शूटिंग विधि: Difference between revisions

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<math display="block">y_{(2)}''(t) = p(t) y_{(2)}'(t) + q(t) y_{(2)}(t),\quad y_{(2)}(t_0) = 0, \quad y_{(2)}'(t_0) = 1. </math>
<math display="block">y_{(2)}''(t) = p(t) y_{(2)}'(t) + q(t) y_{(2)}(t),\quad y_{(2)}(t_0) = 0, \quad y_{(2)}'(t_0) = 1. </math>
उस सटीक स्थिति के लिए प्रमाण देखें जिसके तहत यह परिणाम मान्य है।<ref>{{cite book |last1=Mathews |first1=John H. |last2=Fink |first2=Kurtis K. |title=MATLAB का उपयोग करके संख्यात्मक विधियाँ|date=2004 |publisher=Pearson |location=Upper Saddle River, N.J. |isbn=0-13-065248-2 |edition=4th |archive-url=https://web.archive.org/web/20061209234620/http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/shootingmethod/ShootingProof.pdf |archive-date=9 December 2006 |chapter=9.8 Boundary Value Problems |url=http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/shootingmethod/ShootingProof.pdf}}</ref>
उस सटीक स्थिति के लिए प्रमाण देखें जिसके तहत यह परिणाम मान्य है।<ref>{{cite book |last1=Mathews |first1=John H. |last2=Fink |first2=Kurtis K. |title=MATLAB का उपयोग करके संख्यात्मक विधियाँ|date=2004 |publisher=Pearson |location=Upper Saddle River, N.J. |isbn=0-13-065248-2 |edition=4th |archive-url=https://web.archive.org/web/20061209234620/http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/shootingmethod/ShootingProof.pdf |archive-date=9 December 2006 |chapter=9.8 Boundary Value Problems |url=http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/shootingmethod/ShootingProof.pdf}}</ref>
== उदाहरण ==
== उदाहरण ==


=== मानक सीमा मान समस्या ===
=== मानक सीमा मान समस्या ===
[[Image:Shooting method trajectories.svg|thumb|400px|चित्र 1. s = w<nowiki>'</nowiki>(0) के लिए प्रक्षेपवक्र w(t;s) −7, −8, −10, −36, और −40 के बराबर है। बिंदु (1,1) को एक वृत्त से चिह्नित किया गया है।]][[Image:Shooting method error.svg|thumb|400px|चित्र 2. फलन F(s) = w(1;s) - 1.]]स्टोअर और बुलिर्श द्वारा एक सीमा मान समस्या इस प्रकार दी गई है<ref name = "Stoer1980">Stoer, J. and Bulirsch, R. ''Introduction to Numerical Analysis''. New York: Springer-Verlag, 1980.</ref> (धारा 7.3.1).
[[Image:Shooting method trajectories.svg|thumb|223x223px|चित्र 1. s = w<nowiki>'</nowiki>(0) के लिए प्रक्षेपवक्र w(t;s) −7, −8, −10, −36, और −40 के बराबर है। बिंदु (1,1) को एक वृत्त से चिह्नित किया गया है।]][[Image:Shooting method error.svg|thumb|215x215px|चित्र 2. फलन F(s) = w(1;s) - 1.]]स्टोअर और बुलिर्श द्वारा एक सीमा मान समस्या इस प्रकार दी गई है<ref name = "Stoer1980">Stoer, J. and Bulirsch, R. ''Introduction to Numerical Analysis''. New York: Springer-Verlag, 1980.</ref> (धारा 7.3.1).
<math display="block"> w''(t) = \frac{3}{2} w^2, \quad w(0) = 4, \quad w(1) = 1 </math>
<math display="block"> w''(t) = \frac{3}{2} w^2, \quad w(0) = 4, \quad w(1) = 1 </math>
प्रारंभिक मूल्य समस्या
प्रारंभिक मूल्य समस्या
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=== आइगेनवेल्यू समस्या ===
=== आइगेनवेल्यू समस्या ===
[[File:Shooting method.svg|alt=Illustration of the shooting method for finding the ground state of the quantum harmonic oscillator|thumb|400x400px|ऊर्जा के साथ हार्मोनिक ऑसिलेटर की जमीनी स्थिति की खोज करते समय <math>E_0 = 1/2</math>, शूटिंग विधि वेवफ़ंक्शन उत्पन्न करती है जो अनंत तक विसरित होती है। यहां, सही तरंग फ़ंक्शन की जड़ें शून्य होनी चाहिए और अनंत पर शून्य तक जाना चाहिए, इसलिए यह नारंगी और हरी रेखाओं के बीच कहीं स्थित है। इसलिए ऊर्जा बीच में है <math>0.495</math> और <math>0.500</math> (संख्यात्मक सटीकता के साथ)।]]शूटिंग पद्धति का उपयोग आइजेनवैल्यू समस्याओं को हल करने के लिए भी किया जा सकता है। [[क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर]] के लिए समय-स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण पर विचार करें <math display="block">-\frac{1}{2} \psi_n''(x) + \frac{1}{2} x^2 \psi_n(x) = E_n \psi_n(x).</math> क्वांटम यांत्रिकी में, व्यक्ति सामान्यीकरण योग्य तरंग कार्यों की तलाश करता है <math>\psi_n(x)</math> और उनकी संगत ऊर्जाएं सीमा स्थितियों के अधीन हैं <math display="block">\psi_n(x \rightarrow +\infty) = \psi_n(x \rightarrow -\infty) = 0.</math>ऊर्जाओं को खोजने के लिए समस्या को विश्लेषणात्मक रूप से हल किया जा सकता है <math>E_n = n + 1/2</math> के लिए <math>n = 0, 1, 2, \dots</math>, बल्कि शूटिंग पद्धति के उत्कृष्ट चित्रण के रूप में भी कार्य करता है। इसे लागू करने के लिए, पहले श्रोडिंगर समीकरण के कुछ सामान्य गुणों पर ध्यान दें:
[[File:Shooting method.svg|alt=Illustration of the shooting method for finding the ground state of the quantum harmonic oscillator|thumb|210x210px|ऊर्जा के साथ हार्मोनिक ऑसिलेटर की जमीनी स्थिति की खोज करते समय <math>E_0 = 1/2</math>, शूटिंग विधि वेवफ़ंक्शन उत्पन्न करती है जो अनंत तक विसरित होती है। यहां, सही तरंग फ़ंक्शन की जड़ें शून्य होनी चाहिए और अनंत पर शून्य तक जाना चाहिए, इसलिए यह नारंगी और हरी रेखाओं के बीच कहीं स्थित है। इसलिए ऊर्जा बीच में है <math>0.495</math> और <math>0.500</math> (संख्यात्मक सटीकता के साथ)।]]शूटिंग पद्धति का उपयोग आइजेनवैल्यू समस्याओं को हल करने के लिए भी किया जा सकता है। [[क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर]] के लिए समय-स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण पर विचार करें <math display="block">-\frac{1}{2} \psi_n''(x) + \frac{1}{2} x^2 \psi_n(x) = E_n \psi_n(x).</math> क्वांटम यांत्रिकी में, व्यक्ति सामान्यीकरण योग्य तरंग कार्यों की तलाश करता है <math>\psi_n(x)</math> और उनकी संगत ऊर्जाएं सीमा स्थितियों के अधीन हैं <math display="block">\psi_n(x \rightarrow +\infty) = \psi_n(x \rightarrow -\infty) = 0.</math>ऊर्जाओं को खोजने के लिए समस्या को विश्लेषणात्मक रूप से हल किया जा सकता है <math>E_n = n + 1/2</math> के लिए <math>n = 0, 1, 2, \dots</math>, बल्कि शूटिंग पद्धति के उत्कृष्ट चित्रण के रूप में भी कार्य करता है। इसे लागू करने के लिए, पहले श्रोडिंगर समीकरण के कुछ सामान्य गुणों पर ध्यान दें:


* अगर <math>\psi_n(x)</math> एक eigenfunction है, इसलिए है <math>C \psi_n(x)</math> किसी भी शून्येतर स्थिरांक के लिए <math>C</math>.
* अगर <math>\psi_n(x)</math> एक eigenfunction है, इसलिए है <math>C \psi_n(x)</math> किसी भी शून्येतर स्थिरांक के लिए <math>C</math>.
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== टिप्पणियाँ ==
== टिप्पणियाँ ==
{{reflist}}
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== संदर्भ ==
== संदर्भ ==


*{{Cite book | last1=Press | first1=WH | last2=Teukolsky | first2=SA | last3=Vetterling | first3=WT | last4=Flannery | first4=BP | year=2007 | title=Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing | edition=3rd | publisher=Cambridge University Press |  publication-place=New York | isbn=978-0-521-88068-8 | chapter=Section 18.1. The Shooting Method | chapter-url=http://apps.nrbook.com/empanel/index.html#pg=959}}
*{{Cite book | last1=Press | first1=WH | last2=Teukolsky | first2=SA | last3=Vetterling | first3=WT | last4=Flannery | first4=BP | year=2007 | title=Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing | edition=3rd | publisher=Cambridge University Press |  publication-place=New York | isbn=978-0-521-88068-8 | chapter=Section 18.1. The Shooting Method | chapter-url=http://apps.nrbook.com/empanel/index.html#pg=959}}
== बाहरी संबंध ==
== बाहरी संबंध ==
* [http://www.netlib.org/odepack/opks-sum Brief Description of ODEPACK] ''(at [[Netlib]]; contains LSODE)''
* [http://www.netlib.org/odepack/opks-sum Brief Description of ODEPACK] ''(at [[Netlib]]; contains LSODE)''

Revision as of 15:15, 25 July 2023

संख्यात्मक विश्लेषण में, शूटिंग विधि एक सीमा मूल्य समस्या को प्रारंभिक मूल्य समस्या में कम करके हल करने की एक विधि है। इसमें विभिन्न प्रारंभिक स्थितियों के लिए प्रारंभिक मूल्य समस्या का समाधान ढूंढना शामिल है जब तक कि कोई ऐसा समाधान न मिल जाए जो सीमा मूल्य समस्या की सीमा शर्तों को भी पूरा करता हो। आम आदमी के शब्दों में, कोई एक सीमा से अलग-अलग दिशाओं में प्रक्षेप पथ चलाता है जब तक कि उसे वह प्रक्षेप पथ नहीं मिल जाता जो दूसरी सीमा की स्थिति से टकराता है।

गणितीय विवरण

मान लीजिए कोई सीमा-मूल्य समस्या को हल करना चाहता है

होने देना प्रारंभिक-मूल्य समस्या को हल करें
अगर , तब सीमा-मूल्य समस्या का भी समाधान है।

शूटिंग विधि कई अलग-अलग मूल्यों के लिए प्रारंभिक मूल्य समस्या को हल करने की प्रक्रिया है जब तक कोई समाधान नहीं मिल जाता जो वांछित सीमा शर्तों को पूरा करता है। आमतौर पर, कोई साधारण अंतर समीकरणों के लिए संख्यात्मक तरीकों से ऐसा करता है। समाधान(ओं) की जड़(ओं) से मेल खाते हैं