सामान्य क्रम: Difference between revisions
From Vigyanwiki
(Created page with "{{Short description|Type of operator ordering in quantum field theory}} {{Other uses}} क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में क...") |
No edit summary |
||
| Line 2: | Line 2: | ||
{{Other uses}} | {{Other uses}} | ||
[[क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] में क्वांटम क्षेत्रों का | [[क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] में क्वांटम क्षेत्रों का उत्पाद, या समकक्ष रूप से उनके निर्माण और विनाश ऑपरेटरों को आमतौर पर सामान्य ऑर्डर (जिसे विक ऑर्डर भी कहा जाता है) कहा जाता है, जब सभी निर्माण ऑपरेटर उत्पाद में सभी विनाश ऑपरेटरों के बाईं ओर होते हैं। किसी उत्पाद को सामान्य क्रम में रखने की प्रक्रिया को सामान्य ऑर्डरिंग (जिसे विक ऑर्डरिंग भी कहा जाता है) कहा जाता है। एंटीनॉर्मल ऑर्डर और एंटीनॉर्मल ऑर्डरिंग को समान रूप से परिभाषित किया गया है, जहां विनाश ऑपरेटरों को निर्माण ऑपरेटरों के बाईं ओर रखा गया है। | ||
क्वांटम फ़ील्ड या निर्माण और विनाश ऑपरेटरों के उत्पाद के सामान्य क्रम को कई #वैकल्पिक परिभाषाओं में भी परिभाषित किया जा सकता है। कौन सी परिभाषा सबसे उपयुक्त है यह किसी दी गई गणना के लिए आवश्यक [[अपेक्षा मूल्य]]ों पर निर्भर करती है। इस लेख का अधिकांश भाग सामान्य क्रम की सबसे सामान्य परिभाषा का उपयोग करता है जैसा कि ऊपर दिया गया है, जो सृजन और विनाश ऑपरेटरों की निर्वात स्थिति का उपयोग करके अपेक्षा मान लेते समय उपयुक्त है। | क्वांटम फ़ील्ड या निर्माण और विनाश ऑपरेटरों के उत्पाद के सामान्य क्रम को कई #वैकल्पिक परिभाषाओं में भी परिभाषित किया जा सकता है। कौन सी परिभाषा सबसे उपयुक्त है यह किसी दी गई गणना के लिए आवश्यक [[अपेक्षा मूल्य]]ों पर निर्भर करती है। इस लेख का अधिकांश भाग सामान्य क्रम की सबसे सामान्य परिभाषा का उपयोग करता है जैसा कि ऊपर दिया गया है, जो सृजन और विनाश ऑपरेटरों की निर्वात स्थिति का उपयोग करके अपेक्षा मान लेते समय उपयुक्त है। | ||
| Line 9: | Line 9: | ||
==नोटेशन== | ==नोटेशन== | ||
अगर <math>\hat{O}</math> निर्माण और/या विनाश ऑपरेटरों (या समकक्ष, क्वांटम फ़ील्ड) के | अगर <math>\hat{O}</math> निर्माण और/या विनाश ऑपरेटरों (या समकक्ष, क्वांटम फ़ील्ड) के मनमाने उत्पाद को दर्शाता है, फिर सामान्य क्रमबद्ध रूप <math>\hat{O}</math> द्वारा निरूपित किया जाता है <math>\mathopen{:} \hat{O} \mathclose{:}</math>. | ||
एक वैकल्पिक संकेतन है <math> \mathcal{N}(\hat{O})</math>. | एक वैकल्पिक संकेतन है <math> \mathcal{N}(\hat{O})</math>. | ||
ध्यान दें कि सामान्य ऑर्डरिंग | ध्यान दें कि सामान्य ऑर्डरिंग अवधारणा है जो केवल ऑपरेटरों के उत्पादों के लिए समझ में आती है। ऑपरेटरों के योग पर सामान्य ऑर्डर लागू करने का प्रयास उपयोगी नहीं है क्योंकि सामान्य ऑर्डर रैखिक ऑपरेशन नहीं है। | ||
==बोसोन== | ==बोसोन== | ||
| Line 20: | Line 20: | ||
===एकल बोसॉन=== | ===एकल बोसॉन=== | ||
यदि हम केवल | यदि हम केवल प्रकार के बोसॉन से शुरू करते हैं तो रुचि के दो ऑपरेटर हैं: | ||
* <math>\hat{b}^\dagger</math>: बोसॉन का निर्माण संचालक। | * <math>\hat{b}^\dagger</math>: बोसॉन का निर्माण संचालक। | ||
