तुल्यता संबंध: Difference between revisions
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[[File:Set partitions 5; matrices.svg|right|thumb|5-तत्व समुच्चयपर बेल संख्या तुल्यता संबंधों को इस प्रकार दर्शाया गया है <math>5 \times 5</math> [[ तार्किक मैट्रिक्स ]] (रंगीन फ़ील्ड, जिनमें हल्के भूरे रंग के क्षेत्र सम्मिलित हैं, एक के लिए खड़े हैं, शून्य के लिए सफेद फ़ील्ड)। गैर-श्वेत कोशिकाओं की पंक्ति और स्तंभ सूचकांक संबंधित तत्व हैं, जबकि विभिन्न रंग, हल्के भूरे रंग के अलावा, तुल्यता संबंधों को इंगित करते हैं (प्रत्येक हल्के भूरे रंग की कोशिका का अपना तुल्यता संबंध होता है)।]]गणित में, तुल्यता संबंध एक [[ द्विआधारी संबंध ]] है जो प्रतिक्रियात्मक, [[ सममित संबंध | सममित]] और [[ सकर्मक संबंध ]]होता है। ज्यामिति में रेखाखंडों के बीच [[ संतुलन (ज्यामिति) | समतुल्य]] संबंध तुल्यता संबंध का एक सामान्य उदाहरण है। | [[File:Set partitions 5; matrices.svg|right|thumb|5-तत्व समुच्चयपर बेल संख्या तुल्यता संबंधों को इस प्रकार दर्शाया गया है <math>5 \times 5</math> [[ तार्किक मैट्रिक्स ]] (रंगीन फ़ील्ड, जिनमें हल्के भूरे रंग के क्षेत्र सम्मिलित हैं, एक के लिए खड़े हैं, शून्य के लिए सफेद फ़ील्ड)। गैर-श्वेत कोशिकाओं की पंक्ति और स्तंभ सूचकांक संबंधित तत्व हैं, जबकि विभिन्न रंग, हल्के भूरे रंग के अलावा, तुल्यता संबंधों को इंगित करते हैं (प्रत्येक हल्के भूरे रंग की कोशिका का अपना तुल्यता संबंध होता है)।]]गणित में, तुल्यता संबंध एक [[ द्विआधारी संबंध |द्विआधारी संबंध]] है जो प्रतिक्रियात्मक, [[ सममित संबंध |सममित]] और [[ सकर्मक संबंध |सकर्मक संबंध]] होता है। ज्यामिति में रेखाखंडों के बीच [[ संतुलन (ज्यामिति) | समतुल्य]] संबंध तुल्यता संबंध का एक सामान्य उदाहरण है। | ||
प्रत्येक तुल्यता संबंध अंतर्निहित समुच्चय को असंयुक्त [[तुल्यता वर्गों|तुल्यता संबंधों]] में विभाजन करता है। दिए गए समुच्चय के दो अवयव एक दूसरे के समतुल्य हैं। यदि वे एक ही समतुल्य वर्ग से संबंधित हैं। | प्रत्येक तुल्यता संबंध अंतर्निहित समुच्चय को असंयुक्त [[तुल्यता वर्गों|तुल्यता संबंधों]] में विभाजन करता है। दिए गए समुच्चय के दो अवयव एक दूसरे के समतुल्य हैं। यदि वे एक ही समतुल्य वर्ग से संबंधित हैं। | ||
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== संकेतन == | == संकेतन == | ||
साहित्य में दो तत्वों को निर्देशित करने के लिए विभिन्न संकेतन का उपयोग किया जाता है <math>a</math> तथा <math>b</math> तुल्यता संबंध के एक | साहित्य में दो तत्वों को निर्देशित करने के लिए विभिन्न संकेतन का उपयोग किया जाता है <math>a</math> तथा <math>b</math> तुल्यता संबंध के एक समुच्चय के बराबर हैं <math>R;</math> सबसे सामान्य हैं <math>a \sim b</math> तथा {{math|''a'' ≡ ''b''}}, जिनका उपयोग तब किया जाता है जब R निहित और भिन्न होता है " a <sub>''R''</sub> ''b,'' "''a'' ≡<sub>''R''</sub> ''b''", या <math>{a\mathop{R}b}</math> , <math>R</math> स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट करने के लिए गैर समकक्ष लिखा जा सकता है {{math|''a'' ≁ ''b''}} या <math>a \not\equiv b</math>. | ||
== परिभाषा == | == परिभाषा == | ||
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*रिफ्लेक्सिव और सममित संबंध एक [[निर्भरता संबंध]] है यदि परिमित है और [[सहिष्णुता]] संबंध अनंत होते है | *रिफ्लेक्सिव और सममित संबंध एक [[निर्भरता संबंध]] है यदि परिमित है और [[सहिष्णुता]] संबंध अनंत होते है | ||
