कोण: Difference between revisions
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[[File:Two rays and one vertex.png|thumb|right|एक शीर्ष से निकलने वाली दो किरणों द्वारा निर्मित कोण।]] | [[File:Two rays and one vertex.png|thumb|right|एक शीर्ष से निकलने वाली दो किरणों द्वारा निर्मित कोण।]] | ||
यूक्लिडियन ज्यामिति में, एक कोण दो किरणों द्वारा बनाई गई आकृति है, जिसे कोण के ''पक्ष'' कहा जाता है, जो एक सामान्य समापन बिंदु को साझा करता है, जिसे कोण का ''शीर्ष'' कहा जाता है।<ref>{{harvnb|Sidorov|2001|ignore-err=yes}}</ref>दो किरणों से बनने वाले कोण उस तल में होते हैं जिसमें किरणें होती हैं। कोण भी दो तलों के प्रतिच्छेदन से बनते हैं। इन्हें डायहेड्रल कोण कहा जाता है। दो प्रतिच्छेदी वक्र भी एक कोण को परिभाषित कर सकते हैं, जो कि उनके प्रतिच्छेदन बिंदु पर संबंधित वक्रों के स्पर्शरेखा वाली किरणों का कोण होता है। | |||
कोण का उपयोग कोण या घूर्णन के माप को निर्दिष्ट करने के लिए भी किया जाता है। यह माप एक वृत्ताकार चाप की लंबाई और उसकी त्रिज्या का अनुपात है। एक ज्यामितीय कोण के मामले में, चाप शीर्ष पर केंद्रित होता है और पक्षों द्वारा सीमांकित होता है। घूर्णन के मामले में, चाप घूर्णन के केंद्र में केंद्रित होता है और किसी अन्य बिंदु से और घूर्णन द्वारा इसकी छवि को सीमित करता है। | कोण का उपयोग कोण या घूर्णन के माप को निर्दिष्ट करने के लिए भी किया जाता है। यह माप एक वृत्ताकार चाप की लंबाई और उसकी त्रिज्या का अनुपात है। एक ज्यामितीय कोण के मामले में, चाप शीर्ष पर केंद्रित होता है और पक्षों द्वारा सीमांकित होता है। घूर्णन के मामले में, चाप घूर्णन के केंद्र में केंद्रित होता है और किसी अन्य बिंदु से और घूर्णन द्वारा इसकी छवि को सीमित करता है। | ||
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{{redirect-distinguish|Vertical angle|Zenith angle}} | {{redirect-distinguish|Vertical angle|Zenith angle}} | ||
जब दो सीधी रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो चार कोण बनते हैं। जोड़ीवार इन कोणों को एक दूसरे के सापेक्ष उनके स्थान के अनुसार नाम दिया गया है। | जब दो सीधी रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो चार कोण बनते हैं। जोड़ीवार इन कोणों को एक दूसरे के सापेक्ष उनके स्थान के अनुसार नाम दिया गया है। | ||
* दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं से एक-दूसरे के सम्मुख कोणों का युग्म जो X-समान आकार बनाता है, ऊर्ध्व कोण या सम्मुख कोण या उर्ध्वाधर सम्मुख कोण कहलाते हैं। उन्हें vert के रूप में संक्षिप्त किया गया है। विपक्ष ई.एस.<ref name="tb">{{harvnb|Wong|Wong|2009|pp=161–163}}</ref>: उर्ध्वाधर सम्मुख कोणों की समानता को उर्ध्वाधर कोण प्रमेय कहते हैं। रोड्स के यूडेमस ने थेल्स ऑफ मिलेटस को सबूत के लिए जिम्मेदार ठहराया।<ref>{{cite book|author=Euclid|author-link=Euclid|title=The Elements|title-link=Euclid's Elements}} प्रस्ताव I:13.</ref>{{sfn|Shute| Shirk|Porter|1960|pp=25–27}} प्रस्ताव ने दिखाया कि चूंकि दोनों लंबवत कोणों की एक जोड़ी दोनों आसन्न कोणों के पूरक हैं, | * दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं से एक-दूसरे के सम्मुख कोणों का युग्म जो X-समान आकार बनाता है, ऊर्ध्व कोण या सम्मुख कोण या उर्ध्वाधर सम्मुख कोण कहलाते हैं। उन्हें vert के रूप में संक्षिप्त किया गया है। विपक्ष ई.एस.<ref name="tb">{{harvnb|Wong|Wong|2009|pp=161–163}}</ref>: उर्ध्वाधर सम्मुख कोणों की समानता को उर्ध्वाधर कोण प्रमेय कहते हैं। रोड्स के यूडेमस ने थेल्स ऑफ मिलेटस को सबूत के लिए जिम्मेदार ठहराया।<ref>{{cite book|author=Euclid|author-link=Euclid|title=The Elements|title-link=Euclid's Elements}} प्रस्ताव I:13.