सम्मिश्रता

For एक वास्तविक लाइ समूह की जटिलता, see जटिलता (लाइ समूह).

गणित में वास्तविक संख्या (एक "वास्तविक सदिश स्पेस") के क्षेत्र में सदिश स्पेस V का जटिलीकरण सम्मिश्र संख्या क्षेत्र (गणित) पर एक सदिश स्पेस V^C उत्पन्न करता है, जो औपचारिक रूप से सम्मिश्र संख्याओं द्वारा उनके स्केलिंग (गुणन) को सम्मिलित करने के लिए वास्तविक संख्याओं द्वारा सदिशों के स्केलिंग का विस्तार करके प्राप्त किया जाता है। V के लिए कोई आधार (रैखिक बीजगणित) (वास्तविक संख्याओं पर एक स्पेस) सम्मिश्र संख्याओं पर V^C के आधार के रूप में भी काम कर सकता है।

औपचारिक परिभाषा

मान लीजिए कि $V$ एक वास्तविक सदिश समष्टि है। V की जटिलता को जटिल संख्याओं (वास्तविकताओं पर 2-आयामी सदिश स्पेस के रूप में माना जाता है) के साथ $V$ के टेंसर उत्पाद को ले कर परिभाषित किया गया है:

$V^{\mathbb {C} }=V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \,.$

टेंसर उत्पाद पर सबस्क्रिप्ट, $\mathbb {R}$ निरुपित करता है कि टेंसर उत्पाद को वास्तविक संख्याओं (चूंकि $V$ वास्तविक सदिश स्पेस है वैसे भी यह एकमात्र समझदार विकल्प है, इसलिए सबस्क्रिप्ट को सुरक्षित रूप से छोड़ा जा सकता है) पर ले लिया गया है। जैसा यह प्रतीक होता है, $V^{\mathbb {C} }$ केवल वास्तविक सदिश स्पेस है। चूँकि, हम जटिल गुणन को निम्नानुसार परिभाषित करके $V^{\mathbb {C} }$ को एक जटिल सदिश स्पेस बना सकते हैं:

$\alpha (v\otimes \beta )=v\otimes (\alpha \beta )\qquad {\mbox{ for all }}v\in V{\mbox{ and }}\alpha ,\beta \in \mathbb {C} .$

सामान्यतः, जटिलीकरण अदिशों के विस्तार का उदाहरण है - जो अदिशों को वास्तविक संख्याओं से सम्मिश्र संख्याओं तक विस्तारित करता है - जो कि किसी भी क्षेत्र विस्तार के लिए किया जा सकता है, या वास्तव में वलयों के किसी भी आकारिकी के लिए किया जा सकता है।

औपचारिक रूप से, जटिलता वास्तविक सदिश रिक्त स्पेस की श्रेणी से जटिल सदिश रिक्त स्पेस की श्रेणी में एक कार्यात्मक Vect_R → Vect_C है। यह आसन्न फ़ैक्टर है - विशेष रूप से बाएं आसन्न - फॉरगेटफुल फ़ैक्टर Vect_C → Vect_R के लिए जो जटिल संरचना को भूल जाता है।

एक जटिल सदिश स्पेस $V$ की जटिल संरचना को भूल जाने को विसंकुलीकरण (या कभी-कभी "प्राप्ति") कहा जाता है। आधार $e_{\mu }$ के साथ एक जटिल सदिश स्पेस $V$ का अपघटन, अदिशों के जटिल गुणन की संभावना को हटा देता है, इस प्रकार आधार $\{e_{\mu },ie_{\mu }\}$ के साथ दो बार आयाम का एक वास्तविक सदिश स्पेस $W_{\mathbb {R} }$ उत्पन्न करता है।

मूल गुण

टेंसर उत्पाद की प्रकृति से, V^C में प्रत्येक सदिश v को विशिष्ट रूप से

$v=v_{1}\otimes 1+v_{2}\otimes i$

के रूप में लिखा जा सकता है जहां v₁ और v₂ V में सदिश हैं। टेंसर उत्पाद प्रतीक को छोड़ना और लिखना सामान्य बात है

