कोण: Difference between revisions
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[[File:Two rays and one vertex.png|thumb|right|एक शीर्ष से निकलने वाली दो किरणों द्वारा निर्मित कोण।]] | [[File:Two rays and one vertex.png|thumb|right|एक शीर्ष से निकलने वाली दो किरणों द्वारा निर्मित कोण।]] | ||
यूक्लिडियन ज्यामिति में, एक कोण दो किरणों द्वारा बनाई गई आकृति है, जिसे कोण के ''पक्ष'' कहा जाता है, जो एक सामान्य समापन बिंदु को साझा करता है, जिसे कोण का ''शीर्ष'' कहा जाता है।<ref>{{harvnb|Sidorov|2001|ignore-err=yes}}</ref>दो किरणों से बनने वाले कोण उस तल में होते हैं जिसमें किरणें होती हैं। कोण भी दो तलों के प्रतिच्छेदन से बनते हैं। इन्हें डायहेड्रल कोण कहा जाता है। दो प्रतिच्छेदी वक्र भी एक कोण को परिभाषित कर सकते हैं, जो कि उनके प्रतिच्छेदन बिंदु पर संबंधित वक्रों के स्पर्शरेखा वाली किरणों का कोण होता है। | |||
कोण का उपयोग कोण या घूर्णन के माप को निर्दिष्ट करने के लिए भी किया जाता है। यह माप एक वृत्ताकार चाप की लंबाई और उसकी त्रिज्या का अनुपात है। एक ज्यामितीय कोण के मामले में, चाप शीर्ष पर केंद्रित होता है और पक्षों द्वारा सीमांकित होता है। घूर्णन के मामले में, चाप घूर्णन के केंद्र में केंद्रित होता है और किसी अन्य बिंदु से और घूर्णन द्वारा इसकी छवि को सीमित करता है। | कोण का उपयोग कोण या घूर्णन के माप को निर्दिष्ट करने के लिए भी किया जाता है। यह माप एक वृत्ताकार चाप की लंबाई और उसकी त्रिज्या का अनुपात है। एक ज्यामितीय कोण के मामले में, चाप शीर्ष पर केंद्रित होता है और पक्षों द्वारा सीमांकित होता है। घूर्णन के मामले में, चाप घूर्णन के केंद्र में केंद्रित होता है और किसी अन्य बिंदु से और घूर्णन द्वारा इसकी छवि को सीमित करता है। | ||
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==इतिहास और व्युत्पत्ति == | ==इतिहास और व्युत्पत्ति == | ||
कोण शब्द लैटिन शब्द एंगुलस से आया है, जिसका अर्थ है कोना; सजातीय शब्द ग्रीक हैं {{lang|grc|ἀγκύλος}} (ankylοs), जिसका अर्थ है कुटिल, घुमावदार, और अंग्रेजी शब्द टखने। दोनों प्रोटो-इंडो-यूरोपीय भाषा से जुड़े हुए हैं | प्रोटो-इंडो-यूरोपियन रूट * एंक-, जिसका अर्थ है झुकना या झुकना।<ref>{{harvnb|Slocum|2007}}</ref> | कोण शब्द लैटिन शब्द एंगुलस से आया है, जिसका अर्थ है कोना; सजातीय शब्द ग्रीक हैं {{lang|grc|ἀγκύλος}} (ankylοs), जिसका अर्थ है कुटिल, घुमावदार, और अंग्रेजी शब्द टखने। दोनों प्रोटो-इंडो-यूरोपीय भाषा से जुड़े हुए हैं | प्रोटो-इंडो-यूरोपियन रूट * एंक-, जिसका अर्थ है झुकना या झुकना।<ref>{{harvnb|Slocum|2007}}</ref> | ||
<!--नोट: के बजाय सही है, γκ एक डिग्राफ | <!--नोट: के बजाय सही है, γκ एक डिग्राफ है जिसका उच्चारण [ŋk] है।--> | ||
यूक्लिड एक समतल कोण को एक दूसरे के झुकाव के रूप में परिभाषित करता है, एक समतल में, दो रेखाएँ जो एक दूसरे से मिलती हैं, और एक दूसरे के संबंध में सीधे झूठ नहीं बोलती हैं। प्रोक्लस के अनुसार, कोण या तो गुणवत्ता या मात्रा, या संबंध होना चाहिए। पहली अवधारणा का उपयोग यूडेमस द्वारा किया गया था, जो एक कोण को एक सीधी रेखा से विचलन के रूप में मानते थे; दूसरा अन्ताकिया के कार्पस द्वारा, जिसने इसे प्रतिच्छेदन रेखाओं के बीच का अंतराल या स्थान माना; यूक्लिड ने तीसरी अवधारणा को अपनाया।<ref>{{harvnb|Chisholm|1911}}; {{harvnb|Heiberg|1908|pp=177–178}}</ref><!--यह पैराग्राफ EB1911 से उद्धृत किया गया है, लेकिन इसका स्रोत हीथ प्रतीत होता है।--> | यूक्लिड एक समतल कोण को एक दूसरे के झुकाव के रूप में परिभाषित करता है, एक समतल में, दो रेखाएँ जो एक दूसरे से मिलती हैं, और एक दूसरे के संबंध में सीधे झूठ नहीं बोलती हैं। प्रोक्लस के अनुसार, कोण या तो गुणवत्ता या मात्रा, या संबंध होना चाहिए। पहली अवधारणा का उपयोग यूडेमस द्वारा किया गया था, जो एक कोण को एक सीधी रेखा से विचलन के रूप में मानते थे; दूसरा अन्ताकिया के कार्पस द्वारा, जिसने इसे प्रतिच्छेदन रेखाओं के बीच का अंतराल या स्थान माना; यूक्लिड ने तीसरी अवधारणा को अपनाया।<ref>{{harvnb|Chisholm|1911}}; {{harvnb|Heiberg|1908|pp=177–178}}</ref><!--यह पैराग्राफ EB1911 से उद्धृत किया गया है, लेकिन इसका स्रोत हीथ प्रतीत होता है।--> | ||