</ref>{{sfn|Shute| Shirk|Porter|1960|pp=25–27}} प्रस्ताव ने दिखाया कि चूंकि दोनों लंबवत कोणों की एक जोड़ी दोनों आसन्न कोणों के पूरक हैं, ऊर्ध्वाधर कोण माप में बराबर हैं। एक ऐतिहासिक नोट के अनुसार,{{sfn|Shute| Shirk|Porter|1960|pp=25–27}} जब थेल्स ने मिस्र का दौरा किया, तो उन्होंने देखा कि जब भी मिस्रवासी दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ खींचते हैं, तो वे यह सुनिश्चित करने के लिए ऊर्ध्वाधर कोणों को मापते हैं कि वे समान हैं। थेल्स ने निष्कर्ष निकाला कि कोई यह साबित कर सकता है कि सभी ऊर्ध्वाधर कोण समान हैं यदि कोई कुछ सामान्य धारणाओं को स्वीकार करता है जैसे: | ||
:* सभी समकोण समान होते हैं। | :* सभी समकोण समान होते हैं। | ||
:* बराबर में जोड़े गए बराबर बराबर होते हैं। | :* बराबर में जोड़े गए बराबर बराबर होते हैं। | ||
:* बराबर में से घटाए गए बराबर बराबर होते हैं। | :* बराबर में से घटाए गए बराबर बराबर होते हैं। | ||
: जब दो आसन्न कोण एक सीधी रेखा बनाते हैं, तो वे संपूरक होते हैं। इसलिए, यदि हम यह मान लें कि कोण A का माप x के बराबर है, तो कोण C का माप होगा {{nowrap|180° − ''x''}}. इसी प्रकार, कोण D की माप होगी {{nowrap|180° − ''x''}}. कोण C और कोण D दोनों के माप के बराबर हैं {{nowrap|180° − ''x''}} और समरूप हैं। चूँकि कोण B दोनों कोणों C और D का पूरक है, कोण B के माप को निर्धारित करने के लिए इनमें से किसी भी कोण माप का उपयोग किया जा सकता है। कोण C या कोण D के माप का उपयोग करके, हम कोण B | : जब दो आसन्न कोण एक सीधी रेखा बनाते हैं, तो वे संपूरक होते हैं। इसलिए, यदि हम यह मान लें कि कोण A का माप x के बराबर है, तो कोण C का माप होगा {{nowrap|180° − ''x''}}. इसी प्रकार, कोण D की माप होगी {{nowrap|180° − ''x''}}. कोण C और कोण D दोनों के माप के बराबर हैं {{nowrap|180° − ''x''}} और समरूप हैं। चूँकि कोण B दोनों कोणों C और D का पूरक है, कोण B के माप को निर्धारित करने के लिए इनमें से किसी भी कोण के माप का उपयोग किया जा सकता है। कोण C या कोण D के माप का उपयोग करके, हम कोण B के माप को ज्ञात करते हैं {{nowrap|1=180° − (180° − ''x'') = 180° − 180° + ''x'' = ''x''}}. इसलिए, कोण A और कोण B दोनों के माप x के बराबर हैं और माप में बराबर हैं। | ||
[[File:Adjacentangles.svg|right|thumb|225px|कोण A और B आसन्न हैं।]] | [[File:Adjacentangles.svg|right|thumb|225px|कोण A और B आसन्न हैं।]] | ||
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{{clear|right}} | {{clear|right}} | ||
[[File:Angle obtuse acute straight.svg|thumb|right|300px|कोण <var>a</var> और <var>b</var> संपूरक कोण हैं।]] | [[File:Angle obtuse acute straight.svg|thumb|right|300px|कोण <var>a</var> और <var>b</var> संपूरक कोण हैं।]] | ||
* {{anchor|Linear pair of angles|Supplementary angle}}दो कोण जो एक सीधे कोण का योग करते हैं ({{sfrac|2}} मोड़, 180°, या {{math|π}} रेडियन) संपूरक कोण कहलाते हैं।<ref>{{Cite web|title=Supplementary Angles|url=https://www.mathsisfun.com/geometry/supplementary-angles.html|access-date=2020-08-17|website=www.mathsisfun.com}}</ref>:यदि दो संपूरक कोण आसन्न हैं (अर्थात एक उभयनिष्ठ शीर्ष है और केवल एक भुजा साझा करते हैं), तो उनकी गैर-साझा भुजाएँ एक सीधी रेखा बनाती हैं। ऐसे कोणों को कोणों का रैखिक युग्म कहा जाता है।{{sfn|Jacobs|1974|p=97}} हालांकि, पूरक कोणों का एक ही रेखा पर होना जरूरी नहीं है, और उन्हें अंतरिक्ष में अलग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, समांतर चतुर्भुज के आसन्न कोण पूरक होते हैं, और | * {{anchor|Linear pair of angles|Supplementary angle}}दो कोण जो एक सीधे कोण का योग करते हैं ({{sfrac|2}} मोड़, 180°, या {{math|π}} रेडियन) संपूरक कोण कहलाते हैं।