कोण: Difference between revisions

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{{redirect-distinguish|Vertical angle|Zenith angle}}
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जब दो सीधी रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो चार कोण बनते हैं। जोड़ीवार इन कोणों को एक दूसरे के सापेक्ष उनके स्थान के अनुसार नाम दिया गया है।
जब दो सीधी रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो चार कोण बनते हैं। जोड़ीवार इन कोणों को एक दूसरे के सापेक्ष उनके स्थान के अनुसार नाम दिया गया है।
* दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं से एक-दूसरे के सम्मुख कोणों का युग्म जो X-समान आकार बनाता है, ऊर्ध्व कोण या सम्मुख कोण या उर्ध्वाधर सम्मुख कोण कहलाते हैं। उन्हें vert के रूप में संक्षिप्त किया गया है। विपक्ष ई.एस.<ref name="tb">{{harvnb|Wong|Wong|2009|pp=161–163}}</ref>: उर्ध्वाधर सम्मुख कोणों की समानता को उर्ध्वाधर कोण प्रमेय कहते हैं। रोड्स के यूडेमस ने थेल्स ऑफ मिलेटस को सबूत के लिए जिम्मेदार ठहराया।<ref>{{cite book|author=Euclid|author-link=Euclid|title=The Elements|title-link=Euclid's Elements}} प्रस्ताव I:13.</ref>{{sfn|Shute| Shirk|Porter|1960|pp=25–27}} प्रस्ताव ने दिखाया कि चूंकि दोनों लंबवत कोणों की एक जोड़ी दोनों आसन्न कोणों के पूरक हैं, लंबवत कोण माप में बराबर हैं। एक ऐतिहासिक नोट के अनुसार,{{sfn|Shute| Shirk|Porter|1960|pp=25–27}} जब थेल्स ने मिस्र का दौरा किया, तो उन्होंने देखा कि जब भी मिस्रवासी दो प्रतिच्छेद करने वाली रेखाएँ खींचते हैं, तो वे यह सुनिश्चित करने के लिए ऊर्ध्वाधर कोणों को मापते हैं कि वे समान हैं। थेल्स ने निष्कर्ष निकाला कि कोई यह साबित कर सकता है कि सभी ऊर्ध्वाधर कोण समान हैं यदि कोई कुछ सामान्य धारणाओं को स्वीकार करता है जैसे:
* दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं से एक-दूसरे के सम्मुख कोणों का युग्म जो X-समान आकार बनाता है, ऊर्ध्व कोण या सम्मुख कोण या उर्ध्वाधर सम्मुख कोण कहलाते हैं। उन्हें vert के रूप में संक्षिप्त किया गया है। विपक्ष ई.एस.<ref name="tb">{{harvnb|Wong|Wong|2009|pp=161–163}}</ref>: उर्ध्वाधर सम्मुख कोणों की समानता को उर्ध्वाधर कोण प्रमेय कहते हैं। रोड्स के यूडेमस ने थेल्स ऑफ मिलेटस को सबूत के लिए जिम्मेदार ठहराया।<ref>{{cite book|author=Euclid|author-link=Euclid|title=The Elements|title-link=Euclid's Elements}} प्रस्ताव I:13.</ref>{{sfn|Shute| Shirk|Porter|1960|pp=25–27}} प्रस्ताव ने दिखाया कि चूंकि दोनों लंबवत कोणों की एक जोड़ी दोनों आसन्न कोणों के पूरक हैं, लंबवत कोण माप में बराबर हैं। एक ऐतिहासिक नोट के अनुसार,{{sfn|Shute| Shirk|Porter|1960|pp=25–27}} जब थेल्स ने मिस्र का दौरा किया, तो उन्होंने देखा कि जब भी मिस्रवासी दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ खींचते हैं, तो वे यह सुनिश्चित करने के लिए ऊर्ध्वाधर कोणों को मापते हैं कि वे समान हैं। थेल्स ने निष्कर्ष निकाला कि कोई यह साबित कर सकता है कि सभी ऊर्ध्वाधर कोण समान हैं यदि कोई कुछ सामान्य धारणाओं को स्वीकार करता है जैसे:
:* सभी समकोण समान होते हैं।
:* सभी समकोण समान होते हैं।
:* बराबर में जोड़े गए बराबर बराबर होते हैं।
:* बराबर में जोड़े गए बराबर बराबर होते हैं।
:* बराबर में से घटाए गए बराबर बराबर होते हैं।
:* बराबर में से घटाए गए बराबर बराबर होते हैं।