| Line 31: | Line 31: | ||
:<math>\left[\hat{b}, \hat{b}^\dagger \right]_- = 1</math> | :<math>\left[\hat{b}, \hat{b}^\dagger \right]_- = 1</math> | ||
कहाँ <math>\left[ A, B \right]_- \equiv AB - BA</math> कम्यूटेटर को दर्शाता है. हम अंतिम को इस प्रकार फिर से लिख सकते हैं: <math>\hat{b}\, \hat{b}^\dagger = \hat{b}^\dagger\, \hat{b} + 1.</math> | कहाँ <math>\left[ A, B \right]_- \equiv AB - BA</math> कम्यूटेटर को दर्शाता है. हम अंतिम को इस प्रकार फिर से लिख सकते हैं: <math>\hat{b}\, \hat{b}^\dagger = \hat{b}^\dagger\, \hat{b} + 1.</math> | ||
====उदाहरण==== | ====उदाहरण==== | ||
1. हम पहले सबसे सरल मामले पर विचार करेंगे। यह सामान्य क्रम है <math>\hat{b}^\dagger \hat{b}</math>: | 1. हम पहले सबसे सरल मामले पर विचार करेंगे। यह सामान्य क्रम है <math>\hat{b}^\dagger \hat{b}</math>: | ||
| Line 39: | Line 37: | ||
इजहार <math>\hat{b}^\dagger \, \hat{b}</math> बदला नहीं गया है क्योंकि यह पहले से ही सामान्य क्रम में है - निर्माण ऑपरेटर <math>(\hat{b}^\dagger)</math> यह पहले से ही विनाश ऑपरेटर के बाईं ओर है <math>(\hat{b})</math>. | इजहार <math>\hat{b}^\dagger \, \hat{b}</math> बदला नहीं गया है क्योंकि यह पहले से ही सामान्य क्रम में है - निर्माण ऑपरेटर <math>(\hat{b}^\dagger)</math> यह पहले से ही विनाश ऑपरेटर के बाईं ओर है <math>(\hat{b})</math>. | ||
2. | 2. अधिक दिलचस्प उदाहरण सामान्य क्रम है <math>\hat{b} \, \hat{b}^\dagger </math>: | ||
:<math> {:\,}\hat{b} \, \hat{b}^\dagger{\,:} = \hat{b}^\dagger \, \hat{b}. </math> | :<math> {:\,}\hat{b} \, \hat{b}^\dagger{\,:} = \hat{b}^\dagger \, \hat{b}. </math> | ||
यहां सामान्य ऑर्डरिंग ऑपरेशन ने शर्तों को रखकर पुनः व्यवस्थित किया है <math>\hat{b}^\dagger</math> के बाईं ओर <math>\hat{b}</math>. | यहां सामान्य ऑर्डरिंग ऑपरेशन ने शर्तों को रखकर पुनः व्यवस्थित किया है <math>\hat{b}^\dagger</math> के बाईं ओर <math>\hat{b}</math>. | ||
| Line 50: | Line 48: | ||
इस समीकरण का उपयोग विक प्रमेय में प्रयुक्त संकुचन को परिभाषित करने में किया जाता है। | इस समीकरण का उपयोग विक प्रमेय में प्रयुक्त संकुचन को परिभाषित करने में किया जाता है। | ||
3. एकाधिक ऑपरेटरों वाला | 3. एकाधिक ऑपरेटरों वाला उदाहरण है: | ||
:<math> {:\,}\hat{b}^\dagger \, \hat{b} \, \hat{b} \, \hat{b}^\dagger \, \hat{b} \, \hat{b}^\dagger \, \hat{b}{\,:} = \hat{b}^\dagger \, \hat{b}^\dagger \, \hat{b}^\dagger \, \hat{b} \, \hat{b} \, \hat{b} \, \hat{b} = (\hat{b}^\dagger)^3 \, \hat{b}^4.</math> | :<math> {:\,}\hat{b}^\dagger \, \hat{b} \, \hat{b} \, \hat{b}^\dagger \, \hat{b} \, \hat{b}^\dagger \, \hat{b}{\,:} = \hat{b}^\dagger \, \hat{b}^\dagger \, \hat{b}^\dagger \, \hat{b} \, \hat{b} \, \hat{b} \, \hat{b} = (\hat{b}^\dagger)^3 \, \hat{b}^4.</math> | ||
4. | 4. सरल उदाहरण से पता चलता है कि सामान्य क्रम को एकपदी से सभी ऑपरेटरों तक रैखिकता द्वारा आत्मनिर्भर तरीके से नहीं बढ़ाया जा सकता है: | ||
