परिणामी: Difference between revisions

Revision as of 05:37, 16 February 2023

गणित में, दो बहुपदों का परिणाम उनके गुणांकों की बहुपद व्यंजक है, जो शून्य के बराबर है अगर और केवल अगर बहुपदों में फलन की सामान्य मूल (संभवतः क्षेत्र विस्तार में), या, समतुल्य, सामान्य कारक ( उनके गुणांक के क्षेत्र में) है। कुछ प्राचीन ग्रन्थों में परिणामी को निर्मूलक भी कहा गया है।^[1]

परिणामी का व्यापक रूप से संख्या सिद्धांत में उपयोग किया जाता है, या तो सीधे या विवेचक के माध्यम से, जो अनिवार्य रूप से बहुपद और उसके व्युत्पन्न का परिणाम है। परिमेय संख्या या बहुपद गुणांक वाले दो बहुपदों के परिणाम की कंप्यूटर पर कुशलता से गणना की जा सकती है। यह कंप्यूटर बीजगणित का आधारभूत उपकरण है, और अधिकांश कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियों का अंतर्निहित कार्य है। इसका उपयोग, दूसरों के बीच, बेलनाकार बीजगणितीय अपघटन, तर्कसंगत कार्यों के प्रतीकात्मक एकीकरण और बहुपद चर बहुपद समीकरणों की संख्या द्वारा परिभाषित वक्रों के चित्रण के लिए किया जाता है।

एन वेरिएबल्स में एन सजातीय बहुपदों का परिणाम (सामान्य परिणाम से इसे अलग करने के लिए 'बहुभिन्नरूपी परिणाम' या 'मैकाले का परिणाम' भी कहा जाता है) सामान्यीकरण है, जो सामान्य परिणाम के फ्रांसिस सोवर मैकाले द्वारा द्वारा पेश किया गया है।^[2] यह ग्रोबनेर के साथ उन्मूलन सिद्धांत के मुख्य उपकरणों में से एक है।

नोटेशन

दो अविभाज्य बहुपदों का परिणाम $A$ और $B$ सामान्य रूप से $\operatorname {res} (A,B)$ या $\operatorname {Res} (A,B)$ द्वारा निरूपित किया जाता है

परिणामी के कई अनुप्रयोगों में, बहुपद कई अनिश्चितताओं पर निर्भर करते हैं और गुणांक के रूप में अन्य अनिश्चितताओं में बहुपदों के साथ उनके अनिश्चित में से एक में अविभाजित बहुपद के रूप में माना जा सकता है। इस मामले में, परिणामी को परिभाषित करने और गणना करने के लिए चुने गए अनिश्चित को सबस्क्रिप्ट: $\operatorname {res} _{x}(A,B)$ या $\operatorname {Res} _{x}(A,B)$ के रूप में दर्शाया गया है

परिणामी की परिभाषा में बहुपदों की डिग्री का उपयोग किया जाता है। हालांकि, डिग्री का बहुपद $d$ उच्च डिग्री के बहुपद के रूप में भी माना जा सकता है जहां प्रमुख गुणांक शून्य हैं। यदि परिणामी के लिए ऐसी उच्च डिग्री का उपयोग किया जाता है, तो इसे आमतौर पर सबस्क्रिप्ट या सुपरस्क्रिप्ट के रूप में दर्शाया जाता है, जैसे $\operatorname {res} _{d,e}(A,B)$ या $\operatorname {res} _{x}^{d,e}(A,B).$

परिभाषा

क्षेत्र (गणित) या क्रमविनिमेय वलय पर दो अविभाजित बहुपदों के परिणाम को आमतौर पर उनके सिल्वेस्टर मैट्रिक्स के निर्धारक के रूप में परिभाषित किया जाता है। अधिक त्रुटिहीन, मान लीजिये

