3-गोला क्षेत्र: Difference between revisions

Revision as of 17:36, 4 September 2023

हाइपरस्फीयर के समांतर (लाल), मेरिडियन का स्टीरियोग्राफिक प्रोजेक्शन (नीला) और हाइपरमेरिडियन (हरा)। क्योंकि यह प्रक्षेपण अनुरूप मानचित्र है, वक्र एक दूसरे को लंबवत रूप से (पीले बिंदुओं में) 4D के रूप में काटते हैं। सभी वक्र क्षेत्र हैं: वे वक्र जो प्रतिच्छेद कर

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 [[Image:Hypersphere coord.PNG|thumb|हाइपरस्फीयर के समांतर (लाल), मेरिडियन का [[स्टीरियोग्राफिक प्रोजेक्शन]]
 (नीला) और हाइपरमेरिडियन (हरा)। क्योंकि यह प्रक्षेपण [[अनुरूप मानचित्र]] है, वक्र एक दूसरे को लंबवत रूप से (पीले बिंदुओं में) 4D के रूप में काटते हैं। सभी वक्र क्षेत्र हैं: वे वक्र जो प्रतिच्छेद करते हैं {{angbr|0,0,0,1}} की अनंत त्रिज्या (= सीधी रेखा) है। इस चित्र में, संपूर्ण 3D स्थान हाइपरस्फ़ेयर की सतह को मैप करता है, जबकि अगले चित्र में 3D स्पेस में बल्क हाइपरस्फ़ेयर की छाया सम्मिलित है।]]
-[[Image:Hypersphere.png|thumb|3-क्षेत्र का 3डी स्पेस में प्रत्यक्ष प्रक्षेपण और सतह ग्रिड के साथ कवर किया गया, 3डी क्षेत्रों (2-क्षेत्र) के ढेर के रूप में संरचना दिखा रहा है]]गणित में, 3-क्षेत्र, ग्लोम या हाइपरस्फीयर एक क्षेत्र का एक उच्च-आयामी एनालॉग है। इसे 4-आयामी यूक्लिडियन स्पेस में एक निश्चित केंद्रीय बिंदु से समतुल्य बिंदुओं के एक समुच्य के रूप में एम्बेड किया जा सकता है। तीन आयामों में एक [[गेंद (गणित)|गेंद]] की सीमा एक सामान्य क्षेत्र (या 2-क्षेत्र, एक द्वि-आयामी सतह) के समान है, चार आयामों में एक गेंद की सीमा एक 3-क्षेत्र (तीन आयामों वाली वस्तु) है। एक 3-क्षेत्र [[3-कई गुना]] और एक n-क्षेत्र का एक उदाहरण है।
+[[Image:Hypersphere.png|thumb|3-गोला क्षेत्र का 3डी स्पेस में प्रत्यक्ष प्रक्षेपण और सतह ग्रिड के साथ कवर किया गया, 3डी क्षेत्रों (2-क्षेत्र) के ढेर के रूप में संरचना दिखा रहा है]]गणित में, 3-गोला क्षेत्र, ग्लोम या हाइपरस्फीयर एक क्षेत्र का एक उच्च-आयामी एनालॉग है। इसे 4-आयामी यूक्लिडियन स्पेस में एक निश्चित केंद्रीय बिंदु से समतुल्य बिंदुओं के एक समुच्य के रूप में एम्बेड किया जा सकता है। तीन आयामों में एक [[गेंद (गणित)|गेंद]] की सीमा एक सामान्य क्षेत्र (या 2-क्षेत्र, एक द्वि-आयामी सतह) के समान है, चार आयामों में एक गेंद की सीमा एक 3-गोला क्षेत्र (तीन आयामों वाली वस्तु) है। एक 3-गोला क्षेत्र [[3-कई गुना]] और एक n-क्षेत्र का एक उदाहरण है।
 == परिभाषा ==
-निर्देशांक में, केंद्र {{math|(''C''<sub>0</sub>, ''C''<sub>1</sub>, ''C''<sub>2</sub>, ''C''<sub>3</sub>)}} और त्रिज्या {{mvar|r}} के साथ एक 3-क्षेत्र वास्तविक, 4-आयामी स्थान {{math|'''R'''<sup>4</sup>}} में सभी बिंदुओं {{math|(''x''<sub>0</sub>, ''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ''x''<sub>3</sub>)}} का सेट है जैसे कि
