बैकस्टेपिंग: Difference between revisions
From Vigyanwiki
No edit summary |
No edit summary |
||
| Line 51: | Line 51: | ||
* यहाँ पर <math>z_n</math> स्थिति पर स्थिर नियंत्रण के समान कार्य करता है, इससे पहले यह मान <math>z_{n-1}</math> के समान हैं। | * यहाँ पर <math>z_n</math> स्थिति पर स्थिर नियंत्रण के समान कार्य करता है, इससे पहले यह मान <math>z_{n-1}</math> के समान हैं। | ||
* यह प्रक्रिया निरंतर रहती है, जिससे कि इसकी प्रत्येक स्थिति <math>z_i</math> काल्पनिक नियंत्रण <math>z_{i+1}</math> द्वारा स्थिर किया जाता है। | * यह प्रक्रिया निरंतर रहती है, जिससे कि इसकी प्रत्येक स्थिति <math>z_i</math> काल्पनिक नियंत्रण <math>z_{i+1}</math> द्वारा स्थिर किया जाता है। | ||
बैकस्टेपिंग दृष्टिकोण यह निर्धारित करता है कि इसे कैसे स्थिर किया जाए {{math|'''x'''}} उपप्रणाली <math>z_1</math> का उपयोग करना होता हैं, और फिर यह निर्धारित करने के लिए आगे बढ़ता है कि अगला स्थिति <math>z_2</math> कैसे बनायी जा सकती हैं, इसके आधार पर गाड़ी चलाना <math>z_1</math> को स्थिर करने के लिए आवश्यक नियंत्रण के लिए {{math|'''x'''}} का मान आवश्यक हैं, इसलिए प्रक्रिया पीछे की ओर अग्रसर रहती है, इसके आधार पर {{math|'''x'''}} अंतिम नियंत्रण तक | बैकस्टेपिंग दृष्टिकोण यह निर्धारित करता है कि इसे कैसे स्थिर किया जाए {{math|'''x'''}} उपप्रणाली <math>z_1</math> का उपयोग करना होता हैं, और फिर यह निर्धारित करने के लिए आगे बढ़ता है कि अगला स्थिति <math>z_2</math> कैसे बनायी जा सकती हैं, इसके आधार पर गाड़ी चलाना <math>z_1</math> को स्थिर करने के लिए आवश्यक नियंत्रण के लिए {{math|'''x'''}} का मान आवश्यक हैं, इसलिए प्रक्रिया पीछे की ओर अग्रसर रहती है, इसके आधार पर {{math|'''x'''}} अंतिम नियंत्रण तक कठोर प्रतिक्रिया प्रपत्र प्रणाली से बाहर {{mvar|u}} बनाया गया है। | ||
==पुनरावर्ती नियंत्रण डिज़ाइन अवलोकन== | ==पुनरावर्ती नियंत्रण डिज़ाइन अवलोकन== | ||
| Line 87: | Line 87: | ||
सामान्य स्ट्रिक्ट-फीडबैक फॉर्म डायनेमिक सिस्टम के लिए बैकस्टेपिंग प्रक्रिया का वर्णन करने से पहले, स्ट्रिक्ट-फीडबैक फॉर्म सिस्टम के छोटे वर्ग के लिए दृष्टिकोण पर चर्चा करना सुविधाजनक है। ये सिस्टम इंटीग्रेटर्स की श्रृंखला को इनपुट से जोड़ते हैं। | सामान्य स्ट्रिक्ट-फीडबैक फॉर्म डायनेमिक सिस्टम के लिए बैकस्टेपिंग प्रक्रिया का वर्णन करने से पहले, स्ट्रिक्ट-फीडबैक फॉर्म सिस्टम के छोटे वर्ग के लिए दृष्टिकोण पर चर्चा करना सुविधाजनक है। ये सिस्टम इंटीग्रेटर्स की श्रृंखला को इनपुट से जोड़ते हैं। | ||
यहाँ पर ज्ञात होने वाले फीडबैक स्थिरीकरण नियंत्रण नियम वाले सिस्टम और इसलिए स्थिरीकरण दृष्टिकोण को इंटीग्रेटर बैकस्टेपिंग के रूप में जाना जाता है। इस प्रकार छोटे संशोधनों के साथ, सभी | यहाँ पर ज्ञात होने वाले फीडबैक स्थिरीकरण नियंत्रण नियम वाले सिस्टम और इसलिए स्थिरीकरण दृष्टिकोण को इंटीग्रेटर बैकस्टेपिंग के रूप में जाना जाता है। इस प्रकार छोटे संशोधनों के साथ, सभी कठोर प्रतिक्रियायें फॉर्म सिस्टम को संभालने के लिए इंटीग्रेटर बैकस्टेपिंग दृष्टिकोण को बढ़ाया जा सकता है। | ||
===एकल-एकीकरणकर्ता संतुलन=== | ===एकल-एकीकरणकर्ता संतुलन=== | ||
| Line 118: | Line 118: | ||
::<math>\dot{V}_x=\frac{\partial V_x}{\partial \mathbf{x}}(f_x(\mathbf{x})+g_x(\mathbf{x})u_x(\mathbf{x})) \leq - W(\mathbf{x})</math> | ::<math>\dot{V}_x=\frac{\partial V_x}{\partial \mathbf{x}}(f_x(\mathbf{x})+g_x(\mathbf{x})u_x(\mathbf{x})) \leq - W(\mathbf{x})</math> | ||
