बैकस्टेपिंग: Difference between revisions
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::<math>\dot{V}_x=\frac{\partial V_x}{\partial \mathbf{x}}(f_x(\mathbf{x})+g_x(\mathbf{x})u_x(\mathbf{x})) \leq - W(\mathbf{x})</math> | ::<math>\dot{V}_x=\frac{\partial V_x}{\partial \mathbf{x}}(f_x(\mathbf{x})+g_x(\mathbf{x})u_x(\mathbf{x})) \leq - W(\mathbf{x})</math> | ||
:जहाँ <math>W(\mathbf{x})</math> [[सकारात्मक-निश्चित कार्य]] है। अर्थात, हम मानते हैं कि हम पहले ही दिखा चुके हैं कि यह वर्तमान समय के लिए {{math|'''x'''}} सरल है, इसके आधार पर उपप्रणाली ल्यपुनोव स्थिरता है, इस प्रकार स्थिर (ल्यपुनोव ''' | :जहाँ <math>W(\mathbf{x})</math> [[सकारात्मक-निश्चित कार्य|धनात्मक-निश्चित कार्य]] है। अर्थात, हम मानते हैं कि हम पहले ही दिखा चुके हैं कि यह वर्तमान समय के लिए {{math|'''x'''}} सरल है, इसके आधार पर उपप्रणाली ल्यपुनोव स्थिरता है, इस प्रकार स्थिर (ल्यपुनोव के '''अर्थ में)। मोटे तौर पर, स्थिरता की इस धारणा का अर्थ है कि:''' | ||
** | ** फलन <math>V_x</math> की सामान्यीकृत ऊर्जा के समान है {{math|'''x'''}} उपप्रणाली. के रूप में {{math|'''x'''}} सिस्टम की अवस्थाएँ मूल, ऊर्जा से दूर चली जाती हैं <math>V_x(\mathbf{x})</math> भी बढ़ता है. | ||
** समय के साथ यह दिखाकर, ऊर्जा <math>V_x(\mathbf{x}(t))</math> शून्य हो जाता है, फिर {{math|'''x'''}} स्थितिों की ओर क्षय होना चाहिए <math> \mathbf{x}=\mathbf{0}\,</math>. अर्थात् उत्पत्ति <math> \mathbf{x}=\mathbf{0}\,</math> प्रणाली का स्थिर संतुलन होगा - the {{math|'''x'''}} जैसे-जैसे समय बढ़ेगा, स्थिति लगातार मूल के करीब पहुंचेंगे। | ** समय के साथ यह दिखाकर, ऊर्जा <math>V_x(\mathbf{x}(t))</math> शून्य हो जाता है, फिर {{math|'''x'''}} स्थितिों की ओर क्षय होना चाहिए <math> \mathbf{x}=\mathbf{0}\,</math>. अर्थात् उत्पत्ति <math> \mathbf{x}=\mathbf{0}\,</math> प्रणाली का स्थिर संतुलन होगा - the {{math|'''x'''}} जैसे-जैसे समय बढ़ेगा, स्थिति लगातार मूल के करीब पहुंचेंगे। | ||
** यह कहते हुए कि <math>W(\mathbf{x})</math> | ** यह कहते हुए कि <math>W(\mathbf{x})</math> धनात्मक निश्चित का मतलब है कि <math>W(\mathbf{x}) > 0</math> को छोड़कर हर जगह <math> \mathbf{x}=\mathbf{0}\,</math>, और <math>W(\mathbf{0})=0</math>. | ||
** यह कथन <math>\dot{V}_x \leq -W(\mathbf{x})</math> मतलब कि <math>\dot{V}_x</math> को छोड़कर सभी बिंदुओं के लिए शून्य से दूर सीमाबद्ध है <math> \mathbf{x} = \mathbf{0}\,</math>. अर्थात्, जब तक प्रणाली मूल पर अपने संतुलन पर नहीं है, तब तक इसकी ऊर्जा कम होती रहेगी। | ** यह कथन <math>\dot{V}_x \leq -W(\mathbf{x})</math> मतलब कि <math>\dot{V}_x</math> को छोड़कर सभी बिंदुओं के लिए शून्य से दूर सीमाबद्ध है <math> \mathbf{x} = \mathbf{0}\,</math>. अर्थात्, जब तक प्रणाली मूल पर अपने