:<math> {:\,}\hat{b} \hat{b}^\dagger{\,:} = {:\,}1 + \hat{b}^\dagger \hat{b}{\,:} = {:\,}1{\,:} + {:\,}\hat{b}^\dagger \hat{b}{\,:} = | :<math> {:\,}\hat{b} \hat{b}^\dagger{\,:} = {:\,}1 + \hat{b}^\dagger \hat{b}{\,:} = {:\,}1{\,:} + {:\,}\hat{b}^\dagger \hat{b}{\,:} = | ||
1 + \hat{b}^\dagger \hat{b} \ne \hat{b}^\dagger \hat{b}={:\,}\hat{b} \hat{b}^\dagger{\,:}</math> | 1 + \hat{b}^\dagger \hat{b} \ne \hat{b}^\dagger \hat{b}={:\,}\hat{b} \hat{b}^\dagger{\,:}</math> | ||
निहितार्थ यह है कि सामान्य ऑर्डरिंग ऑपरेटरों पर | निहितार्थ यह है कि सामान्य ऑर्डरिंग ऑपरेटरों पर रैखिक कार्य नहीं है। | ||
===एकाधिक बोसॉन=== | ===एकाधिक बोसॉन=== | ||
| Line 75: | Line 73: | ||
:<math>\hat{b}_i \, \hat{b}_j = \hat{b}_j \, \hat{b}_i </math> | :<math>\hat{b}_i \, \hat{b}_j = \hat{b}_j \, \hat{b}_i </math> | ||
:<math>\hat{b}_i \,\hat{b}_j^\dagger = \hat{b}_j^\dagger \,\hat{b}_i + \delta_{ij}.</math> | :<math>\hat{b}_i \,\hat{b}_j^\dagger = \hat{b}_j^\dagger \,\hat{b}_i + \delta_{ij}.</math> | ||
====उदाहरण==== | ====उदाहरण==== | ||
1. दो अलग-अलग बोसॉन के लिए (<math>N=2</math>) हमारे पास है | 1. दो अलग-अलग बोसॉन के लिए (<math>N=2</math>) हमारे पास है | ||
| Line 87: | Line 83: | ||
:<math> : \hat{b}_2 \, \hat{b}_1^\dagger \, \hat{b}_3 : \,= \hat{b}_1^\dagger \,\hat{b}_2 \, \hat{b}_3 </math> | :<math> : \hat{b}_2 \, \hat{b}_1^\dagger \, \hat{b}_3 : \,= \hat{b}_1^\dagger \,\hat{b}_2 \, \hat{b}_3 </math> | ||
:<math> : \hat{b}_3 \hat{b}_2 \, \hat{b}_1^\dagger : \,= \hat{b}_1^\dagger \,\hat{b}_2 \, \hat{b}_3 </math> | :<math> : \hat{b}_3 \hat{b}_2 \, \hat{b}_1^\dagger : \,= \hat{b}_1^\dagger \,\hat{b}_2 \, \hat{b}_3 </math> | ||
===बोसोनिक ऑपरेटर फ़ंक्शन=== | ===बोसोनिक ऑपरेटर फ़ंक्शन=== | ||
बोसोनिक ऑपरेटर कार्यों का सामान्य क्रम <math>f(\hat n)</math>, व्यवसाय संख्या ऑपरेटर के साथ <math>\hat n=\hat b\vphantom{\hat n}^\dagger \hat b</math>, [[ भाज्य शक्ति ]]|(गिरती) फैक्टोरियल शक्तियों का उपयोग करके पूरा किया जा सकता है <math>\hat n^{\underline{k}}=\hat n(\hat n-1)\cdots(\hat n-k+1)</math> और [[टेलर श्रृंखला]] के बजाय न्यूटन श्रृंखला: | बोसोनिक ऑपरेटर कार्यों का सामान्य क्रम <math>f(\hat n)</math>, व्यवसाय संख्या ऑपरेटर के साथ <math>\hat n=\hat b\vphantom{\hat n}^\dagger \hat b</math>, [[ भाज्य शक्ति ]]|(गिरती) फैक्टोरियल शक्तियों का उपयोग करके पूरा किया जा सकता है <math>\hat n^{\underline{k}}=\hat n(\hat n-1)\cdots(\hat n-k+1)</math> और [[टेलर श्रृंखला]] के बजाय न्यूटन श्रृंखला: | ||
| Line 106: | Line 100: | ||
एक ऑपरेटर फ़ंक्शन का <math>\tilde f(\hat n)</math>, साथ <math>k</math>-वें [[आगे का अंतर]] <math>\Delta_n^k \tilde f(0)</math> पर <math>n=0</math>, हमेशा सामान्य ऑर्डर दिया जाता है। यहां, दूसरा परिमाणीकरण#Action_on_Fock_states <math>\hat n |n\rangle = n |n\rangle</math> संबंधित <math>\hat n</math> और <math>n</math>. | एक ऑपरेटर फ़ंक्शन का <math>\tilde f(\hat n)</math>, साथ <math>k</math>-वें [[आगे का अंतर]] <math>\Delta_n^k \tilde f(0)</math> पर <math>n=0</math>, हमेशा सामान्य ऑर्डर दिया जाता है। यहां, दूसरा परिमाणीकरण#Action_on_Fock_states <math>\hat n |n\rangle = n |n\rangle</math> संबंधित <math>\hat n</math> और <math>n</math>. | ||