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ज्यामितीय आकृतियों में, कोणों को उन तीन बिंदुओं से भी पहचाना जा सकता है जो उन्हें परिभाषित करते हैं। उदाहरण के लिए, एबी और एसी किरणों (अर्थात बिंदु ए से बिंदु बी और सी तक की रेखाएं) द्वारा गठित शीर्ष ए वाले कोण को दर्शाया गया है {{math|∠BAC}} या <math>\widehat{\rm BAC}</math>. जहां भ्रम का कोई खतरा नहीं है, कोण को कभी-कभी केवल इसके शीर्ष (इस मामले में कोण ए) द्वारा संदर्भित किया जा सकता है। | ज्यामितीय आकृतियों में, कोणों को उन तीन बिंदुओं से भी पहचाना जा सकता है जो उन्हें परिभाषित करते हैं। उदाहरण के लिए, एबी और एसी किरणों (अर्थात बिंदु ए से बिंदु बी और सी तक की रेखाएं) द्वारा गठित शीर्ष ए वाले कोण को दर्शाया गया है {{math|∠BAC}} या <math>\widehat{\rm BAC}</math>. जहां भ्रम का कोई खतरा नहीं है, कोण को कभी-कभी केवल इसके शीर्ष (इस मामले में कोण ए) द्वारा संदर्भित किया जा सकता है। | ||
संभावित रूप से, एक कोण के रूप में दर्शाया गया है, कहते हैं, {{math|∠BAC}}, चार कोणों में से किसी को भी संदर्भित कर सकता है: बी से सी तक का दक्षिणावर्त कोण, बी से सी का वामावर्त कोण, सी से बी का दक्षिणावर्त कोण, या सी से बी का वामावर्त कोण, जहां कोण की दिशा है मापा इसका संकेत निर्धारित करता है (सकारात्मक और नकारात्मक कोण देखें)। हालांकि, कई ज्यामितीय स्थितियों में, | संभावित रूप से, एक कोण के रूप में दर्शाया गया है, कहते हैं, {{math|∠BAC}}, चार कोणों में से किसी को भी संदर्भित कर सकता है: बी से सी तक का दक्षिणावर्त कोण, बी से सी का वामावर्त कोण, सी से बी का दक्षिणावर्त कोण, या सी से बी का वामावर्त कोण, जहां कोण की दिशा है मापा इसका संकेत निर्धारित करता है (सकारात्मक और नकारात्मक कोण देखें)। हालांकि, कई ज्यामितीय स्थितियों में, संदर्भ से यह स्पष्ट है कि सकारात्मक कोण 180 डिग्री से कम या उसके बराबर है, ऐसी स्थिति में कोई अस्पष्टता नहीं होती है। अन्यथा, एक सम्मेलन अपनाया जा सकता है ताकि {{math|∠BAC}} हमेशा बी से सी तक वामावर्त (सकारात्मक) कोण को संदर्भित करता है, और {{math|∠CAB}} C से B तक वामावर्त (धनात्मक) कोण। | ||
== कोणों के प्रकार == | == कोणों के प्रकार == | ||
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* एक समकोण से बड़ा और एक सीधे कोण से छोटा (90° और 180° के बीच) कोण को अधिक कोण (अधिक अर्थ वाला कुंद) कहा जाता है। | * एक समकोण से बड़ा और एक सीधे कोण से छोटा (90° और 180° के बीच) कोण को अधिक कोण (अधिक अर्थ वाला कुंद) कहा जाता है। | ||
* के बराबर कोण {sfrac|2}} मोड़ (180° or .) {{math|π}} रेडियन) को एक सीधा कोण कहा जाता है। | * के बराबर कोण {sfrac|2}} मोड़ (180° or .) {{math|π}} रेडियन) को एक सीधा कोण कहा जाता है। | ||
* एक सीधे कोण से बड़ा लेकिन एक मोड़ से कम (180° और 360° के बीच) कोण | * एक कोण जो एक सीधे कोण से बड़ा होता है लेकिन एक मोड़ से कम (180° और 360° के बीच) होता है, प्रतिवर्ती कोण कहलाता है। | ||
* 1 मोड़ के बराबर कोण (360° या 2 .){{math|π}} रेडियन) को पूर्ण कोण, पूर्ण कोण, गोल कोण या पेरिगॉन कहा जाता है। | * 1 मोड़ के बराबर कोण (360° या 2 .){{math|π}} रेडियन) को पूर्ण कोण, पूर्ण कोण, गोल कोण या पेरिगॉन कहा जाता है। | ||
* ऐसा कोण जो समकोण का गुणज न हो, तिरछा कोण कहलाता है। | * ऐसा कोण जो समकोण का गुणज न हो, तिरछा कोण कहलाता है। | ||
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{{redirect-distinguish|Vertical angle|Zenith angle}} | {{redirect-distinguish|Vertical angle|Zenith angle}} | ||
जब दो सीधी रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो चार कोण बनते हैं। जोड़ीवार इन कोणों को एक दूसरे के सापेक्ष उनके स्थान के अनुसार नाम दिया गया है। | जब दो सीधी रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो चार कोण बनते हैं। जोड़ीवार इन कोणों को एक दूसरे के सापेक्ष उनके स्थान के अनुसार नाम दिया गया है। | ||
* दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं से एक-दूसरे के सम्मुख कोणों का युग्म जो X-समान आकार बनाता है, ऊर्ध्व कोण या सम्मुख कोण या उर्ध्वाधर सम्मुख कोण कहलाते हैं। उन्हें vert के रूप में संक्षिप्त किया गया है। विपक्ष ई.एस.<ref name="tb">{{harvnb|Wong|Wong|2009|pp=161–163}}</ref>: उर्ध्वाधर सम्मुख कोणों की समानता को उर्ध्वाधर कोण प्रमेय कहते हैं। रोड्स के यूडेमस ने थेल्स ऑफ मिलेटस को सबूत के लिए जिम्मेदार ठहराया।<ref>{{cite book|author=Euclid|author-link=Euclid|title=The Elements|title-link=Euclid's Elements}} प्रस्ताव I:13.</ref>{{sfn|Shute| Shirk|Porter|1960|pp=25–27}} प्रस्ताव ने दिखाया कि चूंकि दोनों लंबवत कोणों की एक जोड़ी दोनों आसन्न कोणों के पूरक हैं, | * दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं से एक-दूसरे के सम्मुख कोणों का युग्म जो X-समान आकार बनाता है, ऊर्ध्व कोण या सम्मुख कोण या उर्ध्वाधर सम्मुख कोण कहलाते हैं। उन्हें vert के रूप में संक्षिप्त किया गया है। विपक्ष ई.एस.<ref name="tb">{{harvnb|Wong|Wong|2009|pp=161–163}}</ref>: उर्ध्वाधर सम्मुख कोणों की समानता को उर्ध्वाधर कोण प्रमेय कहते हैं। रोड्स के यूडेमस ने थेल्स ऑफ मिलेटस को सबूत के लिए जिम्मेदार ठहराया।<ref>{{cite book|author=Euclid|author-link=Euclid|title=The Elements|title-link=Euclid's Elements}} प्रस्ताव I:13.</ref>{{sfn|Shute| Shirk|Porter|1960|pp=25–27}} प्रस्ताव ने दिखाया कि चूंकि दोनों लंबवत कोणों की एक जोड़ी दोनों आसन्न कोणों के पूरक हैं, लंबवत कोण माप में बराबर हैं। एक ऐतिहासिक नोट के अनुसार,{{sfn|Shute| Shirk|Porter|1960|pp=25–27}} जब थेल्स ने मिस्र का दौरा किया, तो उन्होंने देखा कि जब भी मिस्रवासी दो प्रतिच्छेद करने वाली रेखाएँ खींचते हैं, तो वे यह सुनिश्चित करने के लिए ऊर्ध्वाधर कोणों को मापते हैं कि वे समान हैं। थेल्स ने निष्कर्ष निकाला कि कोई यह साबित कर सकता है कि सभी ऊर्ध्वाधर कोण समान हैं यदि कोई कुछ सामान्य धारणाओं को स्वीकार करता है जैसे: | ||
:* सभी समकोण समान होते हैं। | :* सभी समकोण समान होते हैं। | ||
:* बराबर में जोड़े गए बराबर बराबर होते हैं। | :* बराबर में जोड़े गए बराबर बराबर होते हैं। | ||
:* बराबर में से घटाए गए बराबर बराबर होते हैं। | :* बराबर में से घटाए गए बराबर बराबर होते हैं। | ||
: जब दो आसन्न कोण एक सीधी रेखा बनाते हैं, तो वे संपूरक होते हैं। इसलिए, यदि हम यह मान लें कि कोण A का माप x के बराबर है, तो कोण C का माप होगा {{nowrap|180° − ''x''}}. इसी प्रकार, कोण D की माप होगी {{nowrap|180° − ''x''}}. कोण C और कोण D दोनों के माप के बराबर हैं {{nowrap|180° − ''x''}} और समरूप हैं। चूँकि कोण B दोनों कोणों C और D का पूरक है, कोण B के माप को निर्धारित करने के लिए इनमें से किसी भी कोण | : जब दो आसन्न कोण एक सीधी रेखा बनाते हैं, तो वे संपूरक होते हैं। इसलिए, यदि हम यह मान लें कि कोण A का माप x के बराबर है, तो कोण C का माप होगा {{nowrap|180° − ''x''}}. इसी प्रकार, कोण D की माप होगी {{nowrap|180° − ''x''}}. कोण C और कोण D दोनों के माप के बराबर हैं {{nowrap|180° − ''x''}} और समरूप हैं। चूँकि कोण B दोनों कोणों C और D का पूरक है, कोण B के माप को निर्धारित करने के लिए इनमें से किसी भी कोण माप का उपयोग किया जा सकता है। कोण C या कोण D के माप का उपयोग करके, हम कोण B की माप को ज्ञात करते हैं {{nowrap|1=180° − (180° − ''x'') = 180° − 180° + ''x'' = ''x''}}. इसलिए, कोण A और कोण B दोनों के माप x के बराबर हैं और माप में बराबर हैं। | ||
[[File:Adjacentangles.svg|right|thumb|225px|कोण A और B आसन्न हैं।]] | [[File:Adjacentangles.svg|right|thumb|225px|कोण A और B आसन्न हैं।]] | ||
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{{anchor|complementary angle}} | {{anchor|complementary angle}} | ||
[[File:Complement angle.svg|thumb|150px|पूरक कोण <var>a</var> और <var>b</var> (<var>b</var> <var>a</var> और <var>a</var> का पूरक है। > <var>b</var>) का पूरक है।]] | [[File:Complement angle.svg|thumb|150px|पूरक कोण <var>a</var> और <var>b</var> (<var>b</var> <var>a</var> और <var>a</var> का पूरक है। > <var>b</var>) का पूरक है।]] | ||