:जहाँ <math>W(\mathbf{x})</math> [[सकारात्मक-निश्चित कार्य|धनात्मक-निश्चित कार्य]] | :जहाँ <math>W(\mathbf{x})</math> [[सकारात्मक-निश्चित कार्य|धनात्मक-निश्चित कार्य]] है, अर्थात हम यह मान सकते हैं कि हम पहले ही दिखा चुके हैं कि {{math|'''x'''}} वर्तमान समय के लिए सरल है, इसके आधार पर उपप्रणाली ल्यपुनोव स्थिरता है, इस प्रकार स्थिर ल्यपुनोव के अर्थ में मोटे तौर पर, स्थिरता की इस धारणा का अर्थ है कि: | ||
** फलन <math>V_x</math> की सामान्यीकृत ऊर्जा के समान है {{math|'''x'''}} उपप्रणाली | ** फलन <math>V_x</math> की सामान्यीकृत ऊर्जा के समान है, जहाँ पर {{math|'''x'''}} उपप्रणाली के रूप में {{math|'''x'''}} सिस्टम की अवस्थाएँ मूल, ऊर्जा से दूर चली जाती हैं, जिससे <math>V_x(\mathbf{x})</math> भी बढ़ता है। | ||
** समय के साथ यह दिखाकर, ऊर्जा <math>V_x(\mathbf{x}(t))</math> शून्य हो जाता है, फिर {{math|'''x'''}} | ** समय के साथ यह दिखाकर, ऊर्जा <math>V_x(\mathbf{x}(t))</math> शून्य हो जाता है, फिर पुनः {{math|'''x'''}} स्थिति <math> \mathbf{x}=\mathbf{0}\,</math> की ओर क्षय होना चाहिए, अर्थात् उत्पत्ति <math> \mathbf{x}=\mathbf{0}\,</math> प्रणाली का स्थिर संतुलन होगा - {{math|'''x'''}} जैसे-जैसे समय के साथ बढ़ेगा, स्थिति क्रमशः मूल के समीप पहुंचेंगी। | ||
** यह कहते हुए कि <math>W(\mathbf{x})</math> धनात्मक निश्चित का | ** यह कहते हुए कि <math>W(\mathbf{x})</math> धनात्मक निश्चित का अर्थ है कि <math>W(\mathbf{x}) > 0</math> को छोड़कर हर स्थान पर <math> \mathbf{x}=\mathbf{0}\,</math>, और <math>W(\mathbf{0})=0</math> के समान हैं। | ||
** यह कथन <math>\dot{V}_x \leq -W(\mathbf{x})</math> | ** यह कथन <math>\dot{V}_x \leq -W(\mathbf{x})</math> अर्थ कि <math>\dot{V}_x</math> को छोड़कर सभी बिंदुओं <math> \mathbf{x} = \mathbf{0}\,</math> के लिए शून्य से दूर सीमाबद्ध है, अर्थात्, जब तक प्रणाली मूल पर अपने संतुलन पर नहीं है, तब तक इसकी ऊर्जा कम होती रहेगी। | ||
** चूँकि ऊर्जा का सदैव क्षय होता रहता है, तो प्रणाली स्थिर होनी चाहिए | ** चूँकि ऊर्जा का सदैव क्षय होता रहता है, तो प्रणाली स्थिर होनी चाहिए, इसके प्रक्षेप पथ को मूल बिंदु तक पहुंचना चाहिए। | ||
:हमारा काम नियंत्रण ढूंढना है {{mvar|u}} जो हमारे कैस्केड बनाता है <math>(\mathbf{x},z_1)</math> सिस्टम भी स्थिर | :हमारा काम नियंत्रण ढूंढना है, इसके आधार पर {{mvar|u}} जो हमारे कैस्केड बनाता है, इसके लिए बिन्दु <math>(\mathbf{x},z_1)</math> सिस्टम भी स्थिर रहता हैं इसलिए हमें इस नई प्रणाली के लिए नया ल्यपुनोव फलन 'उम्मीदवार' ढूंढना होगा। वह उम्मीदवार नियंत्रण {{mvar|u}} पर निर्भर रहेगा, और नियंत्रण को सही ढंग से चुनकर, हम यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि यह हर स्थान पर भी क्षय हो रहा है। | ||
* आगे 'और' जोड़कर घटाएँ <math>g_x(\mathbf{x}) u_x(\mathbf{x})</math> (अर्थात, हम सिस्टम को किसी भी तरह से नहीं बदलते क्योंकि हम कोई शुद्ध प्रभाव नहीं डालते हैं)। <math>\dot{\mathbf{x}}</math> बड़े का | * आगे 'और' जोड़कर घटाएँ <math>g_x(\mathbf{x}) u_x(\mathbf{x})</math> (अर्थात, हम सिस्टम को किसी भी तरह से नहीं बदलते क्योंकि हम कोई शुद्ध प्रभाव नहीं डालते हैं)। इसके आधार पर <math>\dot{\mathbf{x}}</math> बड़े का भाग <math>(\mathbf{x},z_1)</math> सिस्टम यह बन जाता है | ||
::<math>\begin{cases}\dot{\mathbf{x}} = f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x}) z_1 + \mathord{\underbrace{\left( g_x(\mathbf{x})u_x(\mathbf{x}) - g_x(\mathbf{x})u_x(\mathbf{x}) \right)}_{0}}\\\dot{z}_1 = u_1\end{cases}</math> | ::<math>\begin{cases}\dot{\mathbf{x}} = f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x}) z_1 + \mathord{\underbrace{\left( g_x(\mathbf{x})u_x(\mathbf{x}) - g_x(\mathbf{x})u_x(\mathbf{x}) \right)}_{0}}\\\dot{z}_1 = u_1\end{cases}</math> | ||