परिणामस्वरूप, | परिणामस्वरूप, मनमाना फ़ंक्शन की सामान्य-क्रम वाली टेलर श्रृंखला <math>f(\hat n)</math> किसी संबद्ध फ़ंक्शन की न्यूटन श्रृंखला के बराबर है <math>\tilde f(\hat n)</math>, पूर्ति | ||
: <math> | : <math> | ||
| Line 151: | Line 145: | ||
:<math>\hat{f} \,\hat{f} = 0 </math> | :<math>\hat{f} \,\hat{f} = 0 </math> | ||
:<math>\hat{f} \,\hat{f}^\dagger = 1 - \hat{f}^\dagger \,\hat{f} .</math> | :<math>\hat{f} \,\hat{f}^\dagger = 1 - \hat{f}^\dagger \,\hat{f} .</math> | ||
फर्मियोनिक निर्माण और विनाश ऑपरेटरों के उत्पाद के सामान्य क्रम को परिभाषित करने के लिए हमें पड़ोसी ऑपरेटरों के बीच ट्रांसपोज़िशन (गणित) की संख्या को ध्यान में रखना चाहिए। हमें ऐसे प्रत्येक इंटरचेंज के लिए | फर्मियोनिक निर्माण और विनाश ऑपरेटरों के उत्पाद के सामान्य क्रम को परिभाषित करने के लिए हमें पड़ोसी ऑपरेटरों के बीच ट्रांसपोज़िशन (गणित) की संख्या को ध्यान में रखना चाहिए। हमें ऐसे प्रत्येक इंटरचेंज के लिए ऋण चिह्न मिलता है। | ||
====उदाहरण==== | ====उदाहरण==== | ||
1. हम फिर से सबसे सरल मामलों से शुरू करते हैं: | 1. हम फिर से सबसे सरल मामलों से शुरू करते हैं: | ||
:<math> : \hat{f}^\dagger \, \hat{f} : \,= \hat{f}^\dagger \, \hat{f} </math> | :<math> : \hat{f}^\dagger \, \hat{f} : \,= \hat{f}^\dagger \, \hat{f} </math> | ||
यह अभिव्यक्ति पहले से ही सामान्य क्रम में है इसलिए कुछ भी नहीं बदला गया है। विपरीत स्थिति में, हम | यह अभिव्यक्ति पहले से ही सामान्य क्रम में है इसलिए कुछ भी नहीं बदला गया है। विपरीत स्थिति में, हम ऋण चिह्न प्रस्तुत करते हैं क्योंकि हमें दो ऑपरेटरों का क्रम बदलना होता है: | ||
:<math> : \hat{f} \, \hat{f}^\dagger : \,= -\hat{f}^\dagger \, \hat{f} </math> | :<math> : \hat{f} \, \hat{f}^\dagger : \,= -\hat{f}^\dagger \, \hat{f} </math> | ||
| Line 165: | Line 159: | ||
यह समीकरण, जो उपरोक्त बोसोनिक मामले के समान रूप में है, का उपयोग विक के प्रमेय में प्रयुक्त संकुचन को परिभाषित करने में किया जाता है। | यह समीकरण, जो उपरोक्त बोसोनिक मामले के समान रूप में है, का उपयोग विक के प्रमेय में प्रयुक्त संकुचन को परिभाषित करने में किया जाता है। | ||
2. किसी भी अधिक जटिल मामले का सामान्य क्रम शून्य देता है क्योंकि कम से कम | 2. किसी भी अधिक जटिल मामले का सामान्य क्रम शून्य देता है क्योंकि कम से कम सृजन या विनाश ऑपरेटर दो बार दिखाई देगा। उदाहरण के लिए: | ||
:<math> : \hat{f}\,\hat{f}^\dagger \, \hat{f} \hat{f}^\dagger : \,= -\hat{f}^\dagger \,\hat{f}^\dagger \,\hat{f}\,\hat{f} = 0 </math> | :<math> : \hat{f}\,\hat{f}^\dagger \, \hat{f} \hat{f}^\dagger : \,= -\hat{f}^\dagger \,\hat{f}^\dagger \,\hat{f}\,\hat{f} = 0 </math> | ||
===एकाधिक फर्मियन=== | ===एकाधिक फर्मियन=== | ||
