परासांख्यिकी: Difference between revisions

Revision as of 09:34, 24 November 2023

क्वांटम यांत्रिकी और सांख्यिकीय यांत्रिकी में, परासांख्यिकी बेहतर ज्ञात कण सांख्यिकी मॉडल (बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी, फर्मी-डिराक सांख्यिकी और मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन सांख्यिकी) के कई विकल्पों में से एक है। अन्य विकल्पों में एनीओनिक सांख्यिकी और ब्रैड सांख्यिकी सम्मिलित हैं, इन दोनों में कम स्पेसटाइम आयाम सम्मिलित हैं। हर्बर्ट एस. ग्रीन^[1] को 1953 में परासांख्यिकी के निर्माण का श्रेय दिया जाता है।^[2]^[3]

औपचारिकता

N समरूप कणों की एक प्रणाली के संचालिका बीजगणित पर विचार करें। यह *-बीजगणित है। एक S_N समूह (क्रम N का सममित समूह) है जो N कणों को क्रमपरिवर्तित करने की इच्छित व्याख्या के साथ ऑपरेटर बीजगणित पर कार्य करता है। क्वांटम यांत्रिकी के लिए भौतिक अर्थ वाले वेधशालाओं पर ध्यान केंद्रित करने की आवश्यकता होती है, और वेधशालाओं को N कणों के सभी संभावित क्रमपरिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय होना होगा। उदाहरण के लिए, N = 2 के स्थिति में, R₂ − R₁ अवलोकनीय नहीं हो सकता क्योंकि यदि हम दो कणों को बदलते हैं तो यह संकेत बदल देता है, लेकिन दो कणों के बीच की दूरी: |R₂ − R₁| वैध अवलोकन योग्य है।

दूसरे शब्दों में, अवलोकन योग्य बीजगणित को S_N की कार्रवाई के तहत एक *-उप-बीजगणित अपरिवर्तनीय होना होगा (ध्यान दें कि इसका अर्थ यह नहीं है कि एसएन के तहत ऑपरेटर बीजगणित अपरिवर्तनीय का प्रत्येक अवयव एक अवलोकन योग्य है)। यह अलग-अलग अतिचयन सेक्टरों की अनुमति देता है, प्रत्येक को S_N के यंग आरेख द्वारा पैरामीटराइज़ किया जाता है।

विशेष रूप से:

क्रम p (जहाँ p एक धनात्मक पूर्णांक है) के N समरूप पैराबोसॉन के लिए, अनुमेय यंग आरेख वे सभी हैं जिनमें p या कम पंक्तियाँ हैं।
क्रम p के N समान पैराफर्मियन के लिए, स्वीकार्य यंग आरेख वे सभी p या कम कॉलम वाले हैं।
यदि p 1 है, तो यह क्रमशः बोस-आइंस्टीन और फर्मी-डिराक सांख्यिकी तक कम हो जाता है।
यदि p अव्यवस्थित रूप से बड़ा (अनंत) है, तो यह मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन सांख्यिकी तक कम हो जाता है।

त्रिरेखीय संबंध

ऐसे सृजन और विनाश संचालक हैं जो त्रिरेखीय परिवर्तन संबंधों को संतुष्ट करते हैं ^[2]

$\left[a_{k},\left[a_{l}^{\dagger },a_{m}\right]_{\pm }\right]_{-}=[a_{k},a_{l}^{\dagger }]_{\mp }a_{m}\pm a_{l}^{\dagger }\left[a_{k},a_{m}\right]_{\mp }\pm [a_{k},a_{m}]_{\mp }a_{l}^{\dagger }+a_{m}\left[a_{k},a_{l}^{\dagger }\right]_{\mp }=2\delta _{kl}a_{m}$

$\left[a_{k},\left[a_{l}^{\dagger },a_{m}^{\dagger }\right]_{\pm }\right]_{-}=\left[a_{k},a_{l}^{\dagger }\right]_{\mp }a_{m}^{\dagger }\pm a_{l}^{\dagger }\left[a_{k},a_{m}^{\dagger }\right]_{\mp }\pm \left[a_{k},a_{m}^{\dagger }\right]_{\mp }a_{l}^{\dagger }+a_{m}^{\dagger }\left[a_{k},a_{l}^{\dagger }\right]_{\mp }=2\delta _{kl}a_{m}^{\dagger }\pm 2\delta _{km}a_{l}^{\dagger }$

$[$

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 {{Short description|Notion in statistical mechanics}}
 {{Use American English|date=January 2019}}
-{{Statistical mechanics|cTopic=[[Particle statistics|Particle Statistics]]}}
+{{Statistical mechanics|cTopic=[[कण सांख्यिकी|कण सांख्यिकी]]}}
-क्वांटम यांत्रिकी और सांख्यिकीय यांत्रिकी में, '''परासांख्यिकी''' बेहतर ज्ञात कण सांख्यिकी मॉडल (बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी, फर्मी-डिराक सांख्यिकी और मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन सांख्यिकी) के कई विकल्पों में से एक है। अन्य विकल्पों में एनीओनिक सांख्यिकी और ब्रैड सांख्यिकी शामिल हैं, इन दोनों में कम स्पेसटाइम आयाम शामिल हैं। हर्बर्ट एस. ग्रीन<ref>{{cite web|title=हर्बर्ट सिडनी (बर्ट) ग्रीन|url=http://www.physics.adelaide.edu.au/mathphysics/hsg_memorial.html|url-status=dead|accessdate=2011-10-30|archiveurl=https://web.archive.org/web/20120418185829/http://www.physics.adelaide.edu.au/mathphysics/hsg_memorial.html|archivedate=2012-04-18}}</ref> को 1953 में परासांख्यिकी के निर्माण का श्रेय दिया जाता है।<ref name=":0">H.S. Green, A Generalized Method of Field Quantization. Phys. Rev. 90, 270–273 (1953).(c)</ref><ref>{{Cite arXiv|eprint=0903.4773|class=cond-mat.stat-mech|first1=M.|last1=Cattani|first2=J. M. F.|last2=Bassalo|title=मध्यवर्ती सांख्यिकी, परासांख्यिकी, भिन्नात्मक सांख्यिकी और जेंटिलियोनिक सांख्यिकी|year=2009}}</ref>
+क्वांटम यांत्रिकी और सांख्यिकीय यांत्रिकी में, '''परासांख्यिकी''' बेहतर ज्ञात कण सांख्यिकी मॉडल (बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी, फर्मी-डिराक सांख्यिकी और मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन सांख्यिकी) के कई विकल्पों में से एक है। अन्य विकल्पों में एनीओनिक सांख्यिकी और ब्रैड सांख्यिकी सम्मिलित हैं, इन दोनों में कम स्पेसटाइम आयाम सम्मिलित हैं। हर्बर्ट एस. ग्रीन<ref>{{cite web|title=हर्बर्ट सिडनी (बर्ट) ग्रीन|url=http://www.physics.adelaide.edu.au/mathphysics/hsg_memorial.html|url-status=dead|accessdate=2011-10-30|archiveurl=https://web.archive.org/web/20120418185829/http://www.physics.adelaide.edu.au/mathphysics/hsg_memorial.html|archivedate=2012-04-18}}</ref> को 1953 में परासांख्यिकी के निर्माण का श्रेय दिया जाता है।<ref name=":0">H.S. Green, A Generalized Method of Field Quantization. Phys. Rev. 90, 270–273 (1953).(c)</ref><ref>{{Cite arXiv|eprint=0903.4773|class=cond-mat.stat-mech|first1=M.|last1=Cattani|first2=J. M. F.|last2=Bassalo|title=मध्यवर्ती सांख्यिकी, परासांख्यिकी, भिन्नात्मक सांख्यिकी और जेंटिलियोनिक सांख्यिकी|year=2009}}</ref>
 ==औपचारिकता==
-''N'' समरूप कणों की एक प्रणाली के संचालिका बीजगणित पर विचार करें। यह *-बीजगणित है। एक ''S<sub>N</sub>'' समूह (क्रम ''N'' का सममित समूह) है जो ''N'' कणों को क्रमपरिवर्तित करने की इच्छित व्याख्या के साथ ऑपरेटर बीजगणित पर कार्य करता है। क्वांटम यांत्रिकी के लिए भौतिक अर्थ वाले वेधशालाओं पर ध्यान केंद्रित करने की आवश्यकता होती है, और वेधशालाओं को ''N'' कणों के सभी संभावित क्रमपरिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय होना होगा। उदाहरण के लिए, ''N = 2'' के मामले में, ''R<sub>2</sub> − R<sub>1</sub>'' अवलोकनीय नहीं हो सकता क्योंकि यदि हम दो कणों को बदलते हैं तो यह संकेत बदल देता है, लेकिन दो कणों के बीच की दूरी: |''R''<sub>2</sub> − ''R''<sub>1</sub>| वैध अवलोकन योग्य है।
+''N'' समरूप कणों की एक प्रणाली के संचालिका बीजगणित पर विचार करें। यह *-बीजगणित है। एक ''S<sub>N</sub>'' समूह (क्रम ''N'' का सममित समूह) है जो ''N'' कणों को क्रमपरिवर्तित करने की इच्छित व्याख्या के साथ ऑपरेटर बीजगणित पर कार्य करता है। क्वांटम यांत्रिकी के लिए भौतिक अर्थ वाले वेधशालाओं पर ध्यान केंद्रित करने की आवश्यकता होती है, और वेधशालाओं को ''N'' कणों के सभी संभावित क्रमपरिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय होना होगा। उदाहरण के लिए, ''N = 2'' के स्थिति में, ''R<sub>2</sub> − R<sub>1</sub>'' अवलोकनीय नहीं हो सकता क्योंकि यदि हम दो कणों को बदलते हैं तो यह संकेत बदल देता है, लेकिन दो कणों के बीच की दूरी: |''R''<sub>2</sub> − ''R''<sub>1</sub>| वैध अवलोकन योग्य है।
 दूसरे शब्दों में, अवलोकन योग्य बीजगणित को ''S<sub>N</sub>'' की कार्रवाई के तहत एक *-उप-बीजगणित अपरिवर्तनीय होना होगा (ध्यान दें कि इसका अर्थ यह नहीं है कि एसएन के तहत ऑपरेटर बीजगणित अपरिवर्तनीय का प्रत्येक अवयव एक अवलोकन योग्य है)। यह अलग-अलग अतिचयन सेक्टरों की अनुमति देता है, प्रत्येक को ''S<sub>N</sub>'' के यंग आरेख द्वारा पैरामीटराइज़ किया जाता है।
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 :<math>\mathcal{E}(\pi)\left[\psi(x_1)\cdots \psi(x_n)|\Omega\rangle\right]=\psi(x_{\pi^{-1}(1)})\cdots \psi(x_{\pi^{-1}(n)})|\Omega\rangle</math>
-क्रमशः. इसे तब तक अच्छी तरह परिभाषित किया जा सकता है <math>\mathcal{E}(\pi)</math>केवल ऊपर दिए गए वैक्टर द्वारा फैली हुई अवस्थाओं तक ही सीमित है (अनिवार्य रूप से n समान कणों वाली अवस्थाएँ)। यह भी एकात्मक है। इसके अलावा, <math>\mathcal{E}</math> सममित समूह एसएन का एक ऑपरेटर-मूल्यवान प्रतिनिधित्व है और इस तरह, हम इसे  ''n''-कण हिल्बर्ट स्पेस पर ''S<sub>n</sub>'' की कार्रवाई के रूप में व्याख्या कर सकते हैं, इसे एकात्मक प्रतिनिधित्व में बदल सकते हैं।
+क्रमशः. इसे तब तक अच्छी तरह परिभाषित किया जा सकता है <math>\mathcal{E}(\pi)</math>केवल ऊपर दिए गए वैक्टर द्वारा फैली हुई अवस्थाओं तक ही सीमित है (अनिवार्य रूप से n समान कणों वाली अवस्थाएँ)। यह भी एकात्मक है। इसके अतिरिक्त, <math>\mathcal{E}</math> सममित समूह एसएन का एक ऑपरेटर-मूल्यवान प्रतिनिधित्व है और इस तरह, हम इसे  ''n''-कण हिल्बर्ट स्पेस पर ''S<sub>n</sub>'' की कार्रवाई के रूप में व्याख्या कर सकते हैं, इसे एकात्मक प्रतिनिधित्व में बदल सकते हैं।
 क्यूसीडी को परासांख्यिकी का उपयोग करके पुन: तैयार किया जा सकता है, जिसमें क्वार्क क्रम 3 के पैराफर्मियन होते हैं और ग्लूऑन क्रम 8 के पैराबोसन होते हैं। ध्यान दें कि यह पारंपरिक दृष्टिकोण से अलग है जहां क्वार्क हमेशा एंटीकम्यूटेशन संबंधों और ग्लूऑन कम्यूटेशन संबंधों का पालन करते हैं।<ref>{{cite journal|last1=Aldrovandi|first1=R.|last2=Lima|first2=I.M.|title=प्रारंभिक ब्रह्मांड के लिए परासांख्यिकी और राज्य का समीकरण|journal=Astrophysics and Space Science|date=February 1983|volume=90|issue= 1|pages=179–195|bibcode=1983Ap&SS..90..179A|doi=10.1007/BF00651559|s2cid=119530259}}</ref>

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