| Line 132: | Line 132: | ||
::<math>\begin{cases}\dot{x} = \mathord{\underbrace{\left( f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x})u_x(\mathbf{x}) \right)}_{F(\mathbf{x})}} + g_x(\mathbf{x}) \underbrace{\left( z_1 - u_x(\mathbf{x}) \right)}_{z_1 \text{ error tracking } u_x}\\\dot{z}_1 = u_1\end{cases}</math> | ::<math>\begin{cases}\dot{x} = \mathord{\underbrace{\left( f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x})u_x(\mathbf{x}) \right)}_{F(\mathbf{x})}} + g_x(\mathbf{x}) \underbrace{\left( z_1 - u_x(\mathbf{x}) \right)}_{z_1 \text{ error tracking } u_x}\\\dot{z}_1 = u_1\end{cases}</math> | ||
:तो हमारा कैस्केड सुपरसिस्टम ज्ञात-स्थिर | :तो हमारा कैस्केड सुपरसिस्टम ज्ञात-स्थिर <math>\dot{\mathbf{x}} = F(\mathbf{x})</math> को समाहित करता है, इसके कारण उपप्रणाली प्लस इंटीग्रेटर द्वारा उत्पन्न कुछ त्रुटि पायी गयी हैं। | ||
* अब हम वेरिएबल्स को | * अब हम वेरिएबल्स को परविर्तित कर सकते हैं, जैसे <math>(\mathbf{x}, z_1)</math> को <math>(\mathbf{x}, e_1)</math> में परिवर्तित करने से <math>e_1 \triangleq z_1 - u_x(\mathbf{x})</math> भी मान प्राप्त हो सकता हैं। इसलिए | ||
::<math>\begin{cases}\dot{\mathbf{x}} = (f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x}) u_x(\mathbf{x})) + | ::<math>\begin{cases}\dot{\mathbf{x}} = (f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x}) u_x(\mathbf{x})) + | ||
| Line 141: | Line 141: | ||
::<math>\begin{cases}\dot{\mathbf{x}} = (f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x}) u_x(\mathbf{x}))+g_x(\mathbf{x}) e_1\\\dot{e}_1 = v_1\end{cases}</math> | ::<math>\begin{cases}\dot{\mathbf{x}} = (f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x}) u_x(\mathbf{x}))+g_x(\mathbf{x}) e_1\\\dot{e}_1 = v_1\end{cases}</math> | ||
: हम नए नियंत्रण के माध्यम से फीडबैक द्वारा इस त्रुटि प्रणाली | : हम नए नियंत्रण के माध्यम से फीडबैक द्वारा इस त्रुटि प्रणाली <math>v_1</math> को स्थिर करना चाहते हैं, इस प्रकार किसी सिस्टम को स्थिर करके <math>e_1 = 0</math>, स्थिति <math>z_1</math> वांछित नियंत्रण <math>u_x</math> को ट्रैक करेगा, जिसके परिणामस्वरूप आंतरिक स्थिरता {{math|'''x'''}} उपप्रणाली के अनुसार आएगी। | ||
* हमारे उपस्थिता ल्यपुनोव फलन से <math>V_x</math>, हम संवर्धित ल्यपुनोव फलन उम्मीदवार को परिभाषित करते हैं | * हमारे उपस्थिता ल्यपुनोव फलन से <math>V_x</math>, हम संवर्धित ल्यपुनोव फलन उम्मीदवार को परिभाषित करते हैं | ||
| Line 156: | Line 156: | ||
&= \overbrace{\frac{\partial V_x}{\partial \mathbf{x}} \underbrace{\left( (f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x})u_x(\mathbf{x})) + g_x(\mathbf{x}) e_1 \right)}_{\dot{\mathbf{x}}}}^{\dot{V}_x} + e_1 v_1 | &= \overbrace{\frac{\partial V_x}{\partial \mathbf{x}} \underbrace{\left( (f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x})u_x(\mathbf{x})) + g_x(\mathbf{x}) e_1 \right)}_{\dot{\mathbf{x}}}}^{\dot{V}_x} + e_1 v_1 | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
: | : विभाजित करके <math>\partial V_x/\partial \mathbf{x}</math> के बाद हमने देखा कि | ||