A=a_{0}x^{d}+a_{1}x^{d-1}+\cdots +a_{d}

और

B=b_{0}x^{e}+b_{1}x^{e-1}+\cdots +b_{e}

क्रमशः घात $d$ और $e$ वाले शून्येतर बहुपद हों। आइए हम ${\mathcal {P}}_{i}$ आयाम का सदिश स्थान (या मुक्त मॉड्यूल यदि गुणांक क्रमविनिमेय वलय से संबंधित हैं) $i$ द्वारा निरूपित करते हैं। जिनके तत्व $i$ सख्ती से कम डिग्री के बहुपद हैं। वो मैप

\varphi :{\mathcal {P}}_{e}\times {\mathcal {P}}_{d}\rightarrow {\mathcal {P}}_{d+e}

ऐसा है कि

\varphi (P,Q)=AP+BQ

ही आयाम के दो स्थानों के बीच रेखीय नक्शा है। $x$ की शक्तियों के आधार पर (अवरोही क्रम में सूचीबद्ध), यह नक्शा आयाम $d + e$ के वर्ग मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया गया है,जिसे $A$ और $B$ के सिल्वेस्टर मैट्रिक्स कहा जाता है (कई लेखकों के लिए और लेख सिल्वेस्टर मैट्रिक्स में, सिल्वेस्टर मैट्रिक्स को इस मैट्रिक्स के स्थानान्तरण के रूप में परिभाषित किया गया है; इस सम्मेलन का उपयोग यहां नहीं किया गया है, क्योंकि यह एक रेखीय मानचित्र के मैट्रिक्स को लिखने के लिए सामान्य सम्मेलन को तोड़ता है)।

इस प्रकार $A$ और $B$ का परिणाम निर्धारक है

[1]

[2]

