आईईईई 754-1985: Difference between revisions

'''आईईईई 754-1985'''<ref>{{Cite book|title=बाइनरी फ़्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित के लिए आईईईई मानक|year=1985|doi=10.1109/IEEESTD.1985.82928|isbn=0-7381-1165-1}}</ref> [[कंप्यूटर]] में [[ तैरनेवाला स्थल |फ्लोटिंग-पॉइंट]] नंबरों का प्रतिनिधित्व करने के लिए उद्योग [[तकनीकी मानक|मानक]] था, जिसे सामान्यतः 1985 में स्वीकार किया गया था और 2008 में [[IEEE 754-2008|आईईईई 754-2008]] द्वारा प्रतिस्थापित किया गया था, और फिर 2019 में सामान्य संशोधन [[IEEE 754-2019|आईईईई 754-2019]] द्वारा प्रतिस्थापित किया गया था।<ref>{{Cite web|url=http://754r.ucbtest.org/background/|title=ANSI/IEEE Std 754-2019|website=754r.ucbtest.org|access-date=2019-08-06}}</ref> अपने 23 वर्षों के समय में, यह फ़्लोटिंग-पॉइंट गणना के लिए सबसे व्यापक रूप से उपयोग किया जाने वाला प्रारूप था। इसे सॉफ़्टवेयर में, फ़्लोटिंग-पॉइंट [[ पुस्तकालय (कंप्यूटिंग) |लाइब्रेरीज़]] के रूप में, और हार्डवेयर में, कई [[ CPU |सीपीयू]] और [[फ़्लोटिंग-पॉइंट इकाई|एफपीयू]] के [[निर्देश (कंप्यूटर विज्ञान)|निर्देशों]] में प्रस्तावित किया गया था। आईईईई 754-1985 बनने वाले ड्राफ्ट को प्रस्तावित करने वाला प्रथम एकीकृत सर्किट [[इंटेल 8087]] था।

आईईईई 754-1985 बाइनरी में संख्याओं का प्रतिनिधित्व करता है, जो त्रुटिहीनता के चार स्तरों की परिभाषा प्रदान करता है, जिनमें से दो सबसे अधिक उपयोग किए जाते हैं:

!पूर्ण त्रुटिहीनता से रेंज करें

!त्रुटिहीनता{{efn|Precision: The number of decimal digits precision is calculated via number_of_mantissa_bits * Log₁₀(2). Thus ~7.2 and ~15.9 for single and double precision respectively.}}

|एकल त्रुटिहीनता

|दोगुना त्रुटिहीनता

मानक धनात्मक और ऋणात्मक अनंत के लिए प्रतिनिधित्व को भी परिभाषित करता है, [[नकारात्मक शून्य|ऋणात्मक शून्य]], [[शून्य से विभाजन]] जैसे अमान्य परिणामों को सुरक्षित करने के लिए पांच अपवाद, उन अपवादों का प्रतिनिधित्व करने के लिए विशेष मान जिन्हें [[NaN]] कहा जाता है, ऊपर दिखाए गए छोटी संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए [[असामान्य संख्या|असामान्य संख्याएं]], और चार गोल मोड है।

==संख्याओं का प्रतिनिधित्व==

[[Image:IEEE 754 Single Floating Point Format.svg|right|frame|संख्या 0.15625 को एकल-त्रुटिहीन आईईईई 754-1985 फ़्लोटिंग-पॉइंट संख्या के रूप में दर्शाया गया है। स्पष्टीकरण के लिए टेक्स्ट देखें। ]]

दशमलव संख्या 0.15625₁₀ बाइनरी में 0.00101₂ (अर्थात् 1/8 + 1/32) प्रदर्शित किया गया है। (अंकाक्षर संख्या [[मूलांक]] प्रदर्शित करते हैं।) [[वैज्ञानिक संकेतन]] के अनुरूप, जहां संख्याओं को दशमलव बिंदु के बाईं ओर अन्य-शून्य अंक के रूप में लिखा जाता है, हम इस संख्या को पुनः लिखते हैं जिससे कि इसमें बाइनरी बिंदु के बाईं ओर एकल 1 बिट होता है। हम तीन स्थितियों द्वारा त्यागे गए बिट्स के स्थानांतरण की पूर्ति के लिए 2 की उचित शक्ति से गुणा करते हैं:

जैसा कि चित्रों में प्रदर्शित किया गया है, आईईईई 754 में इस संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाले तीन क्षेत्र हैं:

: चिन्ह = 0, क्योंकि संख्या धनात्मक है (1 ऋणात्मक प्रदर्शित करता है।)।

: बायस्ड घातांक = −3 + बायस है। 'एकल त्रुटिहीनता' में, बायस '127' है, इसलिए इस उदाहरण में बायस्ड घातांक 124 है; 'डबल प्रिसिजन' में, बायस '1023' है, इसलिए इस उदाहरण में बायस्ड घातांक 1020 है।