::<math>\dot{V}_1 = \overbrace{\frac{\partial V_x}{\partial \mathbf{x}}(f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x}) u_x(\mathbf{x}))}^{{} \leq -W(\mathbf{x})} + \frac{\partial V_x}{\partial \mathbf{x}}g_x(\mathbf{x}) e_1 + e_1 v_1 \leq -W(\mathbf{x})+ \frac{\partial V_x}{\partial \mathbf{x}} g_x(\mathbf{x}) e_1 + e_1 v_1</math> | ::<math>\dot{V}_1 = \overbrace{\frac{\partial V_x}{\partial \mathbf{x}}(f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x}) u_x(\mathbf{x}))}^{{} \leq -W(\mathbf{x})} + \frac{\partial V_x}{\partial \mathbf{x}}g_x(\mathbf{x}) e_1 + e_1 v_1 \leq -W(\mathbf{x})+ \frac{\partial V_x}{\partial \mathbf{x}} g_x(\mathbf{x}) e_1 + e_1 v_1</math> | ||
: यह सुनिश्चित करने के लिए <math>\dot{V}_1 \leq -W(\mathbf{x}) < 0</math> | : यह सुनिश्चित करने के लिए <math>\dot{V}_1 \leq -W(\mathbf{x}) < 0</math> अर्थात, सुपरसिस्टम की स्थिरता सुनिश्चित करने के लिए हम नियंत्रण नियम को ही चुनते हैं। | ||
::<math>v_1 = -\frac{\partial V_x}{\partial \mathbf{x}}g_x(\mathbf{x})- k_1 e_1</math> | ::<math>v_1 = -\frac{\partial V_x}{\partial \mathbf{x}}g_x(\mathbf{x})- k_1 e_1</math> | ||
: साथ <math>k_1 > 0</math>, इसलिए | : इसके साथ ही <math>k_1 > 0</math>, इसलिए | ||
::<math>\dot{V}_1 | ::<math>\dot{V}_1 | ||
= -W(\mathbf{x}) + \frac{\partial V_x}{\partial \mathbf{x}} g_x(\mathbf{x}) e_1 + e_1\overbrace{\left( -\frac{\partial V_x}{\partial \mathbf{x}}g_x(\mathbf{x})-k_1 e_1 \right)}^{v_1}</math> | = -W(\mathbf{x}) + \frac{\partial V_x}{\partial \mathbf{x}} g_x(\mathbf{x}) e_1 + e_1\overbrace{\left( -\frac{\partial V_x}{\partial \mathbf{x}}g_x(\mathbf{x})-k_1 e_1 \right)}^{v_1}</math> | ||
: | : विभाजित करने के बाद <math>e_1</math> के माध्यम से, | ||
::<math>\begin{align} | ::<math>\begin{align} | ||
| Line 176: | Line 176: | ||
&< 0 | &< 0 | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
: तो हमारे उम्मीदवार ल्यपुनोव कार्य करते हैं <math>V_1</math> | : तो हमारे उम्मीदवार ल्यपुनोव कार्य करते हैं, यहाँ पर <math>V_1</math> ल्यपुनोव फलन है, और हमारा सिस्टम इस नियंत्रण नियम के अनुसार स्थिर है, इसलिए <math>v_1</math> जो नियंत्रण नियम <math>u_1</math> से मेल खाता है, क्योंकि <math>v_1 \triangleq u_1 - \dot{u}_x</math> के समान हैं, इसके कारण मूल समन्वय प्रणाली से चर का उपयोग करते हुए समतुल्य ल्यपुनोव फलन का उपयोग किया जाता हैं। | ||
: | : | ||
| Line 184: | Line 184: | ||
: जैसा कि नीचे चर्चा की गई है, इस ल्यपुनोव फलन का फिर से उपयोग किया जाएगा जब इस प्रक्रिया को मल्टीपल-इंटीग्रेटर समस्या पर पुनरावृत्त रूप से लागू किया जाएगा। | : जैसा कि नीचे चर्चा की गई है, इस ल्यपुनोव फलन का फिर से उपयोग किया जाएगा जब इस प्रक्रिया को मल्टीपल-इंटीग्रेटर समस्या पर पुनरावृत्त रूप से लागू किया जाएगा। | ||
* नियंत्रण की हमारी पसंद <math>v_1</math> अंततः हमारे सभी मूल स्थिति चर पर निर्भर करता है। विशेष रूप से, वास्तविक फीडबैक-स्थिरीकरण नियंत्रण नियम | * नियंत्रण की हमारी पसंद <math>v_1</math> अंततः हमारे सभी मूल स्थिति चर पर निर्भर करता है। विशेष रूप से, वास्तविक फीडबैक-स्थिरीकरण नियंत्रण नियम का उपयोग होता हैं। | ||
: | : | ||
| Line 190: | Line 190: | ||
| {{EquationRef|3}}}} | | {{EquationRef|3}}}} | ||
