पॉसों वितरण: Difference between revisions

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=== अनंत समय-चरणों के साथ द्विपद वितरण के रूप में ===
=== अनंत समय-चरणों के साथ द्विपद वितरण के रूप में ===
पॉइसन वितरण को द्विपद वितरण के लिए सीमित स्थितियों के रूप में प्राप्त किया जा सकता है क्योंकि परीक्षणों की संख्या अनंत हो जाती है और सफलताओं की अपेक्षित मूल्य संख्या निश्चित रहती है - नीचे दुर्लभ घटनाओं का यानियम देखें। इसलिए, इसका उपयोग द्विपद वितरण के सन्निकटन के रूप में किया जा सकता है यदि {{mvar|n}} पर्याप्त रूप से बड़ा है और p पर्याप्त रूप से छोटा है। पॉइसन वितरण द्विपद वितरण का अच्छा सन्निकटन है यदि {{mvar|n}} कम से कम 20 है और पी 0.05 से छोटा या उसके समान है, और उत्कृष्ट सन्निकटन है यदि {{mvar|n}} ≥ 100 और {{mvar|n p}} ≤ 10.{{r|NIST2006}} <math display="block">F_\mathrm{Binomial}(k;n, p) \approx F_\mathrm{Poisson}(k;\lambda=np)</math>
पॉइसन वितरण को द्विपद वितरण के लिए सीमित स्थितियों के रूप में प्राप्त किया जा सकता है क्योंकि परीक्षणों की संख्या अनंत हो जाती है और सफलताओं की अपेक्षित मूल्य संख्या निश्चित रहती है - नीचे दुर्लभ घटनाओं का नियम देखें। इसलिए, इसका उपयोग द्विपद वितरण के सन्निकटन के रूप में किया जा सकता है यदि {{mvar|n}} पर्याप्त रूप से बड़ा है और p पर्याप्त रूप से छोटा है। यदि n कम से कम 20 है और p 0.05 से छोटा या उसके समान है, तो पॉइसन वितरण द्विपद वितरण का एक अच्छा सन्निकटन है, और यदि {{mvar|n}} ≥ 100 और {{mvar|n p}} ≤ 10 है तो एक उत्कृष्ट सन्निकटन है।{{r|NIST2006}} <math display="block">F_\mathrm{Binomial}(k;n, p) \approx F_\mathrm{Poisson}(k;\lambda=np)</math>
 