: जब दो आसन्न कोण एक सीधी रेखा बनाते हैं, तो वे संपूरक होते हैं। इसलिए, यदि हम यह मान लें कि कोण A का माप x के बराबर है, तो कोण C का माप होगा {{nowrap|180° − ''x''}}. इसी प्रकार, कोण D की माप होगी {{nowrap|180° − ''x''}}. कोण C और कोण D दोनों के माप . के बराबर हैं {{nowrap|180° − ''x''}} और समरूप हैं। चूँकि कोण B दोनों कोणों C और D का पूरक है, कोण B के माप को निर्धारित करने के लिए इनमें से किसी भी कोण के माप का उपयोग किया जा सकता है। कोण C या कोण D के माप का उपयोग करके, हम कोण B के माप को ज्ञात करते हैं {{nowrap|1=180° − (180° − ''x'') = 180° − 180° + ''x'' = ''x''}}. इसलिए, कोण A और कोण B दोनों के माप x के बराबर हैं और माप में बराबर हैं।
: जब दो आसन्न कोण एक सीधी रेखा बनाते हैं, तो वे संपूरक होते हैं। इसलिए, यदि हम यह मान लें कि कोण A का माप x के बराबर है, तो कोण C का माप होगा {{nowrap|180° − ''x''}}. इसी प्रकार, कोण D की माप होगी {{nowrap|180° − ''x''}}. कोण C और कोण D दोनों के माप के बराबर हैं {{nowrap|180° − ''x''}} और समरूप हैं। चूँकि कोण B दोनों कोणों C और D का पूरक है, कोण B के माप को निर्धारित करने के लिए इनमें से किसी भी कोण माप का उपयोग किया जा सकता है। कोण C या कोण D के माप का उपयोग करके, हम कोण B की माप को ज्ञात करते हैं {{nowrap|1=180° − (180° − ''x'') = 180° − 180° + ''x'' = ''x''}}. इसलिए, कोण A और कोण B दोनों के माप x के बराबर हैं और माप में बराबर हैं।