+निर्देशांक में, केंद्र {{math|(''C''<sub>0</sub>, ''C''<sub>1</sub>, ''C''<sub>2</sub>, ''C''<sub>3</sub>)}} और त्रिज्या {{mvar|r}} के साथ एक 3-गोला क्षेत्र वास्तविक, 4-आयामी स्थान {{math|'''R'''<sup>4</sup>}} में सभी बिंदुओं {{math|(''x''<sub>0</sub>, ''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ''x''<sub>3</sub>)}} का सेट है जैसे कि
 :<math>\sum_{i=0}^3(x_i - C_i)^2 = ( x_0 - C_0 )^2 + ( x_1 - C_1 )^2 + ( x_2 - C_2 )^2+ ( x_3 - C_3 )^2 = r^2.</math>
-त्रिज्या 1 के मूल बिंदु पर केंद्रित 3-क्षेत्र को इकाई 3-क्षेत्र कहा जाता है और इसे सामान्यतः {{math|''S''<sup>3</sup>}} निरूपित किया जाता है :
+त्रिज्या 1 के मूल बिंदु पर केंद्रित 3-गोला क्षेत्र को इकाई 3-गोला क्षेत्र कहा जाता है और इसे सामान्यतः {{math|''S''<sup>3</sup>}} निरूपित किया जाता है :
 :<math>S^3 = \left\{(x_0,x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^4 : x_0^2 + x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 1\right\}.</math>
-यह प्रायः ध्यान देने योग्य होता है {{math|'''R'''<sup>4</sup>}} 2 सम्मिश्र संख्याओं वाले स्थान के रूप में ({{math|'''C'''<sup>2</sup>}}) या चतुष्कोण ({{math|'''H'''}}). इकाई 3-क्षेत्र इसके द्वारा दिया जाता है।
+यह प्रायः ध्यान देने योग्य होता है {{math|'''R'''<sup>4</sup>}} 2 सम्मिश्र संख्याओं वाले स्थान के रूप में ({{math|'''C'''<sup>2</sup>}}) या चतुष्कोण ({{math|'''H'''}}). इकाई 3-गोला क्षेत्र इसके द्वारा दिया जाता है।
 :<math>S^3 = \left\{(z_1,z_2)\in\mathbb{C}^2 : |z_1|^2 + |z_2|^2 = 1\right\}</math>
 या
 :<math>S^3 = \left\{q\in\mathbb{H} : \|q\| = 1\right\}.</math>
-मानदंड के चतुष्कोणों के रूप में यह विवरण चतुष्कोणीय विभाजन वलय में छंदों के साथ 3-क्षेत्र की पहचान करता है। जिस प्रकार समतलीय ध्रुवीय निर्देशांकों के लिए इकाई क्षेत्र महत्वपूर्ण है, उसी प्रकार चतुर्धातुक गुणन में सम्मिलित 4-अंतरिक्ष के ध्रुवीय दृश्य में 3-क्षेत्र महत्वपूर्ण है। त्रि-क्षेत्र के इस विकास के विवरण के लिए चतुष्कोण का ध्रुवीय अपघटन देखें। 3-क्षेत्र का यह दृश्य दीर्घक्षेत्रीय अंतरिक्ष के अध्ययन का आधार है, जैसा कि जॉर्जेस लेमैत्रे द्वारा विकसित किया गया था।<ref>Georges Lemaître (1948) "Quaternions et espace elliptique", ''Acta'' [[Pontifical Academy of Sciences]] 12:57&ndash;78</ref>
