औसत: Difference between revisions

Latest revision as of 11:54, 3 November 2023

सामान्य भाषा में, औसत एक एकल संख्या है जो संख्याओं की सूची के प्रतिनिधि के रूप में ली जाती है, सामान्यतः संख्याओं का योग सूची में जितनी संख्याएं हैं, उनसे विभाजित होता है (अंकगणितीय माध्य), उदाहरण के लिए, संख्या 2, 3, 4, 7, और 9 (कुल मिलाकर 25) का औसत 5 है। संदर्भ के आधार पर, औसत अन्य आंकड़े हो सकते हैं जैसे माध्यिका, या मोड (सांख्यिकी)। उदाहरण के लिए, औसत आय को प्रायः माध्यिका के रूप में दिया जाता है - नीचे की संख्या जो व्यक्तिगत आय का 50% है और ऊपर जो व्यक्तिगत आय का 50% है - क्योंकि कुछ अरबपतियों की व्यक्तिगत आय को सम्मिलित करने से माध्य अधिक होगा। इस कारण से, केंद्रीय प्रवृत्ति के उपायों पर चर्चा करते समय औसत शब्द का उपयोग करने से बचने की संस्तुति की जाती है।

सामान्य गुण

यदि किसी सूची में सभी संख्याएँ समान संख्याएँ हैं, तो उनका औसत भी इस संख्या के बराबर होता है। यह संपत्ति कई प्रकार के औसत में से प्रत्येक द्वारा साझा की जाती है।

एक अन्य सार्वभौमिक संपत्ति दिष्टता है: यदि संख्या A और B की दो सूचियों की लंबाई समान है, और सूची A की प्रत्येक प्रविष्टि सूची B पर संबंधित प्रविष्टि के रूप में कम से कम बड़ी है, तो सूची A का औसत कम से कम सूची का B है। इसके अलावा, सभी औसत सजातीय प्रकार्य को संतुष्ट करते हैं: यदि किसी सूची की सभी संख्याओं को एक ही सकारात्मक संख्या से गुणा किया जाता है, तो इसका औसत उसी कारक से बदल जाता है।

कुछ प्रकार के औसत में, सूची में एकांशों को औसत निर्धारित करने से पहले अलग-अलग भार दिए जाते हैं। इनमें भारित अंकगणितीय माध्य, भारित ज्यामितीय माध्य और भारित माध्य सम्मिलित हैं। साथ ही, कुछ प्रकार के गतिमान माध्य के लिए, किसी वस्तु का भार सूची में उसकी स्थिति पर निर्भर करता है। अधिकांश प्रकार के औसत, हालांकि, क्रमचय-असंवेदनशीलता को संतुष्ट करते हैं: सभी वस्तुओं को उनके औसत मूल्य का निर्धारण करने में समान रूप से गिना जाता है और सूची में उनकी स्थिति अप्रासंगिक होती है; (1, 2, 3, 4, 6) का औसत (3, 2, 6, 4, 1) के समान है।

पाइथागोरस का अर्थ है

अंकगणित माध्य, ज्यामितीय माध्य और अनुकूल माध्य सामूहिक रूप से पायथागॉरियन साधन के रूप में जाने जाते हैं।

सांख्यिकीय स्थान

वर्णनात्मक आंकड़ों में केंद्रीय प्रवृत्ति के अनुमान के रूप में मोड (सांख्यिकी), माध्यिका और मध्य-श्रेणी का उपयोग प्रायः माध्य के अतिरिक्त किया जाता है। इन सभी को किसी न किसी उपाय से भिन्नता को कम करने के रूप में देखा जा सकता है; देखो केंद्रीय प्रवृत्ति § परिवर्तनशील समस्याओं का समाधान.

मूल्यों के सामान्य औसत की तुलना { 1, 2, 2, 3, 4, 7, 9 }
प्रकार	विवरण	उदाहरण	परिणाम
समांतर माध्य	मानों की संख्या से विभाजित डेटा सम्मुच्चय के मानों का योग: $\scriptstyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}$	(1+2+2+3+4+7+9) / 7	4
मध्यस्थ	डेटा सम्मुच्चय के बड़े और छोटे हिस्सों को अलग करने वाला मध्य मान	1, 2, 2, 3, 4, 7, 9	3
मोड	किसी डेटा सेट में सर्वाधिक नियमित मान	1, 2, 2, 3, 4, 7, 9	2
मध्य-स्तर	एक सम्मुच्चय के उच्चतम और निम्नतम मूल्यों का अंकगणितीय माध्य	(1+9) / 2	5

मोड

विभिन्न तिर्यकता के साथ दो लघुगणक प्रसामान्य वितरणों के माध्य, माध्यिका और मोड (सांख्यिकी) की तुलना