* पूरक कोण कोण युग्म होते हैं जिनके मापों का योग एक समकोण होता है ({{sfrac|4}} मोड़, 90°, या {{sfrac|{{math|π}}|2}} रेडियन)।<ref>{{Cite web|title=Complementary Angles|url=https://www.mathsisfun.com/geometry/complementary-angles.html|access-date=2020-08-17|website=www.mathsisfun.com}}</ref>यदि दो पूरक कोण आसन्न हैं, तो उनकी गैर-साझा भुजाएँ एक समकोण बनाती हैं। यूक्लिडियन ज्यामिति में, एक समकोण त्रिभुज में दो न्यून कोण पूरक होते हैं, क्योंकि | * पूरक कोण कोण युग्म होते हैं जिनके मापों का योग एक समकोण होता है ({{sfrac|4}} मोड़, 90°, या {{sfrac|{{math|π}}|2}} रेडियन)।<ref>{{Cite web|title=Complementary Angles|url=https://www.mathsisfun.com/geometry/complementary-angles.html|access-date=2020-08-17|website=www.mathsisfun.com}}</ref>यदि दो पूरक कोण आसन्न हैं, तो उनकी गैर-साझा भुजाएँ एक समकोण बनाती हैं। यूक्लिडियन ज्यामिति में, एक समकोण त्रिभुज में दो न्यून कोण पूरक होते हैं, क्योंकि त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग 180 डिग्री होता है, और समकोण स्वयं 90 डिग्री का होता है। | ||
:विशेषण पूरक लैटिन पूरक से है, जो क्रिया पूर्ण से जुड़ा है, भरने के लिए। एक समकोण बनाने के लिए एक न्यून कोण इसके पूरक द्वारा भरा जाता है। | :विशेषण पूरक लैटिन पूरक से है, जो क्रिया पूर्ण से जुड़ा है, भरने के लिए। एक समकोण बनाने के लिए एक न्यून कोण इसके पूरक द्वारा भरा जाता है। | ||
: कोण और समकोण के बीच के अंतर को कोण का पूरक कहा जाता है।<ref name="Chisholm 1911">{{harvnb|Chisholm|1911}}</ref>:यदि कोण A और B पूरक हैं, तो निम्नलिखित संबंध धारण करते हैं: | : कोण और समकोण के बीच के अंतर को कोण का पूरक कहा जाता है।<ref name="Chisholm 1911">{{harvnb|Chisholm|1911}}</ref>:यदि कोण A और B पूरक हैं, तो निम्नलिखित संबंध धारण करते हैं: | ||
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{{clear|right}} | {{clear|right}} | ||
[[File:Angle obtuse acute straight.svg|thumb|right|300px|कोण <var>a</var> और <var>b</var> संपूरक कोण हैं।]] | [[File:Angle obtuse acute straight.svg|thumb|right|300px|कोण <var>a</var> और <var>b</var> संपूरक कोण हैं।]] | ||
* {{anchor|Linear pair of angles|Supplementary angle}}दो कोण जो एक सीधे कोण का योग करते हैं ({{sfrac|2}} मोड़, 180°, या {{math|π}} रेडियन) संपूरक कोण कहलाते हैं।<ref>{{Cite web|title=Supplementary Angles|url=https://www.mathsisfun.com/geometry/supplementary-angles.html|access-date=2020-08-17|website=www.mathsisfun.com}}</ref>:यदि दो संपूरक कोण आसन्न हैं (अर्थात एक उभयनिष्ठ शीर्ष है और केवल एक भुजा साझा करते हैं), तो उनकी गैर-साझा भुजाएँ एक सीधी रेखा बनाती हैं। ऐसे कोणों को कोणों का रैखिक युग्म कहा जाता है।{{sfn|Jacobs|1974|p=97}} हालांकि, पूरक कोणों का एक ही रेखा पर होना जरूरी नहीं है, और उन्हें अंतरिक्ष में अलग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, समांतर चतुर्भुज के आसन्न कोण पूरक होते हैं, और | * {{anchor|Linear pair of angles|Supplementary angle}}दो कोण जो एक सीधे कोण का योग करते हैं ({{sfrac|2}} मोड़, 180°, या {{math|π}} रेडियन) संपूरक कोण कहलाते हैं।<ref>{{Cite web|title=Supplementary Angles|url=https://www.mathsisfun.com/geometry/supplementary-angles.html|access-date=2020-08-17|website=www.mathsisfun.com}}</ref>:यदि दो संपूरक कोण आसन्न हैं (अर्थात एक उभयनिष्ठ शीर्ष है और केवल एक भुजा साझा करते हैं), तो उनकी गैर-साझा भुजाएँ एक सीधी रेखा बनाती हैं। ऐसे कोणों को कोणों का रैखिक युग्म कहा जाता है।{{sfn|Jacobs|1974|p=97}} हालांकि, पूरक कोणों का एक ही रेखा पर होना जरूरी नहीं है, और उन्हें अंतरिक्ष में अलग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, समांतर चतुर्भुज के आसन्न कोण पूरक होते हैं, और चक्रीय चतुर्भुज के विपरीत कोण (जिसके शीर्ष सभी एक ही वृत्त पर पड़ते हैं) पूरक होते हैं। | ||
:यदि एक बिंदु P केंद्र O वाले वृत्त के बाहर है, और यदि P से स्पर्श रेखाएँ वृत्त को बिंदु T और Q पर स्पर्श करती हैं, तो TPQ और TOQ पूरक हैं। | :यदि एक बिंदु P केंद्र O वाले वृत्त के बाहर है, और यदि P से स्पर्श रेखाएँ वृत्त को बिंदु T और Q पर स्पर्श करती हैं, तो TPQ और TOQ पूरक हैं। | ||