<ref>{{Cite web|title=Supplementary Angles|url=https://www.mathsisfun.com/geometry/supplementary-angles.html|access-date=2020-08-17|website=www.mathsisfun.com}}</ref>:यदि दो संपूरक कोण आसन्न हैं (अर्थात एक उभयनिष्ठ शीर्ष है और केवल एक भुजा साझा करते हैं), तो उनकी गैर-साझा भुजाएँ एक सीधी रेखा बनाती हैं। ऐसे कोणों को कोणों का रैखिक युग्म कहा जाता है।{{sfn|Jacobs|1974|p=97}} हालांकि, पूरक कोणों का एक ही रेखा पर होना जरूरी नहीं है, और उन्हें अंतरिक्ष में अलग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, समांतर चतुर्भुज के आसन्न कोण पूरक होते हैं, और चक्रीय चतुर्भुज के विपरीत कोण (जिसके शीर्ष सभी एक ही वृत्त पर पड़ते हैं) पूरक होते हैं। | ||
:यदि एक बिंदु P केंद्र O वाले वृत्त के बाहर है, और यदि P से स्पर्श रेखाएँ वृत्त को बिंदु T और Q पर स्पर्श करती हैं, तो TPQ और TOQ पूरक हैं। | :यदि एक बिंदु P केंद्र O वाले वृत्त के बाहर है, और यदि P से स्पर्श रेखाएँ वृत्त को बिंदु T और Q पर स्पर्श करती हैं, तो TPQ और TOQ पूरक हैं। | ||
:संपूरक कोणों की ज्या बराबर होती है। उनके कोसाइन और स्पर्शरेखा (जब तक कि अपरिभाषित नहीं) परिमाण में बराबर होते हैं लेकिन विपरीत संकेत होते हैं। | :संपूरक कोणों की ज्या बराबर होती है। उनके कोसाइन और स्पर्शरेखा (जब तक कि अपरिभाषित नहीं) परिमाण में बराबर होते हैं लेकिन विपरीत संकेत होते हैं। | ||
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===बहुभुज-संबंधित कोण=== | ===बहुभुज-संबंधित कोण=== | ||
[[File:ExternalAngles.svg|thumb|300px|right|आंतरिक और बाहरी कोण।]] | [[File:ExternalAngles.svg|thumb|300px|right|आंतरिक और बाहरी कोण।]] | ||
* एक कोण जो एक | * एक कोण जो एक साधारण बहुभुज का भाग होता है, एक आंतरिक कोण कहलाता है यदि वह उस साधारण बहुभुज के अंदर स्थित हो। एक साधारण अवतल बहुभुज में कम से कम एक आंतरिक कोण होता है जो एक प्रतिवर्त कोण होता है। | ||
*: यूक्लिडियन ज्यामिति में, त्रिभुज के आंतरिक कोणों के मापों का योग होता है {{math|π}} रेडियन, 180°, or {{sfrac|2}} मोड़; एक साधारण उत्तल चतुर्भुज के आंतरिक कोणों के माप 2 . तक जोड़ते हैं{{math|π}} रेडियन, 360°, या 1 मोड़। सामान्य तौर पर, n भुजाओं वाले एक साधारण | *: यूक्लिडियन ज्यामिति में, त्रिभुज के आंतरिक कोणों के मापों का योग होता है {{math|π}} रेडियन, 180°, or {{sfrac|2}} मोड़; एक साधारण उत्तल चतुर्भुज के आंतरिक कोणों के माप 2 . तक जोड़ते हैं{{math|π}} रेडियन, 360°, या 1 मोड़। सामान्य तौर पर, n भुजाओं वाले एक साधारण उत्तल बहुभुज के आंतरिक कोणों के मापों का योग (n − 2) होता है।{{math|π}}रेडियन, या (n − 2)180 डिग्री, (n − 2)2 समकोण, या (n − 2){{sfrac|1|2}}मोड़। | ||
* एक आंतरिक कोण के पूरक को एक बाहरी कोण कहा जाता है, अर्थात एक आंतरिक कोण और एक बाहरी कोण कोणों का एक रैखिक युग्म बनाते हैं। बहुभुज के प्रत्येक शीर्ष पर दो बाहरी कोण होते हैं, जिनमें से प्रत्येक को शीर्ष पर मिलने वाले बहुभुज के दो पक्षों में से एक को विस्तारित करके निर्धारित किया जाता है; ये दो कोण लंबवत हैं और इसलिए बराबर हैं। एक बाहरी कोण बहुभुज का पता लगाने के लिए एक शीर्ष पर घूमने की मात्रा को मापता है।{{sfn|Henderson|Taimina|2005|p=104}} यदि संगत आंतरिक कोण प्रतिवर्त कोण है, तो बाह्य कोण को ऋणात्मक माना जाना चाहिए। यहां तक कि एक गैर-साधारण बहुभुज में भी बाहरी कोण को परिभाषित करना संभव हो सकता है, लेकिन बाहरी कोण माप के संकेत को तय करने के लिए किसी को विमान (या सतह) का एक अभिविन्यास चुनना होगा। | * एक आंतरिक कोण के पूरक को एक बाहरी कोण कहा जाता है, अर्थात एक आंतरिक कोण और एक बाहरी कोण कोणों का एक रैखिक युग्म बनाते हैं। बहुभुज के प्रत्येक शीर्ष पर दो बाहरी कोण होते हैं, जिनमें से प्रत्येक को शीर्ष पर मिलने वाले बहुभुज के दो पक्षों में से एक को विस्तारित करके निर्धारित किया जाता है; ये दो कोण लंबवत हैं और इसलिए बराबर हैं। एक बाहरी कोण बहुभुज का पता लगाने के लिए एक शीर्ष पर घूमने की मात्रा को मापता है।