अदिश वक्रता: Difference between revisions
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{{Short description|Measure of curvature in differential geometry}} | {{Short description|Measure of curvature in differential geometry}} | ||
[[रीमैनियन ज्यामिति]] के गणितीय क्षेत्र में, | [[रीमैनियन ज्यामिति]] के गणितीय क्षेत्र में, अदिश वक्रता या रिक्की अदिश [[रीमैनियन मैनिफोल्ड]] की वक्रता का एक माप है। [[छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड|रीमैनियन मैनिफोल्ड]] के प्रत्येक बिंदु पर यह उस बिंदु के निकट मीट्रिक की ज्यामिति द्वारा निर्धारित एक [[वास्तविक संख्या]] निर्दिष्ट करता है। इसे मीट्रिक घटकों के [[आंशिक व्युत्पन्न]] के संदर्भ में एक सम्मिश्र स्पष्ट सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है, चूंकि यह असीम रूप से छोटी जियोडेसिक गेंदों की मात्रा की विशेषता भी है। इस प्रकार [[सतहों की अवकल ज्यामिति]] के संदर्भ में अदिश वक्रता गॉसियन वक्रता से दोगुनी होती है और पूरी तरह से सतह की वक्रता को दर्शाती है। चूंकि, उच्च आयामों में अदिश वक्रता [[रीमैन वक्रता]] [[टेंसर]] के केवल एक विशेष भाग का प्रतिनिधित्व करती है। | ||
आंशिक व्युत्पन्न के माध्यम से अदिश वक्रता की परिभाषा | आंशिक व्युत्पन्न के माध्यम से अदिश वक्रता की परिभाषा स्यूडो -रिमानियन मैनिफोल्ड्स की अधिक सामान्य सेटिंग में भी मान्य होता है। यह [[सामान्य सापेक्षता]] में महत्वपूर्ण होता है, जहां [[लोरेंट्ज़ियन मीट्रिक]] की अदिश वक्रता [[आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण|आइंस्टीन क्षेत्र]] [[समीकरणों]] में प्रमुख शब्दों में से एक है। इसके अतिरिक्त यह अदिश वक्रता आइंस्टीन-हिल्बर्ट क्रिया के लिए [[लैग्रेंजियन (क्षेत्र सिद्धांत)|लैग्रेंजियन क्षेत्र सिद्धांत]] है, जिसके यूलर-लैग्रेंज समीकरण निर्वात में आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण हैं। | ||
धनात्मक अदिश वक्रता के साथ रीमैनियन मेट्रिक्स की ज्यामिति का व्यापक रूप से अध्ययन किया गया है। इस प्रकार गैर-कॉम्पैक्ट स्थानों पर यह 1970 के दशक में [[रिचर्ड स्कोन]] और [[शिंग-तुंग याउ]] द्वारा सिद्ध किए गए [[सकारात्मक द्रव्यमान प्रमेय|धनात्मक द्रव्यमान प्रमेय]] का संदर्भ है और इसके तुरंत बाद [[एडवर्ड विटेन]] द्वारा विभिन्न तकनीकों के साथ पुन: प्रस्तुत किया गया है। इस प्रकार स्कोएन और याउ और स्वतंत्र रूप से [[मिखाइल ग्रोमोव (गणितज्ञ)|मिखाइल ग्रोमोव गणितज्ञ]] और [[ब्लेन लॉसन]] ने धनात्मक अदिश वक्रता के मेट्रिक्स का समर्थन करने वाले बंद मैनिफोल्ड्स की टोपोलॉजी पर कई मौलिक परिणाम विकसित किए है। उनके परिणामों के संयोजन में, [[ त्वरित पेरेलमैन | ग्रिगोरी पेरेलमैन]] द्वारा 2003 में सर्जरी के साथ रिक्की प्रवाह के निर्माण ने त्रि-आयामी स्थिति में इन टोपोलॉजी का संपूर्ण लक्षण का वर्णन प्रदान किया गया है। | |||
==परिभाषा== | ==परिभाषा== | ||
एक [[रीमैनियन मीट्रिक]] दिया गया {{mvar|g}}, | एक [[रीमैनियन मीट्रिक]] दिया गया {{mvar|g}}, अदिश वक्रता ''एस'' (आमतौर पर ''आर'', या ''एससी'') को मीट्रिक के संबंध में रिक्की वक्रता टेंसर के [[ट्रेस (रैखिक बीजगणित)]] के रूप में परिभाषित किया गया है:{{sfnm|1a1=Gallot|1a2=Hulin|1a3=Lafontaine|1y=2004|1loc=Definition 3.19|2a1=Lawson|2a2=Michelsohn|2y=1989|2p=160|3a1=Petersen|3y=2016|3loc=Section 1.5.2}} | ||