 
===सामान्य===
===सामान्य===
* यदि <math>X_1 \sim \mathrm{Pois}(\lambda_1)\,</math> और <math>X_2 \sim \mathrm{Pois}(\lambda_2)\,</math> स्वतंत्र हैं, फिर फर्क <math> Y = X_1 - X_2</math> [[स्केलम वितरण]] का अनुसरण करता है।
* यदि <math>X_1 \sim \mathrm{Pois}(\lambda_1)\,</math> और <math>X_2 \sim \mathrm{Pois}(\lambda_2)\,</math> स्वतंत्र हैं, फिर अंतर <math> Y = X_1 - X_2</math> [[स्केलम वितरण]] का अनुसरण करता है।
* यदि <math>X_1 \sim \mathrm{Pois}(\lambda_1)\,</math> और <math>X_2 \sim \mathrm{Pois}(\lambda_2)\,</math> स्वतंत्र हैं, तब का वितरण <math>X_1</math> सशर्त <math>X_1+X_2</math> द्विपद वितरण है. विशेष रूप से, यदि <math>X_1+X_2=k,</math> तब <math>X_1| X_1+X_2=k\sim \mathrm{Binom}(k, \lambda_1/(\lambda_1+\lambda_2)).</math> अधिक सामान्यतः, यदि X<sub>1</sub>, एक्स<sub>2</sub>, ..., एक्स<sub>{{mvar|n}}</sub> मापदंडों के साथ स्वतंत्र पॉइसन यादृच्छिक चर हैं {{mvar|λ}}<sub>1</sub>, {{mvar|λ}}<sub>2</sub>, ..., {{mvar|λ}}<sub>{{mvar|n}}</sub> तब
*यदि <math>X_1 \sim \mathrm{Pois}(\lambda_1)\,</math> और <math>X_2 \sim \mathrm{Pois}(\lambda_2)\,</math>स्वतंत्र हैं, तब <math>X_1+X_2</math> पर सशर्त <math>X_1</math> का वितरण एक द्विपद वितरण है।
* विशेष रूप से, यदि <math>X_1+X_2=k,</math> तब <math>X_1| X_1+X_2=k\sim \mathrm{Binom}(k, \lambda_1/(\lambda_1+\lambda_2)).</math> अधिक सामान्यतः, यदि ''X''<sub>1</sub>, ''X''<sub>2</sub>, ..., ''X''<sub>n</sub> मापदंडों के साथ स्वतंत्र पॉइसन यादृच्छिक चर हैं {{mvar|λ}}<sub>1</sub>, {{mvar|λ}}<sub>2</sub>, ..., {{mvar|λ}}<sub>{{mvar|n}}</sub> तब
*: दिया गया <math>\sum_{j=1}^n X_j=k,</math> यह इस प्रकार है कि <math>X_i\Big|\sum_{j=1}^n X_j=k \sim \mathrm{Binom}\left(k, \frac{\lambda_i}{\sum_{j=1}^n \lambda_j}\right).</math> वास्तव में, <math>\{X_i\} \sim \mathrm{Multinom}\left(k, \left\{\frac{\lambda_i}{\sum_{j=1}^n\lambda_j}\right\}\right).</math>
*: दिया गया <math>\sum_{j=1}^n X_j=k,</math> यह इस प्रकार है कि <math>X_i\Big|\sum_{j=1}^n X_j=k \sim \mathrm{Binom}\left(k, \frac{\lambda_i}{\sum_{j=1}^n \lambda_j}\right).</math> वास्तव में, <math>\{X_i\} \sim \mathrm{Multinom}\left(k, \left\{\frac{\lambda_i}{\sum_{j=1}^n\lambda_j}\right\}\right).</math>
* यदि <math>X \sim \mathrm{Pois}(\lambda)\,</math> और का वितरण <math>Y</math> X= पर सशर्त{{mvar|k}} द्विपद वितरण है, <math>Y \mid (X = k) \sim \mathrm{Binom}(k, p),</math> तब Y का वितरण पॉइसन वितरण का अनुसरण करता है <math>Y \sim \mathrm{Pois}(\lambda \cdot p).</math> वास्तव में, यदि, सशर्त पर <math>\{X = k\},</math> <math>\{Y_i\}</math> [[बहुपद वितरण]] का अनुसरण करता है, <math>\{Y_i\} \mid (X = k) \sim \mathrm{Multinom}\left(k, p_i\right),</math> फिर प्रत्येक <math>Y_i</math> स्वतंत्र पॉइसन वितरण का अनुसरण करता है <math>Y_i \sim \mathrm{Pois}(\lambda \cdot p_i), \rho(Y_i, Y_j) = 0.</math>