:संपूरक कोणों की ज्या बराबर होती है। उनके कोसाइन और स्पर्शरेखा (जब तक कि अपरिभाषित नहीं) परिमाण में बराबर होते हैं लेकिन विपरीत संकेत होते हैं। | :संपूरक कोणों की ज्या बराबर होती है। उनके कोसाइन और स्पर्शरेखा (जब तक कि अपरिभाषित नहीं) परिमाण में बराबर होते हैं लेकिन विपरीत संकेत होते हैं। | ||
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===बहुभुज-संबंधित कोण=== | ===बहुभुज-संबंधित कोण=== | ||
[[File:ExternalAngles.svg|thumb|300px|right|आंतरिक और बाहरी कोण।]] | [[File:ExternalAngles.svg|thumb|300px|right|आंतरिक और बाहरी कोण।]] | ||
* एक कोण जो एक | * एक कोण जो एक साधारण बहुभुज का भाग होता है, एक आंतरिक कोण कहलाता है यदि वह उस साधारण बहुभुज के अंदर स्थित हो। एक साधारण अवतल बहुभुज में कम से कम एक आंतरिक कोण होता है जो एक प्रतिवर्त कोण होता है। | ||
*: यूक्लिडियन ज्यामिति में, त्रिभुज के आंतरिक कोणों के मापों का योग होता है {{math|π}} रेडियन, 180°, or {{sfrac|2}} मोड़; एक साधारण उत्तल चतुर्भुज के आंतरिक कोणों के माप 2 . तक जोड़ते हैं{{math|π}} रेडियन, 360°, या 1 मोड़। सामान्य तौर पर, n भुजाओं वाले एक साधारण | *: यूक्लिडियन ज्यामिति में, त्रिभुज के आंतरिक कोणों के मापों का योग होता है {{math|π}} रेडियन, 180°, or {{sfrac|2}} मोड़; एक साधारण उत्तल चतुर्भुज के आंतरिक कोणों के माप 2 . तक जोड़ते हैं{{math|π}} रेडियन, 360°, या 1 मोड़। सामान्य तौर पर, n भुजाओं वाले एक साधारण उत्तल बहुभुज के आंतरिक कोणों के मापों का योग (n − 2) होता है।{{math|π}}रेडियन, या (n − 2)180 डिग्री, (n − 2)2 समकोण, या (n − 2){{sfrac|1|2}}मोड़। | ||
* एक आंतरिक कोण के पूरक को एक बाहरी कोण कहा जाता है, अर्थात एक आंतरिक कोण और एक बाहरी कोण कोणों का एक रैखिक युग्म बनाते हैं। बहुभुज के प्रत्येक शीर्ष पर दो बाहरी कोण होते हैं, प्रत्येक को शीर्ष पर मिलने वाले बहुभुज के दो पक्षों में से एक को विस्तारित करके निर्धारित किया जाता है; ये दो कोण लंबवत हैं और इसलिए बराबर हैं। एक बाहरी कोण बहुभुज का पता लगाने के लिए एक शीर्ष पर घूमने की मात्रा को मापता है।{{sfn|Henderson|Taimina|2005|p=104}} यदि संगत आंतरिक कोण प्रतिवर्त कोण है, तो बाह्य कोण को ऋणात्मक माना जाना चाहिए। यहां तक कि एक गैर-साधारण बहुभुज में भी बाहरी कोण को परिभाषित करना संभव हो सकता है, लेकिन बाहरी कोण माप के संकेत को तय करने के लिए किसी को विमान (या सतह) का एक अभिविन्यास चुनना होगा। | * एक आंतरिक कोण के पूरक को एक बाहरी कोण कहा जाता है, अर्थात एक आंतरिक कोण और एक बाहरी कोण कोणों का एक रैखिक युग्म बनाते हैं। बहुभुज के प्रत्येक शीर्ष पर दो बाहरी कोण होते हैं, प्रत्येक को शीर्ष पर मिलने वाले बहुभुज के दो पक्षों में से एक को विस्तारित करके निर्धारित किया जाता है; ये दो कोण लंबवत हैं और इसलिए बराबर हैं। एक बाहरी कोण बहुभुज का पता लगाने के लिए एक शीर्ष पर घूमने की मात्रा को मापता है।{{sfn|Henderson|Taimina|2005|p=104}} यदि संगत आंतरिक कोण प्रतिवर्त कोण है, तो बाह्य कोण को ऋणात्मक माना जाना चाहिए। यहां तक कि एक गैर-साधारण बहुभुज में भी बाहरी कोण को परिभाषित करना संभव हो सकता है, लेकिन बाहरी कोण माप के संकेत को तय करने के लिए किसी को विमान (या सतह) का एक अभिविन्यास चुनना होगा। | ||
*: यूक्लिडियन ज्यामिति में, एक साधारण उत्तल बहुभुज के बाहरी कोणों का योग, यदि प्रत्येक शीर्ष पर दो बाहरी कोणों में से केवल एक माना जाता है, तो एक पूर्ण मोड़ (360°) होगा। यहाँ बाह्य कोण को पूरक बाह्य कोण कहा जा सकता है। नियमित बहुभुज बनाते समय बाहरी कोणों का उपयोग आमतौर पर लोगो कछुए कार्यक्रमों में किया जाता है। | *: यूक्लिडियन ज्यामिति में, एक साधारण उत्तल बहुभुज के बाहरी कोणों का योग, यदि प्रत्येक शीर्ष पर दो बाहरी कोणों में से केवल एक माना जाता है, तो एक पूर्ण मोड़ (360°) होगा। यहाँ बाह्य कोण को पूरक बाह्य कोण कहा जा सकता है। नियमित बहुभुज बनाते समय बाहरी कोणों का उपयोग आमतौर पर लोगो कछुए कार्यक्रमों में किया जाता है। | ||