आईईईई 754 घातांक में [[ऑफसेट बाइनरी]] जोड़ता है जिससे कि कई स्थितियों में संख्याओं की अपेक्षा उसी हार्डवेयर द्वारा सरलता से की जा सके जो हस्ताक्षरित 2-पूरक पूर्णांकों की अपेक्षा करता है। बायस्ड घातांक का उपयोग करते हुए, दो धनात्मक फ़्लोटिंग-पॉइंट संख्याओं में से छोटी संख्या चिह्न और परिमाण पूर्णांक के समान क्रम के पश्चात बड़ी संख्या से कम निकलती है। यदि दो फ़्लोटिंग-पॉइंट संख्याओं के भिन्न-भिन्न चिह्न हैं, तो चिह्न-और-परिमाण अपेक्षा बायस्ड घातांक के साथ भी कार्य करती है। चूँकि, यदि दोनों बायस्ड-घातांक फ़्लोटिंग-पॉइंट संख्याएँ ऋणात्मक हैं, तो क्रम को विपरीत कर दिया जाना चाहिए। यदि घातांक को, मान लीजिए, 2-पूरक संख्या के रूप में प्रदर्शित किया जाता है, तो यह देखने के लिए अपेक्षा करना कि दो संख्याओं में से कौन सी बड़ी है, सुविधाजनक नहीं होता है।

अग्रणी 1 बिट को विस्थापित कर दिया गया है क्योंकि शून्य को त्यागकर सभी संख्याएँ अग्रणी 1 से प्रारंभ होती हैं; अग्रणी 1 अंतर्निहित है और वास्तव में इसे संग्रहीत करने की आवश्यकता नहीं है जो मुफ़्त में अतिरिक्त त्रुटिहीनता प्रदान करता है।

: धनात्मक शून्य के लिए चिह्न = 0, ऋणात्मक शून्य के लिए 1 है।

=== असामान्यीकृत संख्याएँ ===

ऊपर वर्णित संख्या निरूपण को सामान्यीकृत कहा जाता है, जिसका अर्थ है कि अंतर्निहित अग्रणी बाइनरी अंक 1 है। अंडरफ्लो होने पर त्रुटिहीनता की हानि को कम करने के लिए, आईईईई 754 में सामान्यीकृत प्रतिनिधित्व में संभव से छोटे अंशों का प्रतिनिधित्व करने की क्षमता सम्मिलित है। अंतर्निहित अग्रणी अंक 0 बनाता है। ऐसी संख्याओं को असामान्य संख्याएँ कहा जाता है। उनमें सामान्यीकृत संख्या के रूप में कई [[महत्वपूर्ण अंक]] सम्मिलित नहीं होते हैं, किन्तु जब किसी ऑपरेशन का परिणाम शून्य नहीं होता है, किन्तु सामान्यीकृत संख्या द्वारा प्रदर्शित किये जाने के लिए शून्य के अधिक निकट होता है, तो वे त्रुटिहीनता की क्रमिक हानि को सक्षम करते हैं।

असामान्य संख्या को सभी 0 बिट्स के बायस्ड घातांक के साथ प्रदर्शित किया जाता है, जो एकल त्रुटिहीनता में −126 के घातांक का प्रतिनिधित्व करता है (−127 नहीं), या दोहरी त्रुटिहीनता में −1022 (−1023 नहीं) का प्रतिनिधित्व करता है।<ref>{{cite book|last=Hennessy|title=कंप्यूटर संगठन और डिज़ाइन|year=2009|url=https://archive.org/details/computerorganiza00patt_779|url-access=limited|publisher=Morgan Kaufmann|page=[https://archive.org/details/computerorganiza00patt_779/page/n291 270]|isbn=9780123744937 }}</ref> इसके विपरीत,  सामान्य संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाला सबसे छोटा बायस्ड घातांक 1 है (नीचे उदाहरण देखें)।

==गैर-संख्याओं का प्रतिनिधित्व ==

किसी गणना की अनंतता या अमान्य परिणाम को प्रदर्शित करने के लिए बायस्ड-घातांक क्षेत्र सभी 1 बिट्स से पूर्ण है।

=== धनात्मक और ऋणात्मक अनंत ===

[[विस्तारित वास्तविक रेखा|धनात्मक और ऋणात्मक अनंत]] को इस प्रकार प्रदर्शित किया गया है:

: धनात्मक अनंत के लिए चिह्न = 0, ऋणात्मक अनंत के लिए 1 है।

फ़्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित के कुछ ऑपरेशन अमान्य हैं, जैसे ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल लेता है। किसी अमान्य परिणाम तक पहुंचने की क्रिया को फ़्लोटिंग-पॉइंट अपवाद कहा जाता है। असाधारण परिणाम को "नॉट ए नंबर" के लिए NaN नामक विशेष कोड द्वारा प्रदर्शित किया जाता है। आईईईई 754-1985 में सभी NaN का प्रारूप यह है:

: अपूर्णांक = सभी 0 बिट्स को त्यागकर कुछ भी होता है (क्योंकि सभी 0 बिट्स अनंत का प्रतिनिधित्व करते हैं)।

== श्रेणी और त्रुटिहीनता ==

[[File:IEEE 754 relative precision.svg|thumb|महत्वपूर्ण अंकों की निश्चित संख्या का उपयोग करके दशमलव प्रतिनिधित्व की अपेक्षा में एकल (बाइनरी 32) और डबल त्रुटिहीन (बाइनरी 64) संख्याओं की सापेक्ष त्रुटिहीनता है। सापेक्ष त्रुटिहीनता को यहां ulp(x)/x के रूप में परिभाषित किया गया है, जहां ulp(x) x के प्रतिनिधित्व में [[अंतिम स्थान पर इकाई]] है, अर्थात  x और अगले प्रतिनिधित्व योग्य संख्या के मध्य का अंतर है।]]त्रुटिहीनता को दो क्रमिक मंटिसा अभ्यावेदन के मध्य न्यूनतम अंतर के रूप में परिभाषित किया गया है; इस प्रकार यह केवल मंटिसा में फंक्शन है; जबकि अंतर को दो क्रमिक संख्याओं के मध्य के अंतर के रूप में परिभाषित किया गया है।<ref>{{citation |title=Computer Arithmetic |author1=Hossam A. H. Fahmy |author2=Shlomo Waser |author3=Michael J. Flynn |url=http://arith.stanford.edu/~hfahmy/webpages/arith_class/arith.pdf |access-date=2011-01-02 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20101008203307/http://arith.stanford.edu/~hfahmy/webpages/arith_class/arith.pdf |archive-date=2010-10-08}}</ref>

[[एकल परिशुद्धता|'''एकल त्रुटिहीनता''']]  

एकल-त्रुटिहीन संख्याएँ 32 बिट्स पर व्याप्त हैं। एकल त्रुटिहीनता में:

* शून्य के निकटतम धनात्मक और ऋणात्मक संख्याएं (घातक क्षेत्र में सभी 0 के साथ असामान्य मान और अपूर्णांक क्षेत्र में बाइनरी मान 1 द्वारा प्रदर्शित की जाती हैं) हैं:

* शून्य के निकटतम धनात्मक और ऋणात्मक सामान्यीकृत संख्याएं (घातक क्षेत्र में बाइनरी मान 1 और अपूर्णांक क्षेत्र में 0 के साथ प्रदर्शित की जाती हैं) हैं:

* शून्य से सबसे दूर की परिमित धनात्मक और परिमित ऋणात्मक संख्याएँ (घातक क्षेत्र में 254 और अपूर्णांक क्षेत्र में सभी 1 के साथ मान द्वारा प्रदर्शित की गई) हैं:

एकल त्रुटिहीनता में दिए गए घातांक के लिए कुछ उदाहरण सीमा और अंतराल मान है:

उदाहरण के लिए, 16,777,217 को 32-बिट फ़्लोट के रूप में एन्कोड नहीं किया जा सकता क्योंकि इसे 16,777,216 पर पूर्णांकित किया जाएगा। इससे ज्ञात होता है कि फ़्लोटिंग पॉइंट अंकगणित लेखांकन सॉफ़्टवेयर के लिए अनुपयुक्त क्यों है। चूँकि, प्रतिनिधित्व योग्य सीमा के अंदर सभी पूर्णांक जो 2 की शक्ति हैं, उन्हें बिना गोलाई के 32-बिट फ़्लोट में संग्रहीत किया जा सकता है।

=== दोहरी त्रुटिहीनता ===

डबल-त्रुटिहीन संख्याएँ 64 बिट्स पर व्याप्त हैं। दोहरी त्रुटिहीनता में:

* शून्य के निकटतम धनात्मक और ऋणात्मक संख्याएं (एक्सप क्षेत्र में सभी 0 के साथ असामान्य मान और अपूर्णांक क्षेत्र में बाइनरी मान 1 द्वारा प्रदर्शित की जाती हैं) हैं

* शून्य के निकटतम धनात्मक और ऋणात्मक सामान्यीकृत संख्याएं (एक्सप क्षेत्र में बाइनरी मान 1 और अपूर्णांक क्षेत्र में 0 के साथ प्रदर्शित की जाती हैं) हैं:

* शून्य से सबसे दूर की परिमित धनात्मक और परिमित ऋणात्मक संख्याएँ (एक्सप क्षेत्र में 2046 और अपूर्णांक क्षेत्र में सभी 1 के साथ मान द्वारा प्रदर्शित की गई) हैं:

दोहरी त्रुटिहीनता में दिए गए घातांक के लिए कुछ उदाहरण सीमा और अंतराल मान है:

मानक राउंड-ऑफ त्रुटियों को कम करने के लिए, अंतिम परिणाम के लिए आवश्यक उच्च त्रुटिहीनता पर आंतरिक गणना करने के लिए विस्तारित प्रारूप का उपयोग करने का अनुरोध करता है: मानक केवल ऐसे प्रारूपों के लिए न्यूनतम त्रुटिहीनता और घातांक आवश्यकताओं को निर्दिष्ट करता है। [[x87]] 80-बिट विस्तारित प्रारूप सबसे अधिक कार्यान्वित विस्तारित प्रारूप है जो इन आवश्यकताओं को पूर्ण करता है।

यहां एकल-त्रुटिहीन आईईईई 754 अभ्यावेदन के कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

| [[Negative zero|ऋणात्मक शून्य]]

| धनात्मक अनन्तता

| ऋणात्मक अनन्तता

== फ़्लोटिंग-पॉइंट संख्याओं की अपेक्षा करना ==

ऋणात्मक शून्य और धनात्मक शून्य के लिए बिट्स के दो संयोजनों को त्यागकर, प्रत्येक संभावित बिट संयोजन या तो NaN है या संबद्ध क्रम के साथ एफ़िनली विस्तारित वास्तविक संख्या प्रणाली में अद्वितीय मान वाला नंबर है, जिस पर कभी-कभी विशेष ध्यान देने की आवश्यकता होती है (नीचे देखें)। बाइनरी प्रतिनिधित्व में विशेष गुण होता है कि, NaN को त्यागकर, किसी भी दो संख्याओं की अपेक्षा चिह्न और परिमाण पूर्णांक के रूप में की जा सकती है ([[endianness|एंडियननेस]] उद्देश्य प्रस्तावित होते हैं)। 2 के पूरक पूर्णांकों के रूप में अपेक्षा करते समय: यदि साइन बिट भिन्न होते हैं, तो ऋणात्मक संख्या धनात्मक संख्या से पूर्व होती है, इसलिए 2 का पूरक सही परिणाम देता है (इसके अतिरिक्त कि ऋणात्मक शून्य और धनात्मक शून्य को समान माना जाना चाहिए)। यदि दोनों मान धनात्मक हैं, तो 2 की पूरक अपेक्षा पुनः उचित परिणाम देती है। अन्यथा (दो ऋणात्मक संख्याएं), उचित एफपी क्रम 2 के पूरक क्रम के विपरीत है।

फ़्लोटिंग पॉइंट गणनाओं में निहित राउंडिंग त्रुटियाँ परिणामों की त्रुटिहीन समानता के परीक्षण के लिए अपेक्षाओं के उपयोग को सीमित कर सकती हैं। स्वीकार्य सीमा का चयन करना समष्टि विषय है। सामान्य तकनीक अनुमानित अपेक्षा करने के लिए अपेक्षात्मक ईपीएसलॉन मान का उपयोग करना है।<ref>{{cite web|url=https://github.com/godotengine/godot/blob/master/core/math/math_funcs.h#L302|title=Godot math_funcs.h|website=GitHub.com|date=30 July 2022 }}</ref> अपेक्षाएँ कितनी उदार हैं, इस पर निर्भर करते हुए, सामान्य मूल्यों में एकल-त्रुटिहीनता के लिए <code>1e-6</code> या <code>1e-5</code>और दोहरी त्रुटिहीनता के लिए <code>1e-14</code> सम्मिलित हैं।<ref>{{cite web|url=https://github.com/godotengine/godot/blob/master/core/math/math_defs.h#L34|title=Godot math_defs.h|website=GitHub.com|date=30 July 2022 }}</ref><ref>{{cite web|url=https://github.com/godotengine/godot/blob/master/modules/mono/glue/Managed/Files/MathfEx.cs#L18|title=गोडोट MathfEx.cs|website=GitHub.com}}</ref> अन्य सामान्य तकनीक यूएलपी है, जो यह परीक्षण करती है कि अंतिम स्थान के अंकों में क्या अंतर है, प्रभावी रूप से यह परीक्षण करती है कि दोनों मान कितने दूर हैं।<ref>{{cite web|url=https://randomascii.wordpress.com/2012/02/25/comparing-floating-point-numbers-2012-edition/|title=Comparing Floating Point Numbers, 2012 Edition|website=randomascii.wordpress.com|date=26 February 2012 }}</ref>