*यदि <math>X \sim \mathrm{Pois}(\lambda)\,</math>और <math>Y</math> का वितरण एक द्विपद वितरण है,  X={{mvar|k}} तो Y का वितरण एक पॉइसन वितरण का अनुसरण करता है <math>Y \mid (X = k) \sim \mathrm{Binom}(k, p),</math> वास्तव में, यदि, <math>Y \sim \mathrm{Pois}(\lambda \cdot p).</math> <math>\{X = k\},</math> <math>\{Y_i\}</math> पर सशर्त एक बहुपद वितरण का अनुसरण करता है, <math>\{Y_i\} \mid (X = k) \sim \mathrm{Multinom}\left(k, p_i\right),</math> तो प्रत्येक <math>Y_i</math> एक स्वतंत्र पॉइसन वितरण का अनुसरण करता है <math>Y_i \sim \mathrm{Pois}(\lambda \cdot p_i), \rho(Y_i, Y_j) = 0.</math>
* पॉइसन वितरण केवल पैरामीटर के साथ असतत यौगिक पॉइसन वितरण (या हकलाना पॉइसन वितरण) का [[विशेष मामला|विशेष स्थितिया]] है।{{r|Zhang2013|Zhang2016}} असतत [[यौगिक पॉइसन वितरण]] को अविभाज्य बहुपद वितरण के सीमित वितरण से निकाला जा सकता है। यह यौगिक पॉइसन वितरण भी हैयायौगिक पॉइसन वितरण के विशेष स्थितियों।
* पॉइसन वितरण केवल पैरामीटर के साथ असतत यौगिक पॉइसन वितरण (या स्तूट्रिंग पॉइसन वितरण) का [[विशेष मामला|विशेष स्थितिया]] है।{{r|Zhang2013|Zhang2016}} असतत [[यौगिक पॉइसन वितरण]] को अविभाज्य बहुपद वितरण के सीमित वितरण से निकाला जा सकता है। यह यौगिक पॉइसन वितरण के विशेष स्थितियों हैं।
* पर्याप्त रूप से बड़े मूल्यों के लिए {{mvar|λ}}, (कहना {{mvar|λ}}>1000), माध्य के साथ [[सामान्य वितरण]] {{mvar|λ}} और विचरण {{mvar|λ}} (मानक विचलन <math>\sqrt{\lambda}</math>) पॉइसन वितरण का उत्कृष्ट सन्निकटन है। यदि {{mvar|λ}} लगभग 10 से अधिक है, तब यदि उचित [[निरंतरता सुधार]] किया जाता है, तब सामान्य वितरण अच्छा अनुमान है, अर्थात, यदि {{math|P(''X'' ≤ ''x'')}}, जहां x गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है, द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है {{math|P(''X'' ≤ ''x'' + 0.5)}}. <math display="block">F_\mathrm{Poisson}(x;\lambda) \approx F_\mathrm{normal}(x;\mu=\lambda,\sigma^2=\lambda)</math>
* {{mvar|λ}}, (मान लीजिए {{mvar|λ}} >1000) के पर्याप्त बड़े मूल्यों के लिए, माध्य, {{mvar|λ}} और विचरण {{mvar|λ}} (मानक विचलन <math>\sqrt{\lambda}</math>) के साथ [[सामान्य वितरण]]  पॉइसन वितरण के लिए उत्कृष्ट सन्निकटन है। यदि {{mvar|λ}} से अधिक है, लगभग 10, तब सामान्य वितरण अच्छा  सन्निकटन है  यदि उचित [[निरंतरता सुधार]] किया जाता है, अर्थात, यदि {{math|P(''X'' ≤ ''x'')}}, जहां x गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है, को {{math|P(''X'' ≤ ''x'' + 0.5)}} द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है . <math display="block">F_\mathrm{Poisson}(x;\lambda) \approx F_\mathrm{normal}(x;\mu=\lambda,\sigma^2=\lambda)</math>
