आईईईई 754-1985: Difference between revisions

'''आईईईई 754-1985'''<ref>{{Cite book|title=बाइनरी फ़्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित के लिए आईईईई मानक|year=1985|doi=10.1109/IEEESTD.1985.82928|isbn=0-7381-1165-1}}</ref> [[कंप्यूटर]] में [[ तैरनेवाला स्थल |फ्लोटिंग-पॉइंट]] नंबरों का प्रतिनिधित्व करने के लिए उद्योग [[तकनीकी मानक|मानक]] था, जिसे सामान्यतः 1985 में स्वीकार किया गया था और 2008 में [[IEEE 754-2008|आईईईई 754-2008]] द्वारा प्रतिस्थापित किया गया था, और फिर 2019 में सामान्य संशोधन [[IEEE 754-2019|आईईईई 754-2019]] द्वारा प्रतिस्थापित किया गया था।<ref>{{Cite web|url=http://754r.ucbtest.org/background/|title=ANSI/IEEE Std 754-2019|website=754r.ucbtest.org|access-date=2019-08-06}}</ref> अपने 23 वर्षों के समय, यह फ़्लोटिंग-पॉइंट गणना के लिए सबसे व्यापक रूप से उपयोग किया जाने वाला प्रारूप था। इसे सॉफ़्टवेयर में, फ़्लोटिंग-पॉइंट [[ पुस्तकालय (कंप्यूटिंग) |लाइब्रेरीज़]] के रूप में, और हार्डवेयर में, कई [[ CPU |सीपीयू]] और [[फ़्लोटिंग-पॉइंट इकाई|एफपीयू]] के [[निर्देश (कंप्यूटर विज्ञान)|निर्देशों]] में प्रस्तावित किया गया था। आईईईई 754-1985 बनने वाले ड्राफ्ट को प्रस्तावित करने वाला प्रथम एकीकृत सर्किट [[इंटेल 8087]] था।

मानक धनात्मक और ऋणात्मक अनंत के लिए प्रतिनिधित्व को भी परिभाषित करता है, [[नकारात्मक शून्य|ऋणात्मक शून्य]], [[शून्य से विभाजन]] जैसे अमान्य परिणामों को संभालने के लिए पांच अपवाद, उन अपवादों का प्रतिनिधित्व करने के लिए विशेष मान जिन्हें [[NaN]] कहा जाता है, ऊपर दिखाए गए छोटी संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए [[असामान्य संख्या|असामान्य संख्याएं]], और चार गोल मोड है।

दशमलव संख्या 0.15625₁₀ बाइनरी में 0.00101₂ (अर्थात् 1/8 + 1/32) दर्शाया गया है। (अंकाक्षर संख्या [[मूलांक]] दर्शाते हैं।) [[वैज्ञानिक संकेतन]] के अनुरूप, जहां संख्याओं को दशमलव बिंदु के बाईं ओर गैर-शून्य अंक के रूप में लिखा जाता है, हम इस संख्या को पुनः लिखते हैं जिससे कि इसमें बाइनरी बिंदु के बाईं ओर एकल 1 बिट होता है। हम तीन स्थितियों द्वारा त्यागे गए बिट्स के स्थानांतरण की पूर्ति के लिए 2 की उचित शक्ति से गुणा करते हैं:

जैसा कि चित्रों में दिखाया गया है, आईईईई 754 में इस संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाले तीन क्षेत्र हैं:

: चिन्ह = 0, क्योंकि संख्या धनात्मक है (1 ऋणात्मक दर्शाता है।)।

आईईईई 754 घातांक में [[ऑफसेट बाइनरी]] जोड़ता है जिससे कि कई स्थितियों में संख्याओं की तुलना उसी हार्डवेयर द्वारा सरलता से की जा सके जो हस्ताक्षरित 2-पूरक पूर्णांकों की तुलना करता है। बायस्ड घातांक का उपयोग करते हुए, दो धनात्मक फ़्लोटिंग-पॉइंट संख्याओं में से छोटी संख्या चिह्न और परिमाण पूर्णांक के समान क्रम के पश्चात बड़ी संख्या से कम निकलेगी। यदि दो फ़्लोटिंग-पॉइंट संख्याओं के भिन्न-भिन्न चिह्न हैं, तो चिह्न-और-परिमाण तुलना बायस्ड घातांक के साथ भी कार्य करती है। चूँकि, यदि दोनों बायस्ड-घातांक फ़्लोटिंग-पॉइंट संख्याएँ ऋणात्मक हैं, तो क्रम को विपरीत कर दिया जाना चाहिए। यदि घातांक को, मान लीजिए, 2-पूरक संख्या के रूप में दर्शाया जाता है, तो यह देखने के लिए तुलना करना कि दो संख्याओं में से कौन सी बड़ी है, उतना सुविधाजनक नहीं होता है।