+मानदंड के चतुष्कोणों के रूप में यह विवरण चतुष्कोणीय विभाजन वलय में छंदों के साथ 3-गोला क्षेत्र की पहचान करता है। जिस प्रकार समतलीय ध्रुवीय निर्देशांकों के लिए इकाई क्षेत्र महत्वपूर्ण है, उसी प्रकार चतुर्धातुक गुणन में सम्मिलित 4-अंतरिक्ष के ध्रुवीय दृश्य में 3-गोला क्षेत्र महत्वपूर्ण है। त्रि-क्षेत्र के इस विकास के विवरण के लिए चतुष्कोण का ध्रुवीय अपघटन देखें। 3-गोला क्षेत्र का यह दृश्य दीर्घक्षेत्रीय अंतरिक्ष के अध्ययन का आधार है, जैसा कि जॉर्जेस लेमैत्रे द्वारा विकसित किया गया था।<ref>Georges Lemaître (1948) "Quaternions et espace elliptique", ''Acta'' [[Pontifical Academy of Sciences]] 12:57&ndash;78</ref>
 == गुण ==
 === प्राथमिक गुण ===
-त्रिज्या {{mvar|r}} के 3-क्षेत्र का 3-विमीय पृष्ठीय आयतन है
+त्रिज्या {{mvar|r}} के 3-गोला क्षेत्र का 3-विमीय पृष्ठीय आयतन है
 :<math>SV=2\pi^2 r^3 \,</math>
-जबकि 4-आयामी हाइपरवोल्यूम (3-क्षेत्र से घिरा 4-आयामी क्षेत्र की सामग्री) है
+जबकि 4-आयामी हाइपरवोल्यूम (3-गोला क्षेत्र से घिरा 4-आयामी क्षेत्र की सामग्री) है
 :<math>H=\frac{1}{2} \pi^2 r^4.</math>
-त्रि-आयामी [[ hyperplane |हाइपरप्लेन]] के साथ 3-क्षेत्र का प्रत्येक गैर-खाली चौराहा 2-क्षेत्र है (जब तक कि हाइपरप्लेन 3-क्षेत्र के स्पर्शरेखा न हो, उस स्थिति में चौराहा एक बिंदु है)। जब एक 3-क्षेत्र किसी दिए गए त्रि-आयामी हाइपरप्लेन के माध्यम से चलता है, तो चौराहा एक बिंदु के रूप में शुरू होता है, फिर एक बढ़ता हुआ 2-क्षेत्र बन जाता है जो अपने अधिकतम आकार तक पहुँच जाता है जब हाइपरप्लेन 3-क्षेत्र के भूमध्य रेखा के माध्यम से कट जाता है। फिर 2-क्षेत्र फिर से एक बिंदु तक सिकुड़ जाता है क्योंकि 3-क्षेत्र हाइपरप्लेन छोड़ देता है।
+त्रि-आयामी [[ hyperplane |हाइपरप्लेन]] के साथ 3-गोला क्षेत्र का प्रत्येक गैर-खाली चौराहा 2-क्षेत्र है (जब तक कि हाइपरप्लेन 3-गोला क्षेत्र के स्पर्शरेखा न हो, उस स्थिति में चौराहा एक बिंदु है)। जब एक 3-गोला क्षेत्र किसी दिए गए त्रि-आयामी हाइपरप्लेन के माध्यम से चलता है, तो चौराहा एक बिंदु के रूप में शुरू होता है, फिर एक बढ़ता हुआ 2-क्षेत्र बन जाता है जो अपने अधिकतम आकार तक पहुँच जाता है जब हाइपरप्लेन 3-गोला क्षेत्र के भूमध्य रेखा के माध्यम से कट जाता है। फिर 2-क्षेत्र फिर से एक बिंदु तक सिकुड़ जाता है क्योंकि 3-गोला क्षेत्र हाइपरप्लेन छोड़ देता है।
-किसी दिए गए त्रि-आयामी हाइपरप्लेन में, एक 3-क्षेत्र एक भूमध्यरेखीय तल के बारे में घूम सकता है (केंद्रीय अक्ष के चारों ओर घूमने वाले 2-क्षेत्र के अनुरूप), जिस स्थिति में यह 2-क्षेत्र प्रतीत होता है जिसका आकार स्थिर है।
+किसी दिए गए त्रि-आयामी हाइपरप्लेन में, एक 3-गोला क्षेत्र एक भूमध्यरेखीय तल के बारे में घूम सकता है (केंद्रीय अक्ष के चारों ओर घूमने वाले 2-क्षेत्र के अनुरूप), जिस स्थिति में यह 2-क्षेत्र प्रतीत होता है जिसका आकार स्थिर है।