: <math>S = \operatorname{tr}_g \operatorname{Ric}.</math> | : <math>S = \operatorname{tr}_g \operatorname{Ric}.</math> | ||
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कहाँ <math>{\Gamma^\mu}_{\nu \lambda}</math> मीट्रिक के क्रिस्टोफ़ेल प्रतीक हैं, और <math>{\Gamma^\mu}_{\nu \lambda,\sigma}</math> का आंशिक व्युत्पन्न है <math>{\Gamma^\mu}_{\nu \lambda}</math> σ-समन्वय दिशा में। | कहाँ <math>{\Gamma^\mu}_{\nu \lambda}</math> मीट्रिक के क्रिस्टोफ़ेल प्रतीक हैं, और <math>{\Gamma^\mu}_{\nu \lambda,\sigma}</math> का आंशिक व्युत्पन्न है <math>{\Gamma^\mu}_{\nu \lambda}</math> σ-समन्वय दिशा में। | ||
उपरोक्त परिभाषाएँ | उपरोक्त परिभाषाएँ स्यूडो -रिमानियन मीट्रिक के लिए समान रूप से मान्य हैं।{{sfnm|1a1=Besse|1y=1987|1loc=Section 1F|2a1=O'Neill|2y=1983|2p=88}} लोरेंत्ज़ियन मेट्रिक्स का विशेष मामला सामान्य सापेक्षता के गणितीय सिद्धांत में महत्वपूर्ण है, जहां अदिश वक्रता और रिक्की वक्रता [[आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण]] में मौलिक शब्द हैं। | ||
चूंकि , रीमैन वक्रता टेंसर या रिक्की टेंसर के विपरीत, अदिश वक्रता को एक मनमाना [[एफ़िन कनेक्शन]] के लिए परिभाषित नहीं किया जा सकता है, इस कारण से कि (0,2)-टेंसर फ़ील्ड का ट्रेस खराब परिभाषित है। चूंकि , अदिश वक्रता के अन्य सामान्यीकरण भी हैं, जिनमें [[फिन्सलर ज्यामिति]] भी शामिल है।{{sfnm|1a1=Bao|1a2=Chern|1a3=Shen|1y=2000}} | |||
===पारंपरिक संकेतन=== | ===पारंपरिक संकेतन=== | ||
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# अदिश वक्रता: {{mvar|R}} | # अदिश वक्रता: {{mvar|R}} | ||
फिर इन तीनों को उनके सूचकांकों की संख्या के आधार पर एक दूसरे से अलग किया जाता है: रीमैन टेंसर में चार सूचकांक होते हैं, रिक्की टेंसर में दो सूचकांक होते हैं, और रिक्की | फिर इन तीनों को उनके सूचकांकों की संख्या के आधार पर एक दूसरे से अलग किया जाता है: रीमैन टेंसर में चार सूचकांक होते हैं, रिक्की टेंसर में दो सूचकांक होते हैं, और रिक्की अदिश में शून्य सूचकांक होते हैं। अदिश वक्रता के लिए उपयोग किए जाने वाले अन्य संकेतन में शामिल हैं {{math|scal}},{{sfnm|1a1=Gallot|1a2=Hulin|1a3=Lafontaine|1y=2004|1p=135|2a1=Petersen|2y=2016|2p=30}} {{math|κ}},{{sfnm|1a1=Lawson|1a2=Michelsohn|1y=1989|1p=160}} {{math|K}},{{sfnm|1a1=do Carmo|1y=1992|1loc=Section 4.4}} {{math|r}},{{sfnm|1a1=Berline|1a2=Getzler|1a3=Vergne|1y=2004|1p=34}} {{math|s}} या {{math|S}},{{sfnm|1a1=Besse|1y=1987|1p=10|2a1=Gallot|2a2=Hulin|2a3=Lafontaine|2y=2004|2p=135|3a1=O'Neill|3y=1983|3p=88}} और {{math|τ}}.{{sfnm|1a1=Gilkey|1y=1995|1p=144}} | ||