अग्रणी 1 बिट को विस्थापित कर दिया गया है क्योंकि शून्य को छोड़कर सभी संख्याएँ अग्रणी 1 से प्रारंभ होती हैं; अग्रणी 1 अंतर्निहित है और वास्तव में इसे संग्रहीत करने की आवश्यकता नहीं है जो मुफ़्त में अतिरिक्त त्रुटिहीनता देता है।

शून्य संख्या को विशेष रूप से दर्शाया गया है:

ऊपर वर्णित संख्या निरूपण को सामान्यीकृत कहा जाता है, जिसका अर्थ है कि अंतर्निहित अग्रणी बाइनरी अंक 1 है। अंडरफ्लो होने पर त्रुटिहीनता की हानि को कम करने के लिए, आईईईई 754 में सामान्यीकृत प्रतिनिधित्व में संभव से छोटे अंशों का प्रतिनिधित्व करने की क्षमता सम्मिलित है। अंतर्निहित अग्रणी अंक 0 बनाता है। ऐसी संख्याओं को असामान्य संख्याएँ कहा जाता है। उनमें सामान्यीकृत संख्या के रूप में कई [[महत्वपूर्ण अंक]] सम्मिलित नहीं होते हैं, किन्तु जब किसी ऑपरेशन का परिणाम शून्य नहीं होता है, किन्तु सामान्यीकृत संख्या द्वारा दर्शाए जाने के लिए शून्य के अधिक निकट होता है, तो वे त्रुटिहीनता की क्रमिक हानि को सक्षम करते हैं।

असामान्य संख्या को सभी 0 बिट्स के बायस्ड घातांक के साथ दर्शाया जाता है, जो एकल त्रुटिहीनता में −126 के घातांक का प्रतिनिधित्व करता है (−127 नहीं), या दोहरी त्रुटिहीनता में −1022 (−1023 नहीं) का प्रतिनिधित्व करता है।<ref>{{cite book|last=Hennessy|title=कंप्यूटर संगठन और डिज़ाइन|year=2009|url=https://archive.org/details/computerorganiza00patt_779|url-access=limited|publisher=Morgan Kaufmann|page=[https://archive.org/details/computerorganiza00patt_779/page/n291 270]|isbn=9780123744937 }}</ref> इसके विपरीत,  सामान्य संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाला सबसे छोटा बायस्ड घातांक 1 है (नीचे उदाहरण देखें)।

[[विस्तारित वास्तविक रेखा|धनात्मक और ऋणात्मक अनंत]] को इस प्रकार दर्शाया गया है:

फ़्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित के कुछ ऑपरेशन अमान्य हैं, जैसे ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल लेता है। किसी अमान्य परिणाम तक पहुंचने की क्रिया को फ़्लोटिंग-पॉइंट अपवाद कहा जाता है। असाधारण परिणाम को "नॉट ए नंबर" के लिए NaN नामक विशेष कोड द्वारा दर्शाया जाता है। आईईईई 754-1985 में सभी NaN का प्रारूप यह है:

: अपूर्णांक = सभी 0 बिट्स को छोड़कर कुछ भी होता है (क्योंकि सभी 0 बिट्स अनंत का प्रतिनिधित्व करते हैं)।