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* एक समतल और एक प्रतिच्छेदी सीधी रेखा के बीच का कोण प्रतिच्छेदन रेखा और प्रतिच्छेदन बिंदु से जाने वाली रेखा के बीच के कोण को घटाकर नब्बे डिग्री के बराबर होता है और समतल के अभिलंबवत होता है। | * एक समतल और एक प्रतिच्छेदी सीधी रेखा के बीच का कोण प्रतिच्छेदन रेखा और प्रतिच्छेदन बिंदु से जाने वाली रेखा के बीच के कोण को घटाकर नब्बे डिग्री के बराबर होता है और समतल के अभिलंबवत होता है। | ||
== कोणों को मापना{{anchor|Measurement}}==<!--डिग्री (कोण) से जुड़ा हुआ -->एक ज्यामितीय कोण का आकार आमतौर पर सबसे छोटे रोटेशन के परिमाण की विशेषता होती है जो एक किरण को दूसरे में मैप करता है। समान आकार वाले कोणों को समान या सर्वांगसम या माप में बराबर कहा जाता है। | |||
== कोणों को मापना{{anchor|Measurement}}== | |||
<!--डिग्री (कोण) से जुड़ा हुआ -->एक ज्यामितीय कोण का आकार आमतौर पर सबसे छोटे रोटेशन के परिमाण की विशेषता होती है जो एक किरण को दूसरे में मैप करता है। समान आकार वाले कोणों को समान या सर्वांगसम या माप में बराबर कहा जाता है। | |||
कुछ संदर्भों में, जैसे किसी वृत्त पर एक बिंदु की पहचान करना या किसी संदर्भ अभिविन्यास के सापेक्ष दो आयामों में किसी वस्तु के उन्मुखीकरण का वर्णन करना, कोण जो पूर्ण मोड़ के सटीक गुणक से भिन्न होते हैं, प्रभावी रूप से समतुल्य होते हैं। अन्य संदर्भों में, जैसे कि एक सर्पिल वक्र पर एक बिंदु की पहचान करना या किसी संदर्भ अभिविन्यास के सापेक्ष दो आयामों में किसी वस्तु के संचयी घुमाव का वर्णन करना, कोण जो एक पूर्ण मोड़ के गैर-शून्य गुणक से भिन्न होते हैं, समकक्ष नहीं होते हैं। | कुछ संदर्भों में, जैसे किसी वृत्त पर एक बिंदु की पहचान करना या किसी संदर्भ अभिविन्यास के सापेक्ष दो आयामों में किसी वस्तु के उन्मुखीकरण का वर्णन करना, कोण जो पूर्ण मोड़ के सटीक गुणक से भिन्न होते हैं, प्रभावी रूप से समतुल्य होते हैं। अन्य संदर्भों में, जैसे कि एक सर्पिल वक्र पर एक बिंदु की पहचान करना या किसी संदर्भ अभिविन्यास के सापेक्ष दो आयामों में किसी वस्तु के संचयी घुमाव का वर्णन करना, कोण जो एक पूर्ण मोड़ के गैर-शून्य गुणक से भिन्न होते हैं, समकक्ष नहीं होते हैं। | ||
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:<math> \theta = \frac{k}{2\pi} \cdot \frac{s}{r}. </math> | :<math> \theta = \frac{k}{2\pi} \cdot \frac{s}{r}. </math> | ||
का मूल्य {{math|''θ''}} इस प्रकार परिभाषित वृत्त के आकार से स्वतंत्र है: यदि त्रिज्या की लंबाई बदल जाती है तो चाप की लंबाई उसी अनुपात में बदल जाती है, इसलिए अनुपात s/r अपरिवर्तित रहता है।{{refn|group="nb"|This approach requires however an additional proof that the measure of the angle does not change with changing radius {{math|''r''}}, चुनी गई माप इकाइयों के मुद्दे के अलावा। एक आसान तरीका कोण को संबंधित इकाई सर्कल चाप की लंबाई से मापना है। यहां इकाई को इस अर्थ में आयामहीन चुना जा सकता है कि यह वास्तविक रेखा पर इकाई खंड से जुड़ी वास्तविक संख्या 1 है। उदाहरण के लिए राडोस्लाव एम. दिमित्रिक देखें।<ref name="Dimitric_2012 />}} | का मूल्य {{math|''θ''}} इस प्रकार परिभाषित वृत्त के आकार से स्वतंत्र है: यदि त्रिज्या की लंबाई बदल जाती है तो चाप की लंबाई उसी अनुपात में बदल जाती है, इसलिए अनुपात s/r अपरिवर्तित रहता है।{{refn|group="nb"|This approach requires however an additional proof that the measure of the angle does not change with changing radius {{math|''r''}}, चुनी गई माप इकाइयों के मुद्दे के अलावा। एक आसान तरीका कोण को संबंधित इकाई सर्कल चाप की लंबाई से मापना है। यहां इकाई को इस अर्थ में आयामहीन चुना जा सकता है कि यह वास्तविक रेखा पर इकाई खंड से जुड़ी वास्तविक संख्या 1 है। उदाहरण के लिए राडोस्लाव एम. दिमित्रिक देखें।<ref name="Dimitric_2012 />}} | ||
=== कोण जोड़ अभिधारणा === | === कोण जोड़ अभिधारणा === | ||
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=== इकाइयां === | === इकाइयां === | ||
[[Image:Angle radian.svg|right|thumb|1 रेडियन की परिभाषा]] | [[Image:Angle radian.svg|right|thumb|1 रेडियन की परिभाषा]] | ||
Dian | |||
पूरे इतिहास में, कोणों को विभिन्न इकाइयों में मापा गया है। इन्हें कोणीय इकाइयों के रूप में जाना जाता है, जिनमें सबसे समकालीन इकाइयाँ डिग्री (°), रेडियन (रेड), और ग्रेडियन (ग्रेड) हैं, हालाँकि कई अन्य का उपयोग पूरे इतिहास में किया गया है।<ref>{{Cite web|title=angular unit|url=https://www.thefreedictionary.com/angular+unit|access-date=2020-08-31|website=TheFreeDictionary.com}}</ref> | पूरे इतिहास में, कोणों को विभिन्न इकाइयों में मापा गया है। इन्हें कोणीय इकाइयों के रूप में जाना जाता है, जिनमें सबसे समकालीन इकाइयाँ डिग्री (°), रेडियन (रेड), और ग्रेडियन (ग्रेड) हैं, हालाँकि कई अन्य का उपयोग पूरे इतिहास में किया गया है।<ref>{{Cite web|title=angular unit|url=https://www.thefreedictionary.com/angular+unit|access-date=2020-08-31|website=TheFreeDictionary.com}}</ref> | ||
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| [[Second of arc]]||1,296,000 ||0°0′1″||The ''second of arc'' (or ''arcsecond'', or just ''second'') is {{sfrac|60}} of a minute of arc and {{sfrac|3600}} of a degree (''n'' = 1,296,000). The ''arcsecond'' (or ''second of arc'', or just ''second'') is {{sfrac|60}} of an arcminute and {{sfrac|3600}} of a degree. It is denoted by a double prime ( ″ ). For example, 3° 7′ 30″ is equal to 3 + {{sfrac|7|60}} + {{sfrac|30|3600}} degrees, or 3.125 degrees. | | [[Second of arc]]||1,296,000 ||0°0′1″||The ''second of arc'' (or ''arcsecond'', or just ''second'') is {{sfrac|60}} of a minute of arc and {{sfrac|3600}} of a degree (''n'' = 1,296,000). The ''arcsecond'' (or ''second of arc'', or just ''second'') is {{sfrac|60}} of an arcminute and {{sfrac|3600}} of a degree. It is denoted by a double prime ( ″ ). For example, 3° 7′ 30″ is equal to 3 + {{sfrac|7|60}} + {{sfrac|30|3600}} degrees, or 3.125 degrees. | ||
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* ताऊ, एक चक्कर में रेडियन की संख्या (1 मोड़ = {{mvar|τ}} रेड), {{math|''τ'' {{=}} 2π}}. | * ताऊ, एक चक्कर में रेडियन की संख्या (1 मोड़ = {{mvar|τ}} रेड), {{math|''τ'' {{=}} 2π}}. | ||
* व्यास वाला हिस्सा (n = 376.99...): व्यास वाला हिस्सा (कभी-कभी इस्लामी गणित में इस्तेमाल होता है) है {{sfrac|60}} रेडियन एक व्यास वाला भाग लगभग 0.95493° होता है। प्रति मोड़ लगभग 376.991 व्यास के हिस्से हैं। | * व्यास वाला हिस्सा (n = 376.99...): व्यास वाला हिस्सा (कभी-कभी इस्लामी गणित में इस्तेमाल होता है) है {{sfrac|60}} रेडियन एक व्यास वाला भाग लगभग 0.95493° होता है। प्रति मोड़ लगभग 376.991 व्यास के हिस्से हैं। | ||
* मिलीराडियन और व्युत्पन्न परिभाषाएँ: सच्चे मिलिरेडियन को एक रेडियन के हज़ारवें हिस्से को परिभाषित किया जाता है, जिसका अर्थ है कि एक मोड़ का रोटेशन ठीक 2000π मिल (या लगभग 6283.185 मील) के बराबर होगा, और आग्नेयास्त्रों के लिए लगभग सभी स्कोप जगहें इस परिभाषा के लिए कैलिब्रेटेड हैं। इसके अलावा | * मिलीराडियन और व्युत्पन्न परिभाषाएँ: सच्चे मिलिरेडियन को एक रेडियन के हज़ारवें हिस्से को परिभाषित किया जाता है, जिसका अर्थ है कि एक मोड़ का रोटेशन ठीक 2000π मिल (या लगभग 6283.185 मील) के बराबर होगा, और आग्नेयास्त्रों के लिए लगभग सभी स्कोप जगहें इस परिभाषा के लिए कैलिब्रेटेड हैं। इसके अलावा तोपखाने और नेविगेशन के लिए इस्तेमाल की जाने वाली तीन अन्य व्युत्पन्न परिभाषाएँ हैं जो लगभग एक मिलीरेडियन के बराबर हैं। इन तीन अन्य परिभाषाओं के तहत एक मोड़ ठीक 6000, 6300 या 6400 मील के लिए बनाता है, जो 0.05625 से 0.06 डिग्री (3.375 से 3.6 मिनट) तक की सीमा के बराबर है। इसकी तुलना में, वास्तविक मिलीरेडियन लगभग 0.05729578 डिग्री (3.43775 मिनट) है। एक नाटो सैन्य को परिभाषित किया गया है {{sfrac|6400}} एक वृत्त का। ट्रू मिलिरेडियन की तरह ही, अन्य सभी परिभाषाएं मिल की सबटेंशन की उपयोगी संपत्ति का फायदा उठाती हैं, यानी कि एक मिलीरेडियन का मान लगभग 1 मीटर की चौड़ाई से घटाए गए कोण के बराबर होता है जैसा कि 1 किमी दूर से देखा जाता है ({{sfrac|2{{pi}}|6400}} = 0.0009817... ≈ {स्फ्रैक|1000}})। | ||
* अखनाम और ज़म। पुराने अरब में एक मोड़ को 32 अखनाम में विभाजित किया गया था और प्रत्येक अखनाम को 7 ज़म में विभाजित किया गया था, ताकि एक मोड़ 224 ज़म हो। | * अखनाम और ज़म। पुराने अरब में एक मोड़ को 32 अखनाम में विभाजित किया गया था और प्रत्येक अखनाम को 7 ज़म में विभाजित किया गया था, ताकि एक मोड़ 224 ज़म हो। | ||
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हालांकि एक कोण के मापन की परिभाषा एक नकारात्मक कोण की अवधारणा का समर्थन नहीं करती है, यह अक्सर एक सम्मेलन को लागू करने के लिए उपयोगी होता है जो सकारात्मक और नकारात्मक कोणीय मूल्यों को कुछ संदर्भ के सापेक्ष विपरीत दिशाओं में अभिविन्यास और/या घुमावों का प्रतिनिधित्व करने की अनुमति देता है। | हालांकि एक कोण के मापन की परिभाषा एक नकारात्मक कोण की अवधारणा का समर्थन नहीं करती है, यह अक्सर एक सम्मेलन को लागू करने के लिए उपयोगी होता है जो सकारात्मक और नकारात्मक कोणीय मूल्यों को कुछ संदर्भ के सापेक्ष विपरीत दिशाओं में अभिविन्यास और/या घुमावों का प्रतिनिधित्व करने की अनुमति देता है। | ||
द्वि-आयामी कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में, | द्वि-आयामी कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में, कोण को आमतौर पर इसके दो पक्षों द्वारा परिभाषित किया जाता है, इसके शीर्ष पर मूल। प्रारंभिक पक्ष सकारात्मक एक्स-अक्ष पर है, जबकि दूसरी तरफ या टर्मिनल पक्ष रेडियन, डिग्री या मोड़ में प्रारंभिक पक्ष से माप द्वारा परिभाषित किया गया है। धनात्मक कोणों के साथ धनात्मक y-अक्ष की ओर घूर्णन और ऋणात्मक y-अक्ष की ओर घूर्णन का प्रतिनिधित्व करने वाले ऋणात्मक कोण। जब कार्टेशियन निर्देशांक मानक स्थिति द्वारा दर्शाए जाते हैं, जो x-अक्ष दाईं ओर और y-अक्ष ऊपर की ओर परिभाषित होते हैं, सकारात्मक घुमाव वामावर्त होते हैं और नकारात्मक घुमाव दक्षिणावर्त होते हैं। | ||
कई संदर्भों में, −θ का कोण प्रभावी रूप से एक पूर्ण मोड़ माइनस के कोण के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, −45° के रूप में दर्शाया गया एक अभिविन्यास प्रभावी रूप से 360° − 45° या 315° के रूप में दर्शाए गए अभिविन्यास के | कई संदर्भों में, −θ का कोण प्रभावी रूप से एक पूर्ण मोड़ माइनस के कोण के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, −45° के रूप में दर्शाया गया एक अभिविन्यास प्रभावी रूप से 360° − 45° या 315° के रूप में दर्शाए गए अभिविन्यास के समतुल्य है। हालांकि अंतिम स्थिति समान है, -45° का एक भौतिक घुमाव (आंदोलन) 315° के घूर्णन के समान नहीं है (उदाहरण के लिए, धूल भरे फर्श पर झाड़ू रखने वाले व्यक्ति के घूमने से अलग-अलग निशान दिखाई देंगे फर्श पर बह क्षेत्रों की)। | ||
त्रि-आयामी ज्यामिति में, दक्षिणावर्त और वामावर्त का कोई पूर्ण अर्थ नहीं होता है, इसलिए सकारात्मक और नकारात्मक कोणों की दिशा को कुछ संदर्भ के सापेक्ष परिभाषित किया जाना चाहिए, जो आमतौर पर कोण के शीर्ष से गुजरने वाला एक वेक्टर होता है और उस विमान के लंबवत होता है जिसमें की किरणें होती हैं कोण झूठ। | त्रि-आयामी ज्यामिति में, दक्षिणावर्त और वामावर्त का कोई पूर्ण अर्थ नहीं होता है, इसलिए सकारात्मक और नकारात्मक कोणों की दिशा को कुछ संदर्भ के सापेक्ष परिभाषित किया जाना चाहिए, जो आमतौर पर कोण के शीर्ष से गुजरने वाला एक वेक्टर होता है और उस विमान के लंबवत होता है जिसमें की किरणें होती हैं कोण झूठ। | ||
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एक कोणीय इकाई के लिए, यह निश्चित है कि कोण जोड़ अभिधारणा धारण करता है। कुछ कोण माप जहां कोण जोड़ अभिधारणा धारण नहीं करते हैं उनमें शामिल हैं: | एक कोणीय इकाई के लिए, यह निश्चित है कि कोण जोड़ अभिधारणा धारण करता है। कुछ कोण माप जहां कोण जोड़ अभिधारणा धारण नहीं करते हैं उनमें शामिल हैं: | ||
* ढलान या ढाल कोण के स्पर्शरेखा के बराबर है; एक ढाल को अक्सर प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाता है। बहुत छोटे मान (5% से कम) के लिए, ढलान का ग्रेड लगभग रेडियन में कोण का माप होता है। | * ढलान या ढाल कोण के स्पर्शरेखा के बराबर है; एक ढाल को अक्सर प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाता है। बहुत छोटे मान (5% से कम) के लिए, ढलान का ग्रेड लगभग रेडियन में कोण का माप होता है। | ||
* दो रेखाओं के बीच के फैलाव को | |||