: स्थिति {{math|'''x'''}} और <math>z_1</math> और कार्य <math>f_x</math> और <math>g_x</math> सिस्टम से | : स्थिति {{math|'''x'''}} और <math>z_1</math> और कार्य <math>f_x</math> और <math>g_x</math> सिस्टम से फलन <math>u_x</math> हमारे ज्ञात-स्थिर से आता है, <math>\dot{\mathbf{x}}=F(\mathbf{x})</math> उपप्रणाली के लाभ के लिए पैरामीटर <math>k_1 > 0</math> का अभिसरण करके इसकी उचित दर या हमारे सिस्टम को प्रभावित करता है। इस नियंत्रण नियम के अनुसार हमारी प्रणाली मूल में ल्यपुनोव स्थिरता <math>(\mathbf{x},z_1)=(\mathbf{0},0)</math> पायी जाती है। | ||
: याद | : याद रखें कि <math>u_1</math> समीकरण में ({{EquationNote|3}}) इंटीग्रेटर के इनपुट को चलाता है जो उपप्रणाली से जुड़ा होता है जो नियंत्रण नियम <math>u_x</math> द्वारा फीडबैक-स्थिर होता है, यहाँ पर आश्चर्य की बात नहीं हैं, क्यूंकि नियंत्रण <math>u_1</math> <math>\dot{u}_x</math> वह शब्द जिसे स्थिरीकरण नियंत्रण नियम का पालन करने के लिए एकीकृत किया जाएगा, तथा <math>\dot{u}_x</math> के साथ ही कुछ ऑफसेट भी मिल जाते हैं। इस प्रकार इसकी अन्य शर्तें उस ऑफसेट और किसी अन्य त्रुटियों के प्रभाव को हटाने के लिए डंपिंग प्रदान करती हैं जिसे इंटीग्रेटर द्वारा बढ़ाया जाएगा। | ||
इसलिए क्योंकि यह सिस्टम फीडबैक | इसलिए क्योंकि यह सिस्टम फीडबैक <math>u_1(\mathbf{x}, z_1)</math> द्वारा स्थिर है, और इसमें ल्यपुनोव फलन <math>V_1(\mathbf{x},z_1)</math> साथ <math>\dot{V}_1(\mathbf{x}, z_1) \leq -W(\mathbf{x}) < 0</math> है , इसका उपयोग किसी अन्य सिंगल-इंटीग्रेटर कैस्केड सिस्टम में ऊपरी उपप्रणाली के रूप में किया जा सकता है। | ||
=== प्रेरक उदाहरण: दो-इंटीग्रेटर बैकस्टेपिंग === | === प्रेरक उदाहरण: दो-इंटीग्रेटर बैकस्टेपिंग === | ||
| Line 206: | Line 206: | ||
| {{EquationRef|4}}}} | | {{EquationRef|4}}}} | ||
जहाँ <math>\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n</math> और <math>z_1</math> और <math>z_2</math> अदिश हैं | जहाँ <math>\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n</math> और <math>z_1</math> और <math>z_2</math> अदिश हैं, यह सिस्टम समीकरण में सिंगल-इंटीग्रेटर सिस्टम का कैस्केड कनेक्शन है, जहाँ पर समीकरण ({{EquationNote|1}}) दूसरे इंटीग्रेटर के साथ (अर्थात, इनपुट <math>u_2</math> इंटीग्रेटर के माध्यम से प्रवेश करता है, और उस इंटीग्रेटर का आउटपुट समीकरण में सिस्टम में प्रवेश करता है, इस प्रकार समीकरण ({{EquationNote|1}}) के द्वारा <math>u_1</math> इनपुट प्राप्त होता हैं। | ||
जो इस प्रकार हैं- | |||
* <math>\mathbf{y} \triangleq \begin{bmatrix} \mathbf{x} \\ z_1 \end{bmatrix}\,</math>, | * <math>\mathbf{y} \triangleq \begin{bmatrix} \mathbf{x} \\ z_1 \end{bmatrix}\,</math>, | ||
* <math>f_y(\mathbf{y}) \triangleq \begin{bmatrix} f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x}) z_1 \\ 0 \end{bmatrix}\,</math>, | * <math>f_y(\mathbf{y}) \triangleq \begin{bmatrix} f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x}) z_1 \\ 0 \end{bmatrix}\,</math>, | ||
| Line 220: | Line 220: | ||
| {{EquationRef|5}}}} | | {{EquationRef|5}}}} | ||
एकल-एकीकरणकर्ता प्रक्रिया द्वारा, नियंत्रण नियम <math>u_y(\mathbf{y}) \triangleq u_1(\mathbf{x},z_1)</math> ऊपरी भाग को स्थिर करता है <math>z_2</math>-को-{{math|'''y'''}} ल्यपुनोव फलन का उपयोग कर उपप्रणाली <math>V_1(\mathbf{x},z_1)</math>, और इसलिए समीकरण ({{EquationNote|5}}) नया सिंगल-इंटीग्रेटर सिस्टम है जो संरचनात्मक रूप से समीकरण में सिंगल-इंटीग्रेटर सिस्टम के बराबर है ({{EquationNote|1}}). तो स्थिर नियंत्रण <math>u_2</math> उसी एकल-इंटीग्रेटर प्रक्रिया का उपयोग करके पाया जा सकता है जिसका उपयोग | एकल-एकीकरणकर्ता प्रक्रिया द्वारा, नियंत्रण नियम <math>u_y(\mathbf{y}) \triangleq u_1(\mathbf{x},z_1)</math> ऊपरी भाग को स्थिर करता है, जहाँ पर <math>z_2</math>-को-{{math|'''y'''}} ल्यपुनोव फलन का उपयोग कर उपप्रणाली <math>V_1(\mathbf{x},z_1)</math>, और इसलिए समीकरण ({{EquationNote|5}}) नया सिंगल-इंटीग्रेटर सिस्टम है जो संरचनात्मक रूप से समीकरण में सिंगल-इंटीग्रेटर सिस्टम के बराबर है ({{EquationNote|1}}). तो स्थिर नियंत्रण <math>u_2</math> उसी एकल-इंटीग्रेटर प्रक्रिया का उपयोग करके पाया जा सकता है जिसका उपयोग <math>u_1</math> का मान खोजने के लिए किया गया था। | ||
===अनेक-इंटीग्रेटर बैकस्टेपिंग=== | ===अनेक-इंटीग्रेटर बैकस्टेपिंग=== | ||
दो-इंटीग्रेटर | दो-इंटीग्रेटर स्थिति में, ऊपरी सिंगल-इंटीग्रेटर उपप्रणाली को नया सिंगल-इंटीग्रेटर सिस्टम प्रदान करते हुए स्थिर किया गया था जिसे समान रूप से स्थिर किया जा सकता है। इस पुनरावर्ती प्रक्रिया को किसी भी सीमित संख्या में इंटीग्रेटर्स को संभालने के लिए बढ़ाया जा सकता है। इस प्रमाण को औपचारिक रूप से [[गणितीय प्रेरण]] के साथ सिद्ध किया जा सकता है। यहां, पहले से स्थिर मल्टीपल-इंटीग्रेटर उपप्रणाली के उपप्रणाली से स्थिर मल्टीपल-इंटीग्रेटर सिस्टम बनाया गया है। | ||
* सबसे पहले, गतिशील प्रणाली पर विचार करें | * सबसे पहले, गतिशील प्रणाली पर विचार करें | ||
::<math>\dot{\mathbf{x}} = f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x}) u_x</math> | ::<math>\dot{\mathbf{x}} = f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x}) u_x</math> | ||
:उसमें अदिश इनपुट है <math>u_x</math> और आउटपुट स्थितियाँ <math>\mathbf{x} = [x_1, x_2, \ldots, x_n]^{\text{T}} \in \mathbb{R}^n</math>. ये मान लीजिए | :उसमें अदिश इनपुट है <math>u_x</math> और आउटपुट स्थितियाँ <math>\mathbf{x} = [x_1, x_2, \ldots, x_n]^{\text{T}} \in \mathbb{R}^n</math>. ये मान लीजिए | ||
**<math>f_x(\mathbf{x}) = \mathbf{0}</math> जिससे कि शून्य-इनपुट (अर्थात, <math>u_x = 0</math>) प्रणाली मूल बिंदु पर स्थिर बिंदु | **<math>f_x(\mathbf{x}) = \mathbf{0}</math> जिससे कि शून्य-इनपुट (अर्थात, <math>u_x = 0</math>) प्रणाली मूल बिंदु पर स्थिर बिंदु <math> \mathbf{x} = \mathbf{0}\,</math> है, इस स्थिति में, उत्पत्ति को प्रणाली का संतुलन कहा जाता है। | ||
**फीडबैक नियंत्रण नियम <math>u_x(\mathbf{x})</math> प्रणाली को मूल बिंदु पर संतुलन पर स्थिर करता है। | **फीडबैक नियंत्रण नियम <math>u_x(\mathbf{x})</math> प्रणाली को मूल बिंदु पर संतुलन पर स्थिर करता है। | ||
**इस प्रणाली के अनुरूप ल्यपुनोव फलन | **इस प्रणाली के अनुरूप ल्यपुनोव फलन <math>V_x(\mathbf{x})</math> का वर्णन किया गया है। | ||
:अर्थात्, यदि आउटपुट बताता है {{math|'''x'''}} को वापस इनपुट में | :अर्थात्, यदि आउटपुट बताता है {{math|'''x'''}} को वापस इनपुट में <math>u_x</math> का मान फीड किया जाता है, इस प्रकार नियंत्रण नियम द्वारा <math>u_x(\mathbf{x})</math>, फिर आउटपुट स्थिति (और ल्यपुनोव फलन) एकल त्रुटि के बाद मूल पर लौट आती है, उदाहरण के लिए, गैर-शून्य प्रारंभिक स्थिति या तेज त्रुटि के बाद यह मान प्राप्त होता हैं। यह उपप्रणाली फीडबैक नियंत्रण नियम <math>u_x</math> द्वारा स्थिर रहता है। | ||
* इसके बाद, इंटीग्रेटर को इनपुट | * इसके बाद, इंटीग्रेटर को इनपुट <math>u_x</math> से कनेक्ट करें, जिससे कि संवर्धित सिस्टम में इनपुट होता हैं, जहाँ पर इंटीग्रेटर के लिए <math>u_1</math> और आउटपुट स्थिति के लिए {{math|'''x'''}} को परिणामी संवर्धित गतिशील प्रणाली के रूप में दर्शाते है- | ||
::<math>\begin{cases} | ::<math>\begin{cases} | ||
\dot{\mathbf{x}} = f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x}) z_1\\ | \dot{\mathbf{x}} = f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x}) z_1\\ | ||
\dot{z}_1 = u_1 | \dot{z}_1 = u_1 | ||
\end{cases}</math> | \end{cases}</math> | ||
:यह कैस्केड सिस्टम समीकरण के फॉर्म से मेल खाता है ({{EquationNote|1}}), और इसलिए सिंगल-इंटीग्रेटर बैकस्टेपिंग प्रक्रिया समीकरण में स्थिर नियंत्रण नियम | :यह कैस्केड सिस्टम समीकरण के फॉर्म से मेल खाता है ({{EquationNote|1}}), और इसलिए सिंगल-इंटीग्रेटर बैकस्टेपिंग प्रक्रिया समीकरण में स्थिर नियंत्रण नियम ({{EquationNote|3}}) की ओर ले जाती है। अर्थात यदि हम स्थितिों को फीड बैक करते हैं <math>z_1</math> और {{math|'''x'''}} निवेश करने के लिए <math>u_1</math> नियंत्रण नियम के अनुसार हमें यह समीकरण प्राप्त होता हैं- | ||
::<math>u_1(\mathbf{x},z_1)=-\frac{\partial V_x}{\partial \mathbf{x}}g_x(\mathbf{x})-k_1(z_1-u_x(\mathbf{x})) + \frac{\partial u_x}{\partial \mathbf{x}}(f_x(\mathbf{x})+g_x(\mathbf{x})z_1)</math> | ::<math>u_1(\mathbf{x},z_1)=-\frac{\partial V_x}{\partial \mathbf{x}}g_x(\mathbf{x})-k_1(z_1-u_x(\mathbf{x})) + \frac{\partial u_x}{\partial \mathbf{x}}(f_x(\mathbf{x})+g_x(\mathbf{x})z_1)</math> | ||
: लाभ के साथ <math>k_1 > 0</math>, फिर स्थिति <math>z_1</math> और {{math|'''x'''}} पर वापस आ जाएगा <math>z_1 = 0</math> और <math> \mathbf{x}=\mathbf{0}\,</math> ही | : इस कारण लाभ के साथ <math>k_1 > 0</math>, फिर स्थिति <math>z_1</math> और {{math|'''x'''}} पर वापस आ जाएगा <math>z_1 = 0</math> और <math> \mathbf{x}=\mathbf{0}\,</math> ही इस उपप्रणाली के फीडबैक नियंत्रण नियम <math>u_1</math> द्वारा स्थिर होती है, और समीकरण से संबंधित ल्यपुनोव फलन ({{EquationNote|2}}) के रूप में दर्शाते हैं- | ||
::<math>V_1(\mathbf{x},z_1) = V_x(\mathbf{x}) + \frac{1}{2}( z_1 - u_x(\mathbf{x}) )^2</math> | ::<math>V_1(\mathbf{x},z_1) = V_x(\mathbf{x}) + \frac{1}{2}( z_1 - u_x(\mathbf{x}) )^2</math> | ||
:अर्थात, फीडबैक नियंत्रण नियम के | :अर्थात, फीडबैक नियंत्रण नियम के अनुसार <math>u_1</math>, ल्यपुनोव फलन <math>V_1</math> जैसे-जैसे अवस्थाएँ मूल में लौटती हैं, जो बाद में शून्य हो जाती है। | ||
* इनपुट के लिए नया इंटीग्रेटर | * इनपुट के लिए नया इंटीग्रेटर <math>u_1</math>कनेक्ट करते हैं, जिससे कि संवर्धित सिस्टम में इनपुट हो <math>u_2</math> और आउटपुट स्थितियाँ {{math|'''x'''}}. परिणामी संवर्धित गतिशील प्रणाली है | ||
::<math>\begin{cases} | ::<math>\begin{cases} | ||
\dot{\mathbf{x}} = f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x}) z_1\\ | \dot{\mathbf{x}} = f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x}) z_1\\ | ||
| Line 251: | Line 251: | ||
\dot{z}_2 = u_2 | \dot{z}_2 = u_2 | ||
\end{cases}</math> | \end{cases}</math> | ||
:जो सिंगल-इंटीग्रेटर सिस्टम के | :जो सिंगल-इंटीग्रेटर सिस्टम के समान होता है। | ||
::<math>\begin{cases} | ::<math>\begin{cases} | ||
\overbrace{ \begin{bmatrix} \dot{\mathbf{x}}\\ \dot{z}_1 \end{bmatrix} }^{\triangleq \, \dot{\mathbf{x}}_1} | \overbrace{ \begin{bmatrix} \dot{\mathbf{x}}\\ \dot{z}_1 \end{bmatrix} }^{\triangleq \, \dot{\mathbf{x}}_1} | ||
| Line 260: | Line 260: | ||
\dot{z}_2 = u_2 | \dot{z}_2 = u_2 | ||
\end{cases}</math> | \end{cases}</math> | ||
: | :<math>\mathbf{x}_1</math>, <math>f_1</math>, और <math>g_1</math> के आधार पर इन परिभाषाओं का उपयोग करना, जिसके लिए इस प्रकार की प्रणाली को इस प्रकार भी व्यक्त किया जा सकता है | ||