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 * अगर <math>\deg(\varphi(A)) = f<d</math> और <math>\deg(\varphi(B)) = e,</math> और {{math|''B''}} के अग्रणी गुणांक <math>b_0</math> है तब
 ::<math>\varphi(\operatorname{res}(A,B)) = (-1)^{e(d-f)}\varphi(b_0)^{d-f}\operatorname{res}(\varphi(A), \varphi(B)).</math>
-निर्धारक के रूप में परिणामी की परिभाषा से इन गुणों को आसानी से घटाया जा सकता है। वे मुख्य रूप से दो स्थितियों में उपयोग किए जाते हैं। पूर्णांक गुणांक वाले बहुपदों के परिणाम की गणना करने के लिए, यह आम तौर पर [[मॉड्यूलर अंकगणित|मॉड्यूलर अंकगणितीय]] कई प्राइम्स की गणना करने और [[चीनी शेष प्रमेय]] के साथ वांछित परिणाम प्राप्त करने के लिए तेज़ होता है। कब {{math|''R''}} अन्य अनिश्चित में बहुपद की रिंग है, और {{math|''S''}} कुछ या सभी अनिश्चित संख्यात्मक मानों की विशेषज्ञता के द्वारा प्राप्त की गई रिंग {{math|''R''}} है, इन गुणों को इस तरह से बहाल किया जा सकता है जैसे कि विशेषज्ञता द्वारा डिग्री को संरक्षित किया जाता है, दो बहुपदों के विशेषज्ञता का परिणाम परिणामी का विशेषज्ञता है। यह संपत्तिगुण मौलिक है, उदाहरण के लिए, बेलनाकार बीजगणितीय अपघटन के लिए।
+निर्धारक के रूप में परिणामी की परिभाषा से इन गुणों को आसानी से घटाया जा सकता है। वे मुख्य रूप से दो स्थितियों में उपयोग किए जाते हैं। पूर्णांक गुणांक वाले बहुपदों के परिणाम की गणना करने के लिए, यह आम तौर पर [[मॉड्यूलर अंकगणित|मॉड्यूलर अंकगणितीय]] कई प्राइम्स की गणना करने और [[चीनी शेष प्रमेय]] के साथ वांछित परिणाम प्राप्त करने के लिए तेज़ होता है। कब {{math|''R''}} अन्य अनिश्चित में बहुपद की रिंग है, और {{math|''S''}} कुछ या सभी अनिश्चित संख्यात्मक मानों की विशेषज्ञता के द्वारा प्राप्त की गई रिंग {{math|''R''}} है, इन गुणों को इस तरह से बहाल किया जा सकता है जैसे कि विशेषज्ञता द्वारा डिग्री को संरक्षित किया जाता है, दो बहुपदों के विशेषज्ञता का परिणाम परिणामी का विशेषज्ञता है। यह गुण मौलिक है, उदाहरण के लिए, बेलनाकार बीजगणितीय अपघटन के लिए।
 === चर के परिवर्तन के तहत व्युत्क्रम ===
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 *अगर {{math|''P''}} और {{math|''Q''}} संबंधित डिग्री {{math|''d''}} और {{math|''e''}} के सजातीय बहुभिन्नरूपी बहुपद हैं , तो उनका परिणाम डिग्री {{math|''d''}} और {{math|''e''}}  में अनिश्चित {{math|''x''}} के संबंध में , निरूपित <math>\operatorname{res}_x^{d,e}(P,Q)</math> में {{slink||अंकन}}, अन्य अनिश्चित में डिग्री {{math|''de''}} का सजातीय है।
-=== उन्मूलन संपत्तिगुण ===
+=== उन्मूलन गुण ===
 मन लीजिये <math>I=\langle A, B\rangle </math> एक बहुपद वलय (रिंग थ्योरी) <math>R[x],</math> में दो बहुपद रिंग {{math|''A''}} और {{math|''B''}}  द्वारा उत्पन्न आदर्श है, जहां <math>R=k[y_1,\ldots,y_n]</math> क्षेत्र पर स्वयं बहुपद वलय है। यदि कम से कम {{math|''A''}} और {{math|''B''}} में {{mvar|x}} मोनिक बहुपद है, तब:
 * <math>\operatorname{res}_x(A,B)\in I \cap R</math>
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 Q(x,y)&=0,
 \end{align}</math>