के लिए <math>N</math> वहाँ विभिन्न फर्मियन हैं <math>2 N</math> ऑपरेटर: | के लिए <math>N</math> वहाँ विभिन्न फर्मियन हैं <math>2 N</math> ऑपरेटर: | ||
| Line 193: | Line 185: | ||
:<math> : \hat{f}_2 \, \hat{f}_1^\dagger : \,= -\hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_2 </math> | :<math> : \hat{f}_2 \, \hat{f}_1^\dagger : \,= -\hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_2 </math> | ||
यहां हम | यहां हम ऋण चिह्न प्रस्तुत करते हैं क्योंकि हमने दो ऑपरेटरों के क्रम को आपस में बदल दिया है। | ||
:<math> : \hat{f}_2 \, \hat{f}_1^\dagger \, \hat{f}^\dagger_2 : \,= \hat{f}_1^\dagger \, \hat{f}_2^\dagger \,\hat{f}_2 = -\hat{f}_2^\dagger \, \hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_2 </math> | :<math> : \hat{f}_2 \, \hat{f}_1^\dagger \, \hat{f}^\dagger_2 : \,= \hat{f}_1^\dagger \, \hat{f}_2^\dagger \,\hat{f}_2 = -\hat{f}_2^\dagger \, \hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_2 </math> | ||
| Line 205: | Line 197: | ||
:<math> : \hat{f}_2 \, \hat{f}_1^\dagger \, \hat{f}_3 : \,= -\hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_2 \, \hat{f}_3 = \hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_3 \, \hat{f}_2</math> | :<math> : \hat{f}_2 \, \hat{f}_1^\dagger \, \hat{f}_3 : \,= -\hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_2 \, \hat{f}_3 = \hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_3 \, \hat{f}_2</math> | ||
:<math> : \hat{f}_3 \hat{f}_2 \, \hat{f}_1^\dagger : \,= \hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_3 \, \hat{f}_2 = -\hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_2 \, \hat{f}_3 </math> | :<math> : \hat{f}_3 \hat{f}_2 \, \hat{f}_1^\dagger : \,= \hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_3 \, \hat{f}_2 = -\hat{f}_1^\dagger \,\hat{f}_2 \, \hat{f}_3 </math> | ||
==क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में उपयोग== | ==क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में उपयोग== | ||
| Line 213: | Line 203: | ||
(यहाँ <math>\hat{a}^\dagger</math> और <math>\hat{a}</math> सृजन और विनाश संचालक हैं (या तो बोसोनिक या फर्मियोनिक))। | (यहाँ <math>\hat{a}^\dagger</math> और <math>\hat{a}</math> सृजन और विनाश संचालक हैं (या तो बोसोनिक या फर्मियोनिक))। | ||
होने देना <math>\hat{O}</math> सृजन और विनाश संचालकों के | होने देना <math>\hat{O}</math> सृजन और विनाश संचालकों के गैर-रिक्त उत्पाद को निरूपित करें। हालाँकि इससे संतुष्टि हो सकती है | ||
:<math>\langle 0 | \hat{O} | 0 \rangle \neq 0,</math> | :<math>\langle 0 | \hat{O} | 0 \rangle \neq 0,</math> | ||
हमारे पास है | हमारे पास है | ||
| Line 224: | Line 214: | ||
:<math>:\phi(x)\chi(y):\,\,=\phi(x)\chi(y)-\langle 0|\phi(x)\chi(y)| 0\rangle</math> | :<math>:\phi(x)\chi(y):\,\,=\phi(x)\chi(y)-\langle 0|\phi(x)\chi(y)| 0\rangle</math> | ||