[[File:IEEE 754 relative precision.svg|thumb|महत्वपूर्ण अंकों की निश्चित संख्या का उपयोग करके दशमलव प्रतिनिधित्व की तुलना में एकल (बाइनरी 32) और डबल त्रुटिहीन (बाइनरी 64) संख्याओं की सापेक्ष त्रुटिहीनता है। सापेक्ष त्रुटिहीनता को यहां ulp(x)/x के रूप में परिभाषित किया गया है, जहां ulp(x) x के प्रतिनिधित्व में [[अंतिम स्थान पर इकाई]] है, अर्थात  x और अगले प्रतिनिधित्व योग्य संख्या के मध्य का अंतर है।]]त्रुटिहीनता को दो क्रमिक मंटिसा अभ्यावेदन के मध्य न्यूनतम अंतर के रूप में परिभाषित किया गया है; इस प्रकार यह केवल मंटिसा में फंक्शन है; जबकि अंतर को दो क्रमिक संख्याओं के मध्य के अंतर के रूप में परिभाषित किया गया है।<ref>{{citation |title=Computer Arithmetic |author1=Hossam A. H. Fahmy |author2=Shlomo Waser |author3=Michael J. Flynn |url=http://arith.stanford.edu/~hfahmy/webpages/arith_class/arith.pdf |access-date=2011-01-02 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20101008203307/http://arith.stanford.edu/~hfahmy/webpages/arith_class/arith.pdf |archive-date=2010-10-08}}</ref>

* शून्य के निकटतम धनात्मक और ऋणात्मक संख्याएं (घातक क्षेत्र में सभी 0 के साथ असामान्य मान और अपूर्णांक क्षेत्र में बाइनरी मान 1 द्वारा दर्शायी जाती हैं) हैं:

* शून्य के निकटतम धनात्मक और ऋणात्मक सामान्यीकृत संख्याएं (घातक क्षेत्र में बाइनरी मान 1 और अपूर्णांक क्षेत्र में 0 के साथ दर्शायी जाती हैं) हैं:

* शून्य से सबसे दूर की परिमित धनात्मक और परिमित ऋणात्मक संख्याएँ (घातक क्षेत्र में 254 और अपूर्णांक क्षेत्र में सभी 1 के साथ मान द्वारा दर्शाई गई) हैं:

* शून्य के निकटतम धनात्मक और ऋणात्मक संख्याएं (एक्सप क्षेत्र में सभी 0 के साथ असामान्य मान और अपूर्णांक क्षेत्र में बाइनरी मान 1 द्वारा दर्शायी जाती हैं) हैं

* शून्य के निकटतम धनात्मक और ऋणात्मक सामान्यीकृत संख्याएं (एक्सप क्षेत्र में बाइनरी मान 1 और अपूर्णांक क्षेत्र में 0 के साथ दर्शायी जाती हैं) हैं:

* शून्य से सबसे दूर की परिमित धनात्मक और परिमित ऋणात्मक संख्याएँ (एक्सप क्षेत्र में 2046 और अपूर्णांक क्षेत्र में सभी 1 के साथ मान द्वारा दर्शाई गई) हैं:

== फ़्लोटिंग-पॉइंट संख्याओं की तुलना करना ==

ऋणात्मक शून्य और धनात्मक शून्य के लिए बिट्स के दो संयोजनों को त्यागकर, प्रत्येक संभावित बिट संयोजन या तो NaN है या संबद्ध क्रम के साथ एफ़िनली विस्तारित वास्तविक संख्या प्रणाली में अद्वितीय मान वाला नंबर है, जिस पर कभी-कभी विशेष ध्यान देने की आवश्यकता होती है (नीचे देखें)। बाइनरी प्रतिनिधित्व में विशेष गुण होता है कि, NaN को त्यागकर, किसी भी दो संख्याओं की तुलना चिह्न और परिमाण पूर्णांक के रूप में की जा सकती है ([[endianness|एंडियननेस]] उद्देश्य प्रस्तावित होते हैं)। 2 के पूरक पूर्णांकों के रूप में तुलना करते समय: यदि साइन बिट भिन्न होते हैं, तो ऋणात्मक संख्या धनात्मक संख्या से पूर्व होती है, इसलिए 2 का पूरक सही परिणाम देता है (इसके अतिरिक्त कि ऋणात्मक शून्य और धनात्मक शून्य को समान माना जाना चाहिए)। यदि दोनों मान धनात्मक हैं, तो 2 की पूरक तुलना पुनः उचित परिणाम देती है। अन्यथा (दो ऋणात्मक संख्याएं), उचित एफपी क्रम 2 के पूरक क्रम के विपरीत है।