{{sfn|Henderson|Taimina|2005|p=104}} यदि संगत आंतरिक कोण प्रतिवर्त कोण है, तो बाह्य कोण को ऋणात्मक माना जाना चाहिए। यहां तक कि एक गैर-साधारण बहुभुज में भी बाहरी कोण को परिभाषित करना संभव हो सकता है, लेकिन बाहरी कोण माप के संकेत को तय करने के लिए किसी को विमान (या सतह) का एक अभिविन्यास चुनना होगा। | ||
*: यूक्लिडियन ज्यामिति में, एक साधारण उत्तल बहुभुज के बाहरी कोणों का योग, यदि प्रत्येक शीर्ष पर दो बाहरी कोणों में से केवल एक माना जाता है, तो एक पूर्ण मोड़ (360°) होगा। यहाँ बाह्य कोण को पूरक बाह्य कोण कहा जा सकता है। नियमित बहुभुज बनाते समय बाहरी कोणों का उपयोग आमतौर पर लोगो कछुए कार्यक्रमों में किया जाता है। | *: यूक्लिडियन ज्यामिति में, एक साधारण उत्तल बहुभुज के बाहरी कोणों का योग, यदि प्रत्येक शीर्ष पर दो बाहरी कोणों में से केवल एक माना जाता है, तो एक पूर्ण मोड़ (360°) होगा। यहाँ बाह्य कोण को पूरक बाह्य कोण कहा जा सकता है। नियमित बहुभुज बनाते समय बाहरी कोणों का उपयोग आमतौर पर लोगो कछुए कार्यक्रमों में किया जाता है। | ||
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|{{anchor|Multiples of π}}के गुणज {{pi}}||2||180° || के गुणज {{pi}} रेडियन (MUL{{pi}}) इकाई RPN वैज्ञानिक कैलकुलेटर WP 43S में लागू की गई है।<ref name="Bonin_2016 /><ref name="Bonin_2019_ओजी /><ref name="Bonin_2019_RG /> यह भी देखें: IEEE 754 अनुशंसित संचालन | |{{anchor|Multiples of π}}के गुणज {{pi}}||2||180° || के गुणज {{pi}} रेडियन (MUL{{pi}}) इकाई RPN वैज्ञानिक कैलकुलेटर WP 43S में लागू की गई है।<ref name="Bonin_2016 /><ref name="Bonin_2019_ओजी /><ref name="Bonin_2019_RG /> यह भी देखें: IEEE 754 अनुशंसित संचालन | ||
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|चतुर्थांश||4||90°||एक चतुर्थांश a . है {{sfrac|4}}मोड़ और एक समकोण के रूप में भी जाना जाता है। चतुर्थांश | |चतुर्थांश||4||90°||एक चतुर्थांश a . है {{sfrac|4}}मोड़ और एक समकोण के रूप में भी जाना जाता है। चतुर्थांश यूक्लिड के तत्वों में प्रयुक्त इकाई है। जर्मन में, प्रतीक <sup>∟</sup>चतुर्भुज को निरूपित करने के लिए प्रयोग किया गया है। 1 क्वाड = 90° = {{sfrac|{{pi}}|2}} रेड = {{sfrac|4}} बारी = 100 ग्रेड। | ||
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|सेक्सटेंट||6||60°||सेक्सटेंट वह इकाई थी जिसका इस्तेमाल बेबीलोन के लोग करते थे,<ref name="Jeans_1947 /><ref name="Murnaghan_1946 /> डिग्री, चाप का मिनट और चाप का दूसरा भाग बेबीलोनियाई इकाई की सेक्सेजिमल सबयूनिट हैं। शासक और परकार के साथ निर्माण करना विशेष रूप से आसान है। यह समबाहु त्रिभुज का कोण है या is {{sfrac|6}}मोड़। 1 बेबीलोनियाई इकाई = 60° = {{pi}}/ 3 रेड 1.047197551 रेड। | |सेक्सटेंट||6||60°||सेक्सटेंट वह इकाई थी जिसका इस्तेमाल बेबीलोन के लोग करते थे,<ref name="Jeans_1947 /><ref name="Murnaghan_1946 /> डिग्री, चाप का मिनट और चाप का दूसरा भाग बेबीलोनियाई इकाई की सेक्सेजिमल सबयूनिट हैं। शासक और परकार के साथ निर्माण करना विशेष रूप से आसान है। यह समबाहु त्रिभुज का कोण है या is {{sfrac|6}}मोड़। 1 बेबीलोनियाई इकाई = 60° = {{pi}}/ 3 रेड 1.047197551 रेड। | ||
