परासांख्यिकी

क्वांटम यांत्रिकी और सांख्यिकीय यांत्रिकी में, परासांख्यिकी बेहतर ज्ञात कण सांख्यिकी मॉडल (बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी, फर्मी-डिराक सांख्यिकी और मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन सांख्यिकी) के कई विकल्पों में से एक है। अन्य विकल्पों में एनीओनिक सांख्यिकी और ब्रैड सांख्यिकी सम्मिलित हैं, इन दोनों में कम स्पेसटाइम आयाम सम्मिलित हैं। हर्बर्ट एस. ग्रीन को 1953 में परासांख्यिकी के निर्माण का श्रेय दिया जाता है।

औपचारिकता

N समरूप कणों की एक प्रणाली के संचालिका बीजगणित पर विचार करें। यह *-बीजगणित है। एक S_N समूह (क्रम N का सममित समूह) है जो N कणों को क्रमपरिवर्तित करने की इच्छित व्याख्या के साथ ऑपरेटर बीजगणित पर कार्य करता है। क्वांटम यांत्रिकी के लिए भौतिक अर्थ वाले वेधशालाओं पर ध्यान केंद्रित करने की आवश्यकता होती है, और वेधशालाओं को N कणों के सभी संभावित क्रमपरिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय होना होगा। उदाहरण के लिए, N = 2 के स्थिति में, R₂ − R₁ अवलोकनीय नहीं हो सकता क्योंकि यदि हम दो कणों को बदलते हैं तो यह संकेत बदल देता है, लेकिन दो कणों के बीच की दूरी: |R₂ − R₁| वैध अवलोकन योग्य है।

दूसरे शब्दों में, अवलोकन योग्य बीजगणित को S_N की कार्रवाई के तहत एक *-उप-बीजगणित अपरिवर्तनीय होना होगा (ध्यान दें कि इसका अर्थ यह नहीं है कि एसएन के तहत ऑपरेटर बीजगणित अपरिवर्तनीय का प्रत्येक अवयव एक अवलोकन योग्य है)। यह अलग-अलग अतिचयन सेक्टरों की अनुमति देता है, प्रत्येक को S_N के यंग आरेख द्वारा पैरामीटराइज़ किया जाता है।

विशेष रूप से:

• क्रम p (जहाँ p एक धनात्मक पूर्णांक है) के N समरूप पैराबोसॉन के लिए, अनुमेय यंग आरेख वे सभी हैं जिनमें p या कम रो हैं।
• क्रम p के N समान पैराफर्मियन के लिए, स्वीकार्य यंग आरेख वे सभी p या कम कॉलम वाले हैं।
• यदि p 1 है, तो यह क्रमशः बोस-आइंस्टीन और फर्मी-डिराक सांख्यिकी तक कम हो जाता है।
• यदि p अव्यवस्थित रूप से बड़ा (अनंत) है, तो यह मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन सांख्यिकी तक कम हो जाता है।

त्रिरेखीय संबंध

ऐसे सृजन और विनाश संचालक हैं जो त्रिरेखीय परिवर्तन संबंधों को संतुष्ट करते हैं

$\left[a_{k},\left[a_{l}^{\dagger },a_{m}\right]_{\pm }\right]_{-}=[a_{k},a_{l}^{\dagger }]_{\mp }a_{m}\pm a_{l}^{\dagger }\left[a_{k},a_{m}\right]_{\mp }\pm [a_{k},a_{m}]_{\mp }a_{l}^{\dagger }+a_{m}\left[a_{k},a_{l}^{\dagger }\right]_{\mp }=2\delta _{kl}a_{m}$

$\left[a_{k},\left[a_{l}^{\dagger },a_{m}^{\dagger }\right]_{\pm }\right]_{-}=\left[a_{k},a_{l}^{\dagger }\right]_{\mp }a_{m}^{\dagger }\pm a_{l}^{\dagger }\left[a_{k},a_{m}^{\dagger }\right]_{\mp }\pm \left[a_{k},a_{m}^{\dagger }\right]_{\mp }a_{l}^{\dagger }+a_{m}^{\dagger }\left[a_{k},a_{l}^{\dagger }\right]_{\mp }=2\delta _{kl}a_{m}^{\dagger }\pm 2\delta _{km}a_{l}^{\dagger }$

${\left[a_k,{\left[a_l,a_m\right]}_{\pm <!--\; \pm \; -->}\right]}_{-<!--\; -\; -->}={[a_k,a_l]}_{\mp <!--\; \mp \; -->}{a}_m\pm <!--\; \pm \; -->a_l{\left[a_k,a_m\right]}_{\mp <!--\; \mp \; -->}\pm <!--\; \pm \; -->{}_{}$