कोण: Difference between revisions

Revision as of 18:46, 4 July 2022

एक शीर्ष से निकलने वाली दो किरणों द्वारा निर्मित कोण।

यूक्लिडियन ज्यामिति में, एक कोण दो किरणों द्वारा बनाई गई आकृति है, जिसे कोण के पक्ष (भुजा) कहा जाता है, जो एक ही बिंदु पर मिलती है, जिसे कोण का शीर्ष कहा जाता है।^[1] दोनों किरणें तथा इनसे बनने वाले कोण एक ही तल में होते हैं। कोण भी दो तलों के प्रतिच्छेदन से बनते हैं, जिन्हे द्वितल (डायहेड्रल) कोण कहा जाता है। दो प्रतिच्छेदी वक्र भी एक कोण को निर्माण सकते हैं, जो कि उनके प्रतिच्छेदन बिंदु पर संबंधित वक्रों की स्पर्शरेखा वाली किरणों का कोण होता है।

कोण का उपयोग कोण या घूर्णन के माप को निर्दिष्ट करने के लिए भी किया जाता है। यह माप एक वृत्ताकार चाप की लंबाई और उसकी त्रिज्या का अनुपात है। एक ज्यामितीय कोण के मामले में, चाप शीर्ष पर केंद्रित होता है और पक्षों द्वारा सीमांकित होता है। घूर्णन के मामले में, चाप घूर्णन के केंद्र में केंद्रित होता है और किसी अन्य बिंदु से और घूर्णन द्वारा इसकी छवि को सीमित करता है।

इतिहास और व्युत्पत्ति

कोण शब्द लैटिन शब्द एंगुलस से आया है, जिसका अर्थ है "कोना"; सजातीय शब्द ग्रीक हैं (ankylοs), जिसका अर्थ है "कुटिल, घुमावदार," और अंग्रेजी शब्द "ankle"। दोनों प्रोटो-इंडो-यूरोपियन मूल *ank-, जिसका अर्थ है "मुड़ना" या "झुकना"।^[2]

यूक्लिड एक समतल कोण को एक दूसरे के झुकाव के रूप में परिभाषित करता है, एक समतल में, दो रेखाएँ जो एक दूसरे से मिलती हैं, और एक दूसरे के सापेक्ष सीधी नहीं होती हैं। 'प्रोक्लस' के अनुसार, कोण या तो गुणवत्ता या मात्रा, या संबंध होना चाहिए। पहली अवधारणा का उपयोग 'यूडेमस' द्वारा किया गया था, जो एक कोण को एक सीधी रेखा से विचलन के रूप में मानते थे; दूसरा अन्ताकिया के कार्पस द्वारा, जिसने इसे प्रतिच्छेदन रेखाओं के बीच का अंतराल या स्थान माना; यूक्लिड ने तीसरी अवधारणा को अपनाया।^[3]

कोणों की पहचान

गणितीय अभिव्यक्तियों (अभिव्यंजना) में, ग्रीक अक्षरों (α, β, γ, θ, φ, . . . ) का उपयोग, किसी कोण के आकार को दर्शाने वाले चर के रूप में (इसके अन्य अर्थ के साथ भ्रम से बचने के लिए, प्रतीक $π$ आमतौर पर इस उद्देश्य के लिए उपयोग नहीं किया जाता है) करना आम है। छोटे रोमन अक्षरों (a, b, c, . . . ) का भी उपयोग किया जाता है। ऐसे संदर्भों में जहां यह अस्पष्ट नहीं है, एक कोण को बड़े रोमन अक्षर द्वारा दर्शाया जा सकता है जो इसके शीर्ष को दर्शाता है। उदाहरण के लिए इस आलेख में आंकड़े देखें।

ज्यामितीय आकृतियों में, कोणों को उन तीन बिंदुओं से भी पहचाना जा सकता है, जो उन्हें परिभाषित करते हैं। उदाहरण के लिए, एबी और एसी किरणों (अर्थात बिंदु ए से बिंदु बी और सी तक की रेखाएं) द्वारा गठित शीर्ष ए वाले कोण को $∠BAC$ या ${\widehat {\rm {BAC}}}$ दर्शाया गया है। जहां अस्पष्टता का कोई संकट नहीं है, कोण को कभी-कभी केवल इसके शीर्ष (इस स्थिति में "कोण ए") द्वारा संदर्भित किया जा सकता है।