किसी सूची में सबसे अधिक बार आने वाली संख्या को मोड कहा जाता है। उदाहरण के लिए, सूची का बहुलक (1, 2, 2, 3, 3, 3, 4) 3 है। ऐसा हो सकता है कि दो या दो से अधिक संख्याएँ ऐसी हों जो किसी अन्य संख्या की तुलना में समान रूप से और अधिक बार आती हों। इस स्थिति में बहुलक की कोई स्वीकृत परिभाषा नहीं है। कुछ लेखक कहते हैं कि वे सभी मोड हैं और कुछ कहते हैं कि कोई मोड नहीं है।

मध्यस्थ

माध्यिका समूह की मध्य संख्या होती है जब उन्हें क्रम में रखा जाता है। (यदि संख्याओं की संख्या सम है, तो बीच के दो का माध्य लिया जाता है।)

इस प्रकार माध्यिका को खोजने के लिए, सूची को उसके तत्वों के परिमाण के अनुसार क्रमबद्ध करें और फिर एक या दो मान शेष रहने तक बार-बार उच्चतम और निम्नतम मानों वाली जोड़ी को हटा दें। यदि वास्तव में एक मान छोड़ दिया जाता है, तो वह माध्यक होता है; यदि दो मान हैं, तो माध्यिका इन दोनों का अंकगणितीय माध्य है। यह विधि सूची 1, 7, 3, 13 लेती है और इसे 1, 3, 7, 13 पढ़ने का आदेश देती है। फिर 1 और 13 को सूची 3, 7 प्राप्त करने के लिए हटा दिया जाता है। चूंकि इस शेष सूची में दो तत्व हैं, माध्यिका उनका अंकगणितीय माध्य (3 + 7)/2 = 5 है।

मध्य-श्रेणी

मध्य-श्रेणी एक सम्मुच्चय के उच्चतम और निम्नतम मूल्यों का अंकगणितीय माध्य है।

प्रकारों का सारांश

नाम	समीकरण अथवा वर्णन	अनुकूलन समस्या के समाधान के रूप में
समांतर माध्य	${\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}={\frac {1}{n}}(x_{1}+\cdots +x_{n})$	${\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {argmin} }}\,\sum _{i=1}^{n}(x-x_{i})^{2}$
मध्यस्थ	मध्य मान जो डेटा सम्मुच्चय के निचले आधे हिस्से से उच्च आधे को अलग करता है	${\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {argmin} }}\,\sum _{i=1}^{n}\|x-x_{i}\|$
ज्यामितिक मध्यस्थ	$\mathbb {R} ^{d}$ में बिंदुओं के लिए माध्यिका का घूर्णन अपरिवर्तनीय विस्तार	${\underset {{\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{d}}{\operatorname {argmin} }}\,\sum _{i=1}^{n}\|\|{\vec {x}}-{\vec {x}}_{i}\|\|_{2}$
तुके मध्यस्थ	$\mathbb {R} ^{d}$ —में बिंदुओं के लिए माध्यिका का एक और घूर्णन अपरिवर्तनीय विस्तार—एक बिंदु जो तुकी की गहराई को अधिकतम करता है	${\underset {{\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{d}}{\operatorname {argmax} }}\,{\underset {{\vec {u}}\in \mathbb {R} ^{d}}{\operatorname {min} }}\,\sum _{i=1}^{n}\left({\begin{cases}1,{\text{ if }}({\vec {x}}_{i}-{\vec {x}})\cdot {\vec {u}}\geq 0\\0,{\text{ otherwise}}\end{cases}}\right)$
मोड	डेटा सेट में सबसे नियमित मान	$\underset{x \in R}{argmax} \sum_{i = 1}^{n} ({\begin{cases} 1, if \end{cases}$

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-{{Short description|Number taken as representative of a list of numbers}}
+सामान्य भाषा में, '''औसत''' एक एकल संख्या है जो संख्याओं की सूची के प्रतिनिधि के रूप में ली जाती है, सामान्यतः संख्याओं का योग सूची में जितनी संख्याएं हैं, उनसे विभाजित होता है (अंकगणितीय माध्य), उदाहरण के लिए, संख्या 2, 3, 4, 7, और 9 (कुल मिलाकर 25) का औसत 5 है। संदर्भ के आधार पर, औसत अन्य [[ आंकड़े |आंकड़े]] हो सकते हैं जैसे माध्यिका, या [[ मोड (सांख्यिकी) |मोड (सांख्यिकी)]]। उदाहरण के लिए, औसत [[ आय |आय]] को प्रायः माध्यिका के रूप में दिया जाता है - नीचे की संख्या जो व्यक्तिगत आय का 50% है और ऊपर जो व्यक्तिगत आय का 50% है - क्योंकि कुछ अरबपतियों की व्यक्तिगत आय को सम्मिलित करने से माध्य अधिक होगा। इस कारण से, [[ केंद्रीय प्रवृत्ति |केंद्रीय प्रवृत्ति]] के उपायों पर चर्चा करते समय औसत शब्द का उपयोग करने से बचने की संस्तुति की जाती है।
-सामान्य भाषा में, औसत एक एकल संख्या है जो संख्याओं की सूची के प्रतिनिधि के रूप में ली जाती है, सामान्यतः संख्याओं का योग सूची में जितनी संख्याएं हैं, उनसे विभाजित होता है (अंकगणितीय माध्य), उदाहरण के लिए, संख्या 2, 3, 4, 7, और 9 (कुल मिलाकर 25) का औसत 5 है। संदर्भ के आधार पर, औसत अन्य [[ आंकड़े |आंकड़े]] हो सकते हैं जैसे माध्यिका, या [[ मोड (सांख्यिकी) |मोड (सांख्यिकी)]]। उदाहरण के लिए, औसत [[ आय |आय]] को प्रायः माध्यिका के रूप में दिया जाता है - नीचे की संख्या जो व्यक्तिगत आय का 50% है और ऊपर जो व्यक्तिगत आय का 50% है - क्योंकि कुछ अरबपतियों की व्यक्तिगत आय को सम्मिलित करने से माध्य अधिक होगा। इस कारण से, [[ केंद्रीय प्रवृत्ति |केंद्रीय प्रवृत्ति]] के उपायों पर चर्चा करते समय औसत शब्द का उपयोग करने से बचने की संस्तुति की जाती है।
 == सामान्य गुण ==
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 हालाँकि, साधनों को उत्पन्न करने की यह विधि सभी औसतों पर अधिकरण करने के लिए पर्याप्त सामान्य नहीं है। औसत को परिभाषित करने के लिए एक अधिक सामान्य विधि असफल सत्यापन तर्कों की एक सूची के किसी भी प्रकार्य g(x1, x2, ..., xn) को लेता है जो निरंतर है, प्रत्येक तर्क में सख्ती से बढ़ रहा है, और सममित है। औसत y तब वह मान है, जो सूची के प्रत्येक सदस्य को प्रतिस्थापित करते समय समान प्रकार्य मान: {{nowrap|1=''g''(''y'', ''y'', ..., ''y'') =}} {{nowrap|''g''(''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>)}} में परिणत होता है। यह सबसे सामान्य परिभाषा अभी भी सभी औसतों की महत्वपूर्ण संपत्ति को पकड़ती है कि समान तत्वों की सूची का औसत वह तत्व ही है। प्रकार्य {{nowrap|1=''g''(''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>) =}} {{nowrap|''x''<sub>1</sub>+''x''<sub>2</sub>+ ··· + ''x''<sub>''n''</sub>}} अंकगणितीय माध्य प्रदान करता है। प्रकार्य {{nowrap|1 = ''g''(''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>) =}} {{nowrap|''x''<sub>1</sub>''x''<sub>2</sub>···''x''<sub>''n''</sub>}} (जहाँ सूची तत्व सकारात्मक संख्याएँ हैं) ज्यामितीय माध्य प्रदान करता है। प्रकार्य {{nowrap|1 = ''g''(''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>) =}} {{nowrap|(''x''<sub>1</sub><sup>−1</sup>+''x''<sub>2</sub><sup>−1</sup>+ ··· + ''x''<sub>''n''</sub><sup>−1</sup>)<sup>−1</sup>)}} (जहां सूची तत्व सकारात्मक संख्याएं हैं) सुसंगत माध्य प्रदान करता है।<ref name="Bibby">{{cite journal | last1 = Bibby | first1 = John | year = 1974 | title = Axiomatisations of the average and a further generalisation of monotonic sequences | journal = [[Glasgow Mathematical Journal]] | volume = 15 | pages = 63–65 | doi=10.1017/s0017089500002135| doi-access = free }}</ref>
 === औसत प्रतिशत लाभ और CAGR ===
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 ==बाहरी कड़ियाँ==
 *[https://web.archive.org/web/20070810034709/http://economicsbulletin.vanderbilt.edu/2004/volume3/EB-04C10011A.pdf मध्यस्थ as a weighted समांतर माध्य of all Sample Observations]
-*
 [http://www.sengpielaudio.com/calculator-geommean.htm Calculations and comparison between arithmetic and ज्यामितिक माध्य of two values]

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