* एक [[ पूर्व आदेश | अग्रिम क्रम]] प्रतिवर्ती और सकर्मक है। | * एक [[ पूर्व आदेश | अग्रिम क्रम]] प्रतिवर्ती और सकर्मक है। | ||
*एक [[ सर्वांगसमता संबंध ]] एक तुल्यता संबंध है जिसका डोमेन <math>X</math> [[ बीजीय संरचना ]] के लिए अंतर्निहित समुच्चय भी है, और जो अतिरिक्त संरचना का सम्मान करता है। सामान्तया, सर्वांगसमता संबंध समरूपता के [[ कर्नेल (बीजगणित) ]] की भूमिका निभाते हैं, और सर्वांगसम संबंध द्वारा संरचना का भागफल बनाया जा सकता है। कई महत्वपूर्ण मामलों में, सर्वांगसमता संबंधों का एक वैकल्पिक प्रतिनिधित्व होता है और संरचना को उपसंरचना के रूप में उसे परिभाषित किया गया है (उदाहरण के लिए, समूहों पर सर्वांगसम संबंध [[ सामान्य उपसमूह | सामान्य उपसमूहों]] के अनुरूप होते हैं)। | *एक [[ सर्वांगसमता संबंध ]] एक तुल्यता संबंध है जिसका डोमेन <math>X</math> [[ बीजीय संरचना ]] के लिए अंतर्निहित समुच्चय भी है, और जो अतिरिक्त संरचना का सम्मान करता है। सामान्तया, सर्वांगसमता संबंध समरूपता के [[ कर्नेल (बीजगणित) |कर्नेल(बीजगणित)]] की भूमिका निभाते हैं, और सर्वांगसम संबंध द्वारा संरचना का भागफल बनाया जा सकता है। कई महत्वपूर्ण मामलों में, सर्वांगसमता संबंधों का एक वैकल्पिक प्रतिनिधित्व होता है और संरचना को उपसंरचना के रूप में उसे परिभाषित किया गया है (उदाहरण के लिए, समूहों पर सर्वांगसम संबंध [[ सामान्य उपसमूह | सामान्य उपसमूहों]] के अनुरूप होते हैं)। | ||
*कोई भी तुल्यता संबंध एक पृथकता संबंध का निषेध है, चूँकि विलोम कथन केवल [[ शास्त्रीय गणित ]] ([[ रचनात्मक गणित | रचनात्मक गणित )]] के विपरीत होता है, क्योंकि यह बहिष्कृत मध्य नियम के बराबर है। | *कोई भी तुल्यता संबंध एक पृथकता संबंध का निषेध है, चूँकि विलोम कथन केवल [[ शास्त्रीय गणित | शास्त्रीय गणित]]([[ रचनात्मक गणित |रचनात्मक गणित)]] के विपरीत होता है, क्योंकि यह बहिष्कृत मध्य नियम के बराबर है। | ||
*प्रत्येक संबंध जो प्रतिवर्त बाएँ या दाएँ दोनों है और [[यूक्लिडियन]] एक तुल्यता संबंध को प्रदर्शित करती है। | *प्रत्येक संबंध जो प्रतिवर्त बाएँ या दाएँ दोनों है और [[यूक्लिडियन]] एक तुल्यता संबंध को प्रदर्शित करती है। | ||
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=== तुल्यता संबंध === | === तुल्यता संबंध === | ||
{{main| तुल्यता व्याख्यान}} | {{main| तुल्यता व्याख्यान}} | ||
X का एक उपसमुच्चय Y ऐसा है कि <math>a \sim b</math> Y में सभी a और b के लिए धारण करता है, और Y में a के लिए और Y के बाहर b के लिए कभी नहीं, ~ द्वारा X का 'तुल्यता संबंध' कहलाता है। ये<math>[a] := \{x \in X : a \sim x\}</math> उस तुल्यता संबंध को निरूपित करती है जो a संबंधित | X का एक उपसमुच्चय Y ऐसा है कि <math>a \sim b</math> Y में सभी a और b के लिए धारण करता है, और Y में a के लिए और Y के बाहर b के लिए कभी नहीं, ~ द्वारा X का 'तुल्यता संबंध' कहलाता है। ये<math>[a] := \{x \in X : a \sim x\}</math> उस तुल्यता संबंध को निरूपित करती है जो a संबंधित है, और एक दूसरे के तुल्य X के सभी अवयव भी समान तुल्यता संबंध के अवयव होते हैं। | ||
=== भागफल समुच्चय === | === भागफल समुच्चय === | ||