[[File:Adjacentangles.svg|right|thumb|225px|कोण A और B आसन्न हैं।]]
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तीन विशेष कोण जोड़े में कोणों का योग शामिल होता है:
तीन विशेष कोण जोड़े में कोणों का योग शामिल होता है:
{{anchor|complementary angle}}
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[[File:Complement angle.svg|thumb|150px|पूरक कोण <var>a</var> और <var>b</var> (<var>b</var> <var>a</var> और <var>a</var> का पूरक है। > <var>b</var>) का पूरक है।]]
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* पूरक कोण कोण युग्म होते हैं जिनके मापों का योग एक समकोण होता है ({{sfrac|4}} मोड़, 90°, या {{sfrac|{{math|π}}|2}} रेडियन)।<ref>{{Cite web|title=Complementary Angles|url=https://www.mathsisfun.com/geometry/complementary-angles.html|access-date=2020-08-17|website=www.mathsisfun.com}}</ref>यदि दो पूरक कोण आसन्न हैं, तो उनकी गैर-साझा भुजाएँ एक समकोण बनाती हैं। यूक्लिडियन ज्यामिति में, एक समकोण त्रिभुज में दो न्यून कोण पूरक होते हैं, क्योंकि त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग 180 डिग्री होता है, और समकोण स्वयं 90 डिग्री का होता है।
* पूरक कोण कोण युग्म होते हैं जिनके मापों का योग एक समकोण होता है ({{sfrac|4}} मोड़, 90°, या {{sfrac|{{math|π}}|2}} रेडियन)।<ref>{{Cite web|title=Complementary Angles|url=https://www.mathsisfun.com/geometry/complementary-angles.html|access-date=2020-08-17|website=www.mathsisfun.com}}</ref>यदि दो पूरक कोण आसन्न हैं, तो उनकी गैर-साझा भुजाएँ एक समकोण बनाती हैं। यूक्लिडियन ज्यामिति में, एक समकोण त्रिभुज में दो न्यून कोण पूरक होते हैं, क्योंकि त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग 180 डिग्री होता है, और समकोण स्वयं 90 डिग्री का होता है।
:विशेषण पूरक लैटिन पूरक से है, जो क्रिया पूर्ण से जुड़ा है, भरने के लिए। एक समकोण बनाने के लिए एक न्यून कोण इसके पूरक द्वारा भरा जाता है।
:विशेषण पूरक लैटिन पूरक से है, जो क्रिया पूर्ण से जुड़ा है, भरने के लिए। एक समकोण बनाने के लिए एक न्यून कोण इसके पूरक द्वारा भरा जाता है।
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==वक्रों के बीच कोण ==
==वक्रों के बीच कोण ==
[[File:Curve angles.svg|thumb|right|P पर दो वक्रों के बीच के कोण को <var>P</var> पर स्पर्शरेखा <var>A</var> और <var>B</var> के बीच के कोण के रूप में परिभाषित किया गया है।]]
[[File:Curve angles.svg|thumb|right|P पर दो वक्रों के बीच के कोण को <var>P</var> पर स्पर्शरेखा <var>A</var> और <var>B</var> के बीच के कोण के रूप में परिभाषित किया गया है।]]
एक रेखा और एक वक्र (मिश्रित कोण) या दो प्रतिच्छेदन वक्रों (वक्रीय कोण) के बीच के कोण को प्रतिच्छेदन बिंदु पर स्पर्शरेखा के बीच के कोण के रूप में परिभाषित किया गया है। विशेष मामलों को विभिन्न नाम (अब शायद ही कभी, यदि कभी इस्तेमाल किया जाता है) दिए गए हैं: - एम्फीसिर्टिक (जीआर। {{lang|grc|ἀμφί}}, दोनों तरफ, , उत्तल) या cissoidal (Gr. , ivy), उभयलिंगी; xystroidal या cystroidal (Gr। , स्क्रैपिंग के लिए एक उपकरण), अवतल-उत्तल; एम्फीकोएलिक (जीआर। , एक खोखला) या एंगुलस लुन्युलरिस, बीकोन्केव।<ref>{{harvnb|Chisholm|1911}}; {{harvnb|Heiberg|1908|p=178}}</ref><!--फिर से, इस अनुच्छेद का अधिकांश भाग EB1911 से है जिसका हीथ इसके स्रोत के रूप में उपयोग किया जाता है। -->
एक रेखा और एक वक्र (मिश्रित कोण) के बीच के कोण या दो प्रतिच्छेदी वक्रों (वक्रीय कोण) के बीच के कोण को प्रतिच्छेदन बिंदु पर स्पर्शरेखा के बीच के कोण के रूप में परिभाषित किया गया है। विशेष मामलों को विभिन्न नाम (अब शायद ही कभी, यदि कभी इस्तेमाल किया जाता है) दिए गए हैं: - एम्फीसिर्टिक (जीआर। {{lang|grc|ἀμφί}}, दोनों तरफ, , उत्तल) या cissoidal (Gr. , ivy), उभयलिंगी; xystroidal या cystroidal (Gr। , स्क्रैपिंग के लिए एक उपकरण), अवतल-उत्तल; एम्फीकोएलिक (जीआर। , एक खोखला) या एंगुलस लुन्युलरिस, बीकोन्केव।<ref>{{harvnb|Chisholm|1911}}; {{harvnb|Heiberg|1908|p=178}}</ref><!--फिर से, इस अनुच्छेद का अधिकांश भाग EB1911 से है जिसका हीथ इसके स्रोत के रूप में उपयोग किया जाता है। -->