संतुलन पर नहीं है, तब तक इसकी ऊर्जा कम होती रहेगी। | ||
** चूँकि ऊर्जा का सदैव क्षय होता रहता है, तो प्रणाली स्थिर होनी चाहिए; इसके प्रक्षेप पथ को मूल बिंदु तक पहुंचना चाहिए। | ** चूँकि ऊर्जा का सदैव क्षय होता रहता है, तो प्रणाली स्थिर होनी चाहिए; इसके प्रक्षेप पथ को मूल बिंदु तक पहुंचना चाहिए। | ||
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: हम नए नियंत्रण के माध्यम से फीडबैक द्वारा इस त्रुटि प्रणाली को स्थिर करना चाहते हैं <math>v_1</math>. सिस्टम को स्थिर करके <math>e_1 = 0</math>, स्थिति <math>z_1</math> वांछित नियंत्रण को ट्रैक करेगा <math>u_x</math> जिसके परिणामस्वरूप आंतरिक स्थिरता आएगी {{math|'''x'''}} उपप्रणाली. | : हम नए नियंत्रण के माध्यम से फीडबैक द्वारा इस त्रुटि प्रणाली को स्थिर करना चाहते हैं <math>v_1</math>. सिस्टम को स्थिर करके <math>e_1 = 0</math>, स्थिति <math>z_1</math> वांछित नियंत्रण को ट्रैक करेगा <math>u_x</math> जिसके परिणामस्वरूप आंतरिक स्थिरता आएगी {{math|'''x'''}} उपप्रणाली. | ||
* हमारे | * हमारे उपस्थिता ल्यपुनोव फलन से <math>V_x</math>, हम संवर्धित ल्यपुनोव फलन उम्मीदवार को परिभाषित करते हैं | ||
::<math>V_1(\mathbf{x}, e_1) \triangleq V_x(\mathbf{x}) + \frac{1}{2} e_1^2</math> | ::<math>V_1(\mathbf{x}, e_1) \triangleq V_x(\mathbf{x}) + \frac{1}{2} e_1^2</math> | ||
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| {{EquationRef|3}}}} | | {{EquationRef|3}}}} | ||
: स्थिति {{math|'''x'''}} और <math>z_1</math> और कार्य <math>f_x</math> और <math>g_x</math> सिस्टम से आओ. | : स्थिति {{math|'''x'''}} और <math>z_1</math> और कार्य <math>f_x</math> और <math>g_x</math> सिस्टम से आओ. फलन <math>u_x</math> हमारे ज्ञात-स्थिर से आता है <math>\dot{\mathbf{x}}=F(\mathbf{x})</math> उपप्रणाली. लाभ पैरामीटर <math>k_1 > 0</math> अभिसरण दर या हमारे सिस्टम को प्रभावित करता है। इस नियंत्रण नियम के तहत, हमारी प्रणाली मूल में ल्यपुनोव स्थिरता है <math>(\mathbf{x},z_1)=(\mathbf{0},0)</math>. | ||
: याद करें कि <math>u_1</math> समीकरण में ({{EquationNote|3}}) इंटीग्रेटर के इनपुट को चलाता है जो उपप्रणाली से जुड़ा होता है जो नियंत्रण नियम द्वारा फीडबैक-स्थिर होता है <math>u_x</math>. आश्चर्य की बात नहीं, नियंत्रण <math>u_1</math> <math>\dot{u}_x</math> वह शब्द जिसे स्थिरीकरण नियंत्रण नियम का पालन करने के लिए एकीकृत किया जाएगा <math>\dot{u}_x</math> साथ ही कुछ ऑफसेट भी। अन्य शर्तें उस ऑफसेट और किसी अन्य गड़बड़ी प्रभाव को हटाने के लिए डंपिंग प्रदान करती हैं जिसे इंटीग्रेटर द्वारा बढ़ाया जाएगा। | : याद करें कि <math>u_1</math> समीकरण में ({{EquationNote|3}}) इंटीग्रेटर के इनपुट को चलाता है जो उपप्रणाली से जुड़ा होता है जो नियंत्रण नियम द्वारा फीडबैक-स्थिर होता है <math>u_x</math>. आश्चर्य की बात नहीं, नियंत्रण <math>u_1</math> <math>\dot{u}_x</math> वह शब्द जिसे स्थिरीकरण नियंत्रण नियम का पालन करने के लिए एकीकृत किया जाएगा <math>\dot{u}_x</math> साथ ही कुछ ऑफसेट भी। अन्य शर्तें उस ऑफसेट और किसी अन्य गड़बड़ी प्रभाव को हटाने के लिए डंपिंग प्रदान करती हैं जिसे इंटीग्रेटर द्वारा बढ़ाया जाएगा। | ||