 === सांस्थितिक गुण ===
-एक 3-क्षेत्र [[ कॉम्पैक्ट जगह |कॉम्पैक्ट जगह]], [[ जुड़ा हुआ स्थान |जुड़ा हुआ स्थान]], बिना सीमा के 3-आयामी [[कई गुना]] है। यह भी [[बस जुड़ा हुआ है]]। व्यापक अर्थ में इसका अर्थ यह है कि 3-क्षेत्र पर कोई लूप, या क्षेत्राकार पथ, 3-क्षेत्र को छोड़े बिना लगातार एक बिंदु तक सिकुड़ा जा सकता है। [[ त्वरित पेरेलमैन ]] द्वारा 2003 में सिद्ध पोंकारे अनुमान, प्रदान करता है कि 3-क्षेत्र इन गुणों के साथ केवल त्रि-आयामी कई गुना ([[होमियोमोर्फिज्म]] तक) है।
+एक 3-गोला क्षेत्र [[ कॉम्पैक्ट जगह |कॉम्पैक्ट जगह]], [[ जुड़ा हुआ स्थान |जुड़ा हुआ स्थान]], बिना सीमा के 3-आयामी [[कई गुना]] है। यह भी [[बस जुड़ा हुआ है]]। व्यापक अर्थ में इसका अर्थ यह है कि 3-गोला क्षेत्र पर कोई लूप, या क्षेत्राकार पथ, 3-गोला क्षेत्र को छोड़े बिना लगातार एक बिंदु तक सिकुड़ा जा सकता है। [[ त्वरित पेरेलमैन ]] द्वारा 2003 में सिद्ध पोंकारे अनुमान, प्रदान करता है कि 3-गोला क्षेत्र इन गुणों के साथ केवल त्रि-आयामी कई गुना ([[होमियोमोर्फिज्म]] तक) है।
--क्षेत्र [[एक-बिंदु संघनन]] के लिए होमियोमॉर्फिक है {{math|'''R'''<sup>3</sup>}}. सामान्य तौर पर, कोई भी [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] जो 3-क्षेत्र के लिए होमोमोर्फिक होता है, उसे टोपोलॉजिकल 3-स्फीयर कहा जाता है।
+-गोला क्षेत्र [[एक-बिंदु संघनन]] के लिए होमियोमॉर्फिक है {{math|'''R'''<sup>3</sup>}}. सामान्य तौर पर, कोई भी [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] जो 3-गोला क्षेत्र के लिए होमोमोर्फिक होता है, उसे टोपोलॉजिकल 3-स्फीयर कहा जाता है।
--क्षेत्र के होमोलॉजी समूह इस प्रकार हैं: {{math|H<sub>0</sub>(''S''<sup>3</sup>, '''Z''')}} और {{math|H<sub>3</sub>(''S''<sup>3</sup>, '''Z''')}} दोनों [[अनंत चक्रीय]] हैं, जबकि {{math|1=H<sub>''i''</sub>(''S''<sup>3</sup>, '''Z''') = {}{{null}}}} अन्य सभी सूचकांकों के लिए {{mvar|i}}. इन होमोलॉजी समूहों के साथ किसी भी टोपोलॉजिकल स्पेस को होमोलॉजी क्षेत्र के रूप में जाना जाता है | होमोलॉजी 3-क्षेत्र। प्रारंभ में हेनरी पोनकारे | पोंकारे ने अनुमान लगाया कि सभी समरूपता 3-क्षेत्र होमियोमॉर्फिक हैं {{math|''S''<sup>3</sup>}}, लेकिन फिर उन्होंने स्वयं एक गैर-होमियोमॉर्फिक का निर्माण किया, जिसे अब पोंकारे समरूपता क्षेत्र के रूप में जाना जाता है। असीम रूप से कई होमोलॉजी क्षेत्रों को अब अस्तित्व में जाना जाता है। उदाहरण के लिए, ढलान के साथ भरने वाला डेहन {{math|{{sfrac|1|''n''}}}} 3-क्षेत्र में किसी भी [[गाँठ सिद्धांत|नॉट]] पर एक सजातीय क्षेत्र देता है; सामान्यतः ये 3-क्षेत्र के लिए होमियोमॉर्फिक नहीं होते हैं।