* [[विचरण-स्थिरीकरण परिवर्तन]]: यदि <math>X \sim \mathrm{Pois}(\lambda),</math> तब{{r|Johnson2005|p=168}} <math display="block">Y = 2 \sqrt{X} \approx \mathcal{N}(2\sqrt{\lambda};1),</math> और{{r|McCullagh1989|p=196}} <math display="block">Y = \sqrt{X} \approx \mathcal{N}(\sqrt{\lambda};1/4).</math> इस परिवर्तन के अनुसार, सामान्यता की ओर अभिसरण (जैसे <math>\lambda</math> बढ़ता है) अपरिवर्तित चर की तुलना में कहीं अधिक तेज़ है।
* [[विचरण-स्थिरीकरण परिवर्तन]]: यदि <math>X \sim \mathrm{Pois}(\lambda),</math> तब{{r|Johnson2005|p=168}} <math display="block">Y = 2 \sqrt{X} \approx \mathcal{N}(2\sqrt{\lambda};1),</math> और{{r|McCullagh1989|p=196}} <math display="block">Y = \sqrt{X} \approx \mathcal{N}(\sqrt{\lambda};1/4).</math> इस परिवर्तन के अनुसार, सामान्यता की ओर अभिसरण (जैसे <math>\lambda</math> बढ़ता है) अपरिवर्तित चर की तुलना में कहीं अधिक तीव्र होते है।
*अन्य, थोड़े अधिक जटिल, विचरण को स्थिर करने वाले परिवर्तन उपलब्ध हैं,{{r|Johnson2005|p=168}} जिनमें से [[Anscombe परिवर्तन]] है।{{r|Anscombe1948}} परिवर्तनों के अधिक सामान्य उपयोग के लिए [[डेटा परिवर्तन (सांख्यिकी)]] देखें।
*अन्य, थोड़े अधिक जटिल, विचरण को स्थिर करने वाले परिवर्तन उपलब्ध हैं,{{r|Johnson2005|p=168}} जिनमें से [[Anscombe परिवर्तन|अन्स्कोम्बे परिवर्तन]] है।{{r|Anscombe1948}} परिवर्तनों के अधिक सामान्य उपयोग के लिए [[डेटा परिवर्तन (सांख्यिकी)]] देखें।
* यदि प्रत्येक t > 0 के लिए समय अंतराल में आगमन की संख्या {{closed-closed|0, ''t''}} माध्य λt के साथ पॉइसन वितरण का अनुसरण करता है, फिर अंतर-आगमन समय का क्रम स्वतंत्र होता है और समान रूप से वितरित घातीय वितरण यादृच्छिक चर होते हैं जिनका माध्य 1/ होता है{{mvar|λ}}.{{r|Ross2010|p=317–319}}
* यदि प्रत्येक t > 0 के लिए समय अंतराल में आगमन की संख्या {{closed-closed|0, ''t''}} माध्य ''λt'' के साथ पॉइसन वितरण का अनुसरण करता है, फिर अंतर-आगमन समय का क्रम स्वतंत्र होता है और समान रूप से वितरित घातीय वितरण यादृच्छिक चर होते हैं जिनका माध्य 1/{{mvar|λ}} होता है| {{r|Ross2010|p=317–319}}
* पॉइसन और [[ची-वर्ग वितरण]] के [[संचयी वितरण कार्य|संचयी वितरण फलन]] निम्नलिखित तरीकों से संबंधित हैं:{{r|Johnson2005|p=167}} <math display="block">F_\text{Poisson}(k;\lambda) = 1-F_{\chi^2}(2\lambda;2(k+1)) \quad\quad \text{ integer } k,</math> और{{r|Johnson2005|p=158}} <math display="block">P(X=k)=F_{\chi^2}(2\lambda;2(k+1)) -F_{\chi^2}(2\lambda;2k).</math>
* पॉइसन और [[ची-वर्ग वितरण]] के [[संचयी वितरण कार्य|संचयी वितरण फलन]] निम्नलिखित तरीकों से संबंधित हैं:{{r|Johnson2005|p=167}} <math display="block">F_\text{Poisson}(k;\lambda) = 1-F_{\chi^2}(2\lambda;2(k+1)) \quad\quad \text{ integer } k,</math> और {{r|Johnson2005|p=158}} <math display="block">P(X=k)=F_{\chi^2}(2\lambda;2(k+1)) -F_{\chi^2}(2\lambda;2k).</math>
 