कहाँ <math>|0\rangle</math> पुनः निर्वात अवस्था है। जैसे-जैसे y, x के करीब पहुंचता है, दाहिनी ओर के दोनों शब्दों में से प्रत्येक आमतौर पर सीमा में बदल जाता है, लेकिन उनके बीच के अंतर की | कहाँ <math>|0\rangle</math> पुनः निर्वात अवस्था है। जैसे-जैसे y, x के करीब पहुंचता है, दाहिनी ओर के दोनों शब्दों में से प्रत्येक आमतौर पर सीमा में बदल जाता है, लेकिन उनके बीच के अंतर की अच्छी तरह से परिभाषित सीमा होती है। यह हमें :φ(x)χ(x) को परिभाषित करने की अनुमति देता है। | ||
===विक का प्रमेय=== | ===विक का प्रमेय=== | ||
| Line 239: | Line 229: | ||
&+\sum_\textrm{perm}\langle 0 |T\left[\phi(x_1)\phi(x_2)\right]|0\rangle\cdots \langle 0 |T\left[\phi(x_{n-1})\phi(x_n)\right]|0\rangle | &+\sum_\textrm{perm}\langle 0 |T\left[\phi(x_1)\phi(x_2)\right]|0\rangle\cdots \langle 0 |T\left[\phi(x_{n-1})\phi(x_n)\right]|0\rangle | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
जहां उन सभी अलग-अलग तरीकों का योग होता है जिनसे कोई फ़ील्ड जोड़ सकता है। के लिए परिणाम <math>n</math> अजीब | जहां उन सभी अलग-अलग तरीकों का योग होता है जिनसे कोई फ़ील्ड जोड़ सकता है। के लिए परिणाम <math>n</math> अजीब जैसा दिखता है | ||
अंतिम पंक्ति को छोड़कर जो पढ़ता है | अंतिम पंक्ति को छोड़कर जो पढ़ता है | ||
| Line 245: | Line 235: | ||
\sum_\text{perm}\langle 0 |T\left[\phi(x_1)\phi(x_2)\right]|0\rangle\cdots\langle 0 | T\left[\phi(x_{n-2})\phi(x_{n-1})\right]|0\rangle\phi(x_n). | \sum_\text{perm}\langle 0 |T\left[\phi(x_1)\phi(x_2)\right]|0\rangle\cdots\langle 0 | T\left[\phi(x_{n-2})\phi(x_{n-1})\right]|0\rangle\phi(x_n). | ||
</math> | </math> | ||
यह प्रमेय ऑपरेटरों के समय-ऑर्डर किए गए उत्पादों के वैक्यूम अपेक्षा मूल्यों की गणना के लिए | यह प्रमेय ऑपरेटरों के समय-ऑर्डर किए गए उत्पादों के वैक्यूम अपेक्षा मूल्यों की गणना के लिए सरल विधि प्रदान करता है और सामान्य ऑर्डरिंग की शुरुआत के पीछे प्रेरणा थी। | ||
==वैकल्पिक परिभाषाएँ== | ==वैकल्पिक परिभाषाएँ== | ||
| Line 251: | Line 241: | ||
सामान्य क्रम की सबसे सामान्य परिभाषा में सभी क्वांटम फ़ील्ड को दो भागों में विभाजित करना शामिल है (उदाहरण के लिए इवांस और स्टीयर 1996 देखें) | सामान्य क्रम की सबसे सामान्य परिभाषा में सभी क्वांटम फ़ील्ड को दो भागों में विभाजित करना शामिल है (उदाहरण के लिए इवांस और स्टीयर 1996 देखें) | ||
<math>\phi_i(x)=\phi^+_i(x)+\phi^-_i(x)</math>. | <math>\phi_i(x)=\phi^+_i(x)+\phi^-_i(x)</math>. | ||
फ़ील्ड के उत्पाद में, फ़ील्ड को दो भागों में विभाजित किया जाता है और <math>\phi^+(x)</math> भागों को इस तरह से स्थानांतरित किया जाता है कि वे हमेशा सभी के बाईं ओर रहें <math>\phi^-(x)</math> भागों. लेख के शेष भाग में विचारित सामान्य मामले में, <math>\phi^+(x)</math> इसमें केवल निर्माण ऑपरेटर शामिल हैं, जबकि <math>\phi^-(x)</math> इसमें केवल विनाश संचालक शामिल हैं। चूँकि यह | फ़ील्ड के उत्पाद में, फ़ील्ड को दो भागों में विभाजित किया जाता है और <math>\phi^+(x)</math> भागों को इस तरह से स्थानांतरित किया जाता है कि वे हमेशा सभी के बाईं ओर रहें <math>\phi^-(x)</math> भागों. लेख के शेष भाग में विचारित सामान्य मामले में, <math>\phi^+(x)</math> इसमें केवल निर्माण ऑपरेटर शामिल हैं, जबकि <math>\phi^-(x)</math> इसमें केवल विनाश संचालक शामिल हैं। चूँकि यह गणितीय पहचान है, कोई भी व्यक्ति किसी भी तरह से फ़ील्ड को विभाजित कर सकता है। हालाँकि, इसे उपयोगी प्रक्रिया बनाने के लिए यह मांग की जाती है कि फ़ील्ड के किसी भी संयोजन के सामान्य ऑर्डर किए गए उत्पाद का अपेक्षित मूल्य शून्य हो | ||