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||{{math|2''π''}}||57°17′||रेडियन एक वृत्त की परिधि से निर्धारित होता है जो वृत्त की त्रिज्या के बराबर लंबाई (n = 2) है{{pi}}= 6.283...)। यह एक वृत्त के चाप द्वारा अंतरित कोण होता है जिसकी लंबाई वृत्त की त्रिज्या के समान होती है। रेडियन का प्रतीक रेड है। एक मोड़ 2 . है{{math|π}}रेडियन, और एक रेडियन है {{sfrac|180°|{{pi}}}}, या लगभग 57.2958 डिग्री। गणितीय ग्रंथों में कोण o . होते हैंften को एक के बराबर रेडियन के साथ आयामहीन माना जाता है, जिसके परिणामस्वरूप यूनिट रेड को अक्सर छोड़ दिया जाता है। रेडियन का उपयोग व्यावहारिक ज्यामिति से परे लगभग सभी गणितीय कार्यों में किया जाता है, उदाहरण के लिए, मनभावन और प्राकृतिक गुणों के कारण जो | ||{{math|2''π''}}||57°17′||रेडियन एक वृत्त की परिधि से निर्धारित होता है जो वृत्त की त्रिज्या के बराबर लंबाई (n = 2) है{{pi}}= 6.283...)। यह एक वृत्त के चाप द्वारा अंतरित कोण होता है जिसकी लंबाई वृत्त की त्रिज्या के समान होती है। रेडियन का प्रतीक रेड है। एक मोड़ 2 . है{{math|π}}रेडियन, और एक रेडियन है {{sfrac|180°|{{pi}}}}, या लगभग 57.2958 डिग्री। गणितीय ग्रंथों में कोण o . होते हैंften को एक के बराबर रेडियन के साथ आयामहीन माना जाता है, जिसके परिणामस्वरूप यूनिट रेड को अक्सर छोड़ दिया जाता है। रेडियन का उपयोग व्यावहारिक ज्यामिति से परे लगभग सभी गणितीय कार्यों में किया जाता है, उदाहरण के लिए, मनभावन और प्राकृतिक गुणों के कारण जो त्रिकोणमितीय कार्य प्रदर्शित करते हैं जब उनके तर्क रेडियन में होते हैं। रेडियन एसआई में कोणीय माप की (व्युत्पन्न) इकाई है, जो कोण को आयामहीन भी मानता है। | ||
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| Hexacontade||60|6°||हेक्साकॉन्टेड एक इकाई है जिसका उपयोग इरेटोस्थनीज द्वारा किया जाता है। यह 6° के बराबर होता है, जिससे एक पूरा मोड़ 60 हेक्साकॉन्टेड्स में विभाजित हो जाता है। | | Hexacontade||60|6°||हेक्साकॉन्टेड एक इकाई है जिसका उपयोग इरेटोस्थनीज द्वारा किया जाता है। यह 6° के बराबर होता है, जिससे एक पूरा मोड़ 60 हेक्साकॉन्टेड्स में विभाजित हो जाता है। | ||
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|बाइनरी डिग्री ||256||1°33'45 || बाइनरी डिग्री, जिसे बाइनरी रेडियन या ब्रैड या | |बाइनरी डिग्री ||256||1°33'45 || बाइनरी डिग्री, जिसे बाइनरी रेडियन या ब्रैड या बाइनरी कोणीय माप (BAM) के रूप में भी जाना जाता है।<ref name="ooPIC"/>बाइनरी डिग्री का उपयोग कंप्यूटिंग में किया जाता है ताकि एक कोण को एक बाइट में कुशलता से दर्शाया जा सके (यद्यपि सीमित परिशुद्धता के लिए)। कंप्यूटिंग में प्रयुक्त कोण के अन्य उपाय एक पूरे मोड़ को 2 . में विभाजित करने पर आधारित हो सकते हैं<sup>''n''</sup>n के अन्य मानों के लिए समान भाग। | ||
<ref name="Hargreaves_2010 /> यह है {{sfrac|256}} एक मोड़ का।<ref name="ooPIC"/>|- | <ref name="Hargreaves_2010 /> यह है {{sfrac|256}} एक मोड़ का।<ref name="ooPIC"/>|- | ||
|डिग्री ||360 ||1°|| इस पुराने सेक्जेसिमल सबयूनिट का एक फायदा यह है कि साधारण ज्यामिति में आम कई कोणों को डिग्री की एक पूरी संख्या के रूप में मापा जाता है। डिग्री के अंश सामान्य दशमलव अंकन में लिखे जा सकते हैं (उदाहरण के लिए साढ़े तीन डिग्री के लिए 3.5 डिग्री), लेकिन डिग्री-मिनट-सेकंड सिस्टम की मिनट और दूसरी सेक्सेजिमल सब यूनिट भी उपयोग में हैं, खासकर भौगोलिक निर्देशांक और खगोल विज्ञान में और बैलिस्टिक (n = 360) एक छोटे सुपरस्क्रिप्ट सर्कल (°) द्वारा दर्शाई गई डिग्री, एक मोड़ का 1/360 है, इसलिए एक मोड़ 360° है। पहले दिए गए सूत्र के लिए डिग्री का मामला, k = . सेट करके n = 360° इकाइयों की एक डिग्री प्राप्त की जाती है {{sfrac|360°|2{{pi}}}}. | |डिग्री ||360 ||1°|| इस पुराने सेक्जेसिमल सबयूनिट का एक फायदा यह है कि साधारण ज्यामिति में आम कई कोणों को डिग्री की एक पूरी संख्या के रूप में मापा जाता है। डिग्री के अंश सामान्य दशमलव अंकन में लिखे जा सकते हैं (उदाहरण के लिए साढ़े तीन डिग्री के लिए 3.5 डिग्री), लेकिन डिग्री-मिनट-सेकंड सिस्टम की मिनट और दूसरी सेक्सेजिमल सब यूनिट भी उपयोग में हैं, खासकर भौगोलिक निर्देशांक और खगोल विज्ञान में और बैलिस्टिक (n = 360) एक छोटे सुपरस्क्रिप्ट सर्कल (°) द्वारा दर्शाई गई डिग्री, एक मोड़ का 1/360 है, इसलिए एक मोड़ 360° है। पहले दिए गए सूत्र के लिए डिग्री का मामला, k = . सेट करके n = 360° इकाइयों की एक डिग्री प्राप्त की जाती है {{sfrac|360°|2{{pi}}}}. | ||