 
=== पॉइसन सन्निकटन ===
=== पॉइसन सन्निकटन ===


मान लीजिए <math>X_1\sim\operatorname{Pois}(\lambda_1), X_2\sim\operatorname{Pois}(\lambda_2), \dots, X_n\sim\operatorname{Pois}(\lambda_n)</math> जहाँ <math>\lambda_1 + \lambda_2 + \dots + \lambda_n=1,</math> तब<ref>{{Cite web | url=https://newonlinecourses.science.psu.edu/stat504/node/48/ | title=1.7.7 – Relationship between the Multinomial and Poisson &#124; STAT 504}}</ref> <math>(X_1, X_2, \dots, X_n)</math> बहुपद वितरण है
मान लीजिए <math>X_1\sim\operatorname{Pois}(\lambda_1), X_2\sim\operatorname{Pois}(\lambda_2), \dots, X_n\sim\operatorname{Pois}(\lambda_n)</math> जहाँ <math>\lambda_1 + \lambda_2 + \dots + \lambda_n=1,</math> तब<ref>{{Cite web | url=https://newonlinecourses.science.psu.edu/stat504/node/48/ | title=1.7.7 – Relationship between the Multinomial and Poisson &#124; STAT 504}}</ref> <math>(X_1, X_2, \dots, X_n)</math> बहुपद वितरण है <math>(X_1, X_2, \dots, X_n) \sim \operatorname{Mult}(N, \lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)</math> पर वातानुकूलित <math>N = X_1 + X_2 + \dots X_n.</math> इसका कारण यह है{{r|Mitzenmacher2005|p=101-102}}, अन्य बातो के अतिरिक्त , किसी भी गैर-ऋणात्मक फलन के लिए <math>f(x_1, x_2, \dots, x_n),</math> यदि <math>(Y_1, Y_2, \dots, Y_n)\sim\operatorname{Mult}(m, \mathbf{p})</math> तब बहुराष्ट्रीय रूप से वितरित किया जाता है|
<math>(X_1, X_2, \dots, X_n) \sim \operatorname{Mult}(N, \lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)</math> पर वातानुकूलित <math>N = X_1 + X_2 + \dots X_n.</math>
इसका कारण यह है{{r|Mitzenmacher2005|p=101-102}}, अन्य बातबं के अतिरिक्त , किसी भी गैर-नकारात्मक फलन के लिए <math>f(x_1, x_2, \dots, x_n),</math>
यदि <math>(Y_1, Y_2, \dots, Y_n)\sim\operatorname{Mult}(m, \mathbf{p})</math> तब बहुराष्ट्रीय रूप से वितरित किया जाता है
<math display="block">
<math display="block">
\operatorname{E}[f(Y_1, Y_2, \dots, Y_n)] \le e\sqrt{m}\operatorname{E}[f(X_1, X_2, \dots, X_n)]
\operatorname{E}[f(Y_1, Y_2, \dots, Y_n)] \le e\sqrt{m}\operatorname{E}[f(X_1, X_2, \dots, X_n)]
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जहाँ <math>(X_1, X_2, \dots, X_n)\sim\operatorname{Pois}(\mathbf{p}).</math>  
जहाँ <math>(X_1, X_2, \dots, X_n)\sim\operatorname{Pois}(\mathbf{p}).</math>  


का कारक <math>e\sqrt{m}</math> यदि 2 से प्रतिस्थापित किया जा सकता है <math>f</math> आगे यह माना जाता है कि यह नीरस रूप से बढ़ रहा है या घट रहा है।
का कारक <math>e\sqrt{m}</math> यदि 2 से प्रतिस्थापित किया जा सकता है <math>f</math> यह माना जाता है कि यह नीरस रूप से बढ़ रहा है या घट रहा है।