फ़्लोटिंग पॉइंट गणनाओं में निहित राउंडिंग त्रुटियाँ परिणामों की त्रुटिहीन समानता के परीक्षण के लिए तुलनाओं के उपयोग को सीमित कर सकती हैं। स्वीकार्य सीमा का चयन करना समष्टि विषय है। सामान्य तकनीक अनुमानित तुलना करने के लिए तुलनात्मक ईपीएसलॉन मान का उपयोग करना है।<ref>{{cite web|url=https://github.com/godotengine/godot/blob/master/core/math/math_funcs.h#L302|title=Godot math_funcs.h|website=GitHub.com|date=30 July 2022 }}</ref> तुलनाएँ कितनी उदार हैं, इस पर निर्भर करते हुए, सामान्य मूल्यों में एकल-त्रुटिहीनता के लिए <code>1e-6</code> या <code>1e-5</code>और दोहरी त्रुटिहीनता के लिए <code>1e-14</code> सम्मिलित हैं।<ref>{{cite web|url=https://github.com/godotengine/godot/blob/master/core/math/math_defs.h#L34|title=Godot math_defs.h|website=GitHub.com|date=30 July 2022 }}</ref><ref>{{cite web|url=https://github.com/godotengine/godot/blob/master/modules/mono/glue/Managed/Files/MathfEx.cs#L18|title=गोडोट MathfEx.cs|website=GitHub.com}}</ref> अन्य सामान्य तकनीक यूएलपी है, जो यह परीक्षण करती है कि अंतिम स्थान के अंकों में क्या अंतर है, प्रभावी रूप से यह परीक्षण करती है कि दोनों मान कितने दूर हैं।<ref>{{cite web|url=https://randomascii.wordpress.com/2012/02/25/comparing-floating-point-numbers-2012-edition/|title=Comparing Floating Point Numbers, 2012 Edition|website=randomascii.wordpress.com|date=26 February 2012 }}</ref>

चूँकि तुलनात्मक उद्देश्यों के लिए ऋणात्मक शून्य और धनात्मक शून्य को सामान्यतः समान माना जाता है, कुछ [[प्रोग्रामिंग भाषा|प्रोग्रामिंग लैंग्वेज]] [[रिलेशनल ऑपरेटर]] और समान निर्माण उन्हें भिन्न मानते हैं। [[जावा (प्रोग्रामिंग भाषा)|जावा]] लैंग्वेज विशिष्टता के अनुसार,<ref>{{cite web|url=http://java.sun.com/docs/books/jls/|title=जावा भाषा और वर्चुअल मशीन विशिष्टताएँ|website=Java Documentation}}</ref> तुलना और समानता संचालक उन्हें समान मानते हैं, किन्तु <code>Math.min()</code> और <code>Math.max()</code> उन्हें अलग करते हैं (सामान्यतः जावा संस्करण 1.1 से प्रारंभ करते हैं किन्तु वास्तव में 1.1.1 के साथ), जैसा कि तुलना विधियां <code>Float</code> और <code>Double</code> कक्षाओं का <code>equals()</code>, <code>compareTo()</code> और यहां तक ​​कि <code>compare()</code> भी हैं।

* '''<nowiki/>'राउंड टू नियरेस्ट'''' - निकटतम मान तक राउंड; यदि संख्या मध्य में गिरती है तो इसे सम (शून्य) कम से कम महत्वपूर्ण बिट के साथ निकटतम मान तक पूर्णांकित किया जाता है, जिसका अर्थ है कि इसे 50% समय तक पूर्णांकित किया जाता है (आईईईई 754-2008 में इस मोड को दूसरे दौर से अलग करने के लिए राउंडटीज़टूईवन कहा जाता है) -से-निकटतम मोड)।

*फ़्लोटिंग पॉइंट शेष यह सामान्य [[मॉड्यूलो ऑपरेशन]] के जैसे नहीं है, यह दो धनात्मक संख्याओं के लिए ऋणात्मक हो सकता है। यह {{math|x–(round(x/y)·y)}} का त्रुटिहीन मान लौटाता है।

* [[पूर्णांक तक पूर्णांकन|निकटतम पूर्णांक तक पूर्णांकन]] अप्रत्यक्ष पूर्णांकन के लिए जब दो पूर्णांकों के मध्यआधा हो तो सम पूर्णांक चयन किया जाता है।

*तुलना संचालन. अधिक स्पष्ट परिणामों के अतिरिक्त, आईईईई 754 परिभाषित करता है कि −∞ = −∞, +∞ = +∞ और <var>x</var> ≠<code>NaN</code> किसी भी <var>x</var> के लिए (सहित) <code>NaN</code>) होता है।