::<math>\begin{cases} | ::<math>\begin{cases} | ||
\dot{\mathbf{x}}_1 = f_1(\mathbf{x}_1) + g_1(\mathbf{x}_1) z_2 &\qquad \text{ ( by Lyapunov function } V_1, \text{ subsystem stabilized by } u_1(\textbf{x}_1) \text{ )}\\ | \dot{\mathbf{x}}_1 = f_1(\mathbf{x}_1) + g_1(\mathbf{x}_1) z_2 &\qquad \text{ ( by Lyapunov function } V_1, \text{ subsystem stabilized by } u_1(\textbf{x}_1) \text{ )}\\ | ||
\dot{z}_2 = u_2 | \dot{z}_2 = u_2 | ||
\end{cases}</math> | \end{cases}</math> | ||
:यह प्रणाली समीकरण की एकल-एकीकृत संरचना | :यह प्रणाली समीकरण की एकल-एकीकृत संरचना {{EquationNote|1}}) से मेल खाती है। और इसलिए सिंगल-इंटीग्रेटर बैकस्टेपिंग प्रक्रिया को फिर से लागू किया जा सकता है। अर्थात, यदि हम स्थितिों को फीड बैक करते हैं <math>z_1</math>, <math>z_2</math>, और {{math|'''x'''}} निवेश करने के लिए <math>u_2</math> नियंत्रण नियम के अनुसार हमें यह समीकरण प्राप्त होता हैं। | ||
::<math>u_2(\mathbf{x},z_1,z_2)=-\frac{\partial V_1}{\partial \mathbf{x}_1 } g_1(\mathbf{x}_1)-k_2(z_2-u_1(\mathbf{x}_1)) + \frac{\partial u_1}{\partial \mathbf{x}_1}(f_1(\mathbf{x}_1)+g_1(\mathbf{x}_1)z_2)</math> | ::<math>u_2(\mathbf{x},z_1,z_2)=-\frac{\partial V_1}{\partial \mathbf{x}_1 } g_1(\mathbf{x}_1)-k_2(z_2-u_1(\mathbf{x}_1)) + \frac{\partial u_1}{\partial \mathbf{x}_1}(f_1(\mathbf{x}_1)+g_1(\mathbf{x}_1)z_2)</math> | ||
:लाभ के साथ <math>k_2 > 0</math>, फिर स्थिति <math>z_1</math>, <math>z_2</math>, और {{math|'''x'''}} पर वापस आ जाएगा <math>z_1 = 0</math>, <math>z_2 = 0</math>, और <math> \mathbf{x}=\mathbf{0}\,</math> ही | :लाभ के साथ <math>k_2 > 0</math>, फिर स्थिति <math>z_1</math>, <math>z_2</math>, और {{math|'''x'''}} पर वापस आ जाएगा <math>z_1 = 0</math>, <math>z_2 = 0</math>, और <math> \mathbf{x}=\mathbf{0}\,</math> ही इस उपप्रणाली के फीडबैक नियंत्रण नियम <math>u_2</math> द्वारा स्थिर रहती है, और संबंधित ल्यपुनोव फलन है | ||
::<math>V_2(\mathbf{x},z_1,z_2) = V_1(\mathbf{x}_1) + \frac{1}{2}( z_2 - u_1(\mathbf{x}_1) )^2</math> | ::<math>V_2(\mathbf{x},z_1,z_2) = V_1(\mathbf{x}_1) + \frac{1}{2}( z_2 - u_1(\mathbf{x}_1) )^2</math> | ||
:अर्थात, फीडबैक नियंत्रण नियम के तहत <math>u_2</math>, ल्यपुनोव फलन <math>V_2</math> जैसे-जैसे अवस्थाएँ मूल में लौटती हैं, शून्य हो जाती है। | :अर्थात, फीडबैक नियंत्रण नियम के तहत <math>u_2</math>, ल्यपुनोव फलन <math>V_2</math> जैसे-जैसे अवस्थाएँ मूल में लौटती हैं, शून्य हो जाती है। | ||
| Line 287: | Line 287: | ||
\dot{z}_3 = u_3 | \dot{z}_3 = u_3 | ||
\end{cases}</math> | \end{cases}</math> | ||
: | :इस परिभाषा के अनुसार <math>\mathbf{x}_1</math>, <math>f_1</math>, और <math>g_1</math> पिछले चरण से, इस प्रणाली का भी प्रतिनिधित्व किया जाता है | ||
::<math>\begin{cases} | ::<math>\begin{cases} | ||
\overbrace{ \begin{bmatrix} \dot{\mathbf{x}}_1\\ \dot{z}_2 \end{bmatrix} }^{\dot{\mathbf{x}}_2} | \overbrace{ \begin{bmatrix} \dot{\mathbf{x}}_1\\ \dot{z}_2 \end{bmatrix} }^{\dot{\mathbf{x}}_2} | ||
| Line 301: | Line 301: | ||
\dot{z}_3 = u_3 | \dot{z}_3 = u_3 | ||
\end{cases}</math> | \end{cases}</math> | ||
:तो पुनः समूहित प्रणाली में समीकरण की एकल-एकीकृत संरचना है ({{EquationNote|1}}), और इसलिए सिंगल-इंटीग्रेटर बैकस्टेपिंग प्रक्रिया को फिर से लागू किया जा सकता है। अर्थात, | |||