=== द्विचर पॉइसन वितरण ===
=== द्विचर पॉइसन वितरण ===
इस वितरण को [[संयुक्त संभाव्यता वितरण]] स्थितियों तक बढ़ा दिया गया है।{{r|Loukas1986}} इस वितरण के लिए [[जनरेटिंग फ़ंक्शन|जनरेटिंग]] फलन है
इस वितरण को [[संयुक्त संभाव्यता वितरण]] स्थितियों तक बढ़ा दिया गया है।{{r|Loukas1986}} इस वितरण के लिए [[जनरेटिंग फ़ंक्शन|जनरेटिंग]] फलन है|
<math display="block"> g( u, v ) = \exp[ ( \theta_1 - \theta_{12} )( u - 1 ) + ( \theta_2 - \theta_{12} )(v - 1) + \theta_{12} ( uv - 1 ) ] </math>
<math display="block"> g( u, v ) = \exp[ ( \theta_1 - \theta_{12} )( u - 1 ) + ( \theta_2 - \theta_{12} )(v - 1) + \theta_{12} ( uv - 1 ) ] </math>
साथ <math display="block"> \theta_1, \theta_2 > \theta_{ 12 } > 0 </math>
'''साथ''' <math display="block"> \theta_1, \theta_2 > \theta_{ 12 } > 0 </math>
सीमांत वितरण पॉइसन(θ) हैं<sub>1</sub>) और पॉइसन(i<sub>2</sub>) और सहसंबंध गुणांक सीमा तक सीमित है
सीमांत वितरण पॉइसन(θ) हैं<sub>1</sub>) और पॉइसन(i<sub>2</sub>) और सहसंबंध गुणांक सीमा तक सीमित है
<math display="block"> 0 \le \rho \le \min\left\{ \sqrt{ \frac{ \theta_1 }{ \theta_2 } }, \sqrt{ \frac{ \theta_2 }{ \theta_1 } } \right\}</math>
<math display="block"> 0 \le \rho \le \min\left\{ \sqrt{ \frac{ \theta_1 }{ \theta_2 } }, \sqrt{ \frac{ \theta_2 }{ \theta_1 } } \right\}</math>
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[[File:Binomial versus poisson.svg|right|upright=1.5|thumb |पॉइसन वितरण (काली रेखाएं) और द्विपद वितरण की तुलना {{nobr| {{mvar|n}} {{=}} 10 }} (लाल घेरे), {{nobr| {{mvar|n}} {{=}} 20 }} (नीले घेरे), {{nobr| {{mvar|n}} {{=}} 1000 }} (हरे घेरे). सभी वितरणों का माध्य 5 है। क्षैतिज अक्ष घटनाओं की संख्या दर्शाता है{{mvar|k}}. जैसा {{mvar|n}} बड़ा हो जाता है, पॉइसन वितरण समान माध्य के साथ द्विपद वितरण के लिए तेजी से उत्तम सन्निकटन बन जाता है।]]किसी घटना की दर किसी छोटे उपअंतराल (समय, सम्मिस्ट या अन्य) में घटित होने वाली घटना की संभावना से संबंधित होती है। पॉइसन वितरण के स्थितियों में, कोई यह मानता है कि छोटा पर्याप्त उपअंतराल उपस्थित है जिसके लिए किसी घटना के दो बार घटित होने की संभावना नगण्य है। इस धारणा के साथ कोई भी द्विपद वितरण से पॉइसन वितरण प्राप्त कर सकता है, केवल पूरे अंतराल में कुल घटनाओं की अपेक्षित संख्या की जानकारी दी गई है।
[[File:Binomial versus poisson.svg|right|upright=1.5|thumb |पॉइसन वितरण (काली रेखाएं) और द्विपद वितरण की तुलना {{nobr| {{mvar|n}} {{=}} 10 }} (लाल घेरे), {{nobr| {{mvar|n}} {{=}} 20 }} (नीले घेरे), {{nobr| {{mvar|n}} {{=}} 1000 }} (हरे घेरे). सभी वितरणों का माध्य 5 है। क्षैतिज अक्ष घटनाओं की संख्या दर्शाता है{{mvar|k}}. जैसा {{mvar|n}} बड़ा हो जाता है, पॉइसन वितरण समान माध्य के साथ द्विपद वितरण के लिए तेजी से उत्तम सन्निकटन बन जाता है।]]किसी घटना की दर किसी छोटे उपअंतराल (समय, सम्मिस्ट या अन्य) में घटित होने वाली घटना की संभावना से संबंधित होती है। पॉइसन वितरण के स्थितियों में, कोई यह मानता है कि छोटा पर्याप्त उपअंतराल उपस्थित है जिसके लिए किसी घटना के दो बार घटित होने की संभावना नगण्य है। इस धारणा के साथ कोई भी द्विपद वितरण से पॉइसन वितरण प्राप्त कर सकता है, केवल पूरे अंतराल में कुल घटनाओं की अपेक्षित संख्या की जानकारी दी गई है।


