कोण: Difference between revisions
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कोण शब्द लैटिन शब्द एंगुलस से आया है, जिसका अर्थ "कोना" है।<ref>{{harvnb|Slocum|2007}}</ref> | कोण शब्द लैटिन शब्द एंगुलस से आया है, जिसका अर्थ "कोना" है।<ref>{{harvnb|Slocum|2007}}</ref> | ||
यूक्लिड एक समतल कोण को, उस तल में, जहां दो तिरछी रेखाएँ, एक दूसरे से मिलती हैं, एक दूसरे के झुकाव के रूप में परिभाषित किया जाता है। ' | यूक्लिड एक समतल कोण को, उस तल में, जहां दो तिरछी रेखाएँ, एक दूसरे से मिलती हैं, एक दूसरे के झुकाव के रूप में परिभाषित किया जाता है। ''''प्रोक्लस'''<nowiki/>' के अनुसार, कोण या तो गुणवत्ता या मात्रा, या संबंध होना चाहिए। पहली अवधारणा का उपयोग ''''यूडेमस'''<nowiki/>' द्वारा किया गया था, जो एक कोण को एक सीधी रेखा से विचलन के रूप में मानते थे, दूसरी ''''अन्ताकिया के कार्पस'''<nowiki/>' द्वारा, जिसने इसे प्रतिच्छेदन रेखाओं के बीच का अंतराल या स्थान माना था तथा यूक्लिड ने तीसरी अवधारणा को अपनाया।<ref>{{harvnb|Chisholm|1911}}; {{harvnb|Heiberg|1908|pp=177–178}}</ref> | ||
== कोणों की पहचान == | == कोणों की पहचान == | ||
गणितीय व्यंजको में, ग्रीक अक्षरों (<var>α</var>, <var>β</var>, <var>γ</var>, <var>θ</var>, <var >φ</var>, . . . ) किसी कोण के आकार को दर्शाने वाले चर के रूप (इसके अन्य अर्थ के साथ अस्पष्टता से बचने के लिए, प्रतीक {{math|[[Pi|π]]}} प्रायः पर इस उद्देश्य के लिए उपयोग नहीं किया जाता है) मे उपयोग करना सामान्य है। छोटे रोमन अक्षरों (a, b, c, . . . ) का भी उपयोग किया जाता है। ऐसे परिस्थिति में जहां यह अस्पष्ट नहीं है, एक कोण को बड़े रोमन अक्षर द्वारा दर्शाया जा सकता है, जो इसके शीर्ष को दर्शाता है। उदाहरण के लिए इस आलेख में आंकड़े देखें। | गणितीय व्यंजको में, ग्रीक अक्षरों (<var>α</var>, <var>β</var>, <var>γ</var>, <var>θ</var>, <var >φ</var>, . . . ) किसी कोण के आकार को दर्शाने वाले चर के रूप (इसके अन्य अर्थ के साथ अस्पष्टता से बचने के लिए, प्रतीक {{math|[[Pi|π]]}} प्रायः पर इस उद्देश्य के लिए उपयोग नहीं किया जाता है) मे उपयोग करना सामान्य है। छोटे रोमन अक्षरों (a, b, c, . . . ) का भी उपयोग किया जाता है। ऐसे परिस्थिति में जहां यह अस्पष्ट नहीं है, एक कोण को बड़े रोमन अक्षर द्वारा दर्शाया जा सकता है, जो इसके शीर्ष को दर्शाता है। उदाहरण के लिए इस आलेख में आंकड़े देखें। | ||
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[[File:Vertical Angles.svg|thumb|150px|right|कोण समानता दिखाने के लिए यहां हैच के निशान का उपयोग किया जाता है।]] | [[File:Vertical Angles.svg|thumb|150px|right|कोण समानता दिखाने के लिए यहां हैच के निशान का उपयोग किया जाता है।]] | ||
जब दो सीधी रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेदन से चार कोण बनते हैं। जोड़ी में इन कोणों को एक दूसरे के सापेक्ष उनके स्थान के अनुसार नाम दिए गए है। | जब दो सीधी रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेदन से चार कोण बनते हैं। जोड़ी में इन कोणों को एक दूसरे के सापेक्ष उनके स्थान के अनुसार नाम दिए गए है। | ||
* दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं से बनी X-समान आकृति मे एक दूसरे विपरीत मुख के बने एक कोण युग्म को उर्ध्वाधर कोण या सम्मुख कोण या लंबवत सम्मुख कोण कहते हैं। उन्हें vert. opp. ∠s के रूप में संक्षिप्त किया गया है। विपक्ष ई.एस.<ref name="tb">{{harvnb|Wong|Wong|2009|pp=161–163}}</ref> उर्ध्वाधर सम्मुख कोणों की समानता को उर्ध्वाधर कोण प्रमेय कहते हैं। रोड्स के ''''यूडेमस'''<nowiki/>' ने थेल्स ऑफ मिलेटस को सबूत के लिए जिम्मेदार ठहराया।<ref>{{cite book|author=Euclid|author-link=Euclid|title=The Elements|title-link=Euclid's Elements}} प्रस्ताव I:13.</ref>{{sfn|Shute| Shirk|Porter|1960|pp=25–27}} प्रस्ताव ने दिखाया कि चूंकि दोनों लंबवत कोणों की एक जोड़ी दोनों आसन्न कोणों के समपूरक हैं, लंबवत कोण माप में बराबर होते हैं। एक ऐतिहासिक टिप्पणी के अनुसार,{{sfn|Shute| Shirk|Porter|1960|pp=25–27}} जब '<nowiki/>'''थेल्स'<nowiki/>''' ने देखा कि जब मिस्रवासी दो प्रतिच्छेद करने वाली रेखाएँ खींचते हैं, तो वे यह सुनिश्चित करने के लिए लंबवत कोणों को मापते हैं, कि वे समान हैं। ' | * दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं से बनी X-समान आकृति मे एक दूसरे विपरीत मुख के बने एक कोण युग्म को उर्ध्वाधर कोण या सम्मुख कोण या लंबवत सम्मुख कोण कहते हैं। उन्हें vert. opp. ∠s के रूप में संक्षिप्त किया गया है। विपक्ष ई.एस.<ref name="tb">{{harvnb|Wong|Wong|2009|pp=161–163}}</ref> उर्ध्वाधर सम्मुख कोणों की समानता को उर्ध्वाधर कोण प्रमेय कहते हैं। रोड्स के ''''यूडेमस'''<nowiki/>' ने थेल्स ऑफ मिलेटस को सबूत के लिए जिम्मेदार ठहराया।<ref>{{cite book|author=Euclid|author-link=Euclid|title=The Elements|title-link=Euclid's Elements}} प्रस्ताव I:13.</ref>{{sfn|Shute| Shirk|Porter|1960|pp=25–27}} प्रस्ताव ने दिखाया कि चूंकि दोनों लंबवत कोणों की एक जोड़ी दोनों आसन्न कोणों के समपूरक हैं, लंबवत कोण माप में बराबर होते हैं। एक ऐतिहासिक टिप्पणी के अनुसार,{{sfn|Shute| Shirk|Porter|1960|pp=25–27}} जब '<nowiki/>'''थेल्स'<nowiki/>''' ने देखा कि जब मिस्रवासी दो प्रतिच्छेद करने वाली रेखाएँ खींचते हैं, तो वे यह सुनिश्चित करने के लिए लंबवत कोणों को मापते हैं, कि वे समान हैं। ''''थेल्स'''' ने निष्कर्ष निकाला कि कोई यह साबित कर सकता है, कि सभी लंबवत कोण समान होते हैं, यदि कोई कुछ सामान्य धारणाओं को स्वीकार करता है, जैसे | ||
:* सभी समकोण समान होते हैं। | :* सभी समकोण समान होते हैं। | ||
:* बराबर में जोड़े गए बराबर बराबर होते हैं। | :* बराबर में जोड़े गए बराबर बराबर होते हैं। | ||
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=== अन्य वर्णनकर्ता === | === अन्य वर्णनकर्ता === | ||
* घंटे का कोण (n = 24) खगोलीय घंटे का कोण {{sfrac|24}} मोड़ (टर्न) का होता है। चूंकि यह प्रणाली उन वस्तुओं को मापने के लिए उत्तरदायी है जो प्रति दिन एक बार परिक्रमण करते हैं (जैसे सितारों की सापेक्ष स्थिति), षाष्टिक (सेक्सजेसिमल) उपइकाई को समय का मिनट और समय का सेकंड कहा जाता है। ये चाप के मिनट और सेकंड से अलग और 15 गुना बड़े होते है। 1 घंटा = 15° = {{sfrac|{{pi}}|12}} रेड = {{sfrac|6}} क्वाड = {{sfrac|24}} मोड़ (टर्न) = {{sfrac|16|2|3}} ग्रेड। | * घंटे का कोण (n = 24) खगोलीय घंटे का कोण {{sfrac|24}} मोड़ (टर्न) का होता है। चूंकि यह प्रणाली उन वस्तुओं को मापने के लिए उत्तरदायी है जो प्रति दिन एक बार परिक्रमण करते हैं (जैसे सितारों की सापेक्ष स्थिति), षाष्टिक (सेक्सजेसिमल) उपइकाई को समय का मिनट और समय का सेकंड कहा जाता है। ये चाप के मिनट और सेकंड से अलग और 15 गुना बड़े होते है। 1 घंटा = 15° (डिग्री) = {{sfrac|{{pi}}|12}} रेड = {{sfrac|6}} क्वाड = {{sfrac|24}} मोड़ (टर्न) = {{sfrac|16|2|3}} ग्रेड। | ||