-जहाँ {{math|''P''}} और {{math|''Q''}} संबंधित {{math|''d''}} और {{math|''e''}} [[कुल डिग्री]] के बहुपद हैं. तब <math>R=\operatorname{res}_y^{d,e}(P,Q)</math> में {{math|''x''}} बहुपद है, जो {{math|''de''}} डिग्री की [[सामान्य संपत्ति|सामान्य संपत्तिगुण]] है (गुणों द्वारा {{slink||एकरूपता}}). मान <math>\alpha</math> का {{math|''x''}} की {{math|''R''}} मूल है  अगर और केवल अगर या तो <math>\beta</math> मौजूद हैं  बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र में जिसमें गुणांक होते हैं, जैसे कि <math>P(\alpha,\beta)=Q(\alpha,\beta)=0</math>, या <math>\deg(P(\alpha,y)) <d </math> और <math>\deg(Q(\alpha,y)) <e </math> (इस मामले में, कोई ऐसा कहता है {{math|''P''}} और {{math|''Q''}} के लिए अनंत पर उभयनिष्ठ मूल <math>x=\alpha</math> है ).
+जहाँ {{math|''P''}} और {{math|''Q''}} संबंधित {{math|''d''}} और {{math|''e''}} [[कुल डिग्री]] के बहुपद हैं. तब <math>R=\operatorname{res}_y^{d,e}(P,Q)</math> में {{math|''x''}} बहुपद है, जो {{math|''de''}} डिग्री की [[सामान्य संपत्ति|सामान्य गुण]] है (गुणों द्वारा {{slink||एकरूपता}}). मान <math>\alpha</math> का {{math|''x''}} की {{math|''R''}} मूल है  अगर और केवल अगर या तो <math>\beta</math> मौजूद हैं  बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र में जिसमें गुणांक होते हैं, जैसे कि <math>P(\alpha,\beta)=Q(\alpha,\beta)=0</math>, या <math>\deg(P(\alpha,y)) <d </math> और <math>\deg(Q(\alpha,y)) <e </math> (इस मामले में, कोई ऐसा कहता है {{math|''P''}} और {{math|''Q''}} के लिए अनंत पर उभयनिष्ठ मूल <math>x=\alpha</math> है ).
 इसलिए, सिस्टम के समाधान की मूलों की गणना करके प्राप्त किए जाते हैं {{math|''R''}}, और प्रत्येक मूल के लिए <math>\alpha,</math> की सामान्य मूल (ओं) <math>P(\alpha,y),</math> <math>Q(\alpha,y),</math> और <math>\operatorname{res}_x(P,Q).</math> की गणना करना हैं
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 वीं शताब्दी के अंत में शुरू की गई विधि इस प्रकार काम करती है: परिचय {{math|''k'' − 1}} नए अनिश्चित <math>U_2, \ldots, U_k</math> और गणना करें
-:<math>\operatorname{res}_{x_n}(P_1, U_2P_2 +\cdots +U_kP_k).</math> यह बहुपद है <math>U_2, \ldots, U_k</math> जिनके गुणांक बहुपद हैं <math>x_1, \ldots, x_{n-1},</math> जिसके पास वह संपत्तिगुण है <math>\alpha_1, \ldots, \alpha_{n-1}</math> इन बहुपद गुणांकों का सामान्य शून्य है, यदि और केवल यदि अविभाज्य बहुपद <math>P_i(\alpha_1, \ldots, \alpha_{n-1}, x_n)</math> सामान्य शून्य है, संभवतः अनंत पर इंगित करता है। इस प्रक्रिया को तब तक दोहराया जा सकता है जब तक कि अविभाजित बहुपद नहीं मिलते।
+:<math>\operatorname{res}_{x_n}(P_1, U_2P_2 +\cdots +U_kP_k).</math> यह बहुपद है <math>U_2, \ldots, U_k</math> जिनके गुणांक बहुपद हैं <math>x_1, \ldots, x_{n-1},</math> जिसके पास वह गुण है <math>\alpha_1, \ldots, \alpha_{n-1}</math> इन बहुपद गुणांकों का सामान्य शून्य है, यदि और केवल यदि अविभाज्य बहुपद <math>P_i(\alpha_1, \ldots, \alpha_{n-1}, x_n)</math> सामान्य शून्य है, संभवतः अनंत पर इंगित करता है। इस प्रक्रिया को तब तक दोहराया जा सकता है जब तक कि अविभाजित बहुपद नहीं मिलते।