+-गोला क्षेत्र के होमोलॉजी समूह इस प्रकार हैं: {{math|H<sub>0</sub>(''S''<sup>3</sup>, '''Z''')}} और {{math|H<sub>3</sub>(''S''<sup>3</sup>, '''Z''')}} दोनों [[अनंत चक्रीय]] हैं, जबकि {{math|1=H<sub>''i''</sub>(''S''<sup>3</sup>, '''Z''') = {}{{null}}}} अन्य सभी सूचकांकों के लिए {{mvar|i}}. इन होमोलॉजी समूहों के साथ किसी भी टोपोलॉजिकल स्पेस को होमोलॉजी क्षेत्र के रूप में जाना जाता है | होमोलॉजी 3-गोला क्षेत्र। प्रारंभ में हेनरी पोनकारे | पोंकारे ने अनुमान लगाया कि सभी समरूपता 3-गोला क्षेत्र होमियोमॉर्फिक हैं {{math|''S''<sup>3</sup>}}, लेकिन फिर उन्होंने स्वयं एक गैर-होमियोमॉर्फिक का निर्माण किया, जिसे अब पोंकारे समरूपता क्षेत्र के रूप में जाना जाता है। असीम रूप से कई होमोलॉजी क्षेत्रों को अब अस्तित्व में जाना जाता है। उदाहरण के लिए, ढलान के साथ भरने वाला डेहन {{math|{{sfrac|1|''n''}}}} 3-गोला क्षेत्र में किसी भी [[गाँठ सिद्धांत|नॉट]] पर एक सजातीय क्षेत्र देता है; सामान्यतः ये 3-गोला क्षेत्र के लिए होमियोमॉर्फिक नहीं होते हैं।
 [[होमोटॉपी समूह]]ों के रूप में, हमारे पास है {{math|1=π<sub>1</sub>(''S''<sup>3</sup>) = π<sub>2</sub>(''S''<sup>3</sup>) = {}{{null}}}} और {{math|π<sub>3</sub>(''S''<sup>3</sup>)}} अनंत चक्रीय है। उच्च-होमोटॉपी समूह ({{math|''k'' ≥ 4}}) सभी [[परिमित एबेलियन समूह]] हैं लेकिन अन्यथा किसी भी स्पष्ट पैटर्न का पालन नहीं करते हैं। अधिक चर्चा के लिए क्षेत्रकारों के होमोटॉपी समूह देखें।
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 === ज्यामितीय गुण ===
--क्षेत्र स्वाभाविक रूप से एक चिकनी कई गुना है, वास्तव में, एक बंद [[एम्बेडेड सबमेनिफोल्ड]] {{math|'''R'''<sup>4</sup>}}. [[यूक्लिडियन मीट्रिक]] पर {{math|'''R'''<sup>4</sup>}} 3-क्षेत्र पर एक [[मीट्रिक टेंसर]] को प्रेरित करता है जो इसे [[रीमैनियन कई गुना]] की संरचना देता है। जैसा कि सभी क्षेत्रों के साथ होता है, 3-क्षेत्र में निरंतर सकारात्मक [[अनुभागीय वक्रता]] बराबर होती है {{math|{{sfrac|1|''r''<sup>2</sup>}}}} जहाँ {{mvar|r}} त्रिज्या है।
+-गोला क्षेत्र स्वाभाविक रूप से एक चिकनी कई गुना है, वास्तव में, एक बंद [[एम्बेडेड सबमेनिफोल्ड]] {{math|'''R'''<sup>4</sup>}}. [[यूक्लिडियन मीट्रिक]] पर {{math|'''R'''<sup>4</sup>}} 3-गोला क्षेत्र पर एक [[मीट्रिक टेंसर]] को प्रेरित करता है जो इसे [[रीमैनियन कई गुना]] की संरचना देता है। जैसा कि सभी क्षेत्रों के साथ होता है, 3-गोला क्षेत्र में निरंतर सकारात्मक [[अनुभागीय वक्रता]] बराबर होती है {{math|{{sfrac|1|''r''<sup>2</sup>}}}} जहाँ {{mvar|r}} त्रिज्या है।