* (कम्पास) बिंदु या विन्ड(n = 32), संचालन में उपयोग किया जाने वाला बिंदु है, जोकि एक मोड़ (टर्न) का {{sfrac|32}} है। 1 बिंदु = समकोण का {{sfrac|8}} = 11.25° = 12.5 ग्रेड। प्रत्येक बिंदु को चार तिमाही-अंकों में विभाजित किया जाता है ताकि 1 मोड़ 128 तिमाही-अंक के बराबर हो। | * (कम्पास) बिंदु या विन्ड (n = 32), संचालन में उपयोग किया जाने वाला बिंदु है, जोकि एक मोड़ (टर्न) का {{sfrac|32}} होता है। 1 बिंदु = समकोण का {{sfrac|8}} = 11.25° (डिग्री) = 12.5 ग्रेड। प्रत्येक बिंदु को चार तिमाही-अंकों में विभाजित किया जाता है ताकि 1 मोड़ (टर्न) 128 तिमाही-अंक के बराबर हो। | ||
* पेचस (n = 144–180), पेचस एक बेबीलोनियाई इकाई थी जो लगभग 2° या {{sfrac|2|1|2}}° बराबर होती है। | * पेचस (n = 144–180), पेचस एक बेबीलोनियाई इकाई थी जो लगभग 2° (डिग्री) या {{sfrac|2|1|2}}° (डिग्री) बराबर होती है। | ||
* टाऊ, एक मोड़ (टर्न) में रेडियन की संख्या (1 मोड़ (टर्न) = {{mvar|τ}} रेड), {{math|''τ'' {{=}} 2π}}। | * टाऊ, एक मोड़ (टर्न) में रेडियन की संख्या (1 मोड़ (टर्न) = {{mvar|τ}} रेड), {{math|''τ'' {{=}} 2π}}। | ||
* व्यास भाग (n = 376.99...), व्यास भाग लगभग 0.95493° और {{sfrac|60}} रेडियन होता है। प्रति मोड़ (टर्न) लगभग 376.991 व्यास भाग होते हैं। | * व्यास भाग (n = 376.99...), व्यास भाग लगभग 0.95493° (डिग्री) और {{sfrac|60}} रेडियन होता है। प्रति मोड़ (टर्न) लगभग 376.991 व्यास भाग होते हैं। | ||
* मिली रेडियन और व्युत्पन्न परिभाषाएं, वास्तविक | * मिली रेडियन और व्युत्पन्न परिभाषाएं, वास्तविक मिली रेडियन को एक रेडियन का एक हजारवां भाग बताया गया है, जिसका अर्थ है कि एक मोड़ (टर्न) का घूर्णन ठीक 2000π मील (या लगभग 6283.185 मील) के बराबर होगा, और बंदूक आदि शस्त्र के लिए लगभग सभी कार्यक्षेत्र इस परिभाषा के लिए अंशांकित हैं। इसके अलावा, तोपखाने और संचालन के लिए उपयोग की जाने वाली तीन अन्य परिभाषाएँ हैं, जो लगभग एक मिली रेडियन के बराबर हैं। इन तीन अन्य परिभाषाओं के तहत एक मोड़ (टर्न) ठीक 6000, 6300 या 6400 मील के लिए बनाता है, जो 0.05625 से 0.06° (डिग्री) (3.375 से 3.6' (मिनट)) तक की सीमा के बराबर है। इसकी तुलना में, वास्तविक मिली रेडियन लगभग 0.05729578° डिग्री (3.43775° (मिनट)) का होता है। एक "नाटो मील" को एक वृत्त के {{sfrac|6400}} से परिभाषित किया गया है। वास्तविक मिली रेडियन की तरह ही, अन्य परिभाषाओं में से प्रत्येक सबटेंशन की मील की उपयोगी सामग्री का शोषण करती है, अर्थात एक मिली रेडियन का मान लगभग 1 मीटर की चौड़ाई से घटाए गए कोण के बराबर होता है, जैसा कि 1 किमी दूर से देखा जाता है ({{sfrac|2{{pi}}|6400}} = 0.0009817... ≈ 1/1000)। | ||
* पुराने अरब में एक मोड़ (टर्न) को 32 अखनाम में विभाजित किया गया था और प्रत्येक अखनाम को 7 ज़म में विभाजित किया गया था, ताकि एक मोड़ (टर्न) 224 का ज़म हो। | * पुराने अरब में एक मोड़ (टर्न) को 32 अखनाम में विभाजित किया गया था और प्रत्येक अखनाम को 7 ज़म में विभाजित किया गया था, ताकि एक मोड़ (टर्न) 224 का ज़म हो। | ||