==समद्विभाजक और समद्विभाजक कोण==
==समद्विभाजक और समद्विभाजक कोण==
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=== अतिपरवलयिक कोण ===
=== अतिपरवलयिक कोण ===
एक अतिपरवलयिक कोण एक अतिपरवलयिक फलन का तर्क है जिस प्रकार वृत्ताकार कोण एक वृत्तीय फलन का तर्क है। तुलना को एक अतिपरवलयिक क्षेत्र और एक वृत्ताकार क्षेत्र के उद्घाटन के आकार के रूप में देखा जा सकता है क्योंकि इन क्षेत्रों के क्षेत्र प्रत्येक मामले में कोण परिमाण के अनुरूप होते हैं। वृत्ताकार कोण के विपरीत, अतिपरवलयिक कोण असीम होता है। जब सर्कुलर और हाइपरबॉलिक फ़ंक्शंस को उनके कोण तर्क में अनंत श्रृंखला के रूप में देखा जाता है, तो सर्कुलर वाले हाइपरबॉलिक फ़ंक्शंस के केवल वैकल्पिक श्रृंखला रूप होते हैं। दो प्रकार के कोण और कार्य के इस बुनाई को लियोनहार्ड यूलर द्वारा अनंत के विश्लेषण के परिचय में समझाया गया था।
एक अतिपरवलयिक कोण एक अतिपरवलयिक फलन का तर्क है जिस प्रकार वृत्ताकार कोण एक वृत्तीय फलन का तर्क है। तुलना को एक अतिपरवलयिक क्षेत्र और एक वृत्ताकार क्षेत्र के उद्घाटन के आकार के रूप में देखा जा सकता है क्योंकि इन क्षेत्रों के क्षेत्र प्रत्येक मामले में कोण परिमाण के अनुरूप होते हैं। वृत्ताकार कोण के विपरीत, अतिपरवलयिक कोण असीम होता है। जब सर्कुलर और हाइपरबॉलिक फ़ंक्शंस को उनके कोण तर्क में अनंत श्रृंखला के रूप में देखा जाता है, तो सर्कुलर वाले हाइपरबॉलिक फ़ंक्शंस के केवल वैकल्पिक श्रृंखला रूप होते हैं। दो प्रकार के कोण और कार्य के इस बुनाई को लियोनहार्ड यूलर ने अनंत के विश्लेषण के परिचय में समझाया था।


==भूगोल और खगोल विज्ञान में कोण ==
==भूगोल और खगोल विज्ञान में कोण ==

Revision as of 16:34, 29 June 2022

Not to be confused with Angel.
This article is about angles in geometry. For other uses, see कोण (disambiguation).
एक शीर्ष से निकलने वाली दो किरणों द्वारा निर्मित कोण।

यूक्लिडियन ज्यामिति में, एक कोण दो किरणों द्वारा बनाई गई आकृति है, जिसे कोण के पक्ष कहा जाता है, जो एक सामान्य समापन बिंदु को साझा करता है, जिसे कोण का शीर्ष कहा जाता है।[1]दो किरणों से बनने वाले कोण उस तल में होते हैं जिसमें किरणें होती हैं। कोण भी दो तलों के प्रतिच्छेदन से बनते हैं। इन्हें डायहेड्रल कोण कहा जाता है। दो प्रतिच्छेदी वक्र भी एक कोण को परिभाषित कर सकते हैं, जो कि उनके प्रतिच्छेदन बिंदु पर संबंधित वक्रों के स्पर्शरेखा वाली किरणों का कोण होता है।

कोण का उपयोग कोण या घूर्णन के माप को निर्दिष्ट करने के लिए भी किया जाता है। यह माप एक वृत्ताकार चाप की लंबाई और उसकी त्रिज्या का अनुपात है। एक ज्यामितीय कोण के मामले में, चाप शीर्ष पर केंद्रित होता है और पक्षों द्वारा सीमांकित होता है। घूर्णन के मामले में, चाप घूर्णन के केंद्र में केंद्रित होता है और किसी अन्य बिंदु से और घूर्णन द्वारा इसकी छवि को सीमित करता है।

