स्पिन निरूपण: Difference between revisions
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{{Short description|Particular projective representations of the orthogonal or special orthogonal groups}} | {{Short description|Particular projective representations of the orthogonal or special orthogonal groups}} | ||
गणित में, '''स्पिन | गणित में, '''स्पिन निरूपण''' आर्बिटरी [[आयाम]] और [[मीट्रिक हस्ताक्षर|हस्ताक्षर]] (अर्थात, अनिश्चित [[ऑर्थोगोनल समूह]] सहित) में ऑर्थोगोनल समूह या [[विशेष ऑर्थोगोनल समूह]] के विशेष प्रक्षेपी निरूपण हैं। अधिक स्पष्ट रूप से, वह [[स्पिन समूह]] के लाई समूह के दो समकक्ष निरूपण हैं, जो विशेष ऑर्थोगोनल समूहों के दोहरा आवरण समूह हैं। इस प्रकार इनका अध्ययन सामान्यतः [[वास्तविक संख्या]] या [[जटिल संख्या|सम्मिश्र संख्या]]ओं पर किया जाता है, किन्तु इन्हें अन्य क्षेत्रों (गणित) पर परिभाषित किया जा सकता है। | ||
स्पिन | स्पिन निरूपण के घटको को [[स्पिनर]] कहा जाता है। वह [[इलेक्ट्रॉन]] जैसे [[फरमिओन्स]] के भौतिकी विवरण में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। | ||
इस प्रकार स्पिन | इस प्रकार स्पिन निरूपण का निर्माण विभिन्न विधियों से किया जा सकता है, किन्तु सामान्यतः निर्माण में समूह के सदिश निरूपण में अधिकतम आइसोट्रोपिक उप-समष्टि का विकल्प सम्मिलित होता है (संभवतः केवल अप्रत्यक्ष रूप से)। इस प्रकार वास्तविक संख्याओं के अतिरिक्त, इसके लिए सामान्यतः सदिश निरूपण के सम्मिश्रता का उपयोग करने की आवश्यकता होती है। इस कारण से, पहले सम्मिश्र संख्याओं पर स्पिन निरूपण को परिभाषित करना और [[वास्तविक संरचना]]ओं को प्रस्तुत करके [[वास्तविक प्रतिनिधित्व|वास्तविक]] निरूपण प्राप्त करना सुविधाजनक है। | ||
इस प्रकार स्पिन | इस प्रकार स्पिन निरूपण के गुण, सूक्ष्म विधि से, ऑर्थोगोनल समूह के आयाम और हस्ताक्षर पर निर्भर करते हैं। विशेष रूप से, स्पिन निरूपण अधिकांशतः [[अपरिवर्तनीय (गणित)]] [[द्विरेखीय रूप]] को स्वीकार करते हैं, जिनका उपयोग स्पिन समूहों को [[शास्त्रीय झूठ समूह|क्लासिकल लाई समूह]] में एम्बेड करने के लिए किया जा सकता है। निम्न आयामों में, यह एम्बेडिंग [[विशेषण]] होते हैं और स्पिन समूहों और अधिक परिचित लाई समूहों के मध्य विशेष समरूपता निर्धारित करते हैं; यह इन आयामों में स्पिनरों के गुणों को स्पष्ट करता है। | ||
==सेट-अप== | ==सेट-अप== | ||
मान लीजिए कि {{math|''V''}} एक परिमित आयामी वास्तविक या सम्मिश्र सदिश समष्टि है जिसका गैर अपक्षयी द्विघात रूप {{math|''Q''}} है। इस प्रकार {{math|''Q''}} को संरक्षित करने वाले (वास्तविक या सम्मिश्र) रैखिक मानचित्र ओर्थोगोनल समूह {{math|O(''V'', ''Q'')}} बनाते हैं। इस प्रकार समूह के पहचान घटक को विशेष ऑर्थोगोनल समूह {{math|SO(''V'', ''Q'')}} कहा जाता है। (अनिश्चित द्विघात रूप के साथ {{math|''V''}} वास्तविक के लिए, यह शब्दावली मानक नहीं है: विशेष ऑर्थोगोनल समूह को सामान्यतः इस स्थिति में दो घटकों के साथ एक उपसमूह के रूप में परिभाषित किया जाता है।) समूह समरूपता तक, {{math|SO(''V'', ''Q'')}} में एक अद्वितीय जुड़ा हुआ है स्पिन समूह {{math|Spin(''V'', ''Q'')}} को दोहरा आवरण करें। इस प्रकार एक समूह समरूपता {{math|''h'': Spin(''V'', ''Q'') → SO(''V'', ''Q'')}} है | मान लीजिए कि {{math|''V''}} एक परिमित आयामी वास्तविक या सम्मिश्र सदिश समष्टि है जिसका गैर अपक्षयी द्विघात रूप {{math|''Q''}} है। इस प्रकार {{math|''Q''}} को संरक्षित करने वाले (वास्तविक या सम्मिश्र) रैखिक मानचित्र ओर्थोगोनल समूह {{math|O(''V'', ''Q'')}} बनाते हैं। इस प्रकार समूह के पहचान घटक को विशेष ऑर्थोगोनल समूह {{math|SO(''V'', ''Q'')}} कहा जाता है। (अनिश्चित द्विघात रूप के साथ {{math|''V''}} वास्तविक के लिए, यह शब्दावली मानक नहीं है: विशेष ऑर्थोगोनल समूह को सामान्यतः इस स्थिति में दो घटकों के साथ एक उपसमूह के रूप में परिभाषित किया जाता है।) समूह समरूपता तक, {{math|SO(''V'', ''Q'')}} में एक अद्वितीय जुड़ा हुआ है स्पिन समूह {{math|Spin(''V'', ''Q'')}} को दोहरा आवरण करें। इस प्रकार एक समूह समरूपता {{math|''h'': Spin(''V'', ''Q'') → SO(''V'', ''Q'')}} है जिसके कर्नेल में दो घटक {{math|<nowiki>{1, −1}</nowiki>}} दर्शाए गए हैं, जहां {{math|1}} पहचान घटक है। इस प्रकार, {{math|Spin(''V'', ''Q'')}} के समूह घटक {{math|''g''}} और {{math|''−g''}}, {{math|SO(''V'', ''Q'')}} की समरूपता के पश्चात् समतुल्य हैं; अर्थात, {{math|Spin(''V'', ''Q'')}} में किसी भी {{math|''g''}} के लिए {{math|1=''h''(''g'') = ''h''(''−g'')}} उपयोग किया जाता है। | ||