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=== प्रेरक उदाहरण: दो-इंटीग्रेटर बैकस्टेपिंग === | === प्रेरक उदाहरण: दो-इंटीग्रेटर बैकस्टेपिंग === | ||
सामान्य मल्टीपल-इंटीग्रेटर केस के लिए पुनरावर्ती प्रक्रिया पर चर्चा करने से पहले, दो-इंटीग्रेटर मामले में | सामान्य मल्टीपल-इंटीग्रेटर केस के लिए पुनरावर्ती प्रक्रिया पर चर्चा करने से पहले, दो-इंटीग्रेटर मामले में उपस्थित रिकर्सन का अध्ययन करना शिक्षाप्रद है। अर्थात् गतिशील प्रणाली पर विचार करें | ||
{{NumBlk|:|<math>\begin{cases} | {{NumBlk|:|<math>\begin{cases} | ||
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* <math>z_1</math> और <math>u_1</math> अदिश (गणित) हैं, | * <math>z_1</math> और <math>u_1</math> अदिश (गणित) हैं, | ||
* सभी के लिए {{math|'''x'''}} और <math>z_1</math>, <math>g_1(\mathbf{x},z_1) \neq 0</math>. | * सभी के लिए {{math|'''x'''}} और <math>z_1</math>, <math>g_1(\mathbf{x},z_1) \neq 0</math>. | ||
फीडबैक-स्थिरीकरण नियंत्रण को डिज़ाइन करने के | फीडबैक-स्थिरीकरण नियंत्रण को डिज़ाइन करने के अतिरिक्त <math>u_1</math> सीधे, नया नियंत्रण पेश करें <math>u_{a1}</math> (बाद में डिज़ाइन किया जाएगा) और नियंत्रण नियम का उपयोग करें | ||
:<math>u_1( \mathbf{x}, z_1 ) | :<math>u_1( \mathbf{x}, z_1 ) | ||
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Revision as of 23:18, 5 October 2023
नियंत्रण सिद्धांत में, बैकस्टेपिंग ऐसी तकनीक है, जिसे लगभग 1990 में पेटार वी. कोकोटोविक और अन्य सहयोगियों द्वारा विकसित किया गया है।[1][2] अरेखीय प्रणाली गतिशील प्रणाली के विशेष वर्ग के लिए ल्यपुनोव स्थिरता नियंत्रण को डिजाइन करने के लिए बनाया गया हैं। ये प्रणालियाँ उन उपप्रणालियों से निर्मित होती हैं, जो अपरिवर्तनीय उपप्रणाली से निकलती हैं, जिन्हें किसी अन्य विधि का उपयोग करके स्थिर किया जा सकता है। इस प्रत्यावर्तन संरचना के कारण, डिज़ाइनर ज्ञात-स्थिर प्रणालियों पर डिज़ाइन प्रक्रिया प्रारंभ कर सकता है, और इसके लिए नए नियंत्रकों को वापस ले सकता है, जो प्रत्येक बाहरी उपप्रणाली को उत्तरोत्तर स्थिर करते हैं। अंतिम बाह्य नियंत्रण पर पहुँचने पर प्रक्रिया समाप्त हो जाती है। इसलिए इस प्रक्रिया को बैकस्टेपिंग के रूप में जाना जाता है।[3]
बैकस्टेपिंग दृष्टिकोण
बैकस्टेपिंग दृष्टिकोण मुख्य रूप से सख्त प्रतिक्रिया रूप में प्रणाली की उत्पत्ति (गणित) की ल्यपुनोव स्थिरता के लिए रिकर्सन विधि प्रदान करता है। प्रपत्र की गतिशील प्रणाली पर विचार करें[3]
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