इतिहास और व्युत्पत्ति

कोण शब्द लैटिन शब्द एंगुलस से आया है, जिसका अर्थ है कोना; सजातीय शब्द ग्रीक हैं ἀγκύλος (ankylοs), जिसका अर्थ है कुटिल, घुमावदार, और अंग्रेजी शब्द टखने। दोनों प्रोटो-इंडो-यूरोपीय भाषा से जुड़े हुए हैं | प्रोटो-इंडो-यूरोपियन रूट * एंक-, जिसका अर्थ है झुकना या झुकना।[2]

यूक्लिड एक समतल कोण को एक दूसरे के झुकाव के रूप में परिभाषित करता है, एक समतल में, दो रेखाएँ जो एक दूसरे से मिलती हैं, और एक दूसरे के संबंध में सीधे झूठ नहीं बोलती हैं। प्रोक्लस के अनुसार, कोण या तो गुणवत्ता या मात्रा, या संबंध होना चाहिए। पहली अवधारणा का उपयोग यूडेमस द्वारा किया गया था, जो एक कोण को एक सीधी रेखा से विचलन के रूप में मानते थे; दूसरा अन्ताकिया के कार्पस द्वारा, जिसने इसे प्रतिच्छेदन रेखाओं के बीच का अंतराल या स्थान माना; यूक्लिड ने तीसरी अवधारणा को अपनाया।[3]

कोणों की पहचान

गणितीय अभिव्यक्तियों में, ग्रीक अक्षरों का उपयोग करना आम है (α, β, γ, θ, φ, . . . ) किसी कोण के आकार को दर्शाने वाले चर के रूप में (इसके अन्य अर्थ के साथ भ्रम से बचने के लिए, प्रतीक π आमतौर पर इस उद्देश्य के लिए उपयोग नहीं किया जाता है)। लोअरकेस रोमन अक्षरों (ए, बी, सी, . . . ) का भी उपयोग किया जाता है। ऐसे संदर्भों में जहां यह भ्रमित नहीं है, एक कोण को ऊपरी केस रोमन अक्षर द्वारा दर्शाया जा सकता है जो इसके शीर्ष को दर्शाता है। उदाहरण के लिए इस आलेख में आंकड़े देखें।

ज्यामितीय आकृतियों में, कोणों को उन तीन बिंदुओं से भी पहचाना जा सकता है जो उन्हें परिभाषित करते हैं। उदाहरण के लिए, एबी और एसी किरणों (अर्थात बिंदु ए से बिंदु बी और सी तक की रेखाएं) द्वारा गठित शीर्ष ए वाले कोण को दर्शाया गया है ∠BAC या . जहां भ्रम का कोई खतरा नहीं है, कोण को कभी-कभी केवल इसके शीर्ष (इस मामले में कोण ए) द्वारा संदर्भित किया जा सकता है।

संभावित रूप से, एक कोण के रूप में दर्शाया गया है, कहते हैं, ∠BAC, चार कोणों में से किसी को भी संदर्भित कर सकता है: बी से सी तक का दक्षिणावर्त कोण, बी से सी का वामावर्त कोण, सी से बी का दक्षिणावर्त कोण, या सी से बी का वामावर्त कोण, जहां कोण की दिशा है मापा इसका संकेत निर्धारित करता है (सकारात्मक और नकारात्मक कोण देखें)। हालांकि, कई ज्यामितीय स्थितियों में, यह संदर्भ से स्पष्ट है कि सकारात्मक कोण 180 डिग्री से कम या उसके बराबर है, ऐसी स्थिति में कोई अस्पष्टता नहीं होती है। अन्यथा, एक सम्मेलन अपनाया जा सकता है ताकि ∠BAC हमेशा बी से सी तक वामावर्त (सकारात्मक) कोण को संदर्भित करता है, और ∠CAB C से B तक वामावर्त (धनात्मक) कोण।

कोणों के प्रकार

"Oblique angle" redirects here. For the cinematographic technique, see Dutch angle.