इस प्रकार समूह {{math|O(''V'', ''Q''), SO(''V'', ''Q'')}} और {{math|Spin(''V'', ''Q'')}} सभी लाई समूह हैं और निश्चित {{math|(''V'', ''Q'')}} के लिए उनके निकट समान लाई बीजगणित है, इसलिए {{math|'''so'''(''V'', ''Q'')}} यदि {{math|''V''}} वास्तविक है तो {{math|''V''}} इसकी सम्मिश्रता {{math|''V''<sub>'''C'''</sub> {{=}} ''V'' ⊗<sub>'''R'''</sub> '''C'''}} का एक वास्तविक सदिश उपसमष्टि है और द्विघात रूप {{math|''Q''}} स्वाभाविक रूप से {{math|''V''<sub>'''C'''</sub>}} पर द्विघात रूप {{math|''Q''<sub>'''C'''</sub>}} तक विस्तारित होता है। यह {{math|SO(''V'', ''Q'')}} को {{math|SO(''V''<sub>'''C'''</sub>, ''Q''<sub>'''C'''</sub>)}} के उपसमूह के रूप में m्बेड करता है और इसलिए हम {{math|Spin(''V'', ''Q'')}} को {{math|Spin(''V''<sub>'''C'''</sub>, ''Q''<sub>'''C'''</sub>)}} के उपसमूह के रूप में अनुभव कर सकते हैं। इसके अतिरिक्त {{math|'''so'''(''V''<sub>'''C'''</sub>, ''Q''<sub>'''C'''</sub>)}} {{math|'''so'''(''V'', ''Q'')}} का सम्मिश्रता है। | इस प्रकार समूह {{math|O(''V'', ''Q''), SO(''V'', ''Q'')}} और {{math|Spin(''V'', ''Q'')}} सभी लाई समूह हैं और निश्चित {{math|(''V'', ''Q'')}} के लिए उनके निकट समान लाई बीजगणित है, इसलिए {{math|'''so'''(''V'', ''Q'')}} यदि {{math|''V''}} वास्तविक है तो {{math|''V''}} इसकी सम्मिश्रता {{math|''V''<sub>'''C'''</sub> {{=}} ''V'' ⊗<sub>'''R'''</sub> '''C'''}} का एक वास्तविक सदिश उपसमष्टि है और द्विघात रूप {{math|''Q''}} स्वाभाविक रूप से {{math|''V''<sub>'''C'''</sub>}} पर द्विघात रूप {{math|''Q''<sub>'''C'''</sub>}} तक विस्तारित होता है। यह {{math|SO(''V'', ''Q'')}} को {{math|SO(''V''<sub>'''C'''</sub>, ''Q''<sub>'''C'''</sub>)}} के उपसमूह के रूप में m्बेड करता है और इसलिए हम {{math|Spin(''V'', ''Q'')}} को {{math|Spin(''V''<sub>'''C'''</sub>, ''Q''<sub>'''C'''</sub>)}} के उपसमूह के रूप में अनुभव कर सकते हैं। इसके अतिरिक्त {{math|'''so'''(''V''<sub>'''C'''</sub>, ''Q''<sub>'''C'''</sub>)}} {{math|'''so'''(''V'', ''Q'')}} का सम्मिश्रता है। | ||
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इस प्रकार सम्मिश्र स्थिति में द्विघात रूपों को {{math|''V''}} के आयाम {{math|''n''}} द्वारा समरूपता तक विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है। सामान्यतः, हम {{math|''V'' {{=}} '''C'''<sup>''n''</sup>}} मान सकते हैं और | इस प्रकार सम्मिश्र स्थिति में द्विघात रूपों को {{math|''V''}} के आयाम {{math|''n''}} द्वारा समरूपता तक विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है। सामान्यतः, हम {{math|''V'' {{=}} '''C'''<sup>''n''</sup>}} मान सकते हैं और | ||
:<math>Q(z_1,\ldots, z_n) = z_1^2+ z_2^2+\cdots+z_n^2.</math> | :<math>Q(z_1,\ldots, z_n) = z_1^2+ z_2^2+\cdots+z_n^2.</math> | ||
इस प्रकार संबंधित लाई समूहों {{math|O(''n'', '''C'''), SO(''n'', '''C'''), Spin(''n'', '''C''')}} | इस प्रकार संबंधित लाई समूहों {{math|O(''n'', '''C'''), SO(''n'', '''C'''), Spin(''n'', '''C''')}} और उनके लाई बीजगणित {{math|'''so'''(''n'', '''C''')}} के रूप में दर्शाया गया है . | ||
इस प्रकार वास्तविक स्थिति में द्विघात रूपों को गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों {{math|(''p'', ''q'')}} की एक जोड़ी द्वारा समरूपता तक निर्धारित किया जाता है, जहां {{math|''n'' {{=}} ''p'' + ''q''}} {{math|''V''}} का आयाम है और {{math|''p'' − ''q''}} हस्ताक्षर है। सामान्यतः, हम {{math|''V'' {{=}} '''R'''<sup>''n''</sup>}} और मान सकते हैं | इस प्रकार वास्तविक स्थिति में द्विघात रूपों को गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों {{math|(''p'', ''q'')}} की एक जोड़ी द्वारा समरूपता तक निर्धारित किया जाता है, जहां {{math|''n'' {{=}} ''p'' + ''q''}} {{math|''V''}} का आयाम है और {{math|''p'' − ''q''}} हस्ताक्षर है। सामान्यतः, हम {{math|''V'' {{=}} '''R'''<sup>''n''</sup>}} और मान सकते हैं | ||
:<math>Q(x_1,\ldots, x_n) = x_1^2+ x_2^2+\cdots+x_p^2-(x_{p+1}^2+\cdots +x_{p+q}^2).</math> | :<math>Q(x_1,\ldots, x_n) = x_1^2+ x_2^2+\cdots+x_p^2-(x_{p+1}^2+\cdots +x_{p+q}^2).</math> | ||
इस प्रकार संगत लाई समूह और लाई बीजगणित को | इस प्रकार संगत लाई समूह और लाई बीजगणित को {{math|O(''p'', ''q''), SO(''p'', ''q''), Spin(''p'', ''q'')}} और {{math|'''so'''(''p'', ''q'')}} से दर्शाया जाता है। हम हस्ताक्षर को स्पष्ट करने के लिए {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} के समष्टि पर {{math|'''R'''<sup>''p'',''q''</sup>}} लिखते हैं। | ||
इस प्रकार स्पिन निरूपण एक अर्थ में | इस प्रकार स्पिन निरूपण एक अर्थ में {{math|Spin(''n'', '''C''')}} और {{math|Spin(''p'', ''q'')}} का सबसे सरल निरूपण है जो {{math|SO(''n'', '''C''')}} और {{math|SO(''p'', ''q'')}} के निरूपण से नहीं आता है। एक स्पिन निरूपण, इसलिए, एक वास्तविक या सम्मिश्र सदिश समष्टि {{math|''S''}} है, जिसमें {{math|Spin(''n'', '''C''')}} या {{math|Spin(''p'', ''q'')}} से सामान्य रैखिक समूह {{math|GL(''S'')}} तक एक समूह समरूपता {{math|''ρ''}} सम्मिलित है, जैसे कि घटक {{math|−1}} नहीं है | ||
यदि {{math|''S''}} एक ऐसा निरूपण है तो लाई समूहों और लाई बीजगणित के मध्य संबंध के अनुसार, यह एक लाई बीजगणित निरूपण को प्रेरित करता है अर्थात {{math|'''so'''(''n'', ''C'')}} या {{math|'''so'''(''p'', ''q'')}} से लाई बीजगणित {{math|'''gl'''(''S'')}} तक एक लाई बीजगणित समरूपता कम्यूटेटर ब्रैकेट के साथ {{math|''S''}} के एंडोमोर्फिज्म का उपयोग किया जाता है। | यदि {{math|''S''}} एक ऐसा निरूपण है तो लाई समूहों और लाई बीजगणित के मध्य संबंध के अनुसार, यह एक लाई बीजगणित निरूपण को प्रेरित करता है अर्थात {{math|'''so'''(''n'', ''C'')}} या {{math|'''so'''(''p'', ''q'')}} से लाई बीजगणित {{math|'''gl'''(''S'')}} तक एक लाई बीजगणित समरूपता कम्यूटेटर ब्रैकेट के साथ {{math|''S''}} के एंडोमोर्फिज्म का उपयोग किया जाता है। | ||
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इस प्रकार स्पिन निरूपण का विश्लेषण निम्नलिखित रणनीति के अनुसार किया जा सकता है यदि {{math|''S''}} {{math|Spin(''p'', ''q'')}} का एक वास्तविक स्पिन निरूपण है तो इसका सम्मिश्रता {{math|Spin(''p'', ''q'')}} का एक सम्मिश्र स्पिन निरूपण है जो {{math|'''so'''(''p'', ''q'')}} के निरूपण के रूप में है। इसलिए {{math|'''so'''(''n'', '''C''')}} के सम्मिश्र निरूपण तक विस्तारित है। इसलिए विपरीत दिशा में आगे बढ़ते हुए हम पहले {{math|Spin(''n'', '''C''')}} और {{math|'''so'''(''n'', '''C''')}} के सम्मिश्र स्पिन निरूपण का निर्माण करते हैं, फिर उन्हें {{math|'''so'''(''p'', ''q'')}} और {{math|Spin(''p'', ''q'')}} के सम्मिश्र स्पिन निरूपण तक सीमित करते हैं, फिर अंत में संभावित कमी का विश्लेषण करते हैं। | इस प्रकार स्पिन निरूपण का विश्लेषण निम्नलिखित रणनीति के अनुसार किया जा सकता है यदि {{math|''S''}} {{math|Spin(''p'', ''q'')}} का एक वास्तविक स्पिन निरूपण है तो इसका सम्मिश्रता {{math|Spin(''p'', ''q'')}} का एक सम्मिश्र स्पिन निरूपण है जो {{math|'''so'''(''p'', ''q'')}} के निरूपण के रूप में है। इसलिए {{math|'''so'''(''n'', '''C''')}} के सम्मिश्र निरूपण तक विस्तारित है। इसलिए विपरीत दिशा में आगे बढ़ते हुए हम पहले {{math|Spin(''n'', '''C''')}} और {{math|'''so'''(''n'', '''C''')}} के सम्मिश्र स्पिन निरूपण का निर्माण करते हैं, फिर उन्हें {{math|'''so'''(''p'', ''q'')}} और {{math|Spin(''p'', ''q'')}} के सम्मिश्र स्पिन निरूपण तक सीमित करते हैं, फिर अंत में संभावित कमी का विश्लेषण करते हैं। | ||
==सम्मिश्र स्पिन | ==सम्मिश्र स्पिन निरूपण== | ||
मान लीजिए कि मानक द्विघात रूप {{math|''Q''}} के साथ {{math|1=''V'' = '''C'''<sup>''n''</sup>}} है | मान लीजिए कि मानक द्विघात रूप {{math|''Q''}} के साथ {{math|1=''V'' = '''C'''<sup>''n''</sup>}} है | ||
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===आइसोट्रोपिक उपसमष्टि और मूल प्रक्रिया सिस्टम=== | ===आइसोट्रोपिक उपसमष्टि और मूल प्रक्रिया सिस्टम=== | ||
इस प्रकार {{math|'''so'''(''n'', '''C''')}} के स्पिन निरूपण का एक मानक निर्माण {{math|''W'' ∩ ''W''<sup>∗</sup> {{=}} 0}} के साथ {{math|''V''}} के अधिकतम पूर्णतया आइसोट्रोपिक उप-समष्टि ({{math|''Q''}} के संबंध में) की एक जोड़ी {{math|(''W'', ''W''<sup>∗</sup>)}} की पसंद से प्रारंभ होता है। आइए हम ऐसा चयन करे. यदि {{math|''n'' {{=}} 2''m''}} या {{math|''n'' {{=}} 2''m'' + 1}}, तो {{math|''W''}} और {{math|''W''<sup>∗</sup>}} दोनों का आयाम {{math|''m''}} है। यदि {{math|''n'' {{=}} 2''m''}}, तो {{math|''V'' {{=}} ''W'' ⊕ ''W''<sup>∗</sup>}}, जबकि यदि {{math|''n'' {{=}} 2''m'' + 1}}, तो {{math|''V'' {{=}} ''W'' ⊕ ''U'' ⊕ ''W''<sup>∗</sup>}}, जहां {{math|''U''}}, {{math|''W'' ⊕ ''W''<sup>∗</sup>}} का 1-आयामी ऑर्थोगोनल पूरक है। इस प्रकार {{math|''Q''}} से जुड़ा द्विरेखीय रूप {{math|{{langle}}.,.{{rangle}}}} | इस प्रकार {{math|'''so'''(''n'', '''C''')}} के स्पिन निरूपण का एक मानक निर्माण {{math|''W'' ∩ ''W''<sup>∗</sup> {{=}} 0}} के साथ {{math|''V''}} के अधिकतम पूर्णतया आइसोट्रोपिक उप-समष्टि ({{math|''Q''}} के संबंध में) की एक जोड़ी {{math|(''W'', ''W''<sup>∗</sup>)}} की पसंद से प्रारंभ होता है। आइए हम ऐसा चयन करे. यदि {{math|''n'' {{=}} 2''m''}} या {{math|''n'' {{=}} 2''m'' + 1}}, तो {{math|''W''}} और {{math|''W''<sup>∗</sup>}} दोनों का आयाम {{math|''m''}} है। यदि {{math|''n'' {{=}} 2''m''}}, तो {{math|''V'' {{=}} ''W'' ⊕ ''W''<sup>∗</sup>}}, जबकि यदि {{math|''n'' {{=}} 2''m'' + 1}}, तो {{math|''V'' {{=}} ''W'' ⊕ ''U'' ⊕ ''W''<sup>∗</sup>}}, जहां {{math|''U''}}, {{math|''W'' ⊕ ''W''<sup>∗</sup>}} का 1-आयामी ऑर्थोगोनल पूरक है। इस प्रकार {{math|''Q''}} से जुड़ा द्विरेखीय रूप {{math|{{langle}}.,.{{rangle}}}} {{math|''W''}} और {{math|''W''<sup>∗</sup>}} के मध्य एक युग्मन उत्पन्न करता है, जो अविघटित होना चाहिए क्योंकि {{math|''W''}} और {{math|''W''<sup>∗</sup>}} पूरी तरह से आइसोट्रोपिक उपसमष्टि हैं और {{math|''Q''}} अविघटित है। इसलिए {{math|''W''}} और {{math|''W''<sup>∗</sup>}} दोहरे सदिश समष्टि हैं। | ||
अधिक स्पष्ट रूप से मान लीजिए कि {{math|''a''<sub>1</sub>, … ''a''<sub>''m''</sub>}}, {{math|''W''}} के लिए एक आधार है। फिर {{math|''W''<sup>∗</sup>}} का एक अद्वितीय आधार {{math|''α''<sub>1</sub>, ... ''α''<sub>''m''</sub>}} है, जैसे कि | अधिक स्पष्ट रूप से मान लीजिए कि {{math|''a''<sub>1</sub>, … ''a''<sub>''m''</sub>}}, {{math|''W''}} के लिए एक आधार है। फिर {{math|''W''<sup>∗</sup>}} का एक अद्वितीय आधार {{math|''α''<sub>1</sub>, ... ''α''<sub>''m''</sub>}} है, जैसे कि | ||
| Line 42: | Line 42: | ||
यदि {{math|''A''}} एक {{math|''m'' × ''m''}} आव्यूह है तो {{math|''A''}} इस आधार के संबंध में {{math|''W''}} के एक एंडोमोर्फिज्म को प्रेरित करता है और {{math|''A''<sup>T</sup>}} का समष्टिांतरण {{math|''W''<sup>∗</sup>}} के परिवर्तन को प्रेरित करता है | यदि {{math|''A''}} एक {{math|''m'' × ''m''}} आव्यूह है तो {{math|''A''}} इस आधार के संबंध में {{math|''W''}} के एक एंडोमोर्फिज्म को प्रेरित करता है और {{math|''A''<sup>T</sup>}} का समष्टिांतरण {{math|''W''<sup>∗</sup>}} के परिवर्तन को प्रेरित करता है | ||
:<math> \langle Aw, w^* \rangle = \langle w,A^\mathrm{T} w^*\rangle</math> | :<math> \langle Aw, w^* \rangle = \langle w,A^\mathrm{T} w^*\rangle</math> | ||
इस प्रकार {{math|''W''}} में सभी {{math|''w''}} और | इस प्रकार {{math|''W''}} में सभी {{math|''w''}} और {{math|''w''<sup>∗</sup>}} में {{math|''W''<sup>∗</sup>}} के लिए। यह इस प्रकार है कि {{math|''V''}} का एंडोमोर्फिज्म {{math|''ρ''<sub>''A''</sub>}}, {{math|''W''}} पर {{math|''A''}} के बराबर, W∗ पर {{math|−''A''<sup>T</sup>}} और {{math|''U''}} पर शून्य (यदि {{math|''n''}} विषम है) विषम है | ||
:<math> \langle \rho_A u, v \rangle = -\langle u,\rho_A v\rangle</math> | :<math> \langle \rho_A u, v \rangle = -\langle u,\rho_A v\rangle</math> | ||
सभी {{math|''u'', ''v''}} में {{math|''V''}} के लिए, और इसलिए (मौलिक समूह देखें) {{math|'''so'''(''n'', '''C''') ⊂ End(''V'')}} का एक घटक है | सभी {{math|''u'', ''v''}} में {{math|''V''}} के लिए, और इसलिए (मौलिक समूह देखें) {{math|'''so'''(''n'', '''C''') ⊂ End(''V'')}} का एक घटक है | ||
इस निर्माण में विकर्ण आव्यूहों का उपयोग करके {{math|'''so'''(''n'', '''C''')}} के कार्टन उपबीजगणित {{math|'''h'''}} को परिभाषित किया जाता है, {{math|'''so'''(''n'', '''C''')}} की रैंक {{math|''m''}} है और विकर्ण {{math|''n'' × ''n''}} आव्यूह एक {{math|''m''}}-आयामी एबेलियन उपबीजगणित निर्धारित करते हैं। | इस निर्माण में विकर्ण आव्यूहों का उपयोग करके {{math|'''so'''(''n'', '''C''')}} के कार्टन उपबीजगणित {{math|'''h'''}} को परिभाषित किया जाता है, {{math|'''so'''(''n'', '''C''')}} की रैंक {{math|''m''}} है और विकर्ण {{math|''n'' × ''n''}} आव्यूह एक {{math|''m''}}-आयामी एबेलियन उपबीजगणित निर्धारित करते हैं। | ||
मान लीजिए {{math|''ε''<sub>1</sub>, … ''ε''<sub>''m''</sub>}} {{math|'''h'''<sup>∗</sup>}} का आधार है, जैसे कि, एक विकर्ण मैट्रिक्स {{math|''A''}} के लिए {{math|''A'', ''ε''<sub>''k''</sub>(''ρ''<sub>''A''</sub>)}} की {{math|''k''}}वीं विकर्ण प्रविष्टि है। स्पष्ट रूप से यह {{math|'''h'''<sup>∗</sup>}} के लिए एक आधार है क्योंकि द्विरेखीय रूप {{math|'''so'''(''n'', '''C''')}} की पहचान करता है स्पष्ट रूप से <math>\wedge^2 V</math> के साथ है | मान लीजिए {{math|''ε''<sub>1</sub>, … ''ε''<sub>''m''</sub>}} {{math|'''h'''<sup>∗</sup>}} का आधार है, जैसे कि, एक विकर्ण मैट्रिक्स {{math|''A''}} के लिए {{math|''A'', ''ε''<sub>''k''</sub>(''ρ''<sub>''A''</sub>)}} की {{math|''k''}}वीं विकर्ण प्रविष्टि है। स्पष्ट रूप से यह {{math|'''h'''<sup>∗</sup>}} के लिए एक आधार है क्योंकि द्विरेखीय रूप {{math|'''so'''(''n'', '''C''')}} की पहचान करता है स्पष्ट रूप से <math>\wedge^2 V</math> के साथ है | ||
| Line 59: | Line 58: | ||
:<math> a_i\wedge u,</math> मूल प्रक्रिया के साथ <math> \varepsilon_i </math> | :<math> a_i\wedge u,</math> मूल प्रक्रिया के साथ <math> \varepsilon_i </math> | ||
:<math> \alpha_i\wedge u,</math> मूल प्रक्रिया के साथ <math> -\varepsilon_i.</math> | :<math> \alpha_i\wedge u,</math> मूल प्रक्रिया के साथ <math> -\varepsilon_i.</math> | ||
इस प्रकार, आधार के संबंध में {{math|''ε''<sub>1</sub>, … ''ε''<sub>''m''</sub>}}, मूल प्रक्रियाें सदिश {{math|'''h'''<sup>∗</sup>}} हैं | इस प्रकार, आधार के संबंध में {{math|''ε''<sub>1</sub>, … ''ε''<sub>''m''</sub>}}, मूल प्रक्रियाें सदिश {{math|'''h'''<sup>∗</sup>}} हैं जो कि क्रमपरिवर्तन हैं | ||
:<math>(\pm 1,\pm 1, 0, 0, \dots, 0)</math> | :<math>(\pm 1,\pm 1, 0, 0, \dots, 0)</math> | ||
के क्रमपरिवर्तन के साथ | के क्रमपरिवर्तन के साथ | ||
| Line 72: | Line 71: | ||
धनात्मक मूल प्रक्रियाें सरल मूल प्रक्रियाों के गैर-ऋणात्मक पूर्णांक रैखिक संयोजन हैं। | धनात्मक मूल प्रक्रियाें सरल मूल प्रक्रियाों के गैर-ऋणात्मक पूर्णांक रैखिक संयोजन हैं। | ||
===स्पिन | ===स्पिन निरूपण और उनका भार=== | ||
इस प्रकार {{math|'''so'''(''n'', '''C''')}} के स्पिन निरूपण का एक निर्माण बाहरी बीजगणित का उपयोग करता है | इस प्रकार {{math|'''so'''(''n'', '''C''')}} के स्पिन निरूपण का एक निर्माण बाहरी बीजगणित का उपयोग करता है | ||
| Line 78: | Line 77: | ||
इस प्रकार {{math|''S''}} पर {{math|''V''}} की एक क्रिया इस प्रकार है कि {{math|''W'' ⊕ ''W''<sup>∗</sup>}} में किसी भी घटक {{math|1=''v'' = ''w'' + ''w''<sup>∗</sup>}} और {{math|''S''}} में किसी भी {{math|''ψ''}} के लिए क्रिया इस प्रकार दी गई है: | इस प्रकार {{math|''S''}} पर {{math|''V''}} की एक क्रिया इस प्रकार है कि {{math|''W'' ⊕ ''W''<sup>∗</sup>}} में किसी भी घटक {{math|1=''v'' = ''w'' + ''w''<sup>∗</sup>}} और {{math|''S''}} में किसी भी {{math|''ψ''}} के लिए क्रिया इस प्रकार दी गई है: | ||
:<math> v\cdot \psi = 2^{\frac{1}{2}}(w\wedge\psi+\iota(w^*)\psi), </math> | :<math> v\cdot \psi = 2^{\frac{1}{2}}(w\wedge\psi+\iota(w^*)\psi), </math> | ||
जहां दूसरा पद एक संकुचन (आंतरिक गुणन) है जिसे द्विरेखीय रूप का उपयोग करके परिभाषित किया गया है, जो {{math|''W''}} और {{math|''W''<sup>∗</sup>}} को जोड़ता है। यह क्रिया क्लिफोर्ड संबंधों {{math|1=''v''<sup>2</sup> = ''Q''(''v'')'''1'''}} का सम्मान करती है और इसलिए {{math|''V''}} के क्लिफोर्ड बीजगणित {{math|Cl<sub>''n''</sub>'''C'''}} से {{math|End(''S'')}} तक एक समरूपता उत्पन्न करती है। एक समान क्रिया को {{math|''S''′}} पर परिभाषित किया जा सकता है ताकि | जहां दूसरा पद एक संकुचन (आंतरिक गुणन) है जिसे द्विरेखीय रूप का उपयोग करके परिभाषित किया गया है, जो {{math|''W''}} और {{math|''W''<sup>∗</sup>}} को जोड़ता है। यह क्रिया क्लिफोर्ड संबंधों {{math|1=''v''<sup>2</sup> = ''Q''(''v'')'''1'''}} का सम्मान करती है और इसलिए {{math|''V''}} के क्लिफोर्ड बीजगणित {{math|Cl<sub>''n''</sub>'''C'''}} से {{math|End(''S'')}} तक एक समरूपता उत्पन्न करती है। एक समान क्रिया को {{math|''S''′}} पर परिभाषित किया जा सकता है ताकि {{math|''S''}} और {{math|''S''′}}' दोनों क्लिफोर्ड मॉड्यूल हों। | ||
ली बीजगणित {{math|'''so'''(''n'', '''C''')}} {{math|Spin(''n'') → SO(''n'')}} को आवरण करने से प्रेरित मैपिंग {{math|'''spin'''<sub>''n''</sub><sup>'''C'''</sup>}} के माध्यम से {{math|Cl<sub>''n''</sub>'''C'''}} में सम्मिश्र ली बीजगणित स्पिनसी के लिए आइसोमोर्फिक है।<ref>since if <math>\alpha: q\to (v\to q.v.q^{-1})</math> is the covering, then <math>d\alpha: q\to (v\to q.v-v.q)</math>, so <math>d\alpha(v.w)=2\varphi_{v, w}</math> and since <math>v.w+w.v</math> is a scalar, we get <math>d\alpha(1/4[v, w])=\varphi_{v, w}</math></ref> | ली बीजगणित {{math|'''so'''(''n'', '''C''')}} {{math|Spin(''n'') → SO(''n'')}} को आवरण करने से प्रेरित मैपिंग {{math|'''spin'''<sub>''n''</sub><sup>'''C'''</sup>}} के माध्यम से {{math|Cl<sub>''n''</sub>'''C'''}} में सम्मिश्र ली बीजगणित स्पिनसी के लिए आइसोमोर्फिक है।<ref>since if <math>\alpha: q\to (v\to q.v.q^{-1})</math> is the covering, then <math>d\alpha: q\to (v\to q.v-v.q)</math>, so <math>d\alpha(v.w)=2\varphi_{v, w}</math> and since <math>v.w+w.v</math> is a scalar, we get <math>d\alpha(1/4[v, w])=\varphi_{v, w}</math></ref> | ||
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और प्रत्येक भार समष्टि ( निरूपण सिद्धांत) एक-आयामी है। घटक {{math|''S''}} [[डिराक स्पिनर]] कहलाते हैं। | और प्रत्येक भार समष्टि ( निरूपण सिद्धांत) एक-आयामी है। घटक {{math|''S''}} [[डिराक स्पिनर]] कहलाते हैं। | ||
जब {{math|''n''}} सम है, तो {{math|''S''}} एक अप्रासंगिक निरूपण नहीं है इस प्रकार <math>S_+=\wedge^{\mathrm{even}} W</math> और <math>S_-=\wedge^{\mathrm{odd}} W</math> | जब {{math|''n''}} सम है, तो {{math|''S''}} एक अप्रासंगिक निरूपण नहीं है इस प्रकार <math>S_+=\wedge^{\mathrm{even}} W</math> और <math>S_-=\wedge^{\mathrm{odd}} W</math> अपरिवर्तनीय उप-समष्टि हैं। भार को सम संख्या में ऋण चिह्न वाले और विषम संख्या में ऋण चिह्न वाले में विभाजित किया जाता है। S+ और S− दोनों आयाम 2m−1 के अपरिवर्तनीय निरूपण हैं जिनके घटकों को वेइल स्पिनर कहा जाता है। उन्हें चिरल स्पिन निरूपण या अर्ध-स्पिन निरूपण के रूप में भी जाना जाता है। उपरोक्त धनात्मक मूल प्रणाली के संबंध में, S+ और S− का भार सबसे अधिक है | ||
:<math>\bigl(\tfrac12,\tfrac12, \ldots\tfrac12, \tfrac12\bigr)</math> और <math>\bigl(\tfrac12,\tfrac12, \ldots\tfrac12, -\tfrac12\bigr)</math> | :<math>\bigl(\tfrac12,\tfrac12, \ldots\tfrac12, \tfrac12\bigr)</math> और <math>\bigl(\tfrac12,\tfrac12, \ldots\tfrac12, -\tfrac12\bigr)</math> | ||
इस प्रकार क्रमशः क्लिफ़ोर्ड क्रिया Cl<sub>''n''</sub>'''C''' को End(''S'') के साथ पहचानती है और सम उपबीजगणित को ''S''<sub>+</sub> और ''S''<sub>−</sub> को संरक्षित करने वाले एंडोमोर्फिज्म के साथ पहचाना जाता है। इस स्थिति में अन्य क्लिफोर्ड मॉड्यूल S', S के समरूपी है। | इस प्रकार क्रमशः क्लिफ़ोर्ड क्रिया Cl<sub>''n''</sub>'''C''' को End(''S'') के साथ पहचानती है और सम उपबीजगणित को ''S''<sub>+</sub> और ''S''<sub>−</sub> को संरक्षित करने वाले एंडोमोर्फिज्म के साथ पहचाना जाता है। इस स्थिति में अन्य क्लिफोर्ड मॉड्यूल S', S के समरूपी है। | ||
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(दोनों पक्षों का आयाम 2<sup>2m</sup> है और दाईं ओर का प्रतिनिधित्व असमान है)। क्योंकि समरूपता एक इनवोलुशन τ द्वारा नियंत्रित होती है जो या तो संयुग्मन या प्रत्यावर्तन है, ∧<sup>''2j''</sup>''V'' घटक की समरूपता j के साथ वैकल्पिक होती है। प्राथमिक कॉम्बिनेटरिक्स देता है | (दोनों पक्षों का आयाम 2<sup>2m</sup> है और दाईं ओर का प्रतिनिधित्व असमान है)। क्योंकि समरूपता एक इनवोलुशन τ द्वारा नियंत्रित होती है जो या तो संयुग्मन या प्रत्यावर्तन है, ∧<sup>''2j''</sup>''V'' घटक की समरूपता j के साथ वैकल्पिक होती है। प्राथमिक कॉम्बिनेटरिक्स देता है | ||
:<math> \sum_{j=0}^m (-1)^j \dim \wedge^{2j} \Complex^{2m+1} = (-1)^{\frac12 m(m+1)} 2^m = (-1)^{\frac12 m(m+1)}(\dim \mathrm S^2S-\dim \wedge^2 S)</math> | :<math> \sum_{j=0}^m (-1)^j \dim \wedge^{2j} \Complex^{2m+1} = (-1)^{\frac12 m(m+1)} 2^m = (-1)^{\frac12 m(m+1)}(\dim \mathrm S^2S-\dim \wedge^2 S)</math> | ||
और चिह्न यह निर्धारित करता है कि कौन से प्रतिनिधित्व S<sup>2</sup>''S'' में होते हैं और कौन से | और चिह्न यह निर्धारित करता है कि कौन से प्रतिनिधित्व S<sup>2</sup>''S'' में होते हैं और कौन से ∧<sup>2</sup>''S'' में विशेष रूप से होते हैं <ref>This sign can also be determined from the observation that if ''φ'' is a highest weight vector for ''S'' then ''φ''⊗''φ'' is a highest weight vector for ∧<sup>''m''</sup>''V'' ≅ ∧<sup>''m''+1</sup>''V'', so this summand must occur in S<sup>2</sup>''S''.</ref> | ||
:<math> \beta(\phi,\psi)=(-1)^{\frac12 m(m+1)}\beta(\psi,\phi),</math> और | :<math> \beta(\phi,\psi)=(-1)^{\frac12 m(m+1)}\beta(\psi,\phi),</math> और | ||
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इस प्रकार v ∈ V के लिए (जो ∧<sup>2''m''</sup>''V'' के लिए समरूपी है) यह पुष्टि करता है कि τ m सम के लिए प्रत्यावर्तन है और m विषम के लिए संयुग्मन है। | इस प्रकार v ∈ V के लिए (जो ∧<sup>2''m''</sup>''V'' के लिए समरूपी है) यह पुष्टि करता है कि τ m सम के लिए प्रत्यावर्तन है और m विषम के लिए संयुग्मन है। | ||
यदि n = 2m सम है, तो विश्लेषण अधिक सम्मिलित है, लेकिन परिणाम अधिक परिष्कृत अपघटन S<sup>2</sup>S<sub>±</sub>, ∧<sup>2</sup>S<sub>±</sub> और S<sub>+</sub> ⊗ S<sub>−</sub> है | यदि n = 2m सम है, तो विश्लेषण अधिक सम्मिलित है, लेकिन परिणाम अधिक परिष्कृत अपघटन S<sup>2</sup>S<sub>±</sub>, ∧<sup>2</sup>S<sub>±</sub> और S<sub>+</sub> ⊗ S<sub>−</sub> है प्रत्येक को k-रूपों के प्रत्यक्ष योग के रूप में विघटित किया जा सकता है (जहां k = m के लिए स्वद्वैत और प्रतिस्वद्वैत m-रूपों में और अपघटन होता है)। | ||
इस प्रकार मुख्य परिणाम निम्न तालिका के अनुसार, n मॉड्यूलो 8 के आधार पर, S पर मौलिक लाई बीजगणित के उपबीजगणित के रूप में 'so'(n,'C') की प्राप्ति है: | इस प्रकार मुख्य परिणाम निम्न तालिका के अनुसार, n मॉड्यूलो 8 के आधार पर, S पर मौलिक लाई बीजगणित के उपबीजगणित के रूप में 'so'(n,'C') की प्राप्ति है: | ||
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==वास्तविक | ==वास्तविक निरूपण== | ||
इस प्रकार so(n,C) के सम्मिश्र स्पिन निरूपण क्रिया को वास्तविक उपबीजगणित तक सीमित करके so(p,q) का वास्तविक प्रतिनिधित्व S उत्पन्न करते हैं। चूंकि, अतिरिक्त "वास्तविकता" संरचनाएँ हैं जो वास्तविक लाई बीजगणित की कार्रवाई के अनुसार अपरिवर्तनीय हैं। यह तीन प्रकार में आते हैं. | इस प्रकार so(n,C) के सम्मिश्र स्पिन निरूपण क्रिया को वास्तविक उपबीजगणित तक सीमित करके so(p,q) का वास्तविक प्रतिनिधित्व S उत्पन्न करते हैं। चूंकि, अतिरिक्त "वास्तविकता" संरचनाएँ हैं जो वास्तविक लाई बीजगणित की कार्रवाई के अनुसार अपरिवर्तनीय हैं। यह तीन प्रकार में आते हैं. | ||
#एक अपरिवर्तनीय सम्मिश्र एंटीलीनियर मानचित्र r: S → S है जिसमें | #एक अपरिवर्तनीय सम्मिश्र एंटीलीनियर मानचित्र r: S → S है जिसमें ''r''<sup>2</sup> = id<sub>''S''</sub> है। आर का निश्चित बिंदु सेट तब ''S''<sub>'''R'''</sub> ⊗ '''C''' = ''S'' के साथ S का एक वास्तविक सदिश उप-स्थान ''S''<sub>'''R'''</sub> है। इसे वास्तविक संरचना कहा जाता है। | ||
#एक अपरिवर्तनीय सम्मिश्र एंटीलीनियर मानचित्र j: S → S है जिसमें ''j''<sup>2</sup> = −id<sub>''S''</sub> है। यह इस प्रकार है कि त्रिक i, j और ''k'':=''ij'' | #एक अपरिवर्तनीय सम्मिश्र एंटीलीनियर मानचित्र j: S → S है जिसमें ''j''<sup>2</sup> = −id<sub>''S''</sub> है। यह इस प्रकार है कि त्रिक i, j और ''k'':=''ij'' S को एक चतुर्धातुक सदिश समष्टि S<sub>'''H'''</sub> में बनाते हैं। इसे चतुर्धातुक संरचना कहा जाता है। | ||
#एक अपरिवर्तनीय सम्मिश्र एंटीलीनियर मानचित्र b: S → S<sup>∗</sup> है जो विपरीत है। यह S पर एक स्यूडोहर्मिटियन बिलिनियर रूप को परिभाषित करता है और इसे हर्मिटियन संरचना कहा जाता है। | #एक अपरिवर्तनीय सम्मिश्र एंटीलीनियर मानचित्र b: S → S<sup>∗</sup> है जो विपरीत है। यह S पर एक स्यूडोहर्मिटियन बिलिनियर रूप को परिभाषित करता है और इसे हर्मिटियन संरचना कहा जाता है। | ||
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| '''R''' | | '''R''' | ||
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इस प्रकार यहां '''R''', '''C''' और '''H''' क्रमशः वास्तविक, हर्मिटियन और चतुर्धातुक संरचनाओं को दर्शाते हैं, और '''R''' + '''R''' और '''H''' + '''H''' इंगित करते हैं कि अर्ध-स्पिन | इस प्रकार यहां '''R''', '''C''' और '''H''' क्रमशः वास्तविक, हर्मिटियन और चतुर्धातुक संरचनाओं को दर्शाते हैं, और '''R''' + '''R''' और '''H''' + '''H''' इंगित करते हैं कि अर्ध-स्पिन निरूपण दोनों क्रमशः वास्तविक या चतुर्धातुक संरचनाओं को स्वीकार करते हैं। | ||
===विवरण और तालिकाएँ=== | ===विवरण और तालिकाएँ=== | ||
इस प्रकार वास्तविक | इस प्रकार वास्तविक निरूपण के विवरण को पूरा करने के लिए, हमें यह वर्णन करना होगा कि ये संरचनाएं अपरिवर्तनीय द्विरेखीय रूपों के साथ कैसे इंटरेक्शन करती हैं। चूँकि n = p + q ≅ p - q मॉड 2, दो स्थिति हैं: आयाम और हस्ताक्षर दोनों सम हैं, और आयाम और हस्ताक्षर दोनों विषम हैं। | ||
अद्वितीय स्थिति सरल है, केवल एक सम्मिश्र स्पिन प्रतिनिधित्व S है और हर्मिटियन संरचनाएं नहीं होती हैं। सामान्य स्थिति के अतिरिक्त n = 1 S सदैव सम-आयामी होता है, मान लीजिए dim S = 2N so(2N,C) के वास्तविक रूप so(K,L) हैं जिनमें K + L = 2N और so∗(N,H) हैं जबकि sp(2N,C) के वास्तविक रूप sp(2N,R) और हैं इस प्रकार 'sp'(K,L) ''K'' + ''L'' = ''N'' के साथ S पर V की क्लिफोर्ड कार्रवाई की उपस्थिति दोनों स्थितियों में ''K'' = ''L'' को विवश करती है जब तक कि ''pq'' = 0 नहीं होती है, जिस स्थिति में ''KL''=0 जिसे '''so'''(2''N'') or '''sp'''(''N'') द्वारा दर्शाया जाता है । इसलिए विषम स्पिन अभ्यावेदन को निम्नलिखित तालिका में संक्षेपित किया जा सकता है। | अद्वितीय स्थिति सरल है, केवल एक सम्मिश्र स्पिन प्रतिनिधित्व S है और हर्मिटियन संरचनाएं नहीं होती हैं। सामान्य स्थिति के अतिरिक्त n = 1 S सदैव सम-आयामी होता है, मान लीजिए dim S = 2N so(2N,C) के वास्तविक रूप so(K,L) हैं जिनमें K + L = 2N और so∗(N,H) हैं जबकि sp(2N,C) के वास्तविक रूप sp(2N,R) और हैं इस प्रकार 'sp'(K,L) ''K'' + ''L'' = ''N'' के साथ S पर V की क्लिफोर्ड कार्रवाई की उपस्थिति दोनों स्थितियों में ''K'' = ''L'' को विवश करती है जब तक कि ''pq'' = 0 नहीं होती है, जिस स्थिति में ''KL''=0 जिसे '''so'''(2''N'') or '''sp'''(''N'') द्वारा दर्शाया जाता है । इसलिए विषम स्पिन अभ्यावेदन को निम्नलिखित तालिका में संक्षेपित किया जा सकता है। | ||
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| <math>\mathfrak{so}(3,3)\cong \mathfrak{sl}(4,\mathbb R)</math> | | <math>\mathfrak{so}(3,3)\cong \mathfrak{sl}(4,\mathbb R)</math> | ||
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इस तालिका से विलुप्त वास्तविक लाई बीजगणित की एकमात्र विशेष समरूपताएँ | इस तालिका से विलुप्त वास्तविक लाई बीजगणित की एकमात्र विशेष समरूपताएँ <math>\mathfrak{so}^*(3,\mathbb H) \cong \mathfrak{su}(3,1)</math> और <math>\mathfrak{so}^*(4,\mathbb H)\cong\mathfrak{so}(6,2).</math> हैं | ||
==टिप्पणियाँ== | ==टिप्पणियाँ== | ||
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==संदर्भ== | ==संदर्भ== | ||
Revision as of 00:02, 1 December 2023
गणित में, स्पिन निरूपण आर्बिटरी आयाम और हस्ताक्षर (अर्थात, अनिश्चित ऑर्थोगोनल समूह सहित) में ऑर्थोगोनल समूह या