* <code>copysign(x,y)</code> y के चिह्न के साथ x लौटाता है, इसलिए <code>abs(x)</code> <code>copysign(x,1.0)</code> के समान होती है। यह उन कुछ ऑपरेशनों में से है जो अंकगणित के समान NaN पर संचालित होता है। फ़ंक्शन <code>copysign</code> C99 मानक में नया है।

* −x, विपरीत चिह्न के साथ x लौटाता है। यह कुछ स्थितियों में 0−x से भिन्न है, विशेष रूप से जब x 0 है। तो −(0) −0 है, किन्तु 0−0 का चिह्न पूर्णांकन मोड पर निर्भर करता है।

* <code>nextafter(x,y)</code> x से y की दिशा में अगला प्रतिनिधित्व योग्य मान लौटाता है।

1976 में, [[इंटेल]] फ्लोटिंग-पॉइंट[[ सह प्रोसेसर | कोप्रोसेसर]] का विकास प्रारंभ कर रहा था।<ref name="Intel_2016_Case"/><ref name="Kahan_1998_Story"/> इंटेल को अपेक्षा थी कि वह व्यापक रूप से भिन्न गणित सॉफ्टवेयर लाइब्रेरी में पाए जाने वाले सभी ऑपरेशनों के उत्तम कार्यान्वयन वाली चिप बेचने में सक्षम होगी।<ref name="Intel_2016_Case"/><ref name="Woehr_1997_Kahan"/>

जॉन पामर, जिन्होंने इस परियोजना का प्रबंधन किया था, इसका मानना ​​था कि इस प्रयास को भिन्न-भिन्न प्रोसेसरों में  मानक एकीकृत फ़्लोटिंग पॉइंट संचालन द्वारा समर्थित किया जाना चाहिए। उन्होंने [[कैलिफोर्निया विश्वविद्यालय]] के [[विलियम कहाँ|विलियम काहन]] से संपर्क किया, जिन्होंने[[ हेवलेट पैकर्ड ]]के कैलकुलेटर की त्रुटिहीनता में सुधार करने में सहायता की थी। काहन ने सुझाव दिया कि इंटेल[[ डिजिटल उपकरण निगम | डिजिटल इक्विपमेंट कॉर्पोरेशन]] (डीईसी) वैक्स के फ्लोटिंग पॉइंट का उपयोग करता है। प्रथम वैक्स, वैक्स-11/780 1977 के अंत में सामने आया था, और इसके फ्लोटिंग पॉइंट को अत्यधिक महत्व दिया गया था। चूँकि, अपनी चिप को व्यापक मार्केट में बेचने के लिए, इंटेल सर्वोत्तम फ़्लोटिंग पॉइंट चाहता था, और काहन ने विशिष्टताओं को प्रस्तुत किया था।<ref name="Intel_2016_Case"/> काहन ने प्रारंभ में अनुरोध किया था कि फ़्लोटिंग पॉइंट बेस दशमलव हो<ref>W. Kahan 2003, pers. comm. to [[Mike Cowlishaw]] and others after an IEEE 754 meeting</ref>{{unreliable source?|date=October 2016}} किन्तु कोप्रोसेसर का हार्डवेयर डिज़ाइन उस परिवर्तन को करने के लिए अधिक दूर था।

इंटेल के अंदर कार्य ने अन्य विक्रेताओं को चिंतित कर दिया, जिन्होंने समान अवसर सुनिश्चित करने के लिए मानकीकरण प्रयास स्थापित किया। काहन ने नवंबर 1977 में आयोजित दूसरी आईईईई 754 मानक कार्य समूह की बैठक में भाग लिया था। अंत में उन्हें इंटेल से उनके कोप्रोसेसर के लिए उनके कार्य के आधार पर ड्राफ्ट प्रस्ताव प्रस्तुत करने की अनुमति मिली; उन्हें प्रारूप के विवरण और उसके औचित्य को समझाने की अनुमति दी गई थी, किन्तु इंटेल के कार्यान्वयन वास्तुकला से संबंधित कुछ भी नहीं। ड्राफ्ट जेरोम कूनन और हेरोल्ड स्टोन के साथ सह-लिखित था, और प्रारंभ में इसे काहन-कूनन-स्टोन प्रस्ताव या के-सी-एस प्रारूप के रूप में जाना जाता था।<ref name="Intel_2016_Case"/><ref name="Kahan_1998_Story"/><ref name="Woehr_1997_Kahan"/><ref name="Chuck_Kahan_Interview"/>