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हालांकि एक कोण के मापन की परिभाषा एक ऋणात्मक कोण की अवधारणा का समर्थन नहीं करती है, यह प्रायः एक सम्मेलन को लागू करने के लिए उपयोगी होता है, जो धनात्मक और ऋणात्मक कोणीय मानो को कुछ संदर्भ के सापेक्ष विपरीत दिशाओं में अभिविन्यास या घुर्णन का प्रतिनिधित्व करने की अनुमति देता है। | हालांकि एक कोण के मापन की परिभाषा एक ऋणात्मक कोण की अवधारणा का समर्थन नहीं करती है, यह प्रायः एक सम्मेलन को लागू करने के लिए उपयोगी होता है, जो धनात्मक और ऋणात्मक कोणीय मानो को कुछ संदर्भ के सापेक्ष विपरीत दिशाओं में अभिविन्यास या घुर्णन का प्रतिनिधित्व करने की अनुमति देता है। | ||
द्वि-विमीय कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में, कोण को विशिष्ट रूप से | द्वि-विमीय कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में, कोण को विशिष्ट रूप से इसकी दोनो रेखाओ और मूल बिंदु पर शीर्ष द्वारा परिभाषित किया जाता है। प्रारंभिक रेखा धनात्मक एक्स (x)-अक्ष पर है, जबकि दुसरी रेखा या अंतिम रेखा, प्रारंभिक रेखा द्वारा रेडियन, डिग्री या मोड़ (टर्न) में परिभाषित किया गया है। धनात्मक कोणों के साथ धनात्मक वाई (y)-अक्ष की ओर घूर्णन और ऋणात्मक कोणों के साथ, ऋणात्मक वाई (y)-अक्ष की ओर घूर्णन करते है। जब कार्तीय निर्देशांक मानक स्थिति द्वारा दर्शाए जाते हैं, जो एक्स (x)-अक्ष दाईं ओर और वाई (y)-अक्ष ऊपर की ओर परिभाषित होते हैं, धनात्मक घुर्णन वामावर्त होते हैं और ऋणात्मक घुर्णन दक्षिणावर्त होते हैं। | ||
कई संदर्भों में, −θ का कोण प्रभावी रूप से एक पूर्ण मोड़ (टर्न) न्यूनता के कोण के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, −45° (डिग्री) के रूप में दर्शाया गया एक अभिविन्यास प्रभावी रूप से 360°, − 45° या 315° के रूप में दर्शाए गए अभिविन्यास के बराबर है। हालांकि अंतिम स्थिति समान है, -45° का एक भौतिक घूर्णन (संचलन) 315° के घूर्णन के समान नहीं होता है (उदाहरण के लिए, धूल भरे फर्श पर झाड़ू रखने वाले व्यक्ति के घूमने से फर्श पर घूमें हुए क्षेत्रों के अलग-अलग निशान छुट जाते है)। | कई संदर्भों में, −θ का कोण प्रभावी रूप से एक पूर्ण मोड़ (टर्न) न्यूनता के कोण के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, −45° (डिग्री) के रूप में दर्शाया गया एक अभिविन्यास प्रभावी रूप से 360° (डिग्री), − 45° (डिग्री) या 315° (डिग्री) के रूप में दर्शाए गए अभिविन्यास के बराबर है। हालांकि अंतिम स्थिति समान है, -45° (डिग्री) का एक भौतिक घूर्णन (संचलन) 315° (डिग्री) के घूर्णन के समान नहीं होता है (उदाहरण के लिए, धूल भरे फर्श पर झाड़ू रखने वाले व्यक्ति के घूमने से फर्श पर घूमें हुए क्षेत्रों के अलग-अलग निशान छुट जाते है)। | ||
त्रि-विमीय ज्यामिति में, दक्षिणावर्त और वामावर्त का कोई पूर्ण अर्थ नहीं है, इसलिए धनात्मक और ऋणात्मक कोणों की दिशा को कुछ निर्देशो के सापेक्ष परिभाषित किया जाना चाहिए, उस तल मे जिसमें कोण की किरणें होती हैं, प्रया: कोण के शीर्ष से गुजरने वाला एक सदिश और समतल के लंबवत होता है। | त्रि-विमीय ज्यामिति में, दक्षिणावर्त और वामावर्त का कोई पूर्ण अर्थ नहीं है, इसलिए धनात्मक और ऋणात्मक कोणों की दिशा को कुछ निर्देशो के सापेक्ष परिभाषित किया जाना चाहिए, उस तल मे जिसमें कोण की किरणें होती हैं, प्रया: कोण के शीर्ष से गुजरने वाला एक सदिश और समतल के लंबवत होता है। | ||