व्यक्तिगत कोण

कोणों के लिए कुछ सामान्य शब्दावली है, जिसका माप हमेशा ऋणात्मक नहीं होता (देखें .)§ Positive and negative angles):[4][5]* 0° के बराबर या मुड़े हुए कोण को शून्य कोण कहा जाता है।

  • एक समकोण (90° से कम) से छोटे कोण को न्यून कोण (न्यून कोण का अर्थ तेज) कहा जाता है।
  • के बराबर कोण 1/4बारी (90° or π/2 रेडियन) को समकोण कहा जाता है। समकोण बनाने वाली दो रेखाएँ सामान्य, ओर्थोगोनल या लंबवत कहलाती हैं।
  • एक समकोण से बड़ा और एक सीधे कोण से छोटा (90° और 180° के बीच) कोण को अधिक कोण (अधिक अर्थ वाला कुंद) कहा जाता है।
  • के बराबर कोण {sfrac|2}} मोड़ (180° or .) π रेडियन) को एक सीधा कोण कहा जाता है।
  • एक सीधे कोण से बड़ा लेकिन एक मोड़ से कम (180° और 360° के बीच) कोण को प्रतिवर्त कोण कहा जाता है।
  • 1 मोड़ के बराबर कोण (360° या 2 .)π रेडियन) को पूर्ण कोण, पूर्ण कोण, गोल कोण या पेरिगॉन कहा जाता है।
  • ऐसा कोण जो समकोण का गुणज न हो, तिरछा कोण कहलाता है।

नाम, अंतराल और मापने की इकाइयाँ नीचे दी गई तालिका में दिखाई गई हैं:

Right angle
Acute (a), obtuse (b), and straight (c) angles. The acute and obtuse angles are also known as oblique angles.
Reflex angle
नाम शून्य तीव्र समकोण कुंठित सीधा पलटा हुआ पेरिगोन
इकाई मध्यान्तर
मोड़ 0 turn (0, 1/4) मोड़

{अब्रैप|1/4 मोड़}}

{अब्रैप|(1/4, 1/2) मोड़}}

{अब्रैप|1/2 मोड़}}

{अब्रैप|(1/2, 1) बारी}}

{अब्रैप|1 मोड़}}

कांति

{अब्रैप | 0 रेड}}

{अब्रैप|(0, 1/2π) रेड}}

{अब्रैप|1/2πरेड}}

{अब्रैप|(1/2π,π) रेड}}

{अब्रैप|πरेड}}

{अब्रैप|(π, 2π) रेड}}

{अब्रैप|2πरेड}}

डिग्री 0° (0, 90)° 90° (90, 180)° 180° (180, 360)° 360°
गोन 0g|शैली = चौड़ाई:3em; | (0, 100)g|शैली = चौड़ाई:3em; | 100g|शैली = चौड़ाई:3em; | (100, 200)g|शैली = चौड़ाई:3em; | 200g|शैली = चौड़ाई:3em; | (200, 400)g|शैली =मैंने उससे वादा किया: चाचा; | 400g|-

तुल्यता कोण जोड़े

  • समान माप वाले कोण (अर्थात समान परिमाण) समान या सर्वांगसम कहलाते हैं। एक कोण को उसके माप से परिभाषित किया जाता है और वह कोण की भुजाओं की लंबाई पर निर्भर नहीं होता है (उदाहरण के लिए सभी समकोण माप में बराबर होते हैं)।
  • दो कोण जो टर्मिनल पक्षों को साझा करते हैं, लेकिन एक मोड़ के पूर्णांक गुणक द्वारा आकार में भिन्न होते हैं, कोटरमिनल कोण कहलाते हैं।
  • एक संदर्भ कोण किसी भी कोण का तीव्र संस्करण है जिसे बार-बार घटाकर या सीधे कोण को जोड़कर निर्धारित किया जाता है (1/2 मोड़, 180°, या π रेडियन), जब तक आवश्यक हो, तब तक परिणाम का परिमाण एक न्यून कोण है, 0 और . के बीच का मान 1/4 मोड़, 90°, या π/2 रेडियन। उदाहरण के लिए, 30 डिग्री के कोण में 30 डिग्री का संदर्भ कोण होता है, और 150 डिग्री के कोण में 30 डिग्री (180-150) का संदर्भ कोण भी होता है। 750 डिग्री के कोण का संदर्भ कोण 30 डिग्री (750-720) होता है।[6]

