-परमाणु कणों के प्रकीर्णन आयामों की गणना करने के लिए किया जाता है जब वे टकराते हैं। निर्माण विशुद्ध रूप से सैद्धांतिक है जिसमें कोई ज्ञात भौतिक अभिव्यक्ति नहीं है, लेकिन कुछ गणनाओं को सरल बनाने के लिए कहा जाता है।<ref>{{cite journal|last1=Arkani-Hamed |first1=Nima |last2=Trnka |first2=Jaroslav |year=2013 |arxiv=1312.2007 |title=एम्प्लिट्यूहेड्रोन|doi=10.1007/JHEP10(2014)030 |volume=2014 |journal=Journal of High Energy Physics|bibcode=2014JHEP...10..030A }}</ref>

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परिभाषा के दृष्टिकोण

तत्व

बहुलकों के महत्वपूर्ण वर्ग

उत्तल पॉलीटोप्स