संचालन में, बियरिंग्स या दिगंश (अज़ीमुथ) को उत्तर के सापेक्ष मापा जाता है। परिपाटी के अनुसार, ऊपर से देखने पर, बेयरिंग कोण धनात्मक दक्षिणावर्त होते हैं, इसलिए 45° का बेयरिंग उत्तर-पूर्व अभिविन्यास के सामान होता है। संचालन में ऋणात्मक बियरिंग्स का उपयोग नहीं किया जाता है, इसलिए उत्तर-पश्चिम अभिविन्यास 315° (डिग्री) के बेयरिंग के सामान होता है। | संचालन में, बियरिंग्स या दिगंश (अज़ीमुथ) को उत्तर के सापेक्ष मापा जाता है। परिपाटी के अनुसार, ऊपर से देखने पर, बेयरिंग कोण धनात्मक दक्षिणावर्त होते हैं, इसलिए 45° (डिग्री) का बेयरिंग उत्तर-पूर्व अभिविन्यास के सामान होता है। संचालन में ऋणात्मक बियरिंग्स का उपयोग नहीं किया जाता है, इसलिए उत्तर-पश्चिम अभिविन्यास 315° (डिग्री) के बेयरिंग के सामान होता है। | ||
=== कोण के आकार को मापने के वैकल्पिक तरीके === | === कोण के आकार को मापने के वैकल्पिक तरीके === | ||
एक कोणीय इकाई के लिए, यह निश्चित है कि कोण योग अभिधारणा रखते है। कुछ कोण माप जहां कोण योग अभिधारणा नहीं रखते है, उनमें शामिल हैं: | एक कोणीय इकाई के लिए, यह निश्चित है कि कोण योग अभिधारणा रखते है। कुछ कोण माप जहां कोण योग अभिधारणा नहीं रखते है, उनमें शामिल हैं: | ||
* ढलान या ढाल कोण के स्पर्शरेखा के बराबर है, एक ढाल को प्राय: प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाता है। बहुत छोटे मान (5% से कम) के लिए, ढलान का ग्रेड लगभग रेडियन में कोण का माप होता है। | * ढलान या ढाल कोण के स्पर्शरेखा के बराबर है, एक ढाल को प्राय: प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाता है। बहुत छोटे मान (5% से कम) के लिए, ढलान का ग्रेड लगभग रेडियन में कोण का माप होता है। | ||
* दो रेखाओं के बीच के प्रसार को [[ परिमेय ज्यामिति ]] में रेखाओं के बीच के कोण की ज्या के वर्ग के रूप में परिभाषित किया जाता है। चूँकि किसी कोण की ज्या और उसके संपूरक कोण की ज्या समान होती है, कोई भी घूर्णन कोण जो किसी एक रेखा को दूसरी रेखा में मैप करता है, रेखाओं के बीच प्रसार के लिए समान मान की ओर ले जाता है। | * दो रेखाओं के बीच के प्रसार को[[ परिमेय ज्यामिति | परिमेय ज्यामिति]] में रेखाओं के बीच के कोण की ज्या के वर्ग के रूप में परिभाषित किया जाता है। चूँकि किसी कोण की ज्या और उसके संपूरक कोण की ज्या समान होती है, कोई भी घूर्णन कोण जो किसी एक रेखा को दूसरी रेखा में मैप करता है, रेखाओं के बीच प्रसार के लिए समान मान की ओर ले जाता है। | ||
* हालांकि शायद ही कभी, कोई [[ त्रिकोणमितीय कार्य |त्रिकोणमितीय कार्य]] के प्रत्यक्ष परिणामों का वर्णन कर सकता है, जैसे कोण की ज्या। | * हालांकि शायद ही कभी, कोई [[ त्रिकोणमितीय कार्य |त्रिकोणमितीय कार्य]] के प्रत्यक्ष परिणामों का वर्णन कर सकता है, जैसे कोण की ज्या। | ||
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=== आंतरिक उत्पाद === | === आंतरिक उत्पाद === | ||
एक सामान्य वास्तविक आंतरिक गुणन स्थान में कोणों को परिभाषित करने के लिए, हम यूक्लिडियन आदिश-गुणनफल | एक सामान्य वास्तविक आंतरिक गुणन स्थान में कोणों को परिभाषित करने के लिए, हम यूक्लिडियन आदिश-गुणनफल ( · ) को आंतरिक गुणन से बदलते हैं <math> \langle \cdot , \cdot \rangle </math>, अर्थात | ||
:<math> \langle \mathbf{u} , \mathbf{v} \rangle = \cos(\theta)\ \left\| \mathbf{u} \right\| \left\| \mathbf{v} \right\|</math> | :<math> \langle \mathbf{u} , \mathbf{v} \rangle = \cos(\theta)\ \left\| \mathbf{u} \right\| \left\| \mathbf{v} \right\|</math> | ||
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=== उप-स्थानों के बीच कोण === | === उप-स्थानों के बीच कोण === | ||
एक-आयामी | एक-आयामी सबस्पेस के बीच कोण की परिभाषा <math>\operatorname{span}(\mathbf{u})</math> तथा <math>\operatorname{span}(\mathbf{v})</math> के द्वारा दिया गया | ||
:<math> \left| \langle \mathbf{u} , \mathbf{v} \rangle \right| = \left| \cos(\theta) \right| \left\| \mathbf{u} \right\| \left\| \mathbf{v} \right\|. </math> | :<math> \left| \langle \mathbf{u} , \mathbf{v} \rangle \right| = \left| \cos(\theta) \right| \left\| \mathbf{u} \right\| \left\| \mathbf{v} \right\|. </math> | ||
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=== अतिपरवलयिक कोण === | === अतिपरवलयिक कोण === | ||
एक अतिपरवलयिक कोण एक अतिपरवलयिक फलन का तर्क है जिस प्रकार वृत्ताकार कोण एक वृत्तीय फलन का तर्क है। तुलना को एक अतिपरवलयिक क्षेत्र और एक वृत्ताकार क्षेत्र के मुख के आकार के रूप में देखा जा सकता है क्योंकि इन क्षेत्रों के क्षेत्र प्रत्येक स्थिति में कोण परिमाण के अनुरूप होते हैं। वृत्ताकार कोण के विपरीत, अतिपरवलयिक कोण असीम होता है। जब चक्रीय और अतिपरवलयिक तर्क को उनके कोण तर्क में अनंत श्रृंखला के रूप में देखा जाता है, तो चक्रीय वाले अतिपरवलयिक तर्क के केवल वैकल्पिक श्रृंखला रूप होते हैं। दो प्रकार के कोण और कार्य के इस वयन को 'लियोनहार्ड यूलर' द्वारा अनंत के विश्लेषण के परिचय में समझाया गया था। | एक अतिपरवलयिक कोण एक अतिपरवलयिक फलन का तर्क है जिस प्रकार वृत्ताकार कोण एक वृत्तीय फलन का तर्क है। तुलना को एक अतिपरवलयिक क्षेत्र और एक वृत्ताकार क्षेत्र के मुख के आकार के रूप में देखा जा सकता है क्योंकि इन क्षेत्रों के क्षेत्र प्रत्येक स्थिति में कोण परिमाण के अनुरूप होते हैं। वृत्ताकार कोण के विपरीत, अतिपरवलयिक कोण असीम होता है। जब चक्रीय और अतिपरवलयिक तर्क को उनके कोण तर्क में अनंत श्रृंखला के रूप में देखा जाता है, तो चक्रीय वाले अतिपरवलयिक तर्क के केवल वैकल्पिक श्रृंखला रूप होते हैं। दो प्रकार के कोण और कार्य के इस वयन को ''''लियोनहार्ड यूलर'''<nowiki/>' द्वारा अनंत के विश्लेषण के परिचय में समझाया गया था। | ||
==भूगोल और खगोल विज्ञान में कोण == | ==भूगोल और खगोल विज्ञान में कोण == | ||
Revision as of 08:28, 6 July 2022
File:Two rays and one vertex.png
एक शीर्ष से निकलने वाली दो किरणों द्वारा निर्मित कोण।
यूक्लिडियन ज्यामिति में, एक कोण दो रेखाओं द्वारा बनाई गई आकृति है, जो एक ही बिंदु पर मिलती है, जिसे कोण का शीर्ष कहा जाता है।[1] दोनों रेखाएं तथा इनसे बनने वाले कोण एक ही तल में होते हैं। दो तलों के प्रतिच्छेदन से तथा दो वक्रो के प्रतिच्छेदन से भी एक कोण बनता हैं, जिन्हे द्वितल (डायहेड्रल) तथा वक्रीय कोण कहा जाता है। जो कि उनके प्रतिच्छेदन बिंदु पर संबंधित वक्रों की स्पर्शरेखा वाली रेखाओं का कोण होता है।
कोण का उपयोग कोण या घूर्णन के माप को देखने के लिए भी किया जाता है। यह माप एक वृत्ताकार चाप की लंबाई और उसकी त्रिज्या का अनुपात है। एक ज्यामितीय कोण के मामले में, चाप शीर्ष पर केंद्रित होता है और रेखाओं द्वारा सीमांकित होता है। घूर्णन कि स्थिति में, चाप घूर्णन के केंद्र में केंद्रित होता है तथा किसी अन्य बिंदु से तथा घूर्णन द्वारा इसकी छवि को सीमित करता है।
इतिहास और व्युत्पत्ति
कोण शब्द लैटिन शब्द एंगुलस से आया है, जिसका अर्थ "कोना" है।[2]