लंबवत और आसन्न कोण जोड़े

कोण समानता दिखाने के लिए यहां हैच के निशान का उपयोग किया जाता है।

और D ऊर्ध्वाधर कोणों का एक युग्म है। हैच_मार्क#कॉन्ग्रेंसी_नोटेशन|हैच के निशान यहां कोण समानता दिखाने के लिए उपयोग किए जाते हैं।

"Vertical angle" redirects here. Not to be confused with Zenith angle.

जब दो सीधी रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो चार कोण बनते हैं। जोड़ीवार इन कोणों को एक दूसरे के सापेक्ष उनके स्थान के अनुसार नाम दिया गया है।

  • दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं से एक-दूसरे के सम्मुख कोणों का युग्म जो X-समान आकार बनाता है, ऊर्ध्व कोण या सम्मुख कोण या उर्ध्वाधर सम्मुख कोण कहलाते हैं। उन्हें vert के रूप में संक्षिप्त किया गया है। विपक्ष ई.एस.[7]: उर्ध्वाधर सम्मुख कोणों की समानता को उर्ध्वाधर कोण प्रमेय कहते हैं। रोड्स के यूडेमस ने थेल्स ऑफ मिलेटस को सबूत के लिए जिम्मेदार ठहराया।[8][9] प्रस्ताव ने दिखाया कि चूंकि दोनों लंबवत कोणों की एक जोड़ी दोनों आसन्न कोणों के पूरक हैं, लंबवत कोण माप में बराबर हैं। एक ऐतिहासिक नोट के अनुसार,[9] जब थेल्स ने मिस्र का दौरा किया, तो उन्होंने देखा कि जब भी मिस्रवासी दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ खींचते हैं, तो वे यह सुनिश्चित करने के लिए ऊर्ध्वाधर कोणों को मापते हैं कि वे समान हैं। थेल्स ने निष्कर्ष निकाला कि कोई यह साबित कर सकता है कि सभी ऊर्ध्वाधर कोण समान हैं यदि कोई कुछ सामान्य धारणाओं को स्वीकार करता है जैसे:
  • सभी समकोण समान होते हैं।
  • बराबर में जोड़े गए बराबर बराबर होते हैं।
  • बराबर में से घटाए गए बराबर बराबर होते हैं।
जब दो आसन्न कोण एक सीधी रेखा बनाते हैं, तो वे संपूरक होते हैं। इसलिए, यदि हम यह मान लें कि कोण A का माप x के बराबर है, तो कोण C का माप होगा 180° − x. इसी प्रकार, कोण D की माप होगी 180° − x. कोण C और कोण D दोनों के माप के बराबर हैं 180° − x और समरूप हैं। चूँकि कोण B दोनों कोणों C और D का पूरक है, कोण B के माप को निर्धारित करने के लिए इनमें से किसी भी कोण माप का उपयोग किया जा सकता है। कोण C या कोण D के माप का उपयोग करके, हम कोण B की माप को ज्ञात करते हैं 180° − (180° − x) = 180° − 180° + x = x. इसलिए, कोण A और कोण B दोनों के माप x के बराबर हैं और माप में बराबर हैं।
कोण A और B आसन्न हैं।
  • आसन्न कोण, अक्सर adj के रूप में संक्षिप्त। s, ऐसे कोण हैं जो एक सामान्य शीर्ष और किनारे साझा करते हैं लेकिन कोई आंतरिक बिंदु साझा नहीं करते हैं। दूसरे शब्दों में, वे कोण होते हैं जो अगल-बगल होते हैं, या आसन्न होते हैं, एक हाथ साझा करते हैं। आसन्न कोण जो एक समकोण, सीधे कोण या पूर्ण कोण के योग होते हैं, विशेष होते हैं और क्रमशः पूरक, पूरक और पूरक कोण कहलाते हैं (देखें।§ Combining angle pairsनीचे)।