 सही एल्गोरिथम प्राप्त करने के लिए विधि में दो पूरक जोड़े जाने चाहिए। सबसे पहले, प्रत्येक चरण में, चर के रैखिक परिवर्तन की आवश्यकता हो सकती है ताकि अंतिम चर में बहुपदों की डिग्री उनकी कुल डिग्री के समान हो। दूसरे, यदि किसी भी चरण पर, परिणामी शून्य है, तो इसका अर्थ है कि बहुपदों का उभयनिष्ठ गुणनखंड है और समाधान दो घटकों में विभाजित हो जाता है: जहां उभयनिष्ठ गुणनखंड शून्य है, और दूसरा जो इस उभयनिष्ठ गुणनखंड को निकालकर प्राप्त किया जाता है जारी रखने से पहले कारक।
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 * अगर {{math|''P''}} और {{math|''Q''}} क्रमविनिमेय वलय में गुणांक वाले दो द्विभाजित सजातीय बहुपद हैं {{math|''R''}}, और <math>\varphi\colon R\to S</math> की रिंग समरूपता {{math|''R''}} दूसरे क्रमविनिमेय रिंग में {{math|''S''}}, फिर बढ़ा रहा है <math>\varphi</math> बहुपदों पर {{math|''R''}}, वाले हैं
 ::<math>\operatorname{Res}(\varphi(P), \varphi(Q)) = \varphi(\operatorname{Res}(P,Q)).</math>
-* चर के किसी भी अनुमानित परिवर्तन के तहत शून्य होने के लिए सजातीय परिणामी की संपत्तिगुण अपरिवर्तनीय है।
+* चर के किसी भी अनुमानित परिवर्तन के तहत शून्य होने के लिए सजातीय परिणामी की गुण अपरिवर्तनीय है।
-सामान्य परिणामी की कोई भी संपत्तिगुण समान रूप से सजातीय परिणामी तक विस्तारित हो सकती है, और परिणामी संपत्तिगुण सामान्य परिणामी की संबंधित संपत्तिगुण की तुलना में या तो बहुत समान या सरल होती है।
+सामान्य परिणामी की कोई भी गुण समान रूप से सजातीय परिणामी तक विस्तारित हो सकती है, और परिणामी गुण सामान्य परिणामी की संबंधित गुण की तुलना में या तो बहुत समान या सरल होती है।
 ==मैकाले का परिणाम ==
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 === क्षेत्र पर बहुपदों का परिणाम ===
 अब से, हम मानते हैं कि सजातीय बहुपद <math>P_1,\ldots,P_n</math> डिग्रियों का <math>d_1,\ldots,d_n</math> क्षेत्र में उनके गुणांक हैं (गणित) {{math|''k''}}, अर्थात् वे इससे संबंधित हैं <math>k[x_1,\dots,x_n].</math> उनके परिणामी को के तत्व के रूप में परिभाषित किया गया है {{math|''k''}} के वास्तविक गुणांकों द्वारा अनिश्चित गुणांकों को सामान्य परिणामी में प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है <math>P_i.</math>
-परिणामी की मुख्य संपत्तिगुण यह है कि यह शून्य है अगर और केवल अगर <math>P_1,\ldots,P_n</math> के [[बीजगणितीय रूप से बंद विस्तार]] में शून्येतर सामान्य शून्य है {{math|''k''}}.
+परिणामी की मुख्य गुण यह है कि यह शून्य है अगर और केवल अगर <math>P_1,\ldots,P_n</math> के [[बीजगणितीय रूप से बंद विस्तार]] में शून्येतर सामान्य शून्य है {{math|''k''}}.
-केवल अगर इस प्रमेय का हिस्सा पूर्ववर्ती पैराग्राफ की अंतिम संपत्तिगुण से निकलता है, और हिल्बर्ट के नलस्टेलेंसैट्ज#प्रोजेक्टिव नलस्टेलेंसैट्ज का प्रभावी संस्करण है: यदि परिणामी गैर-शून्य है, तो
+केवल अगर इस प्रमेय का हिस्सा पूर्ववर्ती पैराग्राफ की अंतिम गुण से निकलता है, और हिल्बर्ट के नलस्टेलेंसैट्ज#प्रोजेक्टिव नलस्टेलेंसैट्ज का प्रभावी संस्करण है: यदि परिणामी गैर-शून्य है, तो
 :<math>\langle x_1,\ldots, x_n\rangle^D \subseteq \langle P_1,\ldots,P_n\rangle,</math>
 जहाँ <math>D=d_1+\cdots +d_n-n+1</math> मैकाले डिग्री है, और <math>\langle x_1,\ldots, x_n\rangle</math> अधिकतम सजातीय आदर्श है। इसका अर्थ यह है कि <math>P_1,\ldots,P_n</math> अद्वितीय सामान्य शून्य के अलावा कोई अन्य सामान्य शून्य नहीं है, {{math|(0, ..., 0)}}, का <math>x_1,\ldots,x_n.</math>

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