यूक्लिड एक समतल कोण को, उस तल में, जहां दो तिरछी रेखाएँ, एक दूसरे से मिलती हैं, एक दूसरे के झुकाव के रूप में परिभाषित किया जाता है। 'प्रोक्लस' के अनुसार, कोण या तो गुणवत्ता या मात्रा, या संबंध होना चाहिए। पहली अवधारणा का उपयोग 'यूडेमस' द्वारा किया गया था, जो एक कोण को एक सीधी रेखा से विचलन के रूप में मानते थे, दूसरी 'अन्ताकिया के कार्पस' द्वारा, जिसने इसे प्रतिच्छेदन रेखाओं के बीच का अंतराल या स्थान माना था तथा यूक्लिड ने तीसरी अवधारणा को अपनाया।[3]
कोणों की पहचान
गणितीय व्यंजको में, ग्रीक अक्षरों (α, β, γ, θ, φ, . . . ) किसी कोण के आकार को दर्शाने वाले चर के रूप (इसके अन्य अर्थ के साथ अस्पष्टता से बचने के लिए, प्रतीक π प्रायः पर इस उद्देश्य के लिए उपयोग नहीं किया जाता है) मे उपयोग करना सामान्य है। छोटे रोमन अक्षरों (a, b, c, . . . ) का भी उपयोग किया जाता है। ऐसे परिस्थिति में जहां यह अस्पष्ट नहीं है, एक कोण को बड़े रोमन अक्षर द्वारा दर्शाया जा सकता है, जो इसके शीर्ष को दर्शाता है। उदाहरण के लिए इस आलेख में आंकड़े देखें।
ज्यामितीय आकृतियों में, कोणों को उन तीन बिंदुओं से भी पहचाना जा सकता है, जो उन्हें परिभाषित करते हैं। उदाहरण के लिए, एबी (AB) तथा एसी (AC) रेखाओं (अर्थात बिंदु ए (A) से बिंदु बी (b) तथा सी (C) तक की रेखाओं) द्वारा गठित शीर्ष ए (A) वाले कोण को ∠BAC या से दर्शाया गया है। जहां अस्पष्टता का कोई संकट नहीं है, कोण को कभी-कभी केवल इसके शीर्ष द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है।
संभावित रूप से, ∠BAC के रूप में निरूपित एक कोण, चार कोणों में से किसी को भी प्रदर्शित कर सकता है, बी (B) से सी (C) तक का दक्षिणावर्त कोण, बी (B) से सी (C) का वामावर्त कोण, सी (C) से बी (B) का दक्षिणावर्त कोण, या सी (C) से बी (B) का वामावर्त कोण, जहां कोण के माप की दिशा उसका संकेत निर्धारित करती है (धनात्मक और ऋणात्मक कोण देखें)। हालांकि, कई ज्यामितीय स्थितियों में, संदर्भ से यह स्पष्ट है कि धनात्मक कोण 180° डिग्री से कम या उसके बराबर है, ऐसी स्थिति में कोई अस्पष्टता नहीं होती है। अन्यथा, एक समझौता अपनाया जा सकता है ताकि ∠BAC हमेशा बी (B) से सी (C) तक वामावर्त (धनात्मक) कोण को संदर्भित करता है, तथा ∠CAB सी (C) से बी (B) तक वामावर्त (धनात्मक) कोण।
कोणों के प्रकार
व्यक्तिगत कोण
कोणों के लिए कुछ सामान्य शब्दावली है, जिसका माप हमेशा ऋणात्मक नहीं होता।[4][5]
- 0° के बराबर या मुड़े हुए कोण को शून्य कोण कहा जाता है।
- एक समकोण से छोटे (90° (डिग्री) से कम) कोण को न्यून कोण ("न्यून" अर्थात "स्पष्ट") कहा जाता है।
- अभिलम्बवत दो रेखाओं द्वारा 1/4 मोड़ (टर्न) (90° (डिग्री) या π/2 रेडियन) के बराबर के कोण को समकोण कहा जाता है।
- एक समकोण से बड़ा और एक ऋजु कोण से छोटे (90° (डिग्री) और 180° (डिग्री) के बीच) कोण को अधिक कोण ("अधिक" अर्थात "कुंद") कहा जाता है।
- 1/2 मोड़ (टर्न) के बराबर कोण (180° (डिग्री) या π रेडियन) को एक ऋजु कोण कहा जाता है।
- एक कोण जो एक ऋजु कोण से बड़े तथा 1 मोड़ से कम (180° (डिग्री) और 360° (डिग्री) के बीच) का कोण प्रतिवर्ती कोण कहलाता है।
- 1 मोड़ के बराबर कोण (360° (डिग्री) या 2π रेडियन) को पूर्ण कोण, सम्पूर्ण कोण, गोलाकार कोण या पेरिगॉन कहा जाता है।
- ऐसा कोण जो समकोण का गुणज न हो, तिर्यक कोण कहलाता है।
नाम, अंतराल और मापने की इकाइयाँ नीचे दी गई तालिका में दिखाई गई हैं।
Acute (a), obtuse (b), and straight (c) angles. The acute and obtuse angles are also known as oblique angles.