एक तिर्यक रेखा एक रेखा है जो (अक्सर समानांतर) रेखाओं की एक जोड़ी को काटती है, और वैकल्पिक आंतरिक कोणों, संबंधित कोणों, आंतरिक कोणों और बाहरी कोणों से जुड़ी होती है।[10]

कोण जोड़े का संयोजन

तीन विशेष कोण जोड़े में कोणों का योग शामिल होता है:

पूरक कोण a और b (b a और a b) का पूरक है।
  • पूरक कोण कोण युग्म होते हैं जिनके मापों का योग एक समकोण होता है (1/4 मोड़, 90°, या π/2 रेडियन)।[11]यदि दो पूरक कोण आसन्न हैं, तो उनकी गैर-साझा भुजाएँ एक समकोण बनाती हैं। यूक्लिडियन ज्यामिति में, एक समकोण त्रिभुज में दो न्यून कोण पूरक होते हैं, क्योंकि त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग 180 डिग्री होता है, और समकोण स्वयं 90 डिग्री का होता है।
विशेषण पूरक लैटिन पूरक से है, जो क्रिया पूर्ण से जुड़ा है, भरने के लिए। एक समकोण बनाने के लिए एक न्यून कोण इसके पूरक द्वारा भरा जाता है।
कोण और समकोण के बीच के अंतर को कोण का पूरक कहा जाता है।[12]:यदि कोण A और B पूरक हैं, तो निम्नलिखित संबंध धारण करते हैं:
(एक कोण की स्पर्श रेखा उसके पूरक के कोटेंजेंट के बराबर होती है और उसकी छेदक उसके पूरक के कोसेकेंट के बराबर होती है।)
कुछ त्रिकोणमितीय अनुपातों के नामों में उपसर्ग सह-संपूरक शब्द को संदर्भित करता है।
कोण a और b संपूरक कोण हैं।
  • दो कोण जो एक सीधे कोण का योग करते हैं (1/2 मोड़, 180°, या π रेडियन) संपूरक कोण कहलाते हैं।[13]:यदि दो संपूरक कोण आसन्न हैं (अर्थात एक उभयनिष्ठ शीर्ष है और केवल एक भुजा साझा करते हैं), तो उनकी गैर-साझा भुजाएँ एक सीधी रेखा बनाती हैं। ऐसे कोणों को कोणों का रैखिक युग्म कहा जाता है।[14] हालांकि, पूरक कोणों का एक ही रेखा पर होना जरूरी नहीं है, और उन्हें अंतरिक्ष में अलग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, समांतर चतुर्भुज के आसन्न कोण पूरक होते हैं, और चक्रीय चतुर्भुज के विपरीत कोण (जिसके शीर्ष सभी एक ही वृत्त पर पड़ते हैं) पूरक होते हैं।
यदि एक बिंदु P केंद्र O वाले वृत्त के बाहर है, और यदि P से स्पर्श रेखाएँ वृत्त को बिंदु T और Q पर स्पर्श करती हैं, तो TPQ और TOQ पूरक हैं।
संपूरक कोणों की ज्या बराबर होती है। उनके कोसाइन और स्पर्शरेखा (जब तक कि अपरिभाषित नहीं) परिमाण में बराबर होते हैं लेकिन विपरीत संकेत होते हैं।
यूक्लिडियन ज्यामिति में, त्रिभुज के दो कोणों का योग तीसरे का संपूरक होता है, क्योंकि त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग एक सरल कोण होता है।

दो पूरक कोणों का योग एक पूर्ण कोण होता है।
  • दो कोण जो एक पूर्ण कोण का योग करते हैं (1 मोड़, 360°, या 2π रेडियन) को पूरक कोण या संयुग्म कोण कहा जाता है।
    एक कोण और एक पूर्ण कोण के बीच के अंतर को कोण का योग या कोण का संयुग्मी कहा जाता है।

बहुभुज-संबंधित कोण

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