मान लीजिए कि पूरे अंतराल में घटनाओं की कुल संख्या को निरूपित किया जाता है <math>\lambda.</math> पूरे अंतराल को इसमें विभाजित करें <math>n</math> उपअंतराल <math>I_1,\dots,I_n</math> समान आकार का, ऐसा कि <math>n > \lambda</math> (चूँकि हम अंतराल के केवल बहुत छोटे हिस्से में रुचि रखते हैं, यह धारणा सार्थक है)। इसका कारण है कि प्रत्येक में घटनाओं की अपेक्षित संख्या {{mvar|n}} उपअंतराल समान है <math>\lambda/n.</math>
मान लीजिए कि पूरे अंतराल में घटनाओं की कुल संख्या को निरूपित किया जाता है <math>\lambda.</math> पूरे अंतराल को इसमें विभाजित करें <math>n</math> उपअंतराल <math>I_1,\dots,I_n</math> समान आकार का, ऐसा कि <math>n > \lambda</math> (चूँकि हम अंतराल के केवल बहुत छोटे हिस्से में रुचि रखते हैं, यह धारणा सार्थक है)। इसका कारण है कि प्रत्येक में घटनाओं की अपेक्षित संख्या {{mvar|n}} उपअंतराल समान है <math>\lambda/n.</math> अब हम यह मान लेते हैं कि पूरे अंतराल में किसी घटना के घटित होने को क्रम के रूप में देखा जा सकता है {{mvar|n}} [[बर्नौली परीक्षण]], जहां <math>i</math>-वां बर्नौली परीक्षण यह देखने से मेल खाता है कि क्या कोई घटना उप-अंतराल पर होती है <math>I_i</math> संभाव्यता के साथ <math>\lambda/n.</math> कुल घटनाओं की अपेक्षित संख्या <math>n</math> ऐसे परीक्षण होंगे <math>\lambda,</math> पूरे अंतराल में कुल घटनाओं की अपेक्षित संख्या। इसलिए अंतराल के प्रत्येक उपखंड के लिए हमने बर्नौली प्रक्रिया के रूप में घटना की घटना का अनुमान लगाया है <math>\textrm{B}(n,\lambda/n).</math> जैसा कि हमने पहले नोट किया है, हम केवल बहुत छोटे उपअंतरालों पर विचार करना चाहते हैं। इसलिए, हम सीमा को इस प्रकार लेते हैं <math>n</math> अनंत तक जाता है.
अब हम यह मान लेते हैं कि पूरे अंतराल में किसी घटना के घटित होने को क्रम के रूप में देखा जा सकता है {{mvar|n}} [[बर्नौली परीक्षण]], जहां <math>i</math>-वां बर्नौली परीक्षण यह देखने से मेल खाता है कि क्या कोई घटना उप-अंतराल पर होती है <math>I_i</math> संभाव्यता के साथ <math>\lambda/n.</math> कुल घटनाओं की अपेक्षित संख्या <math>n</math> ऐसे परीक्षण होंगे <math>\lambda,</math> पूरे अंतराल में कुल घटनाओं की अपेक्षित संख्या। इसलिए अंतराल के प्रत्येक उपखंड के लिए हमने बर्नौली प्रक्रिया के रूप में घटना की घटना का अनुमान लगाया है <math>\textrm{B}(n,\lambda/n).</math> जैसा कि हमने पहले नोट किया है, हम केवल बहुत छोटे उपअंतरालों पर विचार करना चाहते हैं। इसलिए, हम सीमा को इस प्रकार लेते हैं <math>n</math> अनंत तक जाता है.


इस स्थितियों में द्विपद वितरण [[पॉइसन सीमा प्रमेय]] द्वारा पॉइसन वितरण के रूप में जाना जाता है।
इस स्थितियों में द्विपद वितरण [[पॉइसन सीमा प्रमेय]] द्वारा पॉइसन वितरण के रूप में जाना जाता है।

Revision as of 14:51, 14 July 2023

संभाव्यता सिद्धांत और आंकड़ों में, पॉइसन वितरण असतत संभाव्यता वितरण है जो समय या सम्मिस्ट के निश्चित अंतराल में होने वाली घटनाओं की दी गई संख्या की संभावना को व्यक्त करता है यदि ये घटनाएं ज्ञात निरंतर औसत दर के साथ और स्वतंत्र रूप से समय से घटित होती हैं। अंतिम घटना[1] इसका नाम फ्रांसीसी गणितज्ञ शिमोन डेनिस पॉइसन (/ˈpwɑːsɒn/; French pronunciation: ​[pwasɔ̃]) के नाम पर रखा गया है। पॉइसन वितरण का उपयोग अन्य निर्दिष्ट अंतराल प्रकारों जैसे दूरी, क्षेत्र या आयतन में घटनाओं की संख्या के लिए भी किया जा सकता है। यह असतत-स्थिर वितरण के लिए महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।

उदाहरण के लिए, कॉल सेंटर को प्रतिदिन 24 घंटे प्रति घंटे औसतन 180 कॉल प्राप्त होती हैं। कॉल स्वतंत्र हैं; प्राप्त करने से अगला कब आएगा इसकी संभावना नहीं बदलती है। किसी भी मिनट के समय प्राप्त कॉलों की संख्या में माध्य 3 के साथ पॉइसन संभाव्यता वितरण होता है: सबसे अधिक संभावित संख्याएं 2 और 3 हैं किंतु 1 और 4 भी संभावित हैं और इसके शून्य के समान होने की बहुत कम संभावना है और बहुत कम संभावना है यह 10 हो सकता है.

एक अन्य उदाहरण परिभाषित अवलोकन अवधि के समय रेडियोधर्मी स्रोत से होने वाली क्षय घटनाओं की संख्या है।

इतिहास

वितरण पहली बार शिमोन डेनिस पॉइसन (1781-1840) द्वारा प्रस्तुत किया गया था और आपराधिक और नागरिक स्थितियों में निर्णय की संभावना पर उनके फलन अनुसंधान (1837) में उनके संभाव्यता सिद्धांत के साथ प्रकाशित किया गया था।[2]: 205-207  इस फलन ने कुछ यादृच्छिक चर पर N ध्यान केंद्रित करके किसी दिए गए देश में गलत सजाओं की संख्या के बारे में सिद्धांत दिया गया है जो अन्य बातबं के अतिरिक्त दी गई लंबाई के समय-अंतराल के समय होने वाली अलग-अलग घटनाओं (कभी-कभी घटनाएँ या आगमन भी कहा जाता है) की संख्या की गणना करता है। परिणाम पहले ही 1711 में अब्राहम डी मोइवरे द्वारा डी मेन्सुरा सॉर्टिस सेउ में दिया जा चुका था; लुडिस ए कैसु फोर्टुइटो पेंडेंटिबस में डी प्रोबेबिलिटेट इवेंटम है।[3]: 219 [4]: 14-15 [5]: 193 [6]: 157  यह इसे स्टिगलर के नियम का उदाहरण बनाता है और इसने कुछ लेखकों को यह तर्क देने के लिए प्रेरित किया जाता है कि पॉइसन वितरण पर डी मोइवर का नाम होना चाहिए।[7][8]

1860 में, साइमन न्यूकॉम्ब ने अंतरिक्ष की इकाई में पाए जाने वाले तारों की संख्या के लिए पॉइसन वितरण को फिट किया गया था।[9] इस वितरण का और वास्तविक अनुप्रयोग 1898 में लैडिस्लॉस बोर्टकिविज़ द्वारा किया गया था जब उन्हें प्रशिया सेना में घोड़े की लात से दुर्घटनावश मारे गए सैनिकों की संख्या की जांच करने का काम दिया गया था;[10]: 23-25  इस प्रयोग ने पॉइसन वितरण को विश्वसनीयता इंजीनियरिंग के क्षेत्र में प्रस्तुत किया था ।

परिभाषाएँ

प्रायिकता द्रव्यमान फलन

एक असतत यादृच्छिक चर X को पॉइसन वितरण कहा जाता है पैरामीटर के साथ यदि इसमें संभाव्यता द्रव्यमान फलन दिया गया है:[11]: 60 

जहाँ

  • k घटनाओं की संख्या () है
  • eई (गणितीय स्थिरांक) यूलर की संख्या () है|
  • ! भाज्य फलन है.

सकारात्मक वास्तविक संख्या λ X के अपेक्षित मान और इसके विचरण के समान है।[12]

पॉइसन वितरण को बड़ी संख्या में दुर्लभ घटनाओं वाले प्रणाली पर प्रयुक्त किया जा सकता है | इस प्रकार बड़ी संख्या में संभावित घटनाएं, जिनमें से प्रत्येक दुर्लभ है। निश्चित समय अंतराल के समय होने वाली ऐसी घटनाओं की संख्या, सही परिस्थितियों में पॉइसन वितरण के साथ यादृच्छिक संख्या होती है।

समीकरण को अनुकूलित किया जा सकता है यदि, घटनाओं की औसत संख्या के अतिरिक्त हमें वह औसत दर दी जाए जिस पर घटनाएं घटित होती हैं। फिर