:<math>\langle :\phi_1(x_1)\phi_2(x_2)\ldots\phi_n(x_n):\rangle=0</math> | :<math>\langle :\phi_1(x_1)\phi_2(x_2)\ldots\phi_n(x_n):\rangle=0</math> | ||
व्यावहारिक गणना के लिए यह भी महत्वपूर्ण है कि सभी कम्यूटेटर (फ़र्मोनिक क्षेत्रों के लिए एंटी-कम्यूटेटर) <math>\phi^+_i</math> और <math>\phi^-_j</math> सभी सी-नंबर हैं। इन दो गुणों का मतलब है कि हम विक के प्रमेय को सामान्य तरीके से लागू कर सकते हैं, फ़ील्ड के समय-क्रम वाले उत्पादों के अपेक्षित मूल्यों को सी-नंबर जोड़े, संकुचन के उत्पादों में बदल सकते हैं। इस सामान्यीकृत सेटिंग में, संकुचन को समय-ऑर्डर किए गए उत्पाद और फ़ील्ड की | व्यावहारिक गणना के लिए यह भी महत्वपूर्ण है कि सभी कम्यूटेटर (फ़र्मोनिक क्षेत्रों के लिए एंटी-कम्यूटेटर) <math>\phi^+_i</math> और <math>\phi^-_j</math> सभी सी-नंबर हैं। इन दो गुणों का मतलब है कि हम विक के प्रमेय को सामान्य तरीके से लागू कर सकते हैं, फ़ील्ड के समय-क्रम वाले उत्पादों के अपेक्षित मूल्यों को सी-नंबर जोड़े, संकुचन के उत्पादों में बदल सकते हैं। इस सामान्यीकृत सेटिंग में, संकुचन को समय-ऑर्डर किए गए उत्पाद और फ़ील्ड की जोड़ी के सामान्य ऑर्डर किए गए उत्पाद के बीच अंतर के रूप में परिभाषित किया गया है। | ||
सबसे सरल उदाहरण [[थर्मल क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] (इवांस और स्टीयर 1996) के संदर्भ में पाया जाता है। इस मामले में रुचि के अपेक्षित मूल्य सांख्यिकीय समूह हैं, सभी राज्यों पर भारित निशान <math>\exp (-\beta \hat{H})</math>. उदाहरण के लिए, एकल बोसोनिक क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर के लिए हमारे पास है कि संख्या ऑपरेटर का थर्मल अपेक्षा मूल्य केवल बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी | बोस-आइंस्टीन वितरण है | सबसे सरल उदाहरण [[थर्मल क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] (इवांस और स्टीयर 1996) के संदर्भ में पाया जाता है। इस मामले में रुचि के अपेक्षित मूल्य सांख्यिकीय समूह हैं, सभी राज्यों पर भारित निशान <math>\exp (-\beta \hat{H})</math>. उदाहरण के लिए, एकल बोसोनिक क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर के लिए हमारे पास है कि संख्या ऑपरेटर का थर्मल अपेक्षा मूल्य केवल बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी | बोस-आइंस्टीन वितरण है | ||
| Line 262: | Line 252: | ||
= \frac{1}{e^{\beta \omega}-1} | = \frac{1}{e^{\beta \omega}-1} | ||
</math> | </math> | ||
तो यहाँ नंबर ऑपरेटर है <math>\hat{b}^\dagger \hat{b}</math> लेख के शेष भाग में प्रयुक्त सामान्य अर्थ में सामान्य क्रम दिया गया है, फिर भी इसके तापीय अपेक्षा मान शून्य नहीं हैं। विक के प्रमेय को लागू करना और इस थर्मल संदर्भ में सामान्य सामान्य क्रम के साथ गणना करना संभव है लेकिन कम्प्यूटेशनल रूप से अव्यावहारिक है। समाधान | तो यहाँ नंबर ऑपरेटर है <math>\hat{b}^\dagger \hat{b}</math> लेख के शेष भाग में प्रयुक्त सामान्य अर्थ में सामान्य क्रम दिया गया है, फिर भी इसके तापीय अपेक्षा मान शून्य नहीं हैं। विक के प्रमेय को लागू करना और इस थर्मल संदर्भ में सामान्य सामान्य क्रम के साथ गणना करना संभव है लेकिन कम्प्यूटेशनल रूप से अव्यावहारिक है। समाधान अलग क्रम को परिभाषित करना है, जैसे कि <math>\phi^+_i</math> और <math>\phi^-_j</math> मूल विनाश और सृजन संचालकों के रैखिक संयोजन हैं। संयोजनों को यह सुनिश्चित करने के लिए चुना जाता है कि सामान्य ऑर्डर किए गए उत्पादों का थर्मल अपेक्षा मूल्य हमेशा शून्य होता है, इसलिए चुना गया विभाजन तापमान पर निर्भर करेगा। | ||
==संदर्भ== | ==संदर्भ== | ||
Revision as of 18:31, 6 December 2023
क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में क्वांटम क्षेत्रों का उत्पाद, या समकक्ष रूप से उनके निर्माण और विनाश ऑपरेटरों को आमतौर पर सामान्य ऑर्डर (जिसे विक ऑर्डर भी कहा जाता है) कहा जाता है, जब सभी निर्माण ऑपरेटर उत्पाद में सभी विनाश ऑपरेटरों के बाईं ओर होते हैं। किसी उत्पाद को सामान्य क्रम में रखने की प्रक्रिया को सामान्य ऑर्डरिंग (जिसे विक ऑर्डरिंग भी कहा जाता है) कहा जाता है। एंटीनॉर्मल ऑर्डर और एंटीनॉर्मल ऑर्डरिंग को समान रूप से परिभाषित किया गया है, जहां विनाश ऑपरेटरों को निर्माण ऑपरेटरों के बाईं ओर रखा गया है।
क्वांटम फ़ील्ड या निर्माण और विनाश ऑपरेटरों के उत्पाद के सामान्य क्रम को कई #वैकल्पिक परिभाषाओं में भी परिभाषित किया जा सकता है। कौन सी परिभाषा सबसे उपयुक्त है यह किसी दी गई गणना के लिए आवश्यक अपेक्षा मूल्यों पर निर्भर करती है। इस लेख का अधिकांश भाग सामान्य क्रम की सबसे सामान्य परिभाषा का उपयोग करता है जैसा कि ऊपर दिया गया है, जो सृजन और विनाश ऑपरेटरों की निर्वात स्थिति का उपयोग करके अपेक्षा मान लेते समय उपयुक्त है।
सामान्य क्रम की प्रक्रिया क्वांटम यांत्रिकी हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) के लिए विशेष रूप से महत्वपूर्ण है। शास्त्रीय यांत्रिकी हैमिल्टनियन की मात्रा निर्धारित करते समय ऑपरेटर ऑर्डर चुनते समय कुछ स्वतंत्रता होती है, और ये विकल्प शून्य-बिंदु ऊर्जा में अंतर पैदा करते हैं। इसीलिए इस प्रक्रिया का उपयोग क्वांटम क्षेत्र की अनंत वैक्यूम ऊर्जा को खत्म करने के लिए भी किया जा सकता है।
नोटेशन
अगर निर्माण और/या विनाश ऑपरेटरों (या समकक्ष, क्वांटम फ़ील्ड) के मनमाने उत्पाद को दर्शाता है, फिर सामान्य क्रमबद्ध रूप द्वारा निरूपित किया जाता है .
एक वैकल्पिक संकेतन है .
ध्यान दें कि सामान्य ऑर्डरिंग अवधारणा है जो केवल ऑपरेटरों के उत्पादों के लिए समझ में आती है। ऑपरेटरों के योग पर सामान्य ऑर्डर लागू करने का प्रयास उपयोगी नहीं है क्योंकि सामान्य ऑर्डर रैखिक ऑपरेशन नहीं है।
बोसोन
बोसॉन वे कण हैं जो बोस-आइंस्टीन के आँकड़ों को संतुष्ट करते हैं। अब हम बोसोनिक निर्माण और विनाश ऑपरेटर उत्पादों के सामान्य ऑर्डर की जांच करेंगे।
एकल बोसॉन
यदि हम केवल प्रकार के बोसॉन से शुरू करते हैं तो रुचि के दो ऑपरेटर हैं:
- : बोसॉन का निर्माण संचालक।
- : बोसॉन का विनाश संचालक।
ये कम्यूटेटर संबंध को संतुष्ट करते हैं