जो लोग इंडेक्स नोटेशन का उपयोग नहीं करते हैं वे आमतौर पर पूर्ण रीमैन वक्रता टेंसर के लिए आर आरक्षित करते हैं। वैकल्पिक रूप से, समन्वय-मुक्त संकेतन में कोई रीमैन टेंसर के लिए रीम, रिक्की टेंसर के लिए रिक और | जो लोग इंडेक्स नोटेशन का उपयोग नहीं करते हैं वे आमतौर पर पूर्ण रीमैन वक्रता टेंसर के लिए आर आरक्षित करते हैं। वैकल्पिक रूप से, समन्वय-मुक्त संकेतन में कोई रीमैन टेंसर के लिए रीम, रिक्की टेंसर के लिए रिक और अदिश वक्रता के लिए आर का उपयोग कर सकता है। | ||
इसके बजाय कुछ लेखक रिक्की वक्रता और अदिश वक्रता को सामान्यीकरण कारक के साथ परिभाषित करते हैं, ताकि{{sfnm|1a1=do Carmo|1y=1992|1loc=Section 4.4}} | इसके बजाय कुछ लेखक रिक्की वक्रता और अदिश वक्रता को सामान्यीकरण कारक के साथ परिभाषित करते हैं, ताकि{{sfnm|1a1=do Carmo|1y=1992|1loc=Section 4.4}} | ||
:<math>R_{ij}=\frac{1}{n-1}g^{kl}R_{kijl}\text{ and }R=\frac{1}{n}g^{ij}R_{ij}.</math> | :<math>R_{ij}=\frac{1}{n-1}g^{kl}R_{kijl}\text{ and }R=\frac{1}{n}g^{ij}R_{ij}.</math> | ||
इस तरह के विकल्प का उद्देश्य यह है कि रिक्की और | इस तरह के विकल्प का उद्देश्य यह है कि रिक्की और अदिश वक्रताएं अनुभागीय वक्रता के औसत मान (योग के बजाय) बन जाएं।{{sfnm|1a1=do Carmo|1y=1992|1pp=107–108}} | ||
==बुनियादी गुण== | ==बुनियादी गुण== | ||
यह एक मौलिक तथ्य है कि [[आइसोमेट्री]] के तहत अदिश वक्रता अपरिवर्तनीय है। सटीक होने के लिए, यदि {{mvar|f}} एक अंतरिक्ष से भिन्नता है {{mvar|M}} एक स्थान के लिए {{mvar|N}}, बाद वाला एक ( | यह एक मौलिक तथ्य है कि [[आइसोमेट्री]] के तहत अदिश वक्रता अपरिवर्तनीय है। सटीक होने के लिए, यदि {{mvar|f}} एक अंतरिक्ष से भिन्नता है {{mvar|M}} एक स्थान के लिए {{mvar|N}}, बाद वाला एक (स्यूडो -)रीमैनियन मीट्रिक से सुसज्जित है {{mvar|g}}, फिर पुलबैक (अंतर ज्यामिति) का अदिश वक्रता {{mvar|M}} की अदिश वक्रता की संरचना के बराबर है {{mvar|g}} मानचित्र के साथ {{mvar|f}}. यह इस दावे के बराबर है कि अदिश वक्रता ज्यामितीय रूप से अच्छी तरह से परिभाषित है, समन्वय चार्ट या स्थानीय फ्रेम के किसी भी विकल्प से स्वतंत्र है।{{sfnm|1a1=O'Neill|1y=1983|1pp=90–91}} अधिक सामान्यतः, जैसा कि [[समरूपता]] की भाषा में कहा जा सकता है, एक स्थिर कारक द्वारा मीट्रिक को स्केल करने का प्रभाव {{mvar|c}} व्युत्क्रम कारक द्वारा अदिश वक्रता को मापना है {{math|''c''<sup>−1</sup>}}.{{sfnm|1a1=O'Neill|1y=1983|1p=92}} | ||
इसके अलावा, | इसके अलावा, अदिश वक्रता (सामान्यीकरण कारक की मनमानी पसंद तक) मीट्रिक का एकमात्र समन्वय-स्वतंत्र कार्य है, जो [[सामान्य निर्देशांक]] के केंद्र में मूल्यांकन किया गया है, मीट्रिक के डेरिवेटिव में एक बहुपद है और उपरोक्त स्केलिंग है संपत्ति।{{sfnm|1a1=Gilkey|1y=1995|1loc=Example 2.4.3}} यह वर्मील प्रमेय का एक सूत्रीकरण है। | ||
===बियान्ची पहचान=== | ===बियान्ची पहचान=== | ||
बियांची पहचान के प्रत्यक्ष परिणाम के रूप में, किसी भी ( | बियांची पहचान के प्रत्यक्ष परिणाम के रूप में, किसी भी (स्यूडो -)रिमानियन मीट्रिक में वह गुण होता है जो{{sfnm|1a1=Besse|1y=1987|1loc=Section 1F|2a1=O'Neill|2y=1983|2p=88}} | ||
:<math>\frac{1}{2}\nabla_iR=g^{jk}\nabla_jR_{ki}.</math> | :<math>\frac{1}{2}\nabla_iR=g^{jk}\nabla_jR_{ki}.</math> | ||
इस पहचान को अनुबंधित बियांची पहचान कहा जाता है। इसका, लगभग तात्कालिक परिणाम के रूप में, शूर का लेम्मा (रिमानियन ज्यामिति) बताता है कि यदि रिक्की टेंसर बिंदुवार मीट्रिक का एक गुणक है, तो मीट्रिक [[आइंस्टीन मैनिफोल्ड]] होना चाहिए (जब तक कि आयाम दो न हो)। इसके अलावा, यह कहता है कि (दो आयामों को छोड़कर) एक मीट्रिक आइंस्टीन है यदि और केवल यदि रिक्की टेंसर और | इस पहचान को अनुबंधित बियांची पहचान कहा जाता है। इसका, लगभग तात्कालिक परिणाम के रूप में, शूर का लेम्मा (रिमानियन ज्यामिति) बताता है कि यदि रिक्की टेंसर बिंदुवार मीट्रिक का एक गुणक है, तो मीट्रिक [[आइंस्टीन मैनिफोल्ड]] होना चाहिए (जब तक कि आयाम दो न हो)। इसके अलावा, यह कहता है कि (दो आयामों को छोड़कर) एक मीट्रिक आइंस्टीन है यदि और केवल यदि रिक्की टेंसर और अदिश वक्रता संबंधित हैं | ||
:<math>R_{ij}=\frac{1}{n}Rg_{ij},</math> | :<math>R_{ij}=\frac{1}{n}Rg_{ij},</math> | ||
कहाँ {{mvar|n}} आयाम को दर्शाता है.{{sfnm|1a1=Aubin|1y=1998|1loc=Section 1.2.3|2a1=Gallot|2a2=Hulin|2a3=Lafontaine|2y=2004|2loc=Section 3.K.3|3a1=Petersen|3y=2016|3loc=Section 3.1.5}} अनुबंधित बियांची पहचान सामान्य सापेक्षता के गणित में भी मौलिक है, क्योंकि यह [[आइंस्टीन टेंसर]] को मौलिक मात्रा के रूप में पहचानती है।{{sfnm|1a1=Besse|1y=1987|1loc=Section 3C|2a1=O'Neill|2y=1983|2p=336}} | कहाँ {{mvar|n}} आयाम को दर्शाता है.{{sfnm|1a1=Aubin|1y=1998|1loc=Section 1.2.3|2a1=Gallot|2a2=Hulin|2a3=Lafontaine|2y=2004|2loc=Section 3.K.3|3a1=Petersen|3y=2016|3loc=Section 3.1.5}} अनुबंधित बियांची पहचान सामान्य सापेक्षता के गणित में भी मौलिक है, क्योंकि यह [[आइंस्टीन टेंसर]] को मौलिक मात्रा के रूप में पहचानती है।{{sfnm|1a1=Besse|1y=1987|1loc=Section 3C|2a1=O'Neill|2y=1983|2p=336}} | ||
===रिक्की अपघटन=== | ===रिक्की अपघटन=== | ||
एक ( | एक (स्यूडो -)रिमानियन मीट्रिक दिया गया {{mvar|g}} आयाम के एक स्थान पर {{mvar|n}}, रीमैन वक्रता टेंसर का अदिश वक्रता भाग (0,4)-टेंसर क्षेत्र है | ||
:<math>\frac{1}{n(n-1)}R(g_{il}g_{jk}-g_{ik}g_{jl}).</math> | :<math>\frac{1}{n(n-1)}R(g_{il}g_{jk}-g_{ik}g_{jl}).</math> | ||
(यह उस परिपाटी का अनुसरण करता है {{math|''R''<sub>''ijkl''</sub> {{=}} ''g''<sub>''lp''</sub>∂<sub>''i''</sub>Γ<sub>''jk''</sub><sup>''p''</sup> − ...}}.) यह टेंसर [[रिक्की अपघटन]] के भाग के रूप में महत्वपूर्ण है; यह रीमैन टेंसर और स्वयं के बीच अंतर के लिए ऑर्थोगोनल है। रिक्की अपघटन के अन्य दो भाग रिक्की वक्रता के घटकों से मेल खाते हैं जो | (यह उस परिपाटी का अनुसरण करता है {{math|''R''<sub>''ijkl''</sub> {{=}} ''g''<sub>''lp''</sub>∂<sub>''i''</sub>Γ<sub>''jk''</sub><sup>''p''</sup> − ...}}.) यह टेंसर [[रिक्की अपघटन]] के भाग के रूप में महत्वपूर्ण है; यह रीमैन टेंसर और स्वयं के बीच अंतर के लिए ऑर्थोगोनल है। रिक्की अपघटन के अन्य दो भाग रिक्की वक्रता के घटकों से मेल खाते हैं जो अदिश वक्रता में योगदान नहीं करते हैं, और [[वेइल टेंसर]] से मेल खाते हैं, जो रीमैन टेंसर का हिस्सा है जो रिक्की वक्रता में योगदान नहीं करता है। अलग ढंग से कहें तो, उपरोक्त टेंसर फ़ील्ड रीमैन वक्रता टेंसर का एकमात्र हिस्सा है जो अदिश वक्रता में योगदान देता है; अन्य हिस्से इसके ओर्थोगोनल हैं और ऐसा कोई योगदान नहीं देते हैं।{{sfnm|1a1=Besse|1y=1987|1loc=Sections 1G and 1H}} काहलर मीट्रिक की वक्रता के लिए एक रिक्की अपघटन भी है।{{sfnm|1a1=Besse|1y=1987|1loc=Section 2D}} | ||
===मूल सूत्र=== | ===मूल सूत्र=== | ||
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इसके अलावा रैखिककृत अदिश वक्रता संचालिका का जोड़ है | इसके अलावा रैखिककृत अदिश वक्रता संचालिका का जोड़ है | ||
:<math>f\mapsto \nabla_i\nabla_jf-(\Delta f)g_{ij}-fR_{ij},</math> | :<math>f\mapsto \nabla_i\nabla_jf-(\Delta f)g_{ij}-fR_{ij},</math> | ||
और रीमैनियन मीट्रिक के | और रीमैनियन मीट्रिक के स्थिति में यह एक अतिनिर्धारित अण्डाकार ऑपरेटर है। यह पहले भिन्नता सूत्रों का एक सीधा परिणाम है कि, पहले क्रम में, एक बंद मैनिफोल्ड पर एक रिक्की-फ्लैट रीमैनियन मीट्रिक को विकृत नहीं किया जा सकता है ताकि या तो धनात्मक या नकारात्मक अदिश वक्रता हो। इसके अलावा पहले क्रम में, एक बंद मैनिफोल्ड पर एक आइंस्टीन मीट्रिक को वॉल्यूम सामान्यीकरण के तहत विकृत नहीं किया जा सकता है ताकि अदिश वक्रता को बढ़ाया या घटाया जा सके।{{sfnm|1a1=Besse|1y=1987|1loc=Section 1K}} | ||
==आयतन और रीमैनियन अदिश वक्रता के बीच संबंध== | ==आयतन और रीमैनियन अदिश वक्रता के बीच संबंध== | ||
जब किसी बिंदु पर अदिश वक्रता धनात्मक होती है, तो बिंदु के चारों ओर एक छोटी जियोडेसिक गेंद का आयतन यूक्लिडियन अंतरिक्ष में समान त्रिज्या की एक गेंद की तुलना में छोटा होता है। दूसरी ओर, जब किसी बिंदु पर अदिश वक्रता ऋणात्मक होती है, तो एक छोटी गेंद का आयतन यूक्लिडियन अंतरिक्ष की तुलना में बड़ा होता है। | जब किसी बिंदु पर अदिश वक्रता धनात्मक होती है, तो बिंदु के चारों ओर एक छोटी जियोडेसिक गेंद का आयतन यूक्लिडियन अंतरिक्ष में समान त्रिज्या की एक गेंद की तुलना में छोटा होता है। दूसरी ओर, जब किसी बिंदु पर अदिश वक्रता ऋणात्मक होती है, तो एक छोटी गेंद का आयतन यूक्लिडियन अंतरिक्ष की तुलना में बड़ा होता है। | ||
रीमैनियन एन-मैनिफोल्ड के एक बिंदु पी पर | रीमैनियन एन-मैनिफोल्ड के एक बिंदु पी पर अदिश वक्रता एस के सटीक मूल्य को चिह्नित करने के लिए इसे और अधिक मात्रात्मक बनाया जा सकता है। <math>(M,g)</math>. अर्थात्, त्रिज्या ε की एक गेंद के एन-आयामी आयतन का यूक्लिडियन अंतरिक्ष में संबंधित गेंद के एन-आयामी आयतन का अनुपात, छोटे ε के लिए, द्वारा दिया गया है{{sfnm|1a1=Chavel|1y=1984|1loc=Section XII.8|2a1=Gallot|2a2=Hulin|2a3=Lafontaine|2y=2004|2loc=Section 3.H.4}} | ||
: <math> | : <math> | ||
\frac{\operatorname{Vol}(B_\varepsilon(p) \subset M)}{\operatorname{Vol}\left(B_\varepsilon(0)\subset {\mathbb R}^n\right)} = | \frac{\operatorname{Vol}(B_\varepsilon(p) \subset M)}{\operatorname{Vol}\left(B_\varepsilon(0)\subset {\mathbb R}^n\right)} = | ||
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===उत्पाद=== | ===उत्पाद=== | ||
रीमैनियन मैनिफोल्ड्स के [[उत्पाद स्थान]] एम × एन की अदिश वक्रता एम और एन के अदिश वक्रता का योग है। उदाहरण के लिए, किसी भी चिकने मैनिफोल्ड बंद मैनिफोल्ड एम, एम × एस के लिए<sup>2</sup>में | रीमैनियन मैनिफोल्ड्स के [[उत्पाद स्थान]] एम × एन की अदिश वक्रता एम और एन के अदिश वक्रता का योग है। उदाहरण के लिए, किसी भी चिकने मैनिफोल्ड बंद मैनिफोल्ड एम, एम × एस के लिए<sup>2</sup>में धनात्मक अदिश वक्रता का एक मीट्रिक है, बस 2-गोले को एम की तुलना में छोटा मानकर (ताकि इसकी वक्रता बड़ी हो)। यह उदाहरण सुझाव दे सकता है कि अदिश वक्रता का मैनिफोल्ड की वैश्विक ज्यामिति से बहुत कम संबंध है। वास्तव में, इसका कुछ वैश्विक महत्व है, जैसा कि चर्चा की गई अदिश वक्रता#धनात्मक अदिश वक्रता। | ||
गणित और सामान्य सापेक्षता दोनों में, विकृत उत्पाद मेट्रिक्स उदाहरणों का एक महत्वपूर्ण स्रोत हैं। उदाहरण के लिए, सामान्य फ्रीडमैन-लेमैत्रे-रॉबर्टसन-वॉकर मीट्रिक|रॉबर्टसन-वॉकर स्पेसटाइम, [[ब्रह्मांड विज्ञान]] के लिए महत्वपूर्ण, लोरेंत्ज़ियन मीट्रिक है | गणित और सामान्य सापेक्षता दोनों में, विकृत उत्पाद मेट्रिक्स उदाहरणों का एक महत्वपूर्ण स्रोत हैं। उदाहरण के लिए, सामान्य फ्रीडमैन-लेमैत्रे-रॉबर्टसन-वॉकर मीट्रिक|रॉबर्टसन-वॉकर स्पेसटाइम, [[ब्रह्मांड विज्ञान]] के लिए महत्वपूर्ण, लोरेंत्ज़ियन मीट्रिक है | ||
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===अदिश-समतल स्थान=== | ===अदिश-समतल स्थान=== | ||
यह स्वचालित है कि किसी भी [[रिक्की-फ्लैट मैनिफोल्ड]] में शून्य अदिश वक्रता होती है; इस वर्ग में सबसे प्रसिद्ध स्थान कैलाबी-याउ मैनिफोल्ड्स हैं। | यह स्वचालित है कि किसी भी [[रिक्की-फ्लैट मैनिफोल्ड]] में शून्य अदिश वक्रता होती है; इस वर्ग में सबसे प्रसिद्ध स्थान कैलाबी-याउ मैनिफोल्ड्स हैं। स्यूडो -रिमानियन संदर्भ में, इसमें [[श्वार्ज़स्चिल्ड मीट्रिक]] और [[केर स्पेसटाइम]] भी शामिल है। | ||
शून्य अदिश वक्रता लेकिन गैर-लुप्त होने वाली रिक्की वक्रता वाले मेट्रिक्स हैं। उदाहरण के लिए, [[वास्तविक प्रक्षेप्य स्थान]] पर [[टॉटोलॉजिकल लाइन बंडल]] पर एक पूर्ण रीमैनियन मीट्रिक है, जो एक विकृत उत्पाद मीट्रिक के रूप में निर्मित है, जिसमें शून्य | शून्य अदिश वक्रता लेकिन गैर-लुप्त होने वाली रिक्की वक्रता वाले मेट्रिक्स हैं। उदाहरण के लिए, [[वास्तविक प्रक्षेप्य स्थान]] पर [[टॉटोलॉजिकल लाइन बंडल]] पर एक पूर्ण रीमैनियन मीट्रिक है, जो एक विकृत उत्पाद मीट्रिक के रूप में निर्मित है, जिसमें शून्य अदिश वक्रता है लेकिन गैर-शून्य रिक्की वक्रता है। इसे सिलेंडर पर शून्य अदिश वक्रता के घूर्णी रूप से सममित रीमैनियन मीट्रिक के रूप में भी देखा जा सकता है {{math|'''R''' × S<sup>''n''</sup>}}.{{sfnm|1a1=Petersen|1y=2016|1loc=Section 4.2.3}} | ||
==यामाबे समस्या== | ==यामाबे समस्या== | ||
{{main|Yamabe problem}} | {{main|Yamabe problem}} | ||
यामाबे समस्या का समाधान 1984 में [[हिदेहिको यामाबे]], [[नील ट्रुडिंगर]], [[थिएरी औबिन]] और रिचर्ड स्कोएन द्वारा प्राप्त परिणामों के संयोजन से किया गया था।{{sfnm|1a1=Lee|1a2=Parker|1y=1987}} उन्होंने साबित किया कि एक बंद मैनिफोल्ड पर प्रत्येक चिकनी रीमैनियन मीट्रिक को निरंतर | यामाबे समस्या का समाधान 1984 में [[हिदेहिको यामाबे]], [[नील ट्रुडिंगर]], [[थिएरी औबिन]] और रिचर्ड स्कोएन द्वारा प्राप्त परिणामों के संयोजन से किया गया था।{{sfnm|1a1=Lee|1a2=Parker|1y=1987}} उन्होंने साबित किया कि एक बंद मैनिफोल्ड पर प्रत्येक चिकनी रीमैनियन मीट्रिक को निरंतर अदिश वक्रता के साथ एक मीट्रिक प्राप्त करने के लिए कुछ चिकनी धनात्मक फ़ंक्शन से गुणा किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, एक बंद मैनिफ़ोल्ड पर प्रत्येक रीमैनियन मीट्रिक निरंतर अदिश वक्रता वाले एक के अनुरूप ज्यामिति है। | ||
== | ==धनात्मक अदिश वक्रता के रीमैनियन मेट्रिक्स== | ||
एक बंद रीमैनियन 2-मैनिफोल्ड एम के लिए, | एक बंद रीमैनियन 2-मैनिफोल्ड एम के लिए, अदिश वक्रता का एम की [[टोपोलॉजी]] से स्पष्ट संबंध है, जो गॉस-बोनट प्रमेय द्वारा व्यक्त किया गया है: एम की कुल अदिश वक्रता 4 के बराबर है{{pi}} एम की [[यूलर विशेषता]] का गुना। उदाहरण के लिए, धनात्मक अदिश वक्रता के मैट्रिक्स के साथ एकमात्र बंद सतहें धनात्मक यूलर विशेषता वाली हैं: क्षेत्र एस<sup>2</sup>और वास्तविक प्रक्षेप्य तल|आरपी<sup>2</sup>. साथ ही, उन दो सतहों में अदिश वक्रता ≤ 0 के साथ कोई मीट्रिक नहीं है। | ||
===अस्तित्वहीनता परिणाम=== | ===अस्तित्वहीनता परिणाम=== | ||
1960 के दशक में, आंद्रे लिचनेरोविक्ज़ ने पाया कि एक [[ कई गुना घूमना ]] पर, [[डिराक ऑपरेटर]] और [[टेंसर लाप्लासियन]] के वर्ग के बीच का अंतर (जैसा कि स्पिनर फ़ील्ड पर परिभाषित किया गया है) | 1960 के दशक में, आंद्रे लिचनेरोविक्ज़ ने पाया कि एक [[ कई गुना घूमना ]] पर, [[डिराक ऑपरेटर]] और [[टेंसर लाप्लासियन]] के वर्ग के बीच का अंतर (जैसा कि स्पिनर फ़ील्ड पर परिभाषित किया गया है) अदिश वक्रता के एक-चौथाई द्वारा दिया जाता है। यह वीट्ज़ेनबॉक सूत्र का एक मौलिक उदाहरण है। परिणामस्वरूप, यदि एक बंद मैनिफोल्ड पर रीमैनियन मीट्रिक में धनात्मक अदिश वक्रता है, तो कोई [[हार्मोनिक स्पिनर]] मौजूद नहीं हो सकता है। यह अतियाह-सिंगर इंडेक्स प्रमेय का परिणाम है कि, चार से विभाज्य और धनात्मक अदिश वक्रता वाले आयाम वाले किसी भी बंद स्पिन के लिए, जीनस गायब हो जाना चाहिए। यह धनात्मक अदिश वक्रता के साथ रीमैनियन मेट्रिक्स के अस्तित्व में एक विशुद्ध रूप से टोपोलॉजिकल बाधा है।{{sfnm|1a1=Besse|1y=1987|1loc=Section 1I|2a1=Gilkey|2y=1995|2loc=Section 4.1|3a1=Jost|3y=2017|3loc=Sections 4.4 and 4.5|4a1=Lawson|4a2=Michelsohn|4y=1989|4loc=Section II.8}} | ||
डिराक ऑपरेटर का उपयोग करते हुए लिचनेरोविक्ज़ के तर्क को एक सहायक [[वेक्टर बंडल]] द्वारा घुमाया जा सकता है, जिसका प्रभाव लिचनेरोविक्ज़ सूत्र में केवल एक अतिरिक्त शब्द को शामिल करना है।{{sfnm|1a1=Lawson|1a2=Michelsohn|1y=1989|1loc=Sections II.8 and IV.3}} फिर, सूचकांक प्रमेय के पारिवारिक संस्करण और α-जीनस के रूप में जाने जाने वाले जीनस के एक परिष्कृत संस्करण का उपयोग करने के अलावा ऊपर दिए गए समान विश्लेषण के बाद, [[निगेल हिचिन]] ने साबित किया कि कुछ आयामों में [[विदेशी क्षेत्र]] हैं जिनमें कोई रीमैनियन नहीं है | डिराक ऑपरेटर का उपयोग करते हुए लिचनेरोविक्ज़ के तर्क को एक सहायक [[वेक्टर बंडल]] द्वारा घुमाया जा सकता है, जिसका प्रभाव लिचनेरोविक्ज़ सूत्र में केवल एक अतिरिक्त शब्द को शामिल करना है।{{sfnm|1a1=Lawson|1a2=Michelsohn|1y=1989|1loc=Sections II.8 and IV.3}} फिर, सूचकांक प्रमेय के पारिवारिक संस्करण और α-जीनस के रूप में जाने जाने वाले जीनस के एक परिष्कृत संस्करण का उपयोग करने के अलावा ऊपर दिए गए समान विश्लेषण के बाद, [[निगेल हिचिन]] ने साबित किया कि कुछ आयामों में [[विदेशी क्षेत्र]] हैं जिनमें कोई रीमैनियन नहीं है धनात्मक अदिश वक्रता के मैट्रिक्स. ग्रोमोव और लॉसन ने बाद में लिचनेरोविक्ज़ के काम के इन रूपों को बड़े पैमाने पर नियोजित किया। उनके परिणामी प्रमेय में से एक प्रमेय विस्तार की होमोटॉपी-सैद्धांतिक धारणा का परिचय देता है और कहता है कि एक बड़े स्पिन मैनिफोल्ड में धनात्मक अदिश वक्रता का रीमैनियन मीट्रिक नहीं हो सकता है। परिणाम के रूप में, गैर-धनात्मक वक्रता के रीमैनियन मीट्रिक के साथ एक बंद मैनिफोल्ड, जैसे [[ टोरस्र्स ]], में धनात्मक अदिश वक्रता वाला कोई मीट्रिक नहीं होता है। धनात्मक अदिश वक्रता के साथ रीमैनियन मेट्रिक्स के गैर-अस्तित्व पर ग्रोमोव और लॉसन के विभिन्न परिणाम धनात्मक अदिश वक्रता के साथ किसी भी बंद स्पिन मैनिफोल्ड के टोपोलॉजिकल इनवेरिएंट की एक विस्तृत विविधता के लुप्त होने पर एक अनुमान का समर्थन करते हैं। यह (सटीक सूत्रीकरण में) बदले में [[मौलिक समूह]] के लिए [[नोविकोव अनुमान]] का एक विशेष मामला होगा, जो सी*-बीजगणित के [[ऑपरेटर के-सिद्धांत]]|के-सिद्धांत से संबंधित है।{{sfnm|1a1=Blackadar|1y=1998|1loc=Section 24.3|2a1=Lawson|2a2=Michelsohn|2y=1989|2loc=Section IV.5}} यह बदले में मौलिक समूह के लिए बॉम-कॉन्स अनुमान का एक विशेष मामला है।{{sfnm|1a1=Blackadar|1y=1998|1loc=Section 24.4}} | ||
चार-आयामी मैनिफोल्ड्स के विशेष | चार-आयामी मैनिफोल्ड्स के विशेष स्थिति में, सेबर्ग-विटन समीकरणों को अदिश वक्रता के अध्ययन के लिए उपयोगी रूप से लागू किया गया है। लिचनेरोविक्ज़ के विश्लेषण के समान, कुंजी यह साबित करने के लिए [[अधिकतम सिद्धांत]] का एक अनुप्रयोग है कि अदिश वक्रता धनात्मक होने पर सेबर्ग-विटन समीकरणों के समाधान तुच्छ होने चाहिए। लिचनेरोविक्ज़ के कार्य के अनुरूप, सूचकांक प्रमेय समीकरणों के गैर-तुच्छ समाधानों के अस्तित्व की गारंटी दे सकते हैं। इस तरह का विश्लेषण धनात्मक अदिश वक्रता के मैट्रिक्स की गैर-मौजूदगी के लिए नए मानदंड प्रदान करता है। [[क्लाउड लेब्रून]] ने कई पत्रों में ऐसे विचारों को आगे बढ़ाया।{{sfnm|1a1=Jost|1y=2017|1loc=Section 11.2}} | ||
===अस्तित्व परिणाम=== | ===अस्तित्व परिणाम=== | ||
उपरोक्त गैर-अस्तित्व परिणामों के विपरीत, लॉसन और याउ ने नॉनबेलियन प्रभावी समूह क्रियाओं की एक विस्तृत श्रेणी से | उपरोक्त गैर-अस्तित्व परिणामों के विपरीत, लॉसन और याउ ने नॉनबेलियन प्रभावी समूह क्रियाओं की एक विस्तृत श्रेणी से धनात्मक अदिश वक्रता के रीमैनियन मेट्रिक्स का निर्माण किया।{{sfnm|1a1=Lawson|1a2=Michelsohn|1y=1989|1loc=Sections II.8 and IV.3}} | ||
बाद में, स्कोएन-याउ और ग्रोमोव-लॉसन (विभिन्न तकनीकों का उपयोग करके) ने मौलिक परिणाम साबित किया कि | बाद में, स्कोएन-याउ और ग्रोमोव-लॉसन ( | ||