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* ताऊ, एक चक्कर में रेडियन की संख्या (1 मोड़ = {{mvar|τ}} रेड), {{math|''τ'' {{=}} 2π}}. | * ताऊ, एक चक्कर में रेडियन की संख्या (1 मोड़ = {{mvar|τ}} रेड), {{math|''τ'' {{=}} 2π}}. | ||
* व्यास वाला हिस्सा (n = 376.99...): व्यास वाला हिस्सा (कभी-कभी इस्लामी गणित में इस्तेमाल होता है) है {{sfrac|60}} रेडियन एक व्यास वाला भाग लगभग 0.95493° होता है। प्रति मोड़ लगभग 376.991 व्यास के हिस्से हैं। | * व्यास वाला हिस्सा (n = 376.99...): व्यास वाला हिस्सा (कभी-कभी इस्लामी गणित में इस्तेमाल होता है) है {{sfrac|60}} रेडियन एक व्यास वाला भाग लगभग 0.95493° होता है। प्रति मोड़ लगभग 376.991 व्यास के हिस्से हैं। | ||
* मिलीराडियन और व्युत्पन्न परिभाषाएँ: सच्चे मिलिरेडियन को एक रेडियन के हज़ारवें हिस्से को परिभाषित किया जाता है, जिसका अर्थ है कि एक मोड़ का रोटेशन ठीक 2000π मिल (या लगभग 6283.185 मील) के बराबर होगा, और आग्नेयास्त्रों के लिए लगभग सभी स्कोप जगहें इस परिभाषा के लिए कैलिब्रेटेड हैं। इसके अलावा | * मिलीराडियन और व्युत्पन्न परिभाषाएँ: सच्चे मिलिरेडियन को एक रेडियन के हज़ारवें हिस्से को परिभाषित किया जाता है, जिसका अर्थ है कि एक मोड़ का रोटेशन ठीक 2000π मिल (या लगभग 6283.185 मील) के बराबर होगा, और आग्नेयास्त्रों के लिए लगभग सभी स्कोप जगहें इस परिभाषा के लिए कैलिब्रेटेड हैं। इसके अलावा तोपखाने और नेविगेशन के लिए इस्तेमाल की जाने वाली तीन अन्य व्युत्पन्न परिभाषाएँ हैं जो लगभग एक मिलीरेडियन के बराबर हैं। इन तीन अन्य परिभाषाओं के तहत एक मोड़ ठीक 6000, 6300 या 6400 मील के लिए बनाता है, जो 0.05625 से 0.06 डिग्री (3.375 से 3.6 मिनट) तक की सीमा के बराबर है। इसकी तुलना में, वास्तविक मिलीरेडियन लगभग 0.05729578 डिग्री (3.43775 मिनट) है। एक नाटो सैन्य को परिभाषित किया गया है {{sfrac|6400}} एक वृत्त का। ट्रू मिलिरेडियन की तरह ही, अन्य सभी परिभाषाएं मिल की सबटेंशन की उपयोगी संपत्ति का फायदा उठाती हैं, यानी कि एक मिलीरेडियन का मान लगभग 1 मीटर की चौड़ाई से घटाए गए कोण के बराबर होता है जैसा कि 1 किमी दूर से देखा जाता है ({{sfrac|2{{pi}}|6400}} = 0.0009817... ≈ {स्फ्रैक|1000}})। | ||
* अखनाम और ज़म। पुराने अरब में एक मोड़ को 32 अखनाम में विभाजित किया गया था और प्रत्येक अखनाम को 7 ज़म में विभाजित किया गया था, ताकि एक मोड़ 224 ज़म हो। | * अखनाम और ज़म। पुराने अरब में एक मोड़ को 32 अखनाम में विभाजित किया गया था और प्रत्येक अखनाम को 7 ज़म में विभाजित किया गया था, ताकि एक मोड़ 224 ज़म हो। | ||
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एक कोणीय इकाई के लिए, यह निश्चित है कि कोण जोड़ अभिधारणा धारण करता है। कुछ कोण माप जहां कोण जोड़ अभिधारणा धारण नहीं करते हैं उनमें शामिल हैं: | एक कोणीय इकाई के लिए, यह निश्चित है कि कोण जोड़ अभिधारणा धारण करता है। कुछ कोण माप जहां कोण जोड़ अभिधारणा धारण नहीं करते हैं उनमें शामिल हैं: | ||
* ढलान या ढाल कोण के स्पर्शरेखा के बराबर है; एक ढाल को अक्सर प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाता है। बहुत छोटे मान (5% से कम) के लिए, ढलान का ग्रेड लगभग रेडियन में कोण का माप होता है। | * ढलान या ढाल कोण के स्पर्शरेखा के बराबर है; एक ढाल को अक्सर प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाता है। बहुत छोटे मान (5% से कम) के लिए, ढलान का ग्रेड लगभग रेडियन में कोण का माप होता है। | ||
