अभाज्य-गणना फलन

गणित में, अभाज्य-गणना फलन वह फलन (गणित) है जो किसी वास्तविक संख्या x से कम या उसके समान अभाज्य संख्याओं की संख्या की गणना करता है। इसे π(x) (संख्या π से असंबंधित ) द्वारा दर्शाया जाता है.

के मान π(एन) पहले 60 धनात्मक पूर्णांकों के लिए

विकास दर

Main article: अभाज्य संख्या प्रमेय

संख्या सिद्धांत में बहुत रुचि प्रधान-गणना फलन का स्पर्शोन्मुख विश्लेषण है। और 18वीं शताब्दी के अंत में कार्ल फ्रेडरिक गॉस और एड्रियन मैरी लीजेंड्रे द्वारा अनुमान लगाया गया था कि यह लगभग होना चाहिए।

$${\frac {x}{\log(x)}}$$

जहाँ लॉग प्राकृतिक लघुगणक है, इस अर्थ में कि

$$\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\log(x)}}=1.$$

यह कथन प्रधान संख्या प्रमेय है। समतुल्य कथन है

$$\lim _{x\rightarrow \infty }\pi (x)/\operatorname {li} (x)=1$$

इस प्रकार से जहां ली लघुगणकीय समाकल फलन है। अभाज्य संख्या प्रमेय को प्रथम समय 1896 में जैक्स हैडमार्ड और चार्ल्स जीन डे ला वल्ली-पौसिन द्वारा सिद्ध किया गया था। चार्ल्स डे ला वेली पॉसिन स्वतंत्र रूप से, 1859 में बर्नहार्ड रीमैन द्वारा प्रस्तुत किए गए रीमैन ज़ेटा फलन के गुणों का उपयोग करते हुए। अभाज्य संख्या प्रमेय के प्रमाण नहीं ज़ेटा फलन या सम्मिश्र विश्लेषण का उपयोग 1948 के चारों-ओर एटले सेलबर्ग और पॉल एर्डोस (अधिकांश भाग के लिए स्वतंत्र रूप से) द्वारा पाया गया था।

अधिक स्पष्ट अनुमान

1899 में,चार्ल्स जीन डे ला वेली पॉसिन ने यह सिद्ध किया

$$\pi (x)=\operatorname {li} (x)+O\left(xe^{-a{\sqrt {\log x}}}\right)\quad {\text{as }}x\to \infty$$

कुछ धनात्मक स्थिरांक के लिए a. जहाँ , O(...) उच्च O अंकन है।

का अधिक स्पष्ट अनुमान $\pi (x)\!$ अब जाने जाते हैं। उदाहरण के लिए, 2002 में, केविन फोर्ड (गणितज्ञ) ने यह सिद्ध कर दिया

$$\pi (x)=\operatorname {li} (x)+O\left(x\exp \left(-0.2098(\log x)^{\frac {3}{5}}(\log \log x)^{-{\frac {1}{5}}}\right)\right).$$

मॉसिंगहॉफ और ट्रुडजियन ने $\pi (x)$ और $\operatorname {li} (x)$ के मध्य अंतर के लिए एक स्पष्ट ऊपरी सीमा सिद्ध की है:

$${\big |}\pi (x)-\operatorname {li} (x){\big |}\leq 0.2593{\frac {x}{(\log x)^{3/4}}}\exp \left(-{\sqrt {\frac {\log x}{6.315}}}\right)$$

के लिए $x\geq 229$.

$x$ के मूल्यों के लिए जो अनुचित रूप से बड़े नहीं हैं, $\operatorname {li} (x)$,$\pi (x)$ से उच्च है हालाँकि . , $\pi (x)-\operatorname {li} (x)$ अनगिनत बार राशि परिवर्तन के लिए जाना जाता है। इसकी चर्चा के लिए स्केव्स का नंबर देखें।

स्पष्ट रूप

$x>1$ के लिए $\pi _{0}(x)=\pi (x)-1/2$ दें जब ${\displaystyle }$