संनादी संतोलक

संनादी संतोलक एक ऐसी विधि है जिसका उपयोग गैर-रेखीय अंतर समीकरणों की स्थिर-अवस्था प्रतिक्रिया की गणना करने के लिए किया जाता है और अधिकतर गैर-रैखिक विद्युत परिपथों पर अनुप्रयुक्त किया जाता है।विभिन्न काल-प्रक्षेत्र स्थिर अवस्था विधियों के विपरीत, स्थिर अवस्था की गणना के लिए यह आवृत्ति-प्रक्षेत्र विधि है। संनादी संतोलक विधि का वर्णनात्मक नाम है, जो आवृत्ति प्रक्षेत्र में लिखे गए किरचॉफ के धारा नियम और संनादी की एक चुनी हुई संख्या से प्रारंभ होता है। एक प्रणाली में एक गैर-रैखिक घटक पर अनुप्रयुक्त एक ज्यावक्रीय संकेत मौलिक आवृत्ति के संनादी उत्पन्न करेगा। प्रभावी रूप से विधि मानती है कि समाधान को ज्यावक्रीय के एक रैखिक संयोजन द्वारा दर्शाया जा सकता है, फिर किरचॉफ के नियम को संतुष्ट करने के लिए धारा और वोल्टता ज्यावक्रीय को संतुलित करता है। इस विधि का उपयोग सामान्यतः परिपथ का अनुकरण करने के लिए किया जाता है जिसमें गैर-रैखिक तत्व सम्मिलित होते हैं और यह पुनर्भरण वाली प्रणाली पर सबसे अधिक अनुप्रयुक्त होता है जिसमें सीमित चक्र होते हैं।

विद्युत् अभियान्त्रिकी में संनादी संतोलक विधियों के लिए सूक्ष्मतरंग परिपथ मूल अनुप्रयोग थे। सूक्ष्मतरंग परिपथ अच्छी तरह से अनुकूल थे, क्योंकि ऐतिहासिक रूप से, सूक्ष्मतरंग परिपथ में कई रैखिक घटक होते हैं, जिन्हें आवृत्ति प्रक्षेत्र में दर्शाया जा सकता है, साथ ही कुछ गैर-रैखिक घटक भी होते हैं। प्रणाली का आकार सामान्यतः छोटा था। अधिक सामान्य परिपथों के लिए, इस विधि को 1990 के दशक के मध्य तक इन बहुत छोटे परिपथों को छोड़कर सभी के लिए अव्यावहारिक माना जाता था, जब क्रायलोव उपसमष्‍टि विधियों को समस्या पर अनुप्रयुक्त किया गया था। पूर्वानुकूलित क्रायलोव उपसमष्‍टि विधियों के अनुप्रयोग ने परिपथ के आकार और संनादी की संख्या दोनों में बहुत बड़ी प्रणालियों को हल करने की अनुमति दी। इसने रेडियो-आवृत्ति एकीकृत परिपथ (RFIC) का विश्लेषण करने के लिए संनादी संतोलक विधियों के वर्तमान उपयोग को व्यावहारिक बना दिया।

उदाहरण

अंतर समीकरण ${\ddot {x}}+x^{3}=0$ पर विचार करें। हम अंसत्ज़ समाधान $x=A\cos(\omega t)$ का उपयोग करते हैं और प्लगन करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$$-A\omega ^{2}\cos(\omega t)+A^{3}{\frac {1}{4}}(\cos(3\omega t)+3\cos(\omega t))=0$$

फिर $\cos(\omega t)$ पद का मिलान करके, हमारे पास $\omega ={\sqrt {\frac {3}{4}}}A$ है, जो सन्निकट समय $T={\frac {2\pi }{\omega }}\approx {\frac {7.2552}{A}}$ देता है।

अधिक सटीक सन्निकटन के लिए, हम अंसत्ज़ समाधान $x=A_{1}\cos(\omega t)+A_{3}\cos(3\omega t)$ का उपयोग करते हैं। फिर $\cos(\omega t)$, $\cos(3\omega t)$ पद का प्लगन और मिलान करके, हम नियमित बीजगणित के बाद प्राप्त करते हैं:

$$\omega ={\sqrt {\frac {3}{4}}}A_{1}{\sqrt {1+y+2y^{2}}},\quad y=A_{3}/A_{1},\quad 51y^{3}+27y^{2}+21y-1=0$$

$y$ के लिए घन समीकरण की केवल एक ही वास्तविक वर्गमूल $y\approx 0.0448$ है। इसके साथ, हम एक सन्निकट समय प्राप्त करते हैं:

$$T={\frac {2\pi (1+y)}{{\sqrt {\frac {3}{4}}}A{\sqrt {1+y+2y^{2}}}}}\approx {\frac {7.402}{A}}$$

इस प्रकार हम सटीक समाधान $T=7.4163\cdots /A$ तक पहुंचते हैं।

कलन विधि

संनादी संतोलक कलन विधि गैलेरकिन की विधि का एक विशेष संस्करण है। इसका उपयोग समीकरणों की स्वायत्त और गैर-स्वायत्त अंतर-बीजगणितीय प्रणालियों के आवधिक समाधान की गणना के लिए किया जाता है: गैर-स्वायत्त प्रणालियों का विवेचन स्वायत्त प्रणालियों के विवेचन की तुलना में थोड़ा सरल है। एक गैर-स्वायत्त डीएई प्रणाली का प्रतिनिधित्व है।

$0=F(t,x,{\dot {x}})$

पर्याप्त सहज फलन $F:\mathbb {R} \times \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {C} ^{n}\rightarrow \mathbb {C} ^{n}$ के साथ, जहाँ $n$ समीकरणों की संख्या है और $t,x,{\dot {x}}$ समय के लिए परोक्षी, अज्ञात के सदिश और समय-व्युत्पन्न के सदिश हैं।

यदि फलन $t\in \mathbb {R} \mapsto F(t,x,{\dot {x}})$ है तो प्रणाली गैर-स्वायत्त है, (कुछ) निश्चित