* दो रेखाओं के बीच के फैलाव को | * दो रेखाओं के बीच के फैलाव को परिमेय ज्यामिति में रेखाओं के बीच के कोण की ज्या के वर्ग के रूप में परिभाषित किया जाता है। चूँकि किसी कोण की ज्या और उसके संपूरक कोण की ज्या समान होती है, कोई भी घूर्णन कोण जो किसी एक रेखा को दूसरी रेखा में मैप करता है, रेखाओं के बीच फैलाव के लिए समान मान की ओर ले जाता है। | ||
* हालांकि शायद ही कभी किया जाता है, कोई त्रिकोणमितीय कार्यों के प्रत्यक्ष परिणामों की रिपोर्ट कर सकता है, जैसे कोण की साइन। | * हालांकि शायद ही कभी किया जाता है, कोई त्रिकोणमितीय कार्यों के प्रत्यक्ष परिणामों की रिपोर्ट कर सकता है, जैसे कोण की साइन। | ||
===खगोलीय अनुमान === | ===खगोलीय अनुमान === | ||
{{main|Angular diameter}} | {{main|Angular diameter}} | ||
खगोलविद वस्तुओं के स्पष्ट आकार और उनके बीच की दूरी को उनके अवलोकन बिंदु से डिग्री में मापते हैं। | |||
* 0.5° पृथ्वी से देखे गए सूर्य या चंद्रमा का अनुमानित व्यास है। | * 0.5° पृथ्वी से देखे गए सूर्य या चंद्रमा का अनुमानित व्यास है। | ||
* 1° हाथ की लंबाई पर छोटी उंगली की अनुमानित चौड़ाई है। | * 1° हाथ की लंबाई पर छोटी उंगली की अनुमानित चौड़ाई है। | ||
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हिल्बर्ट अंतरिक्ष में किसी भी परिमित आयाम के उप-स्थानों तक बढ़ाया जा सकता है। दो उप-स्थान दिए गए हैं <math> \mathcal{U} </math>, <math> \mathcal{W} </math> साथ <math> \dim ( \mathcal{U}) := k \leq \dim ( \mathcal{W}) := l </math>, यह की परिभाषा की ओर जाता है <math>k</math> उप-स्थानों के बीच के कोणों को विहित या प्रमुख कोण कहा जाता है। | हिल्बर्ट अंतरिक्ष में किसी भी परिमित आयाम के उप-स्थानों तक बढ़ाया जा सकता है। दो उप-स्थान दिए गए हैं <math> \mathcal{U} </math>, <math> \mathcal{W} </math> साथ <math> \dim ( \mathcal{U}) := k \leq \dim ( \mathcal{W}) := l </math>, यह की परिभाषा की ओर जाता है <math>k</math> उप-स्थानों के बीच के कोणों को विहित या प्रमुख कोण कहा जाता है। | ||
=== | === रीमैनियन ज्यामिति में कोण === | ||
रीमैनियन ज्यामिति में, दो स्पर्शरेखाओं के बीच के कोण को परिभाषित करने के लिए मीट्रिक टेंसर का उपयोग किया जाता है। जहाँ U और V स्पर्शरेखा सदिश हैं और g<sub>''ij''</sub>मीट्रिक टेंसर G के घटक हैं, | रीमैनियन ज्यामिति में, दो स्पर्शरेखाओं के बीच के कोण को परिभाषित करने के लिए मीट्रिक टेंसर का उपयोग किया जाता है। जहाँ U और V स्पर्शरेखा सदिश हैं और g<sub>''ij''</sub>मीट्रिक टेंसर G के घटक हैं, | ||
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=== अतिपरवलयिक कोण === | === अतिपरवलयिक कोण === | ||
एक अतिपरवलयिक कोण एक अतिपरवलयिक फलन का तर्क है जिस प्रकार वृत्ताकार कोण एक वृत्तीय फलन का तर्क है। तुलना को एक अतिपरवलयिक क्षेत्र और एक वृत्ताकार क्षेत्र के उद्घाटन के आकार के रूप में देखा जा सकता है क्योंकि इन क्षेत्रों के क्षेत्र प्रत्येक मामले में कोण परिमाण के अनुरूप होते हैं। वृत्ताकार कोण के विपरीत, अतिपरवलयिक कोण असीम होता है। जब सर्कुलर और हाइपरबॉलिक फ़ंक्शंस को उनके कोण तर्क में अनंत श्रृंखला के रूप में देखा जाता है, तो सर्कुलर वाले हाइपरबॉलिक फ़ंक्शंस के केवल वैकल्पिक श्रृंखला रूप होते हैं। दो प्रकार के कोण और कार्य के इस बुनाई को लियोनहार्ड यूलर | एक अतिपरवलयिक कोण एक अतिपरवलयिक फलन का तर्क है जिस प्रकार वृत्ताकार कोण एक वृत्तीय फलन का तर्क है। तुलना को एक अतिपरवलयिक क्षेत्र और एक वृत्ताकार क्षेत्र के उद्घाटन के आकार के रूप में देखा जा सकता है क्योंकि इन क्षेत्रों के क्षेत्र प्रत्येक मामले में कोण परिमाण के अनुरूप होते हैं। वृत्ताकार कोण के विपरीत, अतिपरवलयिक कोण असीम होता है। जब सर्कुलर और हाइपरबॉलिक फ़ंक्शंस को उनके कोण तर्क में अनंत श्रृंखला के रूप में देखा जाता है, तो सर्कुलर वाले हाइपरबॉलिक फ़ंक्शंस के केवल वैकल्पिक श्रृंखला रूप होते हैं। दो प्रकार के कोण और कार्य के इस बुनाई को लियोनहार्ड यूलर ने अनंत के विश्लेषण के परिचय में समझाया था। | ||