संभावित रूप से, ∠BAC के रूप में निरूपित एक कोण, चार कोणों में से किसी को भी संदर्भित कर सकता है: बी से सी तक का दक्षिणावर्त कोण, बी से सी का वामावर्त कोण, सी से बी का दक्षिणावर्त कोण, या सी से बी का वामावर्त कोण, जहां कोण को जिस दिशा में मापा जाता है, वह उसका संकेत निर्धारित करता है (सकारात्मक और नकारात्मक कोण देखें)। हालांकि, कई ज्यामितीय स्थितियों में, संदर्भ से यह स्पष्ट है कि सकारात्मक कोण 180 डिग्री से कम या उसके बराबर है, ऐसी स्थिति में कोई अस्पष्टता नहीं होती है। अन्यथा, एक समझौता अपनाया जा सकता है ताकि $∠BAC$ हमेशा बी से सी तक वामावर्त (सकारात्मक) कोण को संदर्भित करता है, और $∠CAB$ सी (C) से बी (B) तक वामावर्त (सकारात्मक) कोण।

कोणों के प्रकार

व्यक्तिगत कोण

कोणों के लिए कुछ सामान्य शब्दावली है, जिसका माप हमेशा ऋणात्मक नहीं होता:^[4]^[5]

0° के बराबर या मुड़े हुए कोण को शून्य कोण कहा जाता है।

एक समकोण से छोटे (90° से कम) कोण को न्यून कोण ("तीव्र" अर्थात "तेज") कहा जाता है।
1/4 मोड़ के बराबर कोण (90° or $π$ /2 रेडियन) को समकोण कहा जाता है। समकोण बनाने वाली दो रेखाएँ अभिलम्बवत, लाम्बिक या लंबवत कहलाती हैं।
एक समकोण से बड़ा और एक ऋजु कोण से छोटे (90° और 180° के बीच) कोण को अधिक कोण ("अधिक" अर्थ वाला "कुंद") कहा जाता है।
1/2 मोड़ के बराबर कोण (180° या $π$ रेडियन) को एक ऋजु कोण कहा जाता है।
एक कोण जो एक ऋजु कोण से बड़ा होता है लेकिन 1 मोड़ से कम (180° और 360° के बीच) होता है, प्रतिवर्ती कोण कहलाता है।
1 मोड़ के बराबर कोण (360° या 2 $π$ रेडियन) को पूर्ण कोण, सम्पूर्ण कोण, गोलाकार कोण या पेरिगॉन कहा जाता है।
ऐसा कोण जो समकोण का गुणज न हो, तिर्यक कोण कहलाता है।

नाम, अंतराल और मापने की इकाइयाँ नीचे दी गई तालिका में दिखाई गई हैं:

Right angle

Acute (a), obtuse (b), and straight (c) angles. The acute and obtuse angles are also known as oblique angles.

Reflex angle

इकाइयाँ	अंतराल
नाम	शून्य	न्यून	समकोण	अधिक	ऋजु	प्रतिवर्ती	पेरिगॉन
मोड़	0 turn	(0, 1/4) turn	1/4 turn	(1/4, 1/2) turn	1/2 turn	(1/2, 1) turn	1 turn
रेडियन	0 rad	(0, 1/2 $π$ ) rad	1/2 $π$ rad	(1/2 $π$ , $π$ ) rad	$π$ rad	( $π$ , 2 $π$ ) rad	2 $π$ rad
डिग्री	0°	(0, 90)°	90°	(90, 180)°	180°	(180, 360)°	360°
गोन	0^g	(0, 100)^g	100^g	(100, 200)^g	200^g	(200, 400)^g	400^g

तुल्यता कोण जोड़े

समान माप वाले कोण (अर्थात समान परिमाण) समान या सर्वांगसम कहलाते हैं। एक कोण को उसके माप से परिभाषित किया जाता है और यह कोण की भुजाओं की लंबाई पर निर्भर नहीं होता है (उदाहरण के लिए सभी समकोण माप में बराबर होते हैं)।
दो कोण जो अंतिम पक्षों को साझा करते हैं, लेकिन एक मोड़ के पूर्णांक गुणक द्वारा आकार में भिन्न होते हैं, कोटरमिनल कोण कहलाते हैं।
एक संदर्भ कोण किसी भी कोण का न्यून संस्करण है, जिसे बार-बार घटाकर या सीधे कोण (1/2 मोड़, 180 डिग्री, या रेडियन) को जोड़कर निर्धारित किया जाता है,आवश्यकतानुसार परिणामों के लिए, जब तक परिणाम का परिमाण एक न्यून कोण न हो, 0 और1/4 मोड़ के बीच का मान, 90°, या $π$ /2 रेडियन। उदाहरण के लिए, 30 डिग्री के कोण में 30 डिग्री का संदर्भ कोण होता है, और 150 डिग्री के कोण में 30 डिग्री (180-150) का संदर्भ कोण भी होता है। 750 डिग्री के कोण का संदर्भ कोण 30 डिग्री (750-720) होता है।^[6]

लंबवत और आसन्न कोण जोड़े

कोण समानता दिखाने के लिए यहां हैच के निशान का उपयोग किया जाता है।

जब दो सीधी रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो चार कोण बनते हैं। जोड़ी में इन कोणों को एक दूसरे के सापेक्ष उनके स्थान के अनुसार नाम दिया गया है।

एक दूसरे के सम्मुख कोणों का एक युग्म, जो दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं से बनता है, जो X-समान आकृति बनाते है, उर्ध्वाधर कोण या सम्मुख कोण या लंबवत सम्मुख कोण कहलाते हैं। उन्हें vert के रूप में संक्षिप्त किया गया है। विपक्ष ई.एस.^[7] उर्ध्वाधर सम्मुख कोणों की समानता को उर्ध्वाधर कोण प्रमेय कहते हैं। रोड्स के यूडेमस ने थेल्स ऑफ मिलेटस को सबूत के लिए जिम्मेदार ठहराया।^[8]^[9] प्रस्ताव ने दिखाया कि चूंकि दोनों लंबवत कोणों की एक जोड़ी दोनों आसन्न कोणों के पूरक हैं, लंबवत कोण माप में बराबर हैं। एक ऐतिहासिक नोट के अनुसार,^[9] जब थेल्स ने मिस्र का दौरा किया, तो उन्होंने देखा कि जब भी मिस्रवासी दो प्रतिच्छेद करने वाली रेखाएँ खींचते हैं, तो वे यह सुनिश्चित करने के लिए लंबवत (ऊर्ध्वाधर) कोणों को मापते हैं, कि वे समान हैं। थेल्स ने निष्कर्ष निकाला कि कोई यह साबित कर सकता है कि सभी ऊर्ध्वाधर कोण समान हैं, यदि कोई कुछ सामान्य धारणाओं को स्वीकार करता है, जैसे:

सभी समकोण समान होते हैं।
बराबर में जोड़े गए बराबर बराबर होते हैं।
बराबर में से घटाए गए बराबर बराबर होते हैं।

जब दो आसन्न कोण एक सीधी रेखा बनाते हैं, तो वे संपूरक होते हैं। इसलिए, यदि हम यह मान लें कि कोण ए (A) की माप x के बराबर है, तो कोण सी (C) की माप 180° − x होगी। इसी प्रकार, कोण डी (D) की माप 180° − x होगी। कोण सी (C) और कोण डी (D) दोनों के माप के बराबर हैं 180° − x और सर्वांगसम हैं। चूँकि कोण बी (B) दोनों कोणों सी (C) और डी (D) का पूरक है, कोण बी (B) की माप को निर्धारित करने के लिए इनमें से किसी भी कोण माप का उपयोग किया जा सकता है। कोण सी (C) या कोण डी (D) की माप का उपयोग करके, हम कोण बी (B) की माप 180° − (180° − x) = 180° − 180° + x = x ज्ञात करते हैं। इसलिए, कोण ए (A) और कोण बी (B) दोनों के माप x के बराबर हैं, और माप में बराबर हैं।

कोण A और B आसन्न हैं।

आसन्न कोण, प्रायः adj के रूप में संक्षिप्त। एस (s), ऐसे कोण हैं जो एक सामान्य शीर्ष और किनारे साझा करते हैं लेकिन कोई आंतरिक बिंदु साझा नहीं करते हैं। दूसरे शब्दों में, वे कोण होते हैं जो अगल-बगल होते हैं, या आसन्न होते हैं, एक भुजा का साझा करते हैं। आसन्न कोण जो एक समकोण, ऋजुकोण या पूर्ण कोण के योग होते हैं, विशेष होते हैं और क्रमशः समपूरक, अनुपूरक और पूरक कोण कहलाते हैं।

एक तिर्यक रेखा एक रेखा है जो (प्रायः समानांतर) रेखाओं की एक जोड़ी को काटती है, और वैकल्पिक आंतरिक कोणों, संगत कोणों, आंतरिक कोणों और बाहरी कोणों से जुड़ी होती है।^[10]

कोण जोड़े का संयोजन

तीन विशेष कोण जोड़े में कोणों का योग शामिल होता है:

पूरक कोण a और b (b a और a का पूरक है। > b) का पूरक है।

पूरक कोण कोण युग्म होते हैं जिनकी मापों का योग एक समकोण होता है (1/4 मोड़, 90°, या $π$ /2 रेडियन)।^[11] यदि दो पूरक कोण आसन्न हैं, तो उनकी साझा न करने वाली भुजाएँ एक समकोण बनाती हैं। यूक्लिडियन ज्यामिति में, एक समकोण त्रिभुज में दो न्यून कोण पूरक होते हैं, क्योंकि त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग 180 डिग्री होता है, और समकोण स्वयं 90 डिग्री का होता है।

विशेषण समपूरक लैटिन समपूरक से है, जो क्रिया के साथ जुड़ा है, "भरने के लिए"। एक समकोण बनाने के लिए इसके पूरक द्वारा एक न्यून कोण "भरा" जाता है।

कोण और समकोण के बीच के अंतर को कोण का पूरक कहा जाता है।^[12] यदि कोण ए (A) और बी (B) पूरक हैं, तो निम्नलिखित संबंध रखते है:

{\begin{aligned}&\sin ^{2}A+\sin ^{2}B=1&&\cos ^{2}A+\cos ^{2}B=1\\[3pt]&\tan A=\cot B&&\sec A=\csc B\end{aligned}}

(एक कोण की स्पर्श रेखा उसके पूरक के सह-स्पर्शरेखा के बराबर होती है और उसका छेदक उसके पूरक के सह-छेदक के बराबर होती है।)

कुछ त्रिकोणमितीय अनुपातों के नामों में उपसर्ग "सह" समपूरक शब्द को संदर्भित करता है।

कोण a और b संपूरक कोण हैं।

दो कोण जो एक ऋजु कोण का योग करते हैं (1/2 मोड़, 180°, या $π$ रेडियन) समपूरक कोण कहलाते हैं।^[13] यदि दो समपूरक कोण आसन्न हैं (अर्थात एक उभयनिष्ठ शीर्ष है और केवल एक भुजा साझा करते हैं), तो उनकी साझा न करने वाली भुजाएँ एक सीधी रेखा बनाती हैं। ऐसे कोणों को कोणों का रैखिक युग्म कहा जाता है।^[14] हालांकि, समपूरक कोणों का एक ही रेखा पर होना जरूरी नहीं है। उदाहरण के लिए, समांतर चतुर्भुज के आसन्न कोण समपूरक होते हैं, औरचक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण (जिसके शीर्ष सभी एक ही वृत्त पर पड़ते हैं) पूरक होते हैं।

यदि एक बिंदु पी (P) केंद्र ओ (O) वाले वृत्त के बाहर है, और यदि पी (P) से स्पर्श रेखाएँ वृत्त को बिंदु टी (T) और क्यू (Q) पर स्पर्श करती हैं, तो ∠टीपीक्यू (∠TPQ) और ∠टीओक्यू (∠TOQ) पूरक हैं।

संपूरक कोणों की ज्या बराबर होती है। उनके कोज्या और स्पर्श रेखाएं (जब तक कि अपरिभाषित नहीं) परिमाण में बराबर होते हैं, लेकिन विपरीत चिह्न होते हैं।

यूक्लिडियन ज्यामिति में, त्रिभुज के दो कोणों का योग तीसरे का समपूरक होता है, क्योंकि त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग एक ऋजु कोण होता है।

दो पूरक कोणों का योग एक पूर्ण कोण होता है।

दो कोण जिनका योग एक पूर्ण कोण (1 मोड़, 360°, या 2 $π$ रेडियन) होता है, समपूरक कोण या संयुग्म कोण कहलाते हैं। एक कोण और एक पूर्ण कोण के बीच के अंतर को कोण का योग या कोण का संयुग्मी कहा जाता है।

बहुभुज-संबंधित कोण

आंतरिक और बाहरी कोण।

एक कोण जो एकसाधारण बहुभुज का भाग होता है, एक आंतरिक कोण कहलाता है यदि वह उस साधारण बहुभुज के अंदर स्थित हो। एक साधारण अवतल बहुभुज में कम से कम एक आंतरिक कोण होता है जो एक प्रतिवर्त कोण होता है।
यूक्लिडियन ज्यामिति में, त्रिभुज के आंतरिक कोणों के मापों का योग होता है $π$ रेडियन, 180° या 1/2 मोड़ तक जोड़ते हैं; एक साधारण उत्तल चतुर्भुज के आंतरिक कोणों के माप 2 $π$ रेडियन, 360° या 1 मोड़ तक जोड़ते हैं। सामान्यतः, n भुजाओं वाले एक साधारण उत्तल बहुभुज के आंतरिक कोणों के मापों का योग (n − 2) $π$ रेडियन, (n − 2)180 डिग्री, (n − 2)2 समकोण, या (n − 2)1/2 मोड़ होता है।।
एक आंतरिक कोण के पूरक को एक बाह्य कोण कहा जाता है, अर्थात एक आंतरिक कोण और एक बाह्य कोण, कोणों का एक रैखिक युग्म बनाते हैं। बहुभुज के प्रत्येक शीर्ष पर दो बाहरी कोण होते हैं, प्रत्येक को शीर्ष पर मिलने वाले बहुभुज के दो पक्षों (किनारो) में से एक को विस्तारित करके प्राप्त करते है, ये दो कोण लंबवत हैं और इसलिए बराबर हैं। एक बाह्य कोण बहुभुज का पता लगाने के लिए एक शीर्ष पर घूर्णन की मात्रा को मापता है।^[15] यदि संगत आंतरिक कोण एक प्रतिवर्त कोण है, तो बाह्य कोण को ऋणात्मक माना जाना चाहिए। यहां तक कि एक आसाधारण बहुभुज में भी बाह्य कोण को परिभाषित करना संभव हो सकता है, लेकिन बाह्य कोण माप के चिन्ह को तय करने के लिए किसी को समतल (या सतह) का एक अभिविन्यास चुनना होगा।
यूक्लिडियन ज्यामिति में, एक साधारण उत्तल बहुभुज के बाह्य कोणों का योग, यदि प्रत्येक शीर्ष पर दो बाह्य कोणों में से केवल एक माना जाता है, तो एक पूर्ण मोड़ (360°) होगा। यहाँ बाह्य कोण को पूरक बाह्य कोण कहा जा सकता है। नियमित बहुभुज बनाते समय बाह्य कोणों का उपयोग प्रायः लोगो टर्टल कार्यक्रमों में किया जाता है।
एक त्रिभुज में, दो बाह्य कोणों के समद्विभाजक और दूसरे आंतरिक कोण के समद्विभाजक समवर्ती होते हैं (एक बिंदु पर मिलते हैं)।^[16]
एक त्रिभुज में, तीन प्रतिच्छेदन बिंदु, प्रत्येक बाह्य कोण का समद्विभाजक, जिसकी विपरीत विस्तारित भुजा होती है, संरेख होते हैं।^[16]
एक त्रिभुज में, तीन प्रतिच्छेदन बिंदु, उनमें से दो एक आंतरिक कोण समद्विभाजक और विपरीत भुजा के बीच, और तीसरा बाह्य कोण समद्विभाजक और विपरीत विस्तारित भुजा के बीच, संरेख हैं।^[16]
कुछ लेखक साधारण बहुभुज के बाह्य कोण के नाम का उपयोग केवल आंतरिक कोण के बाह्य कोण (पूरक नहीं!) लागू करने के लिए करते हैं।^[17] यह उपरोक्त उपयोग के साथ विरोध करता है।

समतल से संबंधित कोण

दो तलों के बीच के कोण (जैसे एक बहुफलक के दो आसन्न फलक) को द्विफलकीय कोण कहा जाता है।^[12] यह समतल से लम्बवत दो रेखाओं के बीच न्यून कोण के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।
एक समतल और एक प्रतिच्छेदी सीधी रेखा के बीच का कोण प्रतिच्छेदन रेखा और प्रतिच्छेदन बिंदु से जाने वाली रेखा के बीच के कोण को घटाकर नब्बे (90) डिग्री के बराबर होता है और समतल के अभिलंबवत होता है।

मापने के कोण

एक ज्यामितीय कोण का आकार सामान्यतः सबसे छोटे घूर्णन के परिमाण की विशेषता होती है, जो एक किरण को दूसरे में मैप करता है। समान आकार वाले कोणों को समान या सर्वांगसम या माप में बराबर कहा जाता है।

कुछ संदर्भों में, जैसे किसी वृत्त पर एक बिंदु की पहचान करना या किसी संदर्भ अभिविन्यास (किसी वस्तु की स्थिति या कोण की दिशा) के सापेक्ष दो विमाओ में किसी वस्तु के अभिविन्यास (किसी वस्तु की स्थिति या कोण की दिशा) का वर्णन करना, पूर्ण मोड़ के निश्चित गुणक से भिन्न कोण, प्रभावी रूप से समतुल्य होते हैं। अन्य संदर्भों में, जैसे कि एक कुंडलित वक्र पर एक बिंदु की पहचान करना या किसी संदर्भ अभिविन्यास (किसी वस्तु की स्थिति या कोण की दिशा) के सापेक्ष दो विमाओ में किसी व�

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 |[[circular sector|चतुर्थाँश]]||4||90°||एक चतुर्थांश एक 1/4 मोड़ (टर्न) है और इसे ''[[right angle|समकोण]]'' भी कहते है। चतुर्थांश [[Euclid's Elements|यूक्लिड के तत्वों]] में प्रयुक्त इकाई है। एक चतुर्थांश को दर्शाने के लिए प्रतीक <sup>∟</sup> का उपयोग किया गया है। 1 क्वाड = 90° = {{sfrac|{{pi}}|2}} रेड (rad) = {{sfrac|4}} टर्न = 100 ग्रेड (grad)।
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-|[[circular sector|सेक्सटैंट]]||6||60°||सेक्स्टेंट [[Babylonians|बेबीलोनियों]] द्वारा उपयोग की जाने वाली इकाई थी, डिग्री, चाप का मिनट और चाप का सेकंड बेबीलोनियाई इकाई के [[sexagesimal|षाष्टिक (सेक्सेजिमल)]] उपइकाई हैं।,<ref name="Jeans_1947"/><ref name="Murnaghan_1946"/> यह विशेष रूप से पटरी और परकार से बनाना आसान है। यह ''[[equilateral triangle|समबाहु त्रिभुज]]''  का कोण है या 1/6 मोड़ (टर्न) है। 1 बेबीलोनियाई इकाई = 60° = {{pi}}/3 रेड ≈ 1.047197551 रेड .
+|[[circular sector|सेक्सटैंट]]||6||60°||सेक्स्टेंट [[Babylonians|बेबीलोनियों]] द्वारा उपयोग की जाने वाली इकाई थी, डिग्री, चाप का मिनट और चाप का सेकंड बेबीलोनियाई इकाई के [[sexagesimal|षाष्टिक (सेक्सेजिमल)]] उपइकाई हैं।,<ref name="Jeans_1947"/><ref name="Murnaghan_1946"/> यह विशेष रूप से पटरी और परकार से बनाना आसान है। यह ''[[equilateral triangle|समबाहु त्रिभुज]]''  का कोण है या 1/6 मोड़ (टर्न) है। 1 बेबीलोनियाई इकाई = 60° = {{pi}}/3 रेड ≈ 1.047197551 रेड
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 |[[Radian|रेडियन]]||{{math|2''π''}}||57°17′||रेडियन एक वृत्त की परिधि से निर्धारित होता है जो वृत्त की त्रिज्या के बराबर लंबाई (n = 2π = 6.283...) का होता है। यह एक वृत्त के चाप द्वारा अंतरित कोण होता है, जिसकी लंबाई वृत्त की त्रिज्या के समान होती है। रेडियन का प्रतीक रेड (rad) है। एक मोड़ (टर्न) 2{{math|π}} रेडियन होता है, और एक रेडियन {{sfrac|180°|{{pi}}}} या लगभग 57.2958 डिग्री होता है। गणितीय ग्रंथों में, कोणों को अक्सर एक रेडियन के साथ विमाहीन माना जाता है, जिसके परिणामस्वरूप इकाई रेड (rad) को अक्सर छोड़ दिया जाता है।रेडियन का उपयोग लगभग सभी गणितीय कार्यों में किया जाता है, सरल प्रयोगिक ज्यामिति से परे, उदाहरण के लिए, मनभावन और "प्राकृतिक" गुणों के कारण जो [[trigonometric function|त्रिकोणमितीय फलन]] प्रदर्शित करते हैं जब उनके तर्क रेडियन में होते हैं।रेडियन [[SI|एसआई]] (SI) में कोणीय माप की (व्युत्पन्न) इकाई है, जो कोण को
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 |[[Binary angular measurement|द्विआधारी  डिग्री]] ||256||1°33'45"  || बाइनरी डिग्री, जिसे ''[[binary radian|बाइनरी रेडियन]]''  या ब्रैड या बाइनरी कोणीय माप (BAM) से  भी जाना जाता है।<ref name="ooPIC"/> बाइनरी डिग्री का उपयोग अभिकलन में किया जाता है ताकि एक कोण को एक [[byte|बाइट]] में अच्छे से दर्शाया जा सके (यद्यपि सीमित परिशुद्धता के लिए)। अभिकलन में प्रयुक्त कोण के अन्य माप, n के अन्य मान के लिए एक पूरे मोड़ को 2<sup>''n''</sup> बराबर भागों में विभाजित करने पर आधारित होते हैं।<ref name="Hargreaves_2010" /> यह एक मोड़ (टर्न) का {{sfrac|256}} है। <ref name="ooPIC" />
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-|[[degree (angle)|डिग्री]] ||360 ||1°|| One advantage of this old [[sexagesimal]] subunit is that many angles common in simple geometry are measured as a whole number of degrees. Fractions of a degree may be written in normal decimal notation (e.g. 3.5° for three and a half degrees), but the "minute" and "second" sexagesimal subunits of the "degree-minute-second" system are also in use, especially for [[Geographic coordinate system|geographical coordinates]] and in [[astronomy]] and [[ballistics]] (''n''&nbsp;=&nbsp;360) The ''degree'', denoted by a small superscript circle (°), is 1/360 of a turn, so one ''turn'' is 360°. The case of degrees for the formula given earlier, a ''degree'' of ''n'' = 360° units is obtained by setting ''k'' = {{sfrac|360°|2{{pi}}}}.
+|[[degree (angle)|डिग्री]] ||360 ||1°|| इस पुराने [[sexagesimal|षाष्टिक (सेक्सजेसिमल)]] उपिकाई का एक फायदा यह है कि साधारण ज्यामिति में आम कई कोणों को डिग्री की एक पूरी संख्या के रूप में मापा जाता है। डिग्री के अंश सामान्य दशमलव संकेतन में लिखे जा सकते हैं (उदाहरण के लिए 3.5 डिग्री), लेकिन "डिग्री-मिनट-सेकंड" प्रणाली के "मिनट" और "सेकंड" षाष्टिक (सेक्सजेसिमल) उपिकाई भी उपयोग में हैं, विशेष रूप से [[Geographic coordinate system|भौगोलिक निर्देशांक]] के लिए और [[astronomy|खगोल विज्ञान]] और [[ballistics|अस्त्रविज्ञान]] में (n = 360)। ऊपर लिखे हुए एक छोटे वृत्त (°) द्वारा दर्शाई गई डिग्री, एक मोड़ (टर्न) का 1/360 है, इसलिए एक मोड़ (टर्न) 360° का होता है। पहले दिए गए सूत्र के लिए डिग्री का मामला, ''k'' = {{sfrac|360°|2{{pi}}}} सेट करके n = 360° (डिग्री) इकाई प्राप्त की जाती है।
 |-
 | [[grad (angle)|ग्रेड]]||400 ||0°54′ || ग्रेड, जिसे, ग्रैड, [[gradian|ग्रेडियन]] या गॉन भी कहा जाता है। यह चतुर्थांश की दशमलव उपइकाई है। एक समकोण 100 ग्रैड होता है। एक [[kilometre|किलोमीटर]] को ऐतिहासिक रूप से पृथ्वी के एक [[meridian (geography)|मध्याह्न रेखा]] के साथ चाप के एक [[centi|सेंटी]]-ग्रेड के रूप में परिभाषित किया गया था, इसलिए किलोमीटर [[sexagesimal|षाष्टिक (सेक्सजेसिमल)]] [[nautical mile|समुद्री मील]] (n = 400) का दशमलव अनुरूप है। ग्रेड का उपयोग ज्यादातर त्रिभुज और महाद्वीपीय सर्वेक्षण में किया जाता है। ग्रेड का उपयोग ज्यादातर [[triangulation (surveying)|त्रिभुजन]] और महाद्वीपीय [[surveying|सर्वेक्षण]] में किया जाता है।

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