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प्रक्षेपण पर प्रमेय,<ref>[[Garrett Birkhoff]] and [[Saunders Mac Lane]], 1999 (1967). ''Algebra'', 3rd ed. p. 35, Th. 19. Chelsea.</ref> फलन <math>f : X \to B</math> ऐसा हो कि अगर <math>a \sim b</math> फिर <math>f(a) = f(b).</math> ये एक विशिष्ट फलन है <math>g : X / \sim \to B</math> ऐसा है कि <math>f = g \pi.</math> यदि <math>f</math> एक[[ प्रक्षेपण | प्रक्षेपण]] है और <math>a \sim b \text{ if and only if } f(a) = f(b),</math> फिर <math>g</math> एक आपत्ति है। | प्रक्षेपण पर प्रमेय,<ref>[[Garrett Birkhoff]] and [[Saunders Mac Lane]], 1999 (1967). ''Algebra'', 3rd ed. p. 35, Th. 19. Chelsea.</ref> फलन <math>f : X \to B</math> ऐसा हो कि अगर <math>a \sim b</math> फिर <math>f(a) = f(b).</math> ये एक विशिष्ट फलन है <math>g : X / \sim \to B</math> ऐसा है कि <math>f = g \pi.</math> यदि <math>f</math> एक[[ प्रक्षेपण | प्रक्षेपण]] है और <math>a \sim b \text{ if and only if } f(a) = f(b),</math> फिर <math>g</math> एक आपत्ति है। | ||
=== तुल्यता कर्नेल === | === तुल्यता कर्नेल === | ||
किसी फलन का तुल्यता कर्नेल <math>f</math> तुल्यता संबंध है ~ परिभाषित <math>x \sim y \text{ if and only if } f(x) = f(y).</math> एक [[इंजेक्शन|अंतःक्षेप]] | किसी फलन का तुल्यता कर्नेल <math>f</math> तुल्यता संबंध है ~ परिभाषित <math>x \sim y \text{ if and only if } f(x) = f(y).</math> एक [[इंजेक्शन|अंतःक्षेप]] तुल्यता का कर्नेल [[पहचान|तत्समक]] संबंध है। | ||
=== विभाजन === | === विभाजन === | ||
Revision as of 13:09, 23 November 2022
द्विआधारी संबंध
5-तत्व समुच्चयपर बेल संख्या तुल्यता संबंधों को इस प्रकार दर्शाया गया है तार्किक मैट्रिक्स (रंगीन फ़ील्ड, जिनमें हल्के भूरे रंग के क्षेत्र सम्मिलित हैं, एक के लिए खड़े हैं, शून्य के लिए सफेद फ़ील्ड)। गैर-श्वेत कोशिकाओं की पंक्ति और स्तंभ सूचकांक संबंधित तत्व हैं, जबकि विभिन्न रंग, हल्के भूरे रंग के अलावा, तुल्यता संबंधों को इंगित करते हैं (प्रत्येक हल्के भूरे रंग की कोशिका का अपना तुल्यता संबंध होता है)।
गणित में, तुल्यता संबंध एक द्विआधारी संबंध है जो प्रतिक्रियात्मक, सममित और सकर्मक संबंध होता है। ज्यामिति में रेखाखंडों के बीच समतुल्य संबंध तुल्यता संबंध का एक सामान्य उदाहरण है।
प्रत्येक तुल्यता संबंध अंतर्निहित समुच्चय को असंयुक्त तुल्यता संबंधों में विभाजन करता है। दिए गए समुच्चय के दो अवयव एक दूसरे के समतुल्य हैं। यदि वे एक ही समतुल्य वर्ग से संबंधित हैं।
संकेतन
साहित्य में दो तत्वों को निर्देशित करने के लिए विभिन्न संकेतन का उपयोग किया जाता है तथा तुल्यता संबंध के एक समुच्चय के बराबर हैं सबसे सामान्य हैं तथा a ≡ b, जिनका उपयोग तब किया जाता है जब R निहित और भिन्न होता है " a R b, "a ≡R b", या , स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट करने के लिए गैर समकक्ष लिखा जा सकता है a ≁ b या .
परिभाषा
समुच्चय पर द्विआधारी संबंध को तुल्यता संबंध कहा जाता है, अगर यह केवल विचारशील, सममित और संक्रमणीय है। अर्थात सभी के लिए तथा में
- (प्रतिवर्त संबंध)।
- अगर और केवल अगर (सममित संबंध)।
- यदि तथा फिर (सकर्मक संबंध)।
संबंध के साथ एक समुच्चयॉइड कहा जाता है। तुल्यता संबंध नीचे लक्षित को इस तरह परिभाषित किया गया है [1][2]
संबंधपरक बीजगणित का उपयोग करते हुए वैकल्पिक परिभाषा
संबंध परक बीजगणित में, यदि तथा के संबंध हैं, तो संबंधों की संरचना को से परिभाषित किया गया है ताकि अगर और केवल अगर वहाँ एक है ऐसा है कि तथा .[note 1] यह परिभाषा कार्यात्मक संरचना की परिभाषा का एक सामान्यीकरण है। एक तुल्यता संबंध के परिभाषित गुण एक समुच्चयपर फिर निम्नानुसार सुधार किया जा सकता है