स्पिन निरूपण: Difference between revisions

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{{Short description|Particular projective representations of the orthogonal or special orthogonal groups}}
{{Short description|Particular projective representations of the orthogonal or special orthogonal groups}}
गणित में, स्पिन अभ्यावेदन मनमाने [[आयाम]] और [[मीट्रिक हस्ताक्षर]] (यानी, अनिश्चित [[ऑर्थोगोनल समूह]]ों सहित) में ऑर्थोगोनल समूह या [[विशेष ऑर्थोगोनल समूह]]ों के विशेष प्रक्षेपी प्रतिनिधित्व हैं। अधिक सटीक रूप से, वे [[स्पिन समूह]]ों के लाई समूह के दो समकक्ष प्रतिनिधित्व हैं, जो विशेष ऑर्थोगोनल समूहों के डबल कवरिंग समूह हैं। इनका अध्ययन आमतौर पर [[वास्तविक संख्या]] या [[जटिल संख्या]]ओं पर किया जाता है, लेकिन इन्हें अन्य क्षेत्रों (गणित) पर परिभाषित किया जा सकता है।
गणित में, स्पिन निरूपण  आर्बिटरी [[आयाम]] और [[मीट्रिक हस्ताक्षर|हस्ताक्षर]] (अर्थात, अनिश्चित [[ऑर्थोगोनल समूह]] सहित) में ऑर्थोगोनल समूह या [[विशेष ऑर्थोगोनल समूह]] के विशेष प्रक्षेपी निरूपण हैं। अधिक स्पष्ट रूप से, वह [[स्पिन समूह]] के लाई समूह के दो समकक्ष निरूपण हैं, जो विशेष ऑर्थोगोनल समूहों के दोहरा आवरण समूह हैं। इनका अध्ययन सामान्यतः [[वास्तविक संख्या]] या [[जटिल संख्या|सम्मिश्र संख्या]]ओं पर किया जाता है, किन्तु इन्हें अन्य क्षेत्रों (गणित) पर परिभाषित किया जा सकता है।


स्पिन प्रतिनिधित्व के तत्वों को [[स्पिनर]] कहा जाता है। वे [[इलेक्ट्रॉन]] जैसे [[फरमिओन्स]] के भौतिकी विवरण में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।
स्पिन निरूपण के घटको को [[स्पिनर]] कहा जाता है। वह [[इलेक्ट्रॉन]] जैसे [[फरमिओन्स]] के भौतिकी विवरण में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।


स्पिन अभ्यावेदन का निर्माण कई तरीकों से किया जा सकता है, लेकिन आम तौर पर निर्माण में समूह के वेक्टर प्रतिनिधित्व में अधिकतम आइसोट्रोपिक उप-स्थान का विकल्प शामिल होता है (शायद केवल अप्रत्यक्ष रूप से)। वास्तविक संख्याओं के मुकाबले, इसके लिए आमतौर पर वेक्टर प्रतिनिधित्व के जटिलीकरण का उपयोग करने की आवश्यकता होती है। इस कारण से, पहले जटिल संख्याओं पर स्पिन प्रतिनिधित्व को परिभाषित करना और [[वास्तविक संरचना]]ओं को पेश करके [[वास्तविक प्रतिनिधित्व]] प्राप्त करना सुविधाजनक है।
स्पिन निरूपण का निर्माण विभिन्न विधियों से किया जा सकता है, किन्तु सामान्यतः निर्माण में समूह के सदिश  निरूपण में अधिकतम आइसोट्रोपिक उप-समष्टि का विकल्प सम्मिलित होता है (संभवतः केवल अप्रत्यक्ष रूप से)। वास्तविक संख्याओं के अतिरिक्त, इसके लिए सामान्यतः सदिश  निरूपण के सम्मिश्रता का उपयोग करने की आवश्यकता होती है। इस कारण से, पहले सम्मिश्र संख्याओं पर स्पिन निरूपण को परिभाषित करना और [[वास्तविक संरचना]]ओं को प्रस्तुत करके [[वास्तविक प्रतिनिधित्व|वास्तविक]] निरूपण प्राप्त करना सुविधाजनक है।


स्पिन प्रतिनिधित्व के गुण, सूक्ष्म तरीके से, ऑर्थोगोनल समूह के आयाम और हस्ताक्षर पर निर्भर करते हैं। विशेष रूप से, स्पिन प्रतिनिधित्व अक्सर [[अपरिवर्तनीय (गणित)]] [[द्विरेखीय रूप]]ों को स्वीकार करते हैं, जिनका उपयोग स्पिन समूहों को [[शास्त्रीय झूठ समूह]]ों में एम्बेड करने के लिए किया जा सकता है। निम्न आयामों में, ये [[एम्बेडिंग]] [[विशेषण]]ात्मक होते हैं और स्पिन समूहों और अधिक परिचित लाई समूहों के बीच विशेष समरूपता निर्धारित करते हैं; यह इन आयामों में स्पिनरों के गुणों को स्पष्ट करता है।
स्पिन निरूपण के गुण, सूक्ष्म विधि से, ऑर्थोगोनल समूह के आयाम और हस्ताक्षर पर निर्भर करते हैं। विशेष रूप से, स्पिन निरूपण अधिकांशतः [[अपरिवर्तनीय (गणित)]] [[द्विरेखीय रूप]] को स्वीकार करते हैं, जिनका उपयोग स्पिन समूहों को [[शास्त्रीय झूठ समूह|क्लासिकल लाई समूह]] में m्बेड करने के लिए किया जा सकता है। निम्न आयामों में, यह [[एम्बेडिंग|m्बेडिंग]] [[विशेषण]] होते हैं और स्पिन समूहों और अधिक परिचित लाई समूहों के मध्य विशेष समरूपता निर्धारित करते हैं; यह इन आयामों में स्पिनरों के गुणों को स्पष्ट करता है।


==सेट-अप==
==सेट-अप==


होने देना {{math|''V''}} [[आयाम ([[सदिश स्थल]])]] बनें|परिमित-आयामी वास्तविक या जटिल वेक्टर स्थान गैर-अपक्षयी रूप [[द्विघात रूप]] के साथ {{math|''Q''}}. (वास्तविक या जटिल) रैखिक मानचित्रों का संरक्षण {{math|''Q''}} ऑर्थोगोनल समूह बनाएं {{math|O(''V'', ''Q'')}}. समूह के [[पहचान घटक]] को विशेष ऑर्थोगोनल समूह कहा जाता है {{math|SO(''V'', ''Q'')}}. (के लिए {{math|''V''}} अनिश्चित द्विघात रूप के साथ वास्तविक, यह शब्दावली मानक नहीं है: विशेष ऑर्थोगोनल समूह को आमतौर पर इस मामले में दो घटकों के साथ उपसमूह के रूप में परिभाषित किया जाता है।) [[समूह समरूपता]] तक, {{math|SO(''V'', ''Q'')}} में अद्वितीय [[ जुड़ा हुआ स्थान |जुड़ा हुआ स्थान]] डबल कवरिंग ग्रुप, स्पिन ग्रुप है {{math|Spin(''V'', ''Q'')}}. इस प्रकार [[समूह समरूपता]] है {{math|''h'': Spin(''V'', ''Q'') → SO(''V'', ''Q'')}} जिसके [[कर्नेल (समूह सिद्धांत)]] में दो तत्व दर्शाए गए हैं {{math|<nowiki>{1, −1}</nowiki>}}, कहाँ {{math|1}} [[पहचान तत्व]] है. इस प्रकार, समूह तत्व {{math|''g''}} और {{math|''−g''}} का {{math|Spin(''V'', ''Q'')}} समरूपता के बाद समतुल्य हैं {{math|SO(''V'', ''Q'')}}; वह है, {{math|1=''h''(''g'') = ''h''(''−g'')}} किसी के लिए {{math|''g''}} में {{math|Spin(''V'', ''Q'')}}.
मान लीजिए कि {{math|''V''}} एक परिमित आयामी वास्तविक या सम्मिश्र सदिश समष्टि है जिसका गैर अपक्षयी द्विघात रूप {{math|''Q''}} है। इस प्रकार {{math|''Q''}} को संरक्षित करने वाले (वास्तविक या सम्मिश्र) रैखिक मानचित्र ओर्थोगोनल समूह {{math|O(''V'', ''Q'')}} बनाते हैं। समूह के पहचान घटक को विशेष ऑर्थोगोनल समूह {{math|SO(''V'', ''Q'')}} कहा जाता है। (अनिश्चित द्विघात रूप के साथ {{math|''V''}} वास्तविक के लिए, यह शब्दावली मानक नहीं है: विशेष ऑर्थोगोनल समूह को सामान्यतः इस स्थिति में दो घटकों के साथ एक उपसमूह के रूप में परिभाषित किया जाता है।) समूह समरूपता तक, {{math|SO(''V'', ''Q'')}} में एक अद्वितीय जुड़ा हुआ है स्पिन समूह {{math|Spin(''V'', ''Q'')}} को दोहरा आवरण करें। इस प्रकार एक समूह समरूपता {{math|''h'': Spin(''V'', ''Q'') → SO(''V'', ''Q'')}} है  जिसके कर्नेल में दो घटक {{math|<nowiki>{1, −1}</nowiki>}} दर्शाए गए हैं, जहां {{math|1}} पहचान घटक है। इस प्रकार, {{math|Spin(''V'', ''Q'')}} के समूह घटक {{math|''g''}} और {{math|''−g''}}, {{math|SO(''V'', ''Q'')}} की समरूपता के पश्चात् समतुल्य हैं; अर्थात, {{math|Spin(''V'', ''Q'')}} में किसी भी {{math|''g''}} के लिए {{math|1=''h''(''g'') = ''h''(''−g'')}} उपयोग किया जाता है।


समूह {{math|O(''V'', ''Q''), SO(''V'', ''Q'')}} और {{math|Spin(''V'', ''Q'')}} सभी [[झूठ समूह]] हैं, और निश्चित के लिए {{math|(''V'', ''Q'')}} उनके पास समान बीजगणित है, {{math|'''so'''(''V'', ''Q'')}}. अगर {{math|''V''}} तो फिर असली है {{math|''V''}} इसकी [[जटिलता]] का वास्तविक वेक्टर उपस्थान है {{math|''V''<sub>'''C'''</sub> {{=}} ''V'' ⊗<sub>'''R'''</sub> '''C'''}}, और द्विघात रूप {{math|''Q''}} स्वाभाविक रूप से द्विघात रूप तक विस्तारित होता है {{math|''Q''<sub>'''C'''</sub>}} पर {{math|''V''<sub>'''C'''</sub>}}. यह एम्बेड करता है {{math|SO(''V'', ''Q'')}} के [[उपसमूह]] के रूप में {{math|SO(''V''<sub>'''C'''</sub>, ''Q''<sub>'''C'''</sub>)}}, और इसलिए हमें एहसास हो सकता है {{math|Spin(''V'', ''Q'')}} के उपसमूह के रूप में {{math|Spin(''V''<sub>'''C'''</sub>, ''Q''<sub>'''C'''</sub>)}}. आगे, {{math|'''so'''(''V''<sub>'''C'''</sub>, ''Q''<sub>'''C'''</sub>)}} का जटिलीकरण है {{math|'''so'''(''V'', ''Q'')}}.
समूह {{math|O(''V'', ''Q''), SO(''V'', ''Q'')}} और {{math|Spin(''V'', ''Q'')}} सभी लाई समूह हैं और निश्चित {{math|(''V'', ''Q'')}} के लिए उनके निकट समान लाई बीजगणित है, इसलिए {{math|'''so'''(''V'', ''Q'')}} यदि {{math|''V''}} वास्तविक है तो {{math|''V''}} इसकी सम्मिश्रता {{math|''V''<sub>'''C'''</sub> {{=}} ''V'' ⊗<sub>'''R'''</sub> '''C'''}} का एक वास्तविक सदिश उपसमष्टि है और द्विघात रूप {{math|''Q''}} स्वाभाविक रूप से {{math|''V''<sub>'''C'''</sub>}} पर द्विघात रूप {{math|''Q''<sub>'''C'''</sub>}} तक विस्तारित होता है। यह {{math|SO(''V'', ''Q'')}} को {{math|SO(''V''<sub>'''C'''</sub>, ''Q''<sub>'''C'''</sub>)}} के उपसमूह के रूप में m्बेड करता है और इसलिए हम {{math|Spin(''V'', ''Q'')}} को {{math|Spin(''V''<sub>'''C'''</sub>, ''Q''<sub>'''C'''</sub>)}} के उपसमूह के रूप में अनुभव कर सकते हैं। इसके अतिरिक्त {{math|'''so'''(''V''<sub>'''C'''</sub>, ''Q''<sub>'''C'''</sub>)}} {{math|'''so'''(''V'', ''Q'')}} का सम्मिश्रता है।


जटिल मामले में, द्विघात रूपों को आयाम द्वारा समरूपता तक विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है {{math|''n''}} का {{math|''V''}}. निश्चित रूप से, हम मान सकते हैं {{math|''V'' {{=}} '''C'''<sup>''n''</sup>}} और
सम्मिश्र स्थिति में द्विघात रूपों को {{math|''V''}} के आयाम {{math|''n''}} द्वारा समरूपता तक विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है। सामान्यतः, हम {{math|''V'' {{=}} '''C'''<sup>''n''</sup>}} मान सकते हैं और
:<math>Q(z_1,\ldots, z_n) = z_1^2+ z_2^2+\cdots+z_n^2.</math>
:<math>Q(z_1,\ldots, z_n) = z_1^2+ z_2^2+\cdots+z_n^2.</math>
संबंधित झूठ समूहों को दर्शाया गया है {{math|O(''n'', '''C'''), SO(''n'', '''C'''), Spin(''n'', '''C''')}} और उनके झूठ बीजगणित के रूप में {{math|'''so'''(''n'', '''C''')}}.
संबंधित लाई समूहों {{math|O(''n'', '''C'''), SO(''n'', '''C'''), Spin(''n'', '''C''')}}   और उनके लाई बीजगणित {{math|'''so'''(''n'', '''C''')}} के रूप में दर्शाया गया है .


वास्तविक स्थिति में, द्विघात रूपों को गैर-नकारात्मक पूर्णांकों की जोड़ी द्वारा समरूपता तक निर्धारित किया जाता है {{math|(''p'', ''q'')}} कहाँ {{math|''n'' {{=}} ''p'' + ''q''}} का आयाम है {{math|''V''}}, और {{math|''p'' − ''q''}}सिल्वेस्टर का जड़त्व का नियम है। निश्चित रूप से, हम मान सकते हैं {{math|''V'' {{=}} '''R'''<sup>''n''</sup>}} और
 
वास्तविक स्थिति में द्विघात रूपों को गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों {{math|(''p'', ''q'')}} की एक जोड़ी द्वारा समरूपता तक निर्धारित किया जाता है, जहां {{math|''n'' {{=}} ''p'' + ''q''}} {{math|''V''}} का आयाम है और {{math|''p'' − ''q''}} हस्ताक्षर है। सामान्यतः, हम {{math|''V'' {{=}} '''R'''<sup>''n''</sup>}} और मान सकते हैं
:<math>Q(x_1,\ldots, x_n) = x_1^2+ x_2^2+\cdots+x_p^2-(x_{p+1}^2+\cdots +x_{p+q}^2).</math>
:<math>Q(x_1,\ldots, x_n) = x_1^2+ x_2^2+\cdots+x_p^2-(x_{p+1}^2+\cdots +x_{p+q}^2).</math>
संबंधित लाई समूह और लाई बीजगणित को दर्शाया गया है {{math|O(''p'', ''q''), SO(''p'', ''q''), Spin(''p'', ''q'')}} और {{math|'''so'''(''p'', ''q'')}}. हम लिखते हैं {{math|'''R'''<sup>''p'',''q''</sup>}} की जगह {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}}हस्ताक्षर को स्पष्ट बनाने के लिए।
संगत लाई समूह और लाई बीजगणित को {{math|O(''p'', ''q''), SO(''p'', ''q''), Spin(''p'', ''q'')}} और {{math|'''so'''(''p'', ''q'')}} से दर्शाया जाता है। हम हस्ताक्षर को स्पष्ट करने के लिए {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} के समष्टि पर {{math|'''R'''<sup>''p'',''q''</sup>}} लिखते हैं।


स्पिन निरूपण, अर्थ में, झूठ समूहों का सबसे सरल प्रतिनिधित्व है {{math|Spin(''n'', '''C''')}} और {{math|Spin(''p'', ''q'')}} जो कि अभ्यावेदन से नहीं आते हैं {{math|SO(''n'', '''C''')}} और {{math|SO(''p'', ''q'')}}. इसलिए, स्पिन प्रतिनिधित्व वास्तविक या जटिल वेक्टर स्थान है {{math|''S''}} समूह समरूपता के साथ {{math|''ρ''}} से {{math|Spin(''n'', '''C''')}} या {{math|Spin(''p'', ''q'')}} [[सामान्य रैखिक समूह]] के लिए {{math|GL(''S'')}} ऐसा कि तत्व {{math|−1}} के कर्नेल में नहीं है {{math|''ρ''}}.
स्पिन निरूपण एक अर्थ में {{math|Spin(''n'', '''C''')}} और {{math|Spin(''p'', ''q'')}} का सबसे सरल निरूपण है जो {{math|SO(''n'', '''C''')}} और {{math|SO(''p'', ''q'')}} के निरूपण से नहीं आता है। एक स्पिन निरूपण, इसलिए, एक वास्तविक या सम्मिश्र सदिश समष्टि {{math|''S''}} है, जिसमें {{math|Spin(''n'', '''C''')}} या {{math|Spin(''p'', ''q'')}} से सामान्य रैखिक समूह {{math|GL(''S'')}} तक एक समूह समरूपता {{math|''ρ''}} सम्मिलित है, जैसे कि घटक {{math|−1}} नहीं है


अगर {{math|''S''}} ऐसा प्रतिनिधित्व है, फिर लाई समूहों और लाई बीजगणित के बीच संबंध के अनुसार, यह लाई बीजगणित प्रतिनिधित्व को प्रेरित करता है, यानी, लाई बीजगणित समरूपता {{math|'''so'''(''n'', ''C'')}} या {{math|'''so'''(''p'', ''q'')}} लाई बीजगणित के लिए {{math|'''gl'''(''S'')}}रेखीय मानचित्र#एंडोमोर्फिज्म और ऑटोमोर्फिज्म का {{math|''S''}} कम्यूटेटर#रिंग सिद्धांत के साथ।
यदि {{math|''S''}} एक ऐसा निरूपण है तो लाई समूहों और लाई बीजगणित के मध्य संबंध के अनुसार, यह एक लाई बीजगणित निरूपण को प्रेरित करता है अर्थात {{math|'''so'''(''n'', ''C'')}} या {{math|'''so'''(''p'', ''q'')}} से लाई बीजगणित {{math|'''gl'''(''S'')}} तक एक लाई बीजगणित समरूपता कम्यूटेटर ब्रैकेट के साथ {{math|''S''}} के एंडोमोर्फिज्म का उपयोग किया जाता है।


स्पिन अभ्यावेदन का विश्लेषण निम्नलिखित रणनीति के अनुसार किया जा सकता है: यदि {{math|''S''}} का वास्तविक स्पिन प्रतिनिधित्व है {{math|Spin(''p'', ''q'')}}, तो इसका जटिलीकरण जटिल स्पिन प्रतिनिधित्व है {{math|Spin(''p'', ''q'')}}; के प्रतिनिधित्व के रूप में {{math|'''so'''(''p'', ''q'')}}, इसलिए इसका विस्तार जटिल प्रतिनिधित्व तक होता है {{math|'''so'''(''n'', '''C''')}}. विपरीत दिशा में आगे बढ़ते हुए, हम पहले जटिल स्पिन निरूपण का निर्माण करते हैं {{math|Spin(''n'', '''C''')}} और {{math|'''so'''(''n'', '''C''')}}, फिर उन्हें जटिल स्पिन अभ्यावेदन तक सीमित रखें {{math|'''so'''(''p'', ''q'')}} और {{math|Spin(''p'', ''q'')}}, फिर अंततः वास्तविक स्पिन अभ्यावेदन में संभावित कटौती का विश्लेषण करें।
स्पिन निरूपण का विश्लेषण निम्नलिखित रणनीति के अनुसार किया जा सकता है यदि {{math|''S''}} {{math|Spin(''p'', ''q'')}} का एक वास्तविक स्पिन निरूपण है तो इसका सम्मिश्रता {{math|Spin(''p'', ''q'')}} का एक सम्मिश्र स्पिन निरूपण है जो {{math|'''so'''(''p'', ''q'')}} के निरूपण के रूप में है। इसलिए {{math|'''so'''(''n'', '''C''')}} के सम्मिश्र निरूपण तक विस्तारित है। इसलिए विपरीत दिशा में आगे बढ़ते हुए हम पहले {{math|Spin(''n'', '''C''')}} और {{math|'''so'''(''n'', '''C''')}} के सम्मिश्र स्पिन निरूपण का निर्माण करते हैं, फिर उन्हें {{math|'''so'''(''p'', ''q'')}} और {{math|Spin(''p'', ''q'')}} के सम्मिश्र स्पिन निरूपण तक सीमित करते हैं, फिर अंत में संभावित कमी का विश्लेषण करते हैं।


==जटिल स्पिन प्रतिनिधित्व==
==सम्मिश्र स्पिन निरूपण==


होने देना {{math|1=''V'' = '''C'''<sup>''n''</sup>}} मानक द्विघात रूप के साथ {{math|''Q''}} ताकि
मान लीजिए कि मानक द्विघात रूप {{math|''Q''}} के साथ {{math|1=''V'' = '''C'''<sup>''n''</sup>}} है
:<math>\mathfrak{so}(V,Q) = \mathfrak{so}(n,\mathbb C).</math>
:<math>\mathfrak{so}(V,Q) = \mathfrak{so}(n,\mathbb C).</math>
[[सममित द्विरेखीय रूप]] पर {{math|''V''}} के लिए जुड़े {{math|''Q''}}ध्रुवीकरण पहचान द्वारा#सममित द्विरेखीय रूपों को दर्शाया जाता है {{math|{{langle}}.,.{{rangle}}}}.
ध्रुवीकरण द्वारा {{math|''Q''}} से जुड़े {{math|''V''}} पर सममित द्विरेखीय रूप को {{math|{{langle}}.,.{{rangle}}}} दर्शाया जाता है।


===आइसोट्रोपिक उपस्थान और रूट सिस्टम===
===आइसोट्रोपिक उपसमष्टि और मूल प्रक्रिया सिस्टम===


के स्पिन अभ्यावेदन का मानक निर्माण {{math|'''so'''(''n'', '''C''')}}जोड़ी के चयन से शुरू होता है {{math|(''W'', ''W''<sup>∗</sup>)}}
{{math|'''so'''(''n'', '''C''')}} के स्पिन निरूपण का एक मानक निर्माण {{math|''W'' ∩ ''W''<sup>∗</sup> {{=}} 0}} के साथ {{math|''V''}} के अधिकतम पूर्णतया आइसोट्रोपिक उप-समष्टि ({{math|''Q''}} के संबंध में) की एक जोड़ी {{math|(''W'', ''W''<sup>∗</sup>)}} की पसंद से प्रारंभ होता है। आइए हम ऐसा चयन करे. यदि {{math|''n'' {{=}} 2''m''}} या {{math|''n'' {{=}} 2''m'' + 1}}, तो {{math|''W''}} और {{math|''W''<sup>∗</sup>}} दोनों का आयाम {{math|''m''}} है। यदि {{math|''n'' {{=}} 2''m''}}, तो {{math|''V'' {{=}} ''W'' ⊕ ''W''<sup>∗</sup>}}, जबकि यदि {{math|''n'' {{=}} 2''m'' + 1}}, तो {{math|''V'' {{=}} ''W'' ⊕ ''U'' ⊕ ''W''<sup>∗</sup>}}, जहां {{math|''U''}}, {{math|''W'' ⊕ ''W''<sup>∗</sup>}} का 1-आयामी ऑर्थोगोनल पूरक है। {{math|''Q''}} से जुड़ा द्विरेखीय रूप {{math|{{langle}}.,.{{rangle}}}} {{math|''W''}} और {{math|''W''<sup>∗</sup>}} के मध्य एक युग्मन उत्पन्न करता है, जो अविघटित होना चाहिए क्योंकि {{math|''W''}} और {{math|''W''<sup>∗</sup>}} पूरी तरह से आइसोट्रोपिक उपसमष्टि हैं और {{math|''Q''}} अविघटित है। इसलिए  {{math|''W''}} और {{math|''W''<sup>∗</sup>}} दोहरे सदिश समष्टि हैं।
अधिकतम [[आइसोट्रोपिक द्विघात रूप]]ों का (के संबंध में)। {{math|''Q''}}) का {{math|''V''}} साथ {{math|''W'' ∩ ''W''<sup>∗</sup> {{=}} 0}}. आइए हम ऐसा चुनाव करें. अगर {{math|''n'' {{=}} 2''m''}} या {{math|''n'' {{=}} 2''m'' + 1}}, तब {{math|''W''}} और {{math|''W''<sup>∗</sup>}} दोनों का आयाम है {{math|''m''}}. अगर {{math|''n'' {{=}} 2''m''}}, तब {{math|''V'' {{=}} ''W'' ⊕ ''W''<sup>∗</sup>}}, जबकि यदि {{math|''n'' {{=}} 2''m'' + 1}}, तब {{math|''V'' {{=}} ''W'' ⊕ ''U'' ⊕ ''W''<sup>∗</sup>}}, कहाँ {{math|''U''}} 1-आयामी ऑर्थोगोनल पूरक है {{math|''W'' ⊕ ''W''<sup>∗</sup>}}. द्विरेखीय रूप {{math|{{langle}}.,.{{rangle}}}} के लिए जुड़े {{math|''Q''}} के बीच [[द्विरेखीय मानचित्र]] उत्पन्न करता है {{math|''W''}} और {{math|''W''<sup>∗</sup>}}, जो अविक्षिप्त होना चाहिए, क्योंकि {{math|''W''}} और {{math|''W''<sup>∗</sup>}} पूरी तरह से आइसोट्रोपिक उप-स्थान हैं और {{math|''Q''}} अविकृत है। इस तरह {{math|''W''}} और {{math|''W''<sup>∗</sup>}} दोहरे सदिश स्थान हैं।


अधिक ठोस रूप से, आइए {{math|''a''<sub>1</sub>, &hellip; ''a''<sub>''m''</sub>}} के लिए आधार बनें {{math|''W''}}. फिर अनोखा आधार है {{math|''&alpha;''<sub>1</sub>, ... ''&alpha;''<sub>''m''</sub>}} का {{math|''W''<sup>∗</sup>}} ऐसा है कि
अधिक स्पष्ट रूप से मान लीजिए कि {{math|''a''<sub>1</sub>, &hellip; ''a''<sub>''m''</sub>}}, {{math|''W''}} के लिए एक आधार है। फिर {{math|''W''<sup>∗</sup>}} का एक अद्वितीय आधार {{math|''&alpha;''<sub>1</sub>, ... ''&alpha;''<sub>''m''</sub>}} है, जैसे कि
:<math> \langle \alpha_i,a_j\rangle = \delta_{ij}.</math>
:<math> \langle \alpha_i,a_j\rangle = \delta_{ij}.</math>
अगर {{math|''A''}} {{math|''m'' &times; ''m''}} मैट्रिक्स, फिर {{math|''A''}} की एंडोमोर्फिज्म को प्रेरित करता है {{math|''W''}} इस आधार और स्थानान्तरण के संबंध में {{math|''A''<sup>T</sup>}} के परिवर्तन को प्रेरित करता है {{math|''W''<sup>∗</sup>}} साथ
यदि {{math|''A''}} एक {{math|''m'' &times; ''m''}} आव्यूह है तो {{math|''A''}} इस आधार के संबंध में {{math|''W''}} के एक एंडोमोर्फिज्म को प्रेरित करता है और {{math|''A''<sup>T</sup>}} का समष्टिांतरण {{math|''W''<sup>∗</sup>}} के परिवर्तन को प्रेरित करता है
:<math> \langle Aw, w^* \rangle = \langle w,A^\mathrm{T} w^*\rangle</math>
:<math> \langle Aw, w^* \rangle = \langle w,A^\mathrm{T} w^*\rangle</math>
सभी के लिए {{math|''w''}} में {{math|''W''}} और {{math|''w''<sup>∗</sup>}} में {{math|''W''<sup>∗</sup>}}. यह इस प्रकार है कि एंडोमोर्फिज्म {{math|''&rho;''<sub>''A''</sub>}} का {{math|''V''}}, के बराबर {{math|''A''}} पर {{math|''W''}}, {{math|&minus;''A''<sup>T</sup>}} पर {{math|''W''<sup>∗</sup>}} और शून्य पर {{math|''U''}} (अगर {{math|''n''}} विषम है), तिरछा है,
{{math|''W''}} में सभी {{math|''w''}} और {{math|''w''<sup>∗</sup>}} में {{math|''W''<sup>∗</sup>}} के लिए। यह इस प्रकार है कि {{math|''V''}} का एंडोमोर्फिज्म {{math|''&rho;''<sub>''A''</sub>}}, {{math|''W''}} पर {{math|''A''}} के बराबर, W∗ पर {{math|&minus;''A''<sup>T</sup>}} और {{math|''U''}} पर शून्य (यदि {{math|''n''}} विषम है) विषम है
:<math> \langle  \rho_A u, v \rangle = -\langle u,\rho_A v\rangle</math>
:<math> \langle  \rho_A u, v \rangle = -\langle u,\rho_A v\rangle</math>
सभी के लिए {{math|''u'', ''v''}} में {{math|''V''}}, और इसलिए ([[शास्त्रीय समूह]] देखें) का तत्व {{math|'''so'''(''n'', '''C''') ⊂ End(''V'')}}.
सभी {{math|''u'', ''v''}} में {{math|''V''}} के लिए, और इसलिए (मौलिक समूह देखें) {{math|'''so'''(''n'', '''C''') ⊂ End(''V'')}} का एक घटक है
 
इस निर्माण में विकर्ण आव्यूहों का उपयोग करके {{math|'''so'''(''n'', '''C''')}} के कार्टन उपबीजगणित {{math|'''h'''}} को परिभाषित किया जाता है, {{math|'''so'''(''n'', '''C''')}} की रैंक {{math|''m''}} है और विकर्ण {{math|''n'' &times; ''n''}} आव्यूह एक {{math|''m''}}-आयामी एबेलियन उपबीजगणित निर्धारित करते हैं।
 


इस निर्माण में विकर्ण मैट्रिक्स का उपयोग कार्टन उपबीजगणित को परिभाषित करता है {{math|'''h'''}} का {{math|'''so'''(''n'', '''C''')}}: के [[एक झूठ समूह की रैंक|झूठ समूह की रैंक]] {{math|'''so'''(''n'', '''C''')}} है {{math|''m''}}, और विकर्ण {{math|''n'' &times; ''n''}} मैट्रिक्स निर्धारित करते हैं {{math|''m''}}-आयामी एबेलियन उपबीजगणित।
मान लीजिए {{math|''ε''<sub>1</sub>, &hellip; ''ε''<sub>''m''</sub>}} {{math|'''h'''<sup>∗</sup>}} का आधार है, जैसे कि, एक विकर्ण मैट्रिक्स {{math|''A''}} के लिए {{math|''A'', ''ε''<sub>''k''</sub>(''&rho;''<sub>''A''</sub>)}} की {{math|''k''}}वीं विकर्ण प्रविष्टि है। स्पष्ट रूप से यह {{math|'''h'''<sup>∗</sup>}} के लिए एक आधार है क्योंकि द्विरेखीय रूप {{math|'''so'''(''n'', '''C''')}} की पहचान करता है स्पष्ट रूप से <math>\wedge^2 V</math> के साथ है


होने देना {{math|''ε''<sub>1</sub>, &hellip; ''ε''<sub>''m''</sub>}} का आधार बनें {{math|'''h'''<sup>∗</sup>}} ऐसा कि, विकर्ण मैट्रिक्स के लिए {{math|''A'', ''ε''<sub>''k''</sub>(''&rho;''<sub>''A''</sub>)}} है {{math|''k''}}वें विकर्ण प्रविष्टि {{math|''A''}}. स्पष्टतः यह आधार है {{math|'''h'''<sup>∗</sup>}}. चूँकि द्विरेखीय रूप से पहचान होती है {{math|'''so'''(''n'', '''C''')}} साथ <math>\wedge^2 V</math>, स्पष्ट रूप से,
:<math>x \wedge y \mapsto \varphi_{x \wedge y}, \quad \varphi_{x \wedge y}(v) = 2(\langle y, v\rangle x - \langle x, v\rangle y),\quad x \wedge y \in \wedge^2V,\quad x,y,v \in V, \quad \varphi_{x \wedge y} \in \mathfrak{so}(n, \mathbb{C}),</math><ref>{{harvnb|Fulton|Harris|1991}} Chapter 20, p.303. The factor 2 is not important, it is there to agree with the Clifford algebra construction.</ref>
:<math>x \wedge y \mapsto \varphi_{x \wedge y}, \quad \varphi_{x \wedge y}(v) = 2(\langle y, v\rangle x - \langle x, v\rangle y),\quad x \wedge y \in \wedge^2V,\quad x,y,v \in V, \quad \varphi_{x \wedge y} \in \mathfrak{so}(n, \mathbb{C}),</math><ref>{{harvnb|Fulton|Harris|1991}} Chapter 20, p.303. The factor 2 is not important, it is there to agree with the Clifford algebra construction.</ref>
अब इससे संबंधित [[ मूल प्रक्रिया |मूल प्रक्रिया]] का निर्माण करना आसान है {{math|'''h'''}}. [[मूल स्थान]] (क्रिया के लिए साथ eigenspaces)। {{math|'''h'''}}) निम्नलिखित तत्वों द्वारा फैले हुए हैं:
अब {{math|'''h'''}} से संबंधित [[ मूल प्रक्रिया |मूल प्रक्रिया]] का निर्माण करना आसान है। मूल समष्टि ({{math|'''h'''}} की क्रिया के लिए एक साथ इगेनस्पेस) निम्नलिखित घटकों द्वारा विस्तृत हैं:
:<math> a_i\wedge a_j,\; i\neq j,</math> जड़ प्रणाली के साथ (एक साथ eigenvalue) <math>\varepsilon_i + \varepsilon_j</math>
:<math> a_i\wedge a_j,\; i\neq j,</math> मूल प्रक्रिया के साथ (एक साथ इगेनवैल्यू) <math>\varepsilon_i + \varepsilon_j</math>
:<math> a_i\wedge \alpha_j</math> (जो इसमें है {{math|'''h'''}} अगर {{math|''i'' {{=}} ''j'')}} जड़ के साथ <math> \varepsilon_i - \varepsilon_j</math>
:<math> a_i\wedge \alpha_j</math> (जो {{math|'''h'''}} में है यदि {{math|''i'' {{=}} ''j'')}}) मूल प्रक्रिया <math> \varepsilon_i - \varepsilon_j</math> के साथ
:<math> \alpha_i\wedge \alpha_j,\; i\neq j,</math> जड़ के साथ <math> -\varepsilon_i - \varepsilon_j,</math>
:<math> \alpha_i\wedge \alpha_j,\; i\neq j,</math> मूल प्रक्रिया के साथ <math> -\varepsilon_i - \varepsilon_j,</math>
और अगर {{math|''n''}} अजीब है, और {{math|''u''}} का अशून्य तत्व है {{math|''U''}},
और यदि {{math|''n''}} अद्वितीय है, और {{math|''u''}} का अशून्य घटक {{math|''U''}} है ,
:<math> a_i\wedge u,</math> जड़ के साथ <math> \varepsilon_i </math>
:<math> a_i\wedge u,</math> मूल प्रक्रिया के साथ <math> \varepsilon_i </math>
:<math> \alpha_i\wedge u,</math> जड़ के साथ <math> -\varepsilon_i.</math>
:<math> \alpha_i\wedge u,</math> मूल प्रक्रिया के साथ <math> -\varepsilon_i.</math>
इस प्रकार, आधार के संबंध में {{math|''ε''<sub>1</sub>, &hellip; ''ε''<sub>''m''</sub>}}, जड़ें सदिश हैं {{math|'''h'''<sup>∗</sup>}} जो कि क्रमपरिवर्तन हैं
इस प्रकार, आधार के संबंध में {{math|''ε''<sub>1</sub>, &hellip; ''ε''<sub>''m''</sub>}}, मूल प्रक्रियाें सदिश {{math|'''h'''<sup>∗</sup>}} हैं  जो कि क्रमपरिवर्तन हैं
:<math>(\pm 1,\pm 1, 0, 0, \dots, 0)</math>
:<math>(\pm 1,\pm 1, 0, 0, \dots, 0)</math>
के क्रमपरिवर्तन के साथ
के क्रमपरिवर्तन के साथ
:<math>(\pm 1, 0, 0, \dots, 0)</math>
:<math>(\pm 1, 0, 0, \dots, 0)</math>
अगर {{math|''n'' {{=}} 2''m'' + 1}} अजीब है।
यदि {{math|''n'' {{=}} 2''m'' + 1}} अद्वितीय है।


[[सकारात्मक जड़]]ों की प्रणाली दी गई है {{math|''ε''<sub>''i''</sub> + ''ε''<sub>''j''</sub> (''i'' ≠ ''j''), ''ε''<sub>''i''</sub> &minus; ''ε''<sub>''j''</sub> (''i'' < ''j'')}} और के लिए {{math|''n''}} विषम) {{math|''ε''<sub>''i''</sub>}}. संगत सरल जड़ (रूट सिस्टम) हैं
धनात्मक [[सकारात्मक जड़|मूल प्रक्रिया]] की एक प्रणाली {{math|''ε''<sub>''i''</sub> + ''ε''<sub>''j''</sub> (''i'' ≠ ''j''), ''ε''<sub>''i''</sub> &minus; ''ε''<sub>''j''</sub> (''i'' < ''j'')}} और ({{math|''n''}} विषम के लिए) {{math|''ε''<sub>''i''</sub>}} द्वारा दी गई है। संबंधित सरल मूल प्रक्रिया हैं
:<math>\varepsilon_1-\varepsilon_2, \varepsilon_2-\varepsilon_3, \ldots, \varepsilon_{m-1}-\varepsilon_m, \left\{\begin{matrix}
:<math>\varepsilon_1-\varepsilon_2, \varepsilon_2-\varepsilon_3, \ldots, \varepsilon_{m-1}-\varepsilon_m, \left\{\begin{matrix}
\varepsilon_{m-1}+\varepsilon_m& n=2m\\
\varepsilon_{m-1}+\varepsilon_m& n=2m\\
\varepsilon_m & n=2m+1.
\varepsilon_m & n=2m+1.
\end{matrix}\right.</math>
\end{matrix}\right.</math>
धनात्मक जड़ें सरल जड़ों के गैर-ऋणात्मक पूर्णांक रैखिक संयोजन हैं।
धनात्मक मूल प्रक्रियाें सरल मूल प्रक्रियाों के गैर-ऋणात्मक पूर्णांक रैखिक संयोजन हैं।


===स्पिन प्रतिनिधित्व और उनका वजन===
===स्पिन निरूपण और उनका भार===


के स्पिन अभ्यावेदन का निर्माण {{math|'''so'''(''n'', '''C''')}} [[बाहरी बीजगणित]] का उपयोग करता है
{{math|'''so'''(''n'', '''C''')}} के स्पिन निरूपण का एक निर्माण बाहरी बीजगणित का उपयोग करता है
:<math>S=\wedge^\bullet W</math> और/या <math>S'=\wedge^\bullet W^*.</math>
:<math>S=\wedge^\bullet W</math> और/या <math>S'=\wedge^\bullet W^*.</math>
की क्रिया है {{math|''V''}} पर {{math|''S''}} ऐसा कि किसी भी तत्व के लिए {{math|1=''v'' = ''w'' + ''w''<sup>∗</sup>}} में {{math|''W'' ⊕ ''W''<sup>∗</sup>}} और कोई भी {{math|''&psi;''}} में {{math|''S''}} कार्रवाई इस प्रकार दी गई है:
{{math|''S''}} पर {{math|''V''}} की एक क्रिया इस प्रकार है कि {{math|''W'' ⊕ ''W''<sup>∗</sup>}} में किसी भी घटक {{math|1=''v'' = ''w'' + ''w''<sup>∗</sup>}} और {{math|''S''}} में किसी भी {{math|''&psi;''}} के लिए क्रिया इस प्रकार दी गई है:
:<math>  v\cdot \psi = 2^{\frac{1}{2}}(w\wedge\psi+\iota(w^*)\psi), </math>
:<math>  v\cdot \psi = 2^{\frac{1}{2}}(w\wedge\psi+\iota(w^*)\psi), </math>
जहां दूसरा पद संकुचन ([[आंतरिक गुणन]]) है जिसे द्विरेखीय रूप का उपयोग करके परिभाषित किया गया है, जो जोड़े हैं {{math|''W''}} और {{math|''W''<sup>∗</sup>}}. यह कार्रवाई [[क्लिफोर्ड संबंध]]ों का सम्मान करती है {{math|1=''v''<sup>2</sup> = ''Q''(''v'')'''1'''}}, और इसलिए क्लिफ़ोर्ड बीजगणित से समरूपता उत्पन्न होती है {{math|Cl<sub>''n''</sub>'''C'''}} का {{math|''V''}} को {{math|End(''S'')}}. इसी तरह की कार्रवाई को परिभाषित किया जा सकता है {{math|''S''&prime;}}, ताकि दोनों {{math|''S''}} और {{math|''S''&prime;}} [[क्लिफोर्ड मॉड्यूल]] हैं।
जहां दूसरा पद एक संकुचन (आंतरिक गुणन) है जिसे द्विरेखीय रूप का उपयोग करके परिभाषित किया गया है, जो {{math|''W''}} और {{math|''W''<sup>∗</sup>}} को जोड़ता है। यह क्रिया क्लिफोर्ड संबंधों {{math|1=''v''<sup>2</sup> = ''Q''(''v'')'''1'''}} का सम्मान करती है और इसलिए {{math|''V''}} के क्लिफोर्ड बीजगणित {{math|Cl<sub>''n''</sub>'''C'''}} से {{math|End(''S'')}} तक एक समरूपता उत्पन्न करती है। एक समान क्रिया को {{math|''S''&prime;}} पर परिभाषित किया जा सकता है ताकि {{math|''S''}} और {{math|''S''&prime;}}' दोनों क्लिफोर्ड मॉड्यूल हों।


झूठ बीज