--क्षेत्र की अधिकांश दिलचस्प ज्यामिति इस तथ्य से उपजी है कि 3-क्षेत्र में क्वाटरनियन गुणन द्वारा दी गई एक प्राकृतिक लाई समूह संरचना है (नीचे #Group संरचना पर अनुभाग देखें)। ऐसी संरचना वाले केवल अन्य क्षेत्र 0-क्षेत्र और 1-क्षेत्र हैं (क्षेत्र समूह देखें)।
+-गोला क्षेत्र की अधिकांश दिलचस्प ज्यामिति इस तथ्य से उपजी है कि 3-गोला क्षेत्र में क्वाटरनियन गुणन द्वारा दी गई एक प्राकृतिक लाई समूह संरचना है (नीचे #Group संरचना पर अनुभाग देखें)। ऐसी संरचना वाले केवल अन्य क्षेत्र 0-क्षेत्र और 1-क्षेत्र हैं (क्षेत्र समूह देखें)।
--क्षेत्र के विपरीत, 3-क्षेत्र गैर-लुप्त होने वाले सदिश क्षेत्रों (इसके [[स्पर्शरेखा बंडल]] के खंड (फाइबर बंडल)) को स्वीकार करता है। यहां तक कि तीन रैखिक रूप से स्वतंत्र और अविच्छिन्न सदिश क्षेत्र भी खोजे जा सकते हैं। इन्हें किसी भी बाएं-अपरिवर्तनीय सदिश क्षेत्र के रूप में लिया जा सकता है जो 3-क्षेत्र के लाई बीजगणित के लिए आधार बनाता है। इसका तात्पर्य है कि 3-क्षेत्र [[समानांतर कई गुना]] है। यह इस प्रकार है कि 3-क्षेत्र का स्पर्शरेखा बंडल [[तुच्छ बंडल|नगण्य बंडल]] है। एक पर रैखिक स्वतंत्र सदिश क्षेत्रों की संख्या की एक सामान्य चर्चा के लिए {{mvar|n}}-क्षेत्र, क्षेत्र पर लेख सदिश क्षेत्र देखें।
+-क्षेत्र के विपरीत, 3-गोला क्षेत्र गैर-लुप्त होने वाले सदिश क्षेत्रों (इसके [[स्पर्शरेखा बंडल]] के खंड (फाइबर बंडल)) को स्वीकार करता है। यहां तक कि तीन रैखिक रूप से स्वतंत्र और अविच्छिन्न सदिश क्षेत्र भी खोजे जा सकते हैं। इन्हें किसी भी बाएं-अपरिवर्तनीय सदिश क्षेत्र के रूप में लिया जा सकता है जो 3-गोला क्षेत्र के लाई बीजगणित के लिए आधार बनाता है। इसका तात्पर्य है कि 3-गोला क्षेत्र [[समानांतर कई गुना]] है। यह इस प्रकार है कि 3-गोला क्षेत्र का स्पर्शरेखा बंडल [[तुच्छ बंडल|नगण्य बंडल]] है। एक पर रैखिक स्वतंत्र सदिश क्षेत्रों की संख्या की एक सामान्य चर्चा के लिए {{mvar|n}}-क्षेत्र, क्षेत्र पर लेख सदिश क्षेत्र देखें।
-क्षेत्र समूह की एक रोचक [[समूह क्रिया (गणित)]] है {{math|'''T'''}} पर {{math|''S''<sup>3</sup>}} 3-क्षेत्र को एक प्रमुख क्षेत्र बंडल की संरचना देता है जिसे [[हॉपफ बंडल]] के रूप में जाना जाता है। अगर कोई सोचता है {{math|''S''<sup>3</sup>}} के उपसमुच्चय के रूप में {{math|'''C'''<sup>2</sup>}}, द्वारा क्रिया दी गई है
+क्षेत्र समूह की एक रोचक [[समूह क्रिया (गणित)]] है {{math|'''T'''}} पर {{math|''S''<sup>3</sup>}} 3-गोला क्षेत्र को एक प्रमुख क्षेत्र बंडल की संरचना देता है जिसे [[हॉपफ बंडल]] के रूप में जाना जाता है। अगर कोई सोचता है {{math|''S''<sup>3</sup>}} के उपसमुच्चय के रूप में {{math|'''C'''<sup>2</sup>}}, द्वारा क्रिया दी गई है
 :<math>(z_1,z_2)\cdot\lambda = (z_1\lambda,z_2\lambda)\quad \forall\lambda\in\mathbb T</math>.
 इस क्रिया का [[कक्षा स्थान]] दो-क्षेत्र के लिए होमोमोर्फिक है {{math|''S''<sup>2</sup>}} तब से {{math|''S''<sup>3</sup>}} होमियोमॉर्फिक नहीं है {{math|''S''<sup>2</sup> × ''S''<sup>1</sup>}}, हॉफ बंडल गैर-नगण्य है।
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 === ग्लूइंग ===
-भागफल स्थान ([[टोपोलॉजी]]) द्वारा एक 3-क्षेत्र टोपोलॉजी का निर्माण किया जा सकता है 3-बॉल (गणित) की एक जोड़ी की सीमाओं को एक साथ चिपकाना। 3-गेंद की सीमा 2-क्षेत्र है, और इन दो 2-क्षेत्र की पहचान की जानी है। यानी, एक ही आकार की 3-गेंदों की एक जोड़ी की कल्पना करें, फिर उन्हें सुपरपोज़ करें ताकि उनकी 2-क्षेत्रकार सीमाएँ मिलें, और 2-क्षेत्र की जोड़ी पर मिलान करने वाले बिंदुओं को एक-दूसरे के समान होने दें। 2-क्षेत्र (नीचे देखें) के मामले के अनुरूप, ग्लूइंग सतह को भूमध्यरेखीय क्षेत्र कहा जाता है।
+भागफल स्थान ([[टोपोलॉजी]]) द्वारा एक 3-गोला क्षेत्र टोपोलॉजी का निर्माण किया जा सकता है 3-बॉल (गणित) की एक जोड़ी की सीमाओं को एक साथ चिपकाना। 3-गेंद की सीमा 2-क्षेत्र है, और इन दो 2-क्षेत्र की पहचान की जानी है। यानी, एक ही आकार की 3-गेंदों की एक जोड़ी की कल्पना करें, फिर उन्हें सुपरपोज़ करें ताकि उनकी 2-क्षेत्रकार सीमाएँ मिलें, और 2-क्षेत्र की जोड़ी पर मिलान करने वाले बिंदुओं को एक-दूसरे के समान होने दें। 2-क्षेत्र (नीचे देखें) के मामले के अनुरूप, ग्लूइंग सतह को भूमध्यरेखीय क्षेत्र कहा जाता है।
 ध्यान दें कि 3-गेंदों के अंदरूनी हिस्से एक-दूसरे से चिपके नहीं हैं। चौथे आयाम के बारे में सोचने का एक तरीका 3-गेंद के 3-आयामी निर्देशांकों के निरंतर वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन के रूप में है, जिसे शायद तापमान माना जाता है। हम ग्लूइंग 2-क्षेत्र के साथ तापमान शून्य लेते हैं और 3-गेंदों में से एक को गर्म होने देते हैं और दूसरी 3-गेंद को ठंडा होने देते हैं। गर्म 3-गेंद को ऊपरी क्षेत्रर्ध के रूप में सोचा जा सकता है और ