कोण: Difference between revisions

Revision as of 12:27, 4 July 2022

एक शीर्ष से निकलने वाली दो किरणों द्वारा निर्मित कोण।

यूक्लिडियन ज्यामिति में, एक कोण दो किरणों द्वारा बनाई गई आकृति है, जिसे कोण के पक्ष (भुजा) कहा जाता है, जो एक ही बिंदु पर मिलती है, जिसे कोण का शीर्ष कहा जाता है।^[1] दोनों किरणें तथा इनसे से बनने वाले कोण एक ही तल में होते हैं। कोण भी दो तलों के प्रतिच्छेदन से बनते हैं, जिन्हे द्वितल (डायहेड्रल) कोण कहा जाता है। दो प्रतिच्छेदी वक्र भी एक कोण को निर्माण सकते हैं, जो कि उनके प्रतिच्छेदन बिंदु पर संबंधित वक्रों की स्पर्शरेखा वाली किरणों का कोण होता है।

कोण का उपयोग कोण या घूर्णन के माप को निर्दिष्ट करने के लिए भी किया जाता है। यह माप एक वृत्ताकार चाप की लंबाई और उसकी त्रिज्या का अनुपात है। एक ज्यामितीय कोण के मामले में, चाप शीर्ष पर केंद्रित होता है और पक्षों द्वारा सीमांकित होता है। घूर्णन के मामले में, चाप घूर्णन के केंद्र में केंद्रित होता है और किसी अन्य बिंदु से और घूर्णन द्वारा इसकी छवि को सीमित करता है।

इतिहास और व्युत्पत्ति

कोण शब्द लैटिन शब्द एंगुलस से आया है, जिसका अर्थ है "कोना"; सजातीय शब्द ग्रीक हैं (ankylοs), जिसका अर्थ है "कुटिल, घुमावदार," और अंग्रेजी शब्द "ankle"। दोनों प्रोटो-इंडो-यूरोपियन मूल *ank-, जिसका अर्थ है "मुड़ना" या "झुकना"।^[2]

यूक्लिड एक समतल कोण को एक दूसरे के झुकाव के रूप में परिभाषित करता है, एक समतल में, दो रेखाएँ जो एक दूसरे से मिलती हैं, और एक दूसरे के सापेक्ष सीधी नहीं होती हैं। 'प्रोक्लस' के अनुसार, कोण या तो गुणवत्ता या मात्रा, या संबंध होना चाहिए। पहली अवधारणा का उपयोग 'यूडेमस' द्वारा किया गया था, जो एक कोण को एक सीधी रेखा से विचलन के रूप में मानते थे; दूसरा अन्ताकिया के कार्पस द्वारा, जिसने इसे प्रतिच्छेदन रेखाओं के बीच का अंतराल या स्थान माना; यूक्लिड ने तीसरी अवधारणा को अपनाया।^[3]

कोणों की पहचान

गणितीय अभिव्यक्तियों (अभिव्यंजना) में, ग्रीक अक्षरों (α, β, γ, θ, φ, . . . ) का उपयोग, किसी कोण के आकार को दर्शाने वाले चर के रूप में (इसके अन्य अर्थ के साथ भ्रम से बचने के लिए, प्रतीक $π$ आमतौर पर इस उद्देश्य के लिए उपयोग नहीं किया जाता है) करना आम है। छोटे रोमन अक्षरों (a, b, c, . . . ) का भी उपयोग किया जाता है। ऐसे संदर्भों में जहां यह अस्पष्ट नहीं है, एक कोण को बड़े रोमन अक्षर द्वारा दर्शाया जा सकता है जो इसके शीर्ष को दर्शाता है। उदाहरण के लिए इस आलेख में आंकड़े देखें।

ज्यामितीय आकृतियों में, कोणों को उन तीन बिंदुओं से भी पहचाना जा सकता है, जो उन्हें परिभाषित करते हैं। उदाहरण के लिए, एबी और एसी किरणों (अर्थात बिंदु ए से बिंदु बी और सी तक की रेखाएं) द्वारा गठित शीर्ष ए वाले कोण को $∠BAC$ या ${\widehat {\rm {BAC}}}$ दर्शाया गया है। जहां अस्पष्टता का कोई संकट नहीं है, कोण को कभी-कभी केवल इसके शीर्ष (इस स्थिति में "कोण ए") द्वारा संदर्भित किया जा सकता है।

संभावित रूप से, ∠BAC के रूप में निरूपित एक कोण, चार कोणों में से किसी को भी संदर्भित कर सकता है: बी से सी तक का दक्षिणावर्त कोण, बी से सी का वामावर्त कोण, सी से बी का दक्षिणावर्त कोण, या सी से बी का वामावर्त कोण, जहां कोण को जिस दिशा में मापा जाता है, वह उसका संकेत निर्धारित करता है (सकारात्मक और नकारात्मक कोण देखें)। हालांकि, कई ज्यामितीय स्थितियों में, संदर्भ से यह स्पष्ट है कि सकारात्मक कोण 180 डिग्री से कम या उसके बराबर है, ऐसी स्थिति में कोई अस्पष्टता नहीं होती है। अन्यथा, एक समझौता अपनाया जा सकता है ताकि $∠BAC$ हमेशा बी से सी तक वामावर्त (सकारात्मक) कोण को संदर्भित करता है, और $∠CAB$ सी (C) से बी (B) तक वामावर्त (सकारात्मक) कोण।

कोणों के प्रकार

व्यक्तिगत कोण

कोणों के लिए कुछ सामान्य शब्दावली है, जिसका माप हमेशा ऋणात्मक नहीं होता:^[4]^[5]

0° के बराबर या मुड़े हुए कोण को शून्य कोण कहा जाता है।

एक समकोण से छोटे (90° से कम) कोण को न्यून कोण ("तीव्र" अर्थात "तेज") कहा जाता है।
1/4 मोड़ के बराबर कोण (90° or $π$ /2 रेडियन) को समकोण कहा जाता है। समकोण बनाने वाली दो रेखाएँ अभिलम्बवत, लाम्बिक या लंबवत कहलाती हैं।
एक समकोण से बड़ा और एक ऋजु कोण से छोटे (90° और 180° के बीच) कोण को अधिक कोण ("अधिक" अर्थ वाला "कुंद") कहा जाता है।
1/2 मोड़ के बराबर कोण (180° या $π$ रेडियन) को एक ऋजु कोण कहा जाता है।
एक कोण जो एक ऋजु कोण से बड़ा होता है लेकिन 1 मोड़ से कम (180° और 360° के बीच) होता है, प्रतिवर्ती कोण कहलाता है।
1 मोड़ के बराबर कोण (360° या 2 $π$ रेडियन) को पूर्ण कोण, सम्पूर्ण कोण, गोलाकार कोण या पेरिगॉन कहा जाता है।
ऐसा कोण जो समकोण का गुणज न हो, तिर्यक कोण कहलाता है।

नाम, अंतराल और मापने की इकाइयाँ नीचे दी गई तालिका में दिखाई गई हैं:

Right angle

Acute (a), obtuse (b), and straight (c) angles. The acute and obtuse angles are also known as oblique angles.

Reflex angle

इकाइयाँ	अंतराल
नाम	शून्य	न्यून	समकोण	अधिक	ऋजु	प्रतिवर्ती	पेरिगॉन
मोड़	0 turn	(0, 1/4) turn	1/4 turn	(1/4, 1/2) turn	1/2 turn	(1/2, 1) turn	1 turn
रेडियन	0 rad	(0, 1/2 $π$ ) rad	1/2 $π$ rad	(1/2 $π$ , $π$ ) rad	$π$ rad	( $π$ , 2 $π$ ) rad	2 $π$ rad
डिग्री	0°	(0, 90)°	90°	(90, 180)°	180°	(180, 360)°	360°
गोन	0^g	(0, 100)^g	100^g	(100, 200)^g	200^g	(200, 400)^g	400^g

तुल्यता कोण जोड़े

समान माप वाले कोण (अर्थात समान परिमाण) समान या सर्वांगसम कहलाते हैं। एक कोण को उसके माप से परिभाषित किया जाता है और यह कोण की भुजाओं की लंबाई पर निर्भर नहीं होता है (उदाहरण के लिए सभी समकोण माप में बराबर होते हैं)।
दो कोण जो अंतिम पक्षों को साझा करते हैं, लेकिन एक मोड़ के पूर्णांक गुणक द्वारा आकार में भिन्न होते हैं, कोटरमिनल कोण कहलाते हैं।
एक संदर्भ कोण किसी भी कोण का न्यून संस्करण है, जिसे बार-बार घटाकर या सीधे कोण (1/2 मोड़, 180 डिग्री, या रेडियन) को जोड़कर निर्धारित किया जाता है,आवश्यकतानुसार परिणामों के लिए, जब तक परिणाम का परिमाण एक न्यून कोण न हो, 0 और1/4 मोड़ के बीच का मान, 90°, या $π$ /2 रेडियन। उदाहरण के लिए, 30 डिग्री के कोण में 30 डिग्री का संदर्भ कोण होता है, और 150 डिग्री के कोण में 30 डिग्री (180-150) का संदर्भ कोण भी होता है। 750 डिग्री के कोण का संदर्भ कोण 30 डिग्री (750-720) होता है।^[6]

लंबवत और आसन्न कोण जोड़े

कोण समानता दिखाने के लिए यहां हैच के निशान का उपयोग किया जाता है।

जब दो सीधी रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो चार कोण बनते हैं। जोड़ी में इन कोणों को एक दूसरे के सापेक्ष उनके स्थान के अनुसार नाम दिया गया है।

एक दूसरे के सम्मुख कोणों का एक युग्म, जो दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं से बनता है, जो X-समान आकृति बनाते है, उर्ध्वाधर कोण या सम्मुख कोण या लंबवत सम्मुख कोण कहलाते हैं। उन्हें vert के रूप में संक्षिप्त किया गया है। विपक्ष ई.एस.^[7] उर्ध्वाधर सम्मुख कोणों की समानता को उर्ध्वाधर कोण प्रमेय कहते हैं। रोड्स के यूडेमस ने थेल्स ऑफ मिलेटस को सबूत के लिए जिम्मेदार ठहराया।^[8]^[9] प्रस्ताव ने दिखाया कि चूंकि दोनों लंबवत कोणों की एक जोड़ी दोनों आसन्न कोणों के पूरक हैं, लंबवत कोण माप में बराबर हैं। एक ऐतिहासिक नोट के अनुसार,^[9] जब थेल्स ने मिस्र का दौरा किया, तो उन्होंने देखा कि जब भी मिस्रवासी दो प्रतिच्छेद करने वाली रेखाएँ खींचते हैं, तो वे यह सुनिश्चित करने के लिए लंबवत (ऊर्ध्वाधर) कोणों को मापते हैं, कि वे समान हैं। थेल्स ने निष्कर्ष निकाला कि कोई यह साबित कर सकता है कि सभी ऊर्ध्वाधर कोण समान हैं, यदि कोई कुछ सामान्य धारणाओं को स्वीकार करता है, जैसे:

सभी समकोण समान होते हैं।
बराबर में जोड़े गए बराबर बराबर होते हैं।
बराबर में से घटाए गए बराबर बराबर होते हैं।

जब दो आसन्न कोण एक सीधी रेखा बनाते हैं, तो वे संपूरक होते हैं। इसलिए, यदि हम यह मान लें कि कोण ए (A) की माप x के बराबर है, तो कोण सी (C) की माप 180° − x होगी। इसी प्रकार, कोण डी (D) की माप 180° − x होगी। कोण सी (C) और कोण डी (D) दोनों के माप के बराबर हैं 180° − x और सर्वांगसम हैं। चूँकि कोण बी (B) दोनों कोणों सी (C) और डी (D) का पूरक है, कोण बी (B) की माप को निर्धारित करने के लिए इनमें से किसी भी कोण माप का उपयोग किया जा सकता है। कोण सी (C) या कोण डी (D) की माप का उपयोग करके, हम कोण बी (B) की माप 180° − (180° − x) = 180° − 180° + x = x ज्ञात करते हैं। इसलिए, कोण ए (A) और कोण बी (B) दोनों के माप x के बराबर हैं, और माप में बराबर हैं।

कोण A और B आसन्न हैं।

आसन्न कोण, प्रायः adj के रूप में संक्षिप्त। एस (s), ऐसे कोण हैं जो एक सामान्य शीर्ष और किनारे साझा करते हैं लेकिन कोई आंतरिक बिंदु साझा नहीं करते हैं। दूसरे शब्दों में, वे कोण होते हैं जो अगल-बगल होते हैं, या आसन्न होते हैं, एक भुजा का साझा करते हैं। आसन्न कोण जो एक समकोण, ऋजुकोण या पूर्ण कोण के योग होते हैं, विशेष होते हैं और क्रमशः समपूरक, अनुपूरक और पूरक कोण कहलाते हैं।

एक तिर्यक रेखा एक रेखा है जो (प्रायः समानांतर) रेखाओं की एक जोड़ी को काटती है, और वैकल्पिक आंतरिक कोणों, संगत कोणों, आंतरिक कोणों और बाहरी कोणों से जुड़ी होती है।^[10]

कोण जोड़े का संयोजन

तीन विशेष कोण जोड़े में कोणों का योग शामिल होता है:

पूरक कोण a और b (b a और a का पूरक है। > b) का पूरक है।

पूरक कोण कोण युग्म होते हैं जिनकी मापों का योग एक समकोण होता है (1/4 मोड़, 90°, या $π$ /2 रेडियन)।^[11] यदि दो पूरक कोण आसन्न हैं, तो उनकी साझा न करने वाली भुजाएँ एक समकोण बनाती हैं। यूक्लिडियन ज्यामिति में, एक समकोण त्रिभुज में दो न्यून कोण पूरक होते हैं, क्योंकि त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग 180 डिग्री होता है, और समकोण स्वयं 90 डिग्री का होता है।

विशेषण समपूरक लैटिन समपूरक से है, जो क्रिया के साथ जुड़ा है, "भरने के लिए"। एक समकोण बनाने के लिए इसके पूरक द्वारा एक न्यून कोण "भरा" जाता है।

कोण और समकोण के बीच के अंतर को कोण का पूरक कहा जाता है।^[12] यदि कोण ए (A) और बी (B) पूरक हैं, तो निम्नलिखित संबंध रखते है:

\begin{aligned} \sin^{2} A + \sin^{2} B = 1 & \cos^{2} A + \cos^{2} B = 1 \\ \tan A = \cot B & \sec \end{aligned}

[1]

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 कोण <var>θ</var> को मापने के लिए, कोण के शीर्ष को केंद्र मानकर एक वृत्ताकार चाप खींचा जाता है, उदाहरण के लिए परकार (कंपास) के एक जोड़े के साथ। चाप की लंबाई एस (<var>s)</var> का वृत्त की त्रिज्या आर (<var>r)</var> से अनुपात, कोण में रेडियन की संख्या है। परंपरागत रूप से, गणित और एसआई (SI) में, रेडियन को विमाहीन मान 1 के बराबर माना जाता है।
-कोण को व्यक्त किया गया एक और कोणीय इकाई तब कोण को फॉर्म के उपयुक्त रूपांतरण स्थिरांक से गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है {{sfrac|''k''|2{{math|π}}}}, जहाँ k चुनी हुई इकाई में व्यक्त एक पूर्ण मोड़ का माप है (उदाहरण के लिए, {{nowrap|1= ''k'' = 360°}} डिग्री के लिए या स्नातक के लिए 400 ग्रेड):
+कोण को एक और कोणीय इकाई से व्यक्त किया गया अतः कोण को {{sfrac|''k''|2{{math|π}}}} के रूप के उपयुक्त रूपांतरण स्थिरांक से गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है, जहाँ k चुनी हुई इकाई में व्यक्त एक पूर्ण मोड़ का माप है (उदाहरण के लिए, {{nowrap|1= ''k'' = 360°}} के लिए डिग्री या 400 ग्रेड के लिए ग्रेडियन):
 :<math> \theta = \frac{k}{2\pi} \cdot \frac{s}{r}. </math>
-का मूल्य {{math|''θ''}} इस प्रकार परिभाषित वृत्त के आकार से स्वतंत्र है: यदि त्रिज्या की लंबाई बदल जाती है तो चाप की लंबाई उसी अनुपात में बदल जाती है, इसलिए अनुपात s/r अपरिवर्तित रहता है।{{refn|group="nb"|This approach requires however an additional proof that the measure of the angle does not change with changing radius {{math|''r''}}, चुनी गई माप इकाइयों के मुद्दे के अलावा। एक आसान तरीका कोण को संबंधित इकाई सर्कल चाप की लंबाई से मापना है। यहां इकाई को इस अर्थ में आयामहीन चुना जा सकता है कि यह वास्तविक रेखा पर इकाई खंड से जुड़ी वास्तविक संख्या 1 है। उदाहरण के लिए राडोस्लाव एम. दिमित्रिक देखें।<ref name="Dimitric_2012 />}}
+इस प्रकार परिभाषित θ का मान वृत्त के आकार पर निर्भर नहीं करता, यदि त्रिज्या की लंबाई बदल जाती है तो चाप की लंबाई उसी अनुपात में बदल जाती है, अतः अनुपात एस/आर (s/r) अपरिवर्तित रहता है।{{refn|group="nb"|This approach requires however an additional proof that the measure of the angle does not change with changing radius {{math|''r''}}, चुनी गई माप इकाइयों के मुद्दे के अलावा। एक आसान तरीका कोण को संबंधित इकाई सर्कल चाप की लंबाई से मापना है। यहां इकाई को इस अर्थ में आयामहीन चुना जा सकता है कि यह वास्तविक रेखा पर इकाई खंड से जुड़ी वास्तविक संख्या 1 है। उदाहरण के लिए राडोस्लाव एम. दिमित्रिक देखें।<ref name="Dimitric_2012 />}}
-=== कोण जोड़ अभिधारणा ===
+=== कोण योग अभिधारणा ===
-कोण योग अभिगृहीत बताता है कि यदि B कोण AOC के अभ्यंतर में है, तो
+कोण योग अभिधारणा बताती है कि यदि बी (B) कोण एओसी (∠AOC) के अंदर है, तो
 :<math> m\angle \mathrm{AOC} = m\angle \mathrm{AOB} + m\angle \mathrm{BOC} </math>
-कोण AOC का माप कोण AOB के माप और कोण BOC के माप का योग होता है।
+कोण एओसी (∠AOC) कि माप कोण AOB के माप और कोण एओबी (∠BOC) के माप का योग होता है।
 === इकाइयां ===
 [[Image:Angle radian.svg|right|thumb|1 रेडियन की परिभाषा]]
-Dian
+पूरे इतिहास में, कोणों को विभिन्न इकाइयों में मापा गया है। इन्हें '''कोणीय इकाइयों''' के रूप में जाना जाता है, जिनमें सबसे आधुनिक इकाइयाँ डिग्री (°), रेडियन (रेड), और ग्रेडियन (ग्रेड) हैं, इत्यादि का उपयोग इतिहास में किया गया है।<ref>{{Cite web|title=angular unit|url=https://www.thefreedictionary.com/angular+unit|access-date=2020-08-31|website=TheFreeDictionary.com}}</ref>
-पूरे इतिहास में, कोणों को विभिन्न इकाइयों में मापा गया है। इन्हें कोणीय इकाइयों के रूप में जाना जाता है, जिनमें सबसे समकालीन इकाइयाँ डिग्री (°), रेडियन (रेड), और ग्रेडियन (ग्रेड) हैं, हालाँकि कई अन्य का उपयोग पूरे इतिहास में किया गया है।<ref>{{Cite web|title=angular unit|url=https://www.thefreedictionary.com/angular+unit|access-date=2020-08-31|website=TheFreeDictionary.com}}</ref>
+मात्राओं की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली में, कोण को एक विमाहीन राशि के रूप में परिभाषित है। यह प्रभावित करता है कि विमीय विश्लेषण में कोण कैसा व्यवहार करता है।।
-मात्राओं की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली में, कोण को एक आयामहीन मात्रा के रूप में परिभाषित किया गया है। यह प्रभावित करता है कि आयामी विश्लेषण में कोण का इलाज कैसे किया जाता है।
+कोणीय माप की अधिकांश इकाइयाँ इस प्रकार परिभाषित हैं कि किसी पूर्ण संख्या एन (n) के लिए एक मोड़ (अर्थात एक पूर्ण वृत्त) एन (n) इकाइयों के बराबर होता है। रेडियन (और इसके दशमलव उपगुणक) और व्यास दो अपवाद हैं।
-कोणीय माप की अधिकांश इकाइयाँ इस प्रकार परिभाषित की जाती हैं कि किसी पूर्ण संख्या n के लिए एक मोड़ (अर्थात एक पूर्ण वृत्त) n इकाइयों के बराबर होता है। रेडियन (और इसके दशमलव उपगुणक) और व्यास भाग दो अपवाद हैं।
+एक रेडियन एक वृत्त के चाप द्वारा अंतरित कोण होता है जिसकी लंबाई वृत्त की त्रिज्या के समान होती है। रेडियन एसआई (SI) प्रणाली में कोणीय माप की व्युत्पन्न इकाई है। परिभाषा के अनुसार, यह विमाहीन है, हालांकि अस्पष्टता से बचने के लिए इसे रेड (rad) के रूप में दर्शाया जा सकता है। डिग्री में मापे गए कोणों को (°) के प्रतीक से दिखाया जाता है। डिग्री के उपखंड मिनट हैं (1 मिनट (′) = 1/60° (डिग्री)) और दूसरा (1 सेकंड (") = 1/3600° (डिग्री))। 360° का कोण एक पूर्ण वृत्त द्वारा अंतरित कोण के सामान होता है, और {{math|2''π''}} रेडियन, या 400 ग्रेडियन के बराबर होता है।
-एक रेडियन एक वृत्त के चाप द्वारा अंतरित कोण होता है जिसकी लंबाई वृत्त की त्रिज्या के समान होती है। रेडियन एसआई प्रणाली में कोणीय माप की व्युत्पन्न इकाई है। परिभाषा के अनुसार, यह आयामहीन है, हालांकि अस्पष्टता से बचने के लिए इसे रेड के रूप में निर्दिष्ट किया जा सकता है। डिग्री में मापे गए कोणों को ° के प्रतीक के साथ दिखाया जाता है। डिग्री के उपखंड मिनट हैं (प्रतीक ′, 1′ = 1/60°) और दूसरा (प्रतीक ″, 1″ = 1/3600°)। 360° का कोण एक पूर्ण वृत्त द्वारा अंतरित कोण के संगत होता है, और के बराबर होता है {{math|2''π''}} रेडियन, या 400 ग्रेडियन।
+कोणों को निरूपित करने के लिए प्रयुक्त अन्य इकाइयाँ निम्नलिखित तालिका में सूचीबद्ध हैं। इन इकाइयों को इस तरह परिभाषित किया गया है कि मोड़ (टर्न्स) की संख्या एक पूर्ण घूर्णन के बराबर है।
-कोणों को निरूपित करने के लिए प्रयुक्त अन्य इकाइयाँ निम्नलिखित तालिका में सूचीबद्ध हैं। इन इकाइयों को इस तरह परिभाषित किया गया है कि घुमावों की संख्या एक पूर्ण घूर्णन के बराबर है।
+{|class = "wikitable"
+!नाम !!एक
+टर्न में
-{|class = "wikitable"
+संख्या
-!नाम !!number in one turn!!in degrees !!description
+!डिग्री में !!विवरण
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 |[[turn (geometry)|टर्न]]||1||360° || The ''turn'', also ''cycle'', ''revolution'', and ''rotation'', is complete circular movement or measure (as to return to the same point) with circle or ellipse.  A turn is abbreviated ''cyc'', ''rev'', or ''rot'' depending on the application. A turn is equal to [[Turn_(angle)#Proposals_for_a_single_letter_to_represent_2π|2{{pi}}]] radians or 360 degrees.
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 |[[Radian|रेडियन]]||{{math|2''π''}}||57°17′||The ''radian'' is determined by the circumference of a circle that is equal in length to the radius of the circle (''n''&nbsp;=&nbsp;2{{pi}}&nbsp;=&nbsp;6.283...). It is the angle subtended by an arc of a circle that has the same length as the circle's radius. The symbol for radian is ''rad''. One turn is 2{{math|π}}&nbsp;radians, and one radian is {{sfrac|180°|{{pi}}}}, or about 57.2958 degrees. In mathematical texts, angles are often treated as being dimensionless with the radian equal to one, resulting in the unit ''rad'' often being omitted. The radian is used in virtually all mathematical work beyond simple practical geometry, due, for example, to the pleasing and "natural" properties that the [[trigonometric function]]s display when their arguments are in radians. The radian is the (derived) unit of angular measurement in the [[SI]], which also treats angle as being dimensionless.
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-| Hexacontade||60 ||6°||The ''hexacontade'' is a unit used by [[Eratosthenes]]. It is equal to 6°, so that a whole turn was divided into 60 hexacontades.
+| हेक्साकॉन्टेडे||60 ||6°||The ''hexacontade'' is a unit used by [[Eratosthenes]]. It is equal to 6°, so that a whole turn was divided into 60 hexacontades.
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-|[[Binary angular measurement|Binary degree]] ||256||1°33'45"  || The ''binary degree'', also known as the ''[[binary radian]]'' or ''brad'' or ''binary angular measurement (BAM)''.<ref name="ooPIC"/> The binary degree is used in computing so that an angle can be efficiently represented in a single [[byte]] (albeit to limited precision). Other measures of angle used in computing may be based on dividing one whole turn into 2<sup>''n''</sup> equal parts for other values of ''n''.
+|[[Binary angular measurement|द्विआधारी  डिग्री]] ||256||1°33'45"  || The ''binary degree'', also known as the ''[[binary radian]]'' or ''brad'' or ''binary angular measurement (BAM)''.<ref name="ooPIC"/> The binary degree is used in computing so that an angle can be efficiently represented in a single [[byte]] (albeit to limited precision). Other measures of angle used in computing may be based on dividing one whole turn into 2<sup>''n''</sup> equal parts for other values of ''n''.
 <ref name="Hargreaves_2010"/> It is {{sfrac|256}} of a turn.<ref name="ooPIC"/>
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-|[[degree (angle)|Degree]] ||360 ||1°|| One advantage of this old [[sexagesimal]] subunit is that many angles common in simple geometry are measured as a whole number of degrees. Fractions of a degree may be written in normal decimal notation (e.g. 3.5° for three and a half degrees), but the "minute" and "second" sexagesimal subunits of the "degree-minute-second" system are also in use, especially for [[Geographic coordinate system|geographical coordinates]] and in [[astronomy]] and [[ballistics]] (''n''&nbsp;=&nbsp;360) The ''degree'', denoted by a small superscript circle (°), is 1/360 of a turn, so one ''turn'' is 360°. The case of degrees for the formula given earlier, a ''degree'' of ''n'' = 360° units is obtained by setting ''k'' = {{sfrac|360°|2{{pi}}}}.
+|[[degree (angle)|डिग्री]] ||360 ||1°|| One advantage of this old [[sexagesimal]] subunit is that many angles common in simple geometry are measured as a whole number of degrees. Fractions of a degree may be written in normal decimal notation (e.g. 3.5° for three and a half degrees), but the "minute" and "second" sexagesimal subunits of the "degree-minute-second" system are also in use, especially for [[Geographic coordinate system|geographical coordinates]] and in [[astronomy]] and [[ballistics]] (''n''&nbsp;=&nbsp;360) The ''degree'', denoted by a small superscript circle (°), is 1/360 of a turn, so one ''turn'' is 360°. The case of degrees for the formula given earlier, a ''degree'' of ''n'' = 360° units is obtained by setting ''k'' = {{sfrac|360°|2{{pi}}}}.
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-| [[grad (angle)|Grad]]||400 ||0°54′ || The ''grad'', also called ''grade'', ''[[gradian]]'', or ''gon''. It is a decimal subunit of the quadrant. A right angle is 100 grads. A [[kilometre]] was historically defined as a [[centi]]-grad of arc along a [[meridian (geography)|meridian]] of the Earth, so the kilometer is the decimal analog to the [[sexagesimal]] [[nautical mile]] (''n''&nbsp;=&nbsp;400). The grad is used mostly in [[triangulation (surveying)|triangulation]] and continental [[surveying]].
+| [[grad (angle)|ग्रेड]]||400 ||0°54′ || The ''grad'', also called ''grade'', ''[[gradian]]'', or ''gon''. It is a decimal subunit of the quadrant. A right angle is 100 grads. A [[kilometre]] was historically defined as a [[centi]]-grad of arc along a [[meridian (geography)|meridian]] of the Earth, so the kilometer is the decimal analog to the [[sexagesimal]] [[nautical mile]] (''n''&nbsp;=&nbsp;400). The grad is used mostly in [[triangulation (surveying)|triangulation]] and continental [[surveying]].
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-| [[Minute of arc]]||21,600 ||0°1′|| The ''minute of arc'' (or ''MOA'', ''arcminute'', or just ''minute'') is {{sfrac|60}} of a degree. A [[nautical mile]] was historically defined as a minute of arc along a [[great circle]] of the Earth (''n''&nbsp;=&nbsp;21,600).  The ''arcminute'' is {{sfrac|60}} of a degree = {{sfrac|21,600}} turn. It is denoted by a single prime (&nbsp;′&nbsp;). For example, 3°&nbsp;30′ is equal to 3&nbsp;×&nbsp;60&nbsp;+&nbsp;30&nbsp;=&nbsp;210 minutes or 3&nbsp;+&nbsp;{{sfrac|30|60}} = 3.5 degrees. A mixed format with decimal fractions is also sometimes used, e.g. 3°&nbsp;5.72′ = 3&nbsp;+&nbsp;{{sfrac|5.72|60}} degrees. A [[nautical mile]] was historically defined as an arcminute along a [[great circle]] of the Earth.
+| [[Minute of arc|चाप के मिनट]]||21,600 ||0°1′|| The ''minute of arc'' (or ''MOA'', ''arcminute'', or just ''minute'') is {{sfrac|60}} of a degree. A [[nautical mile]] was historically defined as a minute of arc along a [[great circle]] of the Earth (''n''&nbsp;=&nbsp;21,600).  The ''arcminute'' is {{sfrac|60}} of a degree = {{sfrac|21,600}} turn. It is denoted by a single prime (&nbsp;′&nbsp;). For example, 3°&nbsp;30′ is equal to 3&nbsp;×&nbsp;60&nbsp;+&nbsp;30&nbsp;=&nbsp;210 minutes or 3&nbsp;+&nbsp;{{sfrac|30|60}} = 3.5 degrees. A mixed format with decimal fractions is also sometimes used, e.g. 3°&nbsp;5.72′ = 3&nbsp;+&nbsp;{{sfrac|5.72|60}} degrees. A [[nautical mile]] was historically defined as an arcminute along a [[great circle]] of the Earth.
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-| [[Second of arc]]||1,296,000 ||0°0′1″||The ''second of arc'' (or ''arcsecond'', or just ''second'') is {{sfrac|60}} of a minute of arc and {{sfrac|3600}} of a degree (''n''&nbsp;=&nbsp;1,296,000). The ''arcsecond'' (or ''second of arc'', or just ''second'') is {{sfrac|60}} of an arcminute and {{sfrac|3600}} of a degree. It is denoted by a double prime (&nbsp;″&nbsp;). For example, 3°&nbsp;7′&nbsp;30″ is equal to 3 + {{sfrac|7|60}} + {{sfrac|30|3600}} degrees, or 3.125&nbsp;degrees.
+| [[Second of arc|चाप के]]
+[[Second of arc|सेकंड]]
+|1,296,000 ||0°0′1″||The ''second of arc'' (or ''arcsecond'', or just ''second'') is {{sfrac|60}} of a minute of arc and {{sfrac|3600}} of a degree (''n''&nbsp;=&nbsp;1,296,000). The ''arcsecond'' (or ''second of arc'', or just ''second'') is {{sfrac|60}} of an arcminute and {{sfrac|3600}} of a degree. It is denoted by a double prime (&nbsp;″&nbsp;). For example, 3°&nbsp;7′&nbsp;30″ is equal to 3 + {{sfrac|7|60}} + {{sfrac|30|3600}} degrees, or 3.125&nbsp;degrees.
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