==भूगोल और खगोल विज्ञान में कोण == | ==भूगोल और खगोल विज्ञान में कोण == | ||
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==यह भी देखें== | ==यह भी देखें== | ||
{{div col |colwidth=22em}} | {{div col |colwidth=22em}} | ||
* | *कोण मापने का यंत्र | ||
* कोणीय आँकड़े (माध्य, मानक विचलन) | * कोणीय आँकड़े (माध्य, मानक विचलन) | ||
*कोण द्विभाजक | *कोण द्विभाजक | ||
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* दशमलव डिग्री | * दशमलव डिग्री | ||
* डायहेड्रल कोण | * डायहेड्रल कोण | ||
* | *बाहरी कोण प्रमेय | ||
*सुनहरा कोण | *सुनहरा कोण | ||
* महान सर्कल दूरी | * महान सर्कल दूरी | ||
Revision as of 16:20, 29 June 2022
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यूक्लिडियन ज्यामिति में, एक कोण दो किरणों द्वारा बनाई गई आकृति है, जिसे कोण के पक्ष कहा जाता है, जो एक सामान्य समापन बिंदु को साझा करता है, जिसे कोण का शीर्ष कहा जाता है।[1]दो किरणों से बनने वाले कोण उस तल में होते हैं जिसमें किरणें होती हैं। कोण भी दो तलों के प्रतिच्छेदन से बनते हैं। इन्हें डायहेड्रल कोण कहा जाता है। दो प्रतिच्छेदी वक्र भी एक कोण को परिभाषित कर सकते हैं, जो कि उनके प्रतिच्छेदन बिंदु पर संबंधित वक्रों के स्पर्शरेखा वाली किरणों का कोण होता है।
कोण का उपयोग कोण या घूर्णन के माप को निर्दिष्ट करने के लिए भी किया जाता है। यह माप एक वृत्ताकार चाप की लंबाई और उसकी त्रिज्या का अनुपात है। एक ज्यामितीय कोण के मामले में, चाप शीर्ष पर केंद्रित होता है और पक्षों द्वारा सीमांकित होता है। घूर्णन के मामले में, चाप घूर्णन के केंद्र में केंद्रित होता है और किसी अन्य बिंदु से और घूर्णन द्वारा इसकी छवि को सीमित करता है।
इतिहास और व्युत्पत्ति
कोण शब्द लैटिन शब्द एंगुलस से आया है, जिसका अर्थ है कोना; सजातीय शब्द ग्रीक हैं ἀγκύλος (ankylοs), जिसका अर्थ है कुटिल, घुमावदार, और अंग्रेजी शब्द टखने। दोनों प्रोटो-इंडो-यूरोपीय भाषा से जुड़े हुए हैं | प्रोटो-इंडो-यूरोपियन रूट * एंक-, जिसका अर्थ है झुकना या झुकना।[2]
यूक्लिड एक समतल कोण को एक दूसरे के झुकाव के रूप में परिभाषित करता है, एक समतल में, दो रेखाएँ जो एक दूसरे से मिलती हैं, और एक दूसरे के संबंध में सीधे झूठ नहीं बोलती हैं। प्रोक्लस के अनुसार, कोण या तो गुणवत्ता या मात्रा, या संबंध होना चाहिए। पहली अवधारणा का उपयोग यूडेमस द्वारा किया गया था, जो एक कोण को एक सीधी रेखा से विचलन के रूप में मानते थे; दूसरा अन्ताकिया के कार्पस द्वारा, जिसने इसे प्रतिच्छेदन रेखाओं के बीच का अंतराल या स्थान माना; यूक्लिड ने तीसरी अवधारणा को अपनाया।[3]
कोणों की पहचान
गणितीय अभिव्यक्तियों में, ग्रीक अक्षरों का उपयोग करना आम है (α, β, γ, θ, φ, . . . ) किसी कोण के आकार को दर्शाने वाले चर के रूप में (इसके अन्य अर्थ के साथ भ्रम से बचने के लिए, प्रतीक π आमतौर पर इस उद्देश्य के लिए उपयोग नहीं किया जाता है)। लोअरकेस रोमन अक्षरों (ए, बी, सी, . . . ) का भी उपयोग किया जाता है। ऐसे संदर्भों में जहां यह भ्रमित नहीं है, एक कोण को ऊपरी केस रोमन अक्षर द्वारा दर्शाया जा सकता है जो इसके शीर्ष को दर्शाता है। उदाहरण के लिए इस आलेख में आंकड़े देखें।
ज्यामितीय आकृतियों में, कोणों को उन तीन बिंदुओं से भी पहचाना जा सकता है जो उन्हें परिभाषित करते हैं। उदाहरण के लिए, एबी और एसी किरणों (अर्थात बिंदु ए से बिंदु बी और सी तक की रेखाएं) द्वारा गठित शीर्ष ए वाले कोण को दर्शाया गया है ∠BAC या