पैरावेक्टर

पैरावेक्टर नाम का उपयोग किसी भी क्लिफोर्ड बीजगणित में अदिश और सदिश के संयोजन के लिए किया जाता है, जिसे भौतिकविदों के मध्य ज्यामितीय बीजगणित के रूप में जाना जाता है।

यह नाम जे.जी. मैक्स द्वारा 1989 में टेक्नीश यूनिवर्सिटिट डेल्फ़्ट, नीदरलैंड में डॉक्टरेट शोध प्रबंध में दिया गया था।

तीन आयामों की यूक्लिडियन समष्टि के संदर्भ में संबंधित उच्च ग्रेड सामान्यीकरण के साथ पैरावेक्टरों का पूर्ण बीजगणित, डेविड हेस्टेनेस द्वारा प्रस्तुत किए गए समष्टि-समय बीजगणित (एसटीए) का वैकल्पिक दृष्टिकोण है। इस वैकल्पिक बीजगणित को भौतिक समष्टि का बीजगणित (एपीएस) भी कहा जाता है।

मूल सिद्धांत

यूक्लिडियन समष्टि के लिए, मूल सिद्धांत यह दर्शाता है कि वेक्टर का मूल सिद्धांत स्वयं लंबाई वर्ग का अदिश मान है (धनात्मक)-

$\mathbf {v} \mathbf {v} =\mathbf {v} \cdot \mathbf {v}$

लिखित रूप में-

$\mathbf {v} =\mathbf {u} +\mathbf {w} ,$

और इसे मूल सिद्धांत की अभिव्यक्ति में सम्मिलित किया जाता है-

$(\mathbf {u} +\mathbf {w} )^{2}=\mathbf {u} \mathbf {u} +\mathbf {u} \mathbf {w} +\mathbf {w} \mathbf {u} +\mathbf {w} \mathbf {w} ,$

मूल सिद्धांत की पुनः अपील करने पर हमें निम्नलिखित अभिव्यक्ति प्राप्त होती है-

$\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} +2\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} +\mathbf {w} \cdot \mathbf {w} =\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} +\mathbf {u} \mathbf {w} +\mathbf {w} \mathbf {u} +\mathbf {w} \cdot \mathbf {w} ,$

जो दो सदिशों के अदिश गुणनफल को निम्नलिखित के रूप में प्रमाणित करने की अनुमति देता है-

$\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} ={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {u} \mathbf {w} +\mathbf {w} \mathbf {u} \right).$

महत्वपूर्ण परिणाम के रूप में हम यह निष्कर्ष प्राप्त करते हैं कि दो ऑर्थोगोनल वैक्टर (शून्य अदिश मूल सिद्धांत के साथ) एंटीकम्यूट हैं-

$\mathbf {u} \mathbf {w} +\mathbf {w} \mathbf {u} =0$

त्रि-आयामी यूक्लिडियन समष्टि

निम्नलिखित सारिणी $C\ell _{3}$ समष्टि के लिए पूर्ण आधार का उदाहरण प्रस्तुत करती है-

$\{1,\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}\},\{\mathbf {e} _{23},\mathbf {e} _{31},\mathbf {e} _{12}\},\mathbf {e} _{123}\},$

जो आठ-आयामी समष्टि बनाते है, जहाँ उदाहरण के लिए, एकाधिक सूचकांक संबंधित आधार वैक्टर के गुणनफल को दर्शाते हैं-

$\mathbf {e} _{23}=\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}.$

आधार अवयव का ग्रेड वेक्टर बहुलता के संदर्भ में परिभाषित किया गया है, जैसे कि-

ग्रेड	प्रकार	आधार अवयव
0	एकिक वास्तविक अदिश	$1$
1	वेक्टर	$\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}\}$
2	बाइवेक्टर	$\{\mathbf {e} _{23},\mathbf {e} _{31},\mathbf {e} _{12}\}$
3	ट्राइवेक्टर आयतन अवयव	$\mathbf {e} _{123}$

मूल सिद्धांत के अनुसार, दो भिन्न-भिन्न आधार वेक्टर एंटीकम्यूट हैं-

$\mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}+\mathbf {e} _{j}\mathbf {e} _{i}=2\delta _{ij}$

या अन्य शब्दों में,

$\mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}=-\mathbf {e} _{j}\mathbf {e} _{i}\,\,;i\neq j$

इसका अर्थ है कि आयतन अवयव $\mathbf {e} _{123}$ वर्ग $-1$ है-