Reflex angle
| नाम | शून्य | न्यून | समकोण | अधिक | ऋजु | प्रतिवर्ती | पेरिगॉन | |||
| इकाइयाँ | अंतराल | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| मोड़ (टर्न) | 0 turn | (0, 1/4) turn | 1/4 turn | (1/4, 1/2) turn | 1/2 turn | (1/2, 1) turn | 1 turn | |||
| रेडियन | 0 rad | (0, 1/2π) rad | 1/2π rad | (1/2π, π) rad | π rad | (π, 2π) rad | 2π rad | |||
| डिग्री | 0° | (0, 90)° | 90° | (90, 180)° | 180° | (180, 360)° | 360° | |||
| गोन | 0g | (0, 100)g | 100g | (100, 200)g | 200g | (200, 400)g | 400g | |||
तुल्यता कोण जोड़े
- समान माप वाले कोण सर्वांगसम कहलाते हैं। एक कोण को उसके माप से परिभाषित किया जाता है और यह कोण की भुजाओं की लंबाई पर निर्भर नहीं होता है (उदाहरण के लिए सभी समकोण माप में बराबर होते हैं)।
- दो कोण जो अंतिम रेखाओं का साझा करते हैं, लेकिन एक मोड़ (टर्न) के पूर्णांक गुणक द्वारा आकार में भिन्न होते हैं, कोटरमिनल कोण कहलाते हैं।
- एक संदर्भ कोण किसी भी कोण का न्यून संस्करण है, जिसे बार-बार घटाकर या सीधे कोण (1/2 मोड़ (टर्न), 180° (डिग्री) या रेडियन) को जोड़कर निर्धारित किया जाता है,आवश्यकतानुसार परिणामों के लिए, जब तक परिणाम का परिमाण एक न्यून कोण न हो, 0 और1/4 मोड़ (टर्न) के बीच का मान, 90° (डिग्री), या π/2 रेडियन। उदाहरण के लिए, 30° (डिग्री) के कोण में 30° डिग्री का संदर्भ कोण होता है, और 150° (डिग्री) के कोण में 30° (डिग्री) (180-150) का संदर्भ कोण भी होता है। 750° (डिग्री) के कोण का संदर्भ कोण 30° (डिग्री) (750-720) होता है।[6]
लंबवत और आसन्न कोण जोड़े
जब दो सीधी रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेदन से चार कोण बनते हैं। जोड़ी में इन कोणों को एक दूसरे के सापेक्ष उनके स्थान के अनुसार नाम दिए गए है।
- दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं से बनी X-समान आकृति मे एक दूसरे विपरीत मुख के बने एक कोण युग्म को उर्ध्वाधर कोण या सम्मुख कोण या लंबवत सम्मुख कोण कहते हैं। उन्हें vert. opp. ∠s के रूप में संक्षिप्त किया गया है। विपक्ष ई.एस.[7] उर्ध्वाधर सम्मुख कोणों की समानता को उर्ध्वाधर कोण प्रमेय कहते हैं। रोड्स के 'यूडेमस' ने थेल्स ऑफ मिलेटस को सबूत के लिए जिम्मेदार ठहराया।[8][9] प्रस्ताव ने दिखाया कि चूंकि दोनों लंबवत कोणों की एक जोड़ी दोनों आसन्न कोणों के समपूरक हैं, लंबवत कोण माप में बराबर होते हैं। एक ऐतिहासिक टिप्पणी के अनुसार,[9] जब 'थेल्स' ने देखा कि जब मिस्रवासी दो प्रतिच्छेद करने वाली रेखाएँ खींचते हैं, तो वे यह सुनिश्चित करने के लिए लंबवत कोणों को मापते हैं, कि वे समान हैं। 'थेल्स' ने निष्कर्ष निकाला कि कोई यह साबित कर सकता है, कि सभी लंबवत कोण समान होते हैं, यदि कोई कुछ सामान्य धारणाओं को स्वीकार करता है, जैसे
- सभी समकोण समान होते हैं।
- बराबर में जोड़े गए बराबर बराबर होते हैं।
- बराबर में से घटाए गए बराबर बराबर होते हैं।
- जब दो आसन्न कोण एक सीधी रेखा बनाते हैं, तो वे संपूरक होते हैं। इसलिए, यदि हम यह मान लें कि कोण ए (A) की माप x के बराबर है, तो कोण सी (C) की माप 180° − x होगी। इसी प्रकार, कोण डी (D) की माप 180° − x होगी। कोण सी (C) और कोण डी (D) दोनों के माप के बराबर हैं 180° − x और सर्वांगसम हैं। चूँकि कोण बी (B) दोनों कोणों सी (C) और डी (D) का पूरक है, कोण बी (B) की माप को निर्धारित करने के लिए इनमें से किसी भी कोण माप का उपयोग किया जा सकता है। कोण सी (C) या कोण डी (D) की माप का उपयोग करके, हम कोण बी (B) की माप 180° − (180° − x) = 180° − 180° + x = x ज्ञात करते हैं। इसलिए, कोण ए (A) और कोण बी (B) दोनों के माप x के बराबर हैं, और माप में बराबर हैं।
- आसन्न कोण, प्रायः adj के रूप में संक्षिप्त। एस (∠s) ऐसे कोण हैं, जो एक सामान्य शीर्ष और रेखा साझा करते हैं लेकिन कोई आंतरिक बिंदु का साझा नहीं करते हैं। दूसरे शब्दों में, आसन्न कोण एक ही भुजा का साझा करते हैं। आसन्न कोण जो एक समकोण, ऋजुकोण या पूर्ण कोण का योग होते हैं, विशेष होते हैं और क्रमशः समपूरक, अनुपूरक और पूरक कोण कहलाते हैं।
एक तिर्यक रेखा एक रेखा है जो (प्रायः समानांतर) रेखाओं की एक जोड़ी को काटती है, और वैकल्पिक आंतरिक कोणों, संगत कोणों, आंतरिक कोणों और बाहरी कोणों से जुड़ी होती है।[10]
कोण जोड़े का संयोजन
तीन विशेष कोण जोड़े में कोणों का योग शामिल होता है: