परिणामी

This article is about दो बहुपदों का परिणाम. For विशेषण के रूप में प्रयोग करता है, see परिणामी (बहुविकल्पी).

गणित में, दो बहुपदों का परिणाम उनके गुणांकों की बहुपद व्यंजक है, जो शून्य के बराबर है यदि और केवल यदि बहुपदों में फलन की सामान्य मूल (संभवतः क्षेत्र विस्तार में), या, समतुल्य, सामान्य कारक ( उनके गुणांक के क्षेत्र में) है। कुछ प्राचीन ग्रन्थों में परिणामी को निर्मूलक भी कहा गया है।

परिणामी का विस्तृत रूप से संख्या सिद्धांत में उपयोग किया जाता है, या तो सीधे या विवेचक के माध्यम से, जो अनिवार्य रूप से बहुपद और उसके व्युत्पन्न का परिणाम है। परिमेय संख्या या बहुपद गुणांक वाले दो बहुपदों के परिणाम की कंप्यूटर पर कुशलता से गणना की जा सकती है। यह कंप्यूटर बीजगणित का आधारभूत उपकरण है, और अधिकांश कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियों का अंतर्निहितफलन है। इसका उपयोग, दूसरों के बीच, बेलनाकार बीजगणितीय अपघटन, तर्कसंगत फलनों के प्रतीकात्मक एकीकरण और बहुपद चर बहुपद समीकरणों की संख्या द्वारा परिभाषित वक्रों के चित्रण के लिए किया जाता है।

n वेरिएबल्स में n सजातीय बहुपदों का परिणाम (सामान्य परिणाम से इसे अलग करने के लिए 'बहुभिन्नरूपी परिणाम' या 'मैकाले का परिणाम' भी कहा जाता है।) सामान्यीकरण है, जो सामान्य परिणाम के फ्रांसिस सोवर मैकाले द्वारा द्वारा प्रस्तुत किया गया है। यह ग्रोबनेर के साथ उन्मूलन सिद्धांत के मुख्य उपकरणों में से एक है।

संकेत पद्धति

दो अविभाज्य बहुपदों का परिणाम A और B सामान्य रूप से $\operatorname {res} (A,B)$ या $\operatorname {Res} (A,B)$ द्वारा निरूपित किया जाता है।

परिणामी के कई अनुप्रयोगों में, बहुपद कई अनिश्चितताओं पर निर्भर करते हैं और गुणांक के रूप में अन्य अनिश्चितताओं में बहुपदों के साथ उनके अनिश्चित में से एक में अविभाजित बहुपद के रूप में माना जा सकता है। इस स्थितियों में, परिणामी को परिभाषित करने और गणना करने के लिए चुने गए अनिश्चित को अधोलिखित: $\operatorname {res} _{x}(A,B)$ या $\operatorname {Res} _{x}(A,B)$ के रूप में दर्शाया गया है।

परिणामी की परिभाषा में बहुपदों की कोटि का उपयोग किया जाता है। चूंकि, कोटि का बहुपद d उच्च कोटि के बहुपद के रूप में भी माना जा सकता है जहां प्रमुख गुणांक शून्य हैं। यदि परिणामी के लिए ऐसी उच्च कोटि का उपयोग किया जाता है, तो इसे सामान्यतः अधोलिखित या अधिलेख के रूप में दर्शाया जाता है, जैसे $\operatorname {res} _{d,e}(A,B)$ या $\operatorname {res} _{x}^{d,e}(A,B).$

परिभाषा

क्षेत्र (गणित) या क्रमविनिमेय वलय पर दो अविभाजित बहुपदों के परिणाम को सामान्यतः उनके सिल्वेस्टर आव्यूह के निर्धारक के रूप में परिभाषित किया जाता है। अधिक त्रुटिहीन, मान लीजिये

$A=a_{0}x^{d}+a_{1}x^{d-1}+\cdots +a_{d}$

और

$B=b_{0}x^{e}+b_{1}x^{e-1}+\cdots +b_{e}$

क्रमशः घात d और e वाले शून्येतर बहुपद हों। आइए हम ${\mathcal {P}}_{i}$ आयाम का सदिश स्थान (या मुक्त मापांक यदि गुणांक क्रमविनिमेय वलय से संबंधित है।) i द्वारा निरूपित करते हैं। जिनके तत्व i सख्ती से कम कोटि के बहुपद हैं। वो मैप

$\varphi :{\mathcal {P}}_{e}\times {\mathcal {P}}_{d}\rightarrow {\mathcal {P}}_{d+e}$

ऐसा है कि

$\varphi (P,Q)=AP+BQ$

ही आयाम के दो स्थानों के बीच रेखीय नक्शा है। x की शक्तियों के आधार पर (अवरोही क्रम में सूचीबद्ध), यह नक्शा आयाम d + e के वर्ग आव्यूह द्वारा दर्शाया गया है,जिसे A और B के सिल्वेस्टर आव्यूह कहा जाता है। (कई लेखकों के लिए और लेख सिल्वेस्टर आव्यूह में, सिल्वेस्टर आव्यूह को इस आव्यूह के स्थानान्तरण के रूप में परिभाषित किया गया है; इस सम्मेलन का उपयोग यहां नहीं किया गया है, क्योंकि यह एक रेखीय मानचित्र के आव्यूह को लिखने के लिए सामान्य सम्मेलन को तोड़ता है।)।

इस प्रकार A और B का परिणाम निर्धारक है

$|\begin{array}{cccccccc}{a}_0& 0& \cdots <!--\; \cdots \; -->& 0& b_0& 0& \cdots <!--\; \cdots \; -->& 0\\ a_1& a_0& \cdots <!--\; \cdots \; -->& 0& b_1& b_0& \cdots <!--\; \cdots \; -->& 0\\ a_2& a_1& \ddots <!--\; \ddots \; -->& 0& b_2& b_1& \ddots <!--\; \ddots \; -->& 0\\ ⋮<!--\; ⋮\; -->& ⋮<!--\; ⋮\; -->& \ddots <!--\; \ddots \; -->& a_0& ⋮<!--\; ⋮\; -->& ⋮<!--\; ⋮\; -->& \ddots <!--\; \ddots \; -->& b_0\\ a_d& a_{d-<!--\; -\; -->1}& \cdots <!--\; \cdots \; -->& ⋮<!--\; ⋮\; -->& b_e& b_{e-<!--\; -\; -->1}& \cdots <!--\; \cdots \; -->& ⋮<!--\; ⋮\; -->\\ 0& a_d& \ddots <!--\; \ddots \; -->& ⋮<!--\; ⋮\; -->& 0& b_e& \ddots <!--\; \ddots \; -->& ⋮<!--\; ⋮\; -->\\ ⋮<!--\; ⋮\; -->& ⋮<!--\; ⋮\; -->& \ddots <!--\; \ddots \; -->& a_{d-<!--\; -\; -->1}& ⋮<!--\; ⋮\; -->& ⋮<!--\; ⋮\; -->& \ddots <!--\; \ddots \; -->& b_{e-<!--\; -\; -->1}\\ 0& 0& \cdots <!--\; \cdots \; -->& a_d\end{array}$