$v=v_{1}+iv_{2}.\,$

सम्मिश्र संख्या से गुणा a + i b तब सामान्य नियम द्वारा दिया जाता है

$(a+ib)(v_{1}+iv_{2})=(av_{1}-bv_{2})+i(bv_{1}+av_{2}).\,$

इसके बाद हम V^C को V:

$V^{\mathbb {C} }\cong V\oplus iV$

की दो प्रतियों के प्रत्यक्ष योग के रूप में जटिल संख्याओं से गुणा करने के उपरोक्त नियम के साथ मान सकते हैं।

$v\mapsto v\otimes 1$ द्वारा दिए गए V^C में V का एक प्राकृतिक एम्बेडिंग है।

सदिश स्पेस V को तब V^C की वास्तविक रैखिक उपसमष्टि के रूप में माना जा सकता है। यदि V का आधार { e_i } (क्षेत्र R पर) है तो V^C के लिए संबंधित आधार क्षेत्र C पर { e_i ⊗ 1 } द्वारा दिया जाता है। इसलिए V^C का जटिल आयाम (रैखिक बीजगणित) V के वास्तविक आयाम के बराबर है:

$\dim _{\mathbb {C} }V^{\mathbb {C} }=\dim _{\mathbb {R} }V.$

वैकल्पिक रूप से, टेंसर उत्पादों का उपयोग करने के अतिरिक्त, इस प्रत्यक्ष योग का उपयोग जटिलता की परिभाषा के रूप में किया जा सकता है:

$V^{\mathbb {C} }:=V\oplus V,$

जहाँ $V^{\mathbb {C} }$ को $J(v,w):=(-w,v),$ के रूप में परिभाषित ऑपरेटर J द्वारा एक रैखिक जटिल संरचना दी गई है, जहाँ J "गुणन i द्वारा" के संचालन को कूटबद्ध करता है। आव्यूह रूप में, J द्वारा दिया गया है:

$J={\begin{bmatrix}0&-I_{V}\\I_{V}&0\end{bmatrix}}.$

यह समान स्पेस उत्पन्न करता है - रैखिक जटिल संरचना वाला वास्तविक सदिश स्पेस जटिल सदिश स्पेस के समान डेटा है - चूंकि यह अंतरिक्ष को अलग विधि से बनाता है। इसलिए, $V^{\mathbb {C} }$ को $V\oplus JV$ या $V\oplus iV$ के रूप में लिखा जा सकता है जो V को पहले प्रत्यक्ष योग के साथ पहचानता है। यह दृष्टिकोण अधिक ठोस है, और इसमें तकनीकी रूप से सम्मिलित टेंसर उत्पाद के उपयोग से बचने का लाभ है, किन्तु यह तदर्थ है।

उदाहरण

• वास्तविक समन्वय स्पेस Rⁿ की जटिलता जटिल समन्वय स्पेस Cⁿ है।
• इसी प्रकार, यदि V में वास्तविक प्रविष्टियों के साथ m×n आव्यूह (गणित) होते हैं, तो V^C में जटिल प्रविष्टियों के साथ m×n आव्यूह सम्मिलित होंगे।

डिकसन दोहरीकरण

Main article: केली-डिक्सन निर्माण

लियोनार्ड डिक्सन सहित बीसवीं शताब्दी के गणितज्ञों द्वारा R को C तक जाने की जटिलता की प्रक्रिया को सारगर्भित किया गया था। एक पहचान क्षेत्रण x* = x को R पर एक तुच्छ इनवोल्यूशन के रूप में उपयोग करने के साथ प्रारंभ होता है। R की अगली दो प्रतियों का उपयोग z = (a , b) बनाने के लिए किया जाता है, जिसमें इनवोल्यूशन z* = (a, −b) के रूप में प्रस्तुत जटिल संयुग्मन होता है। दो तत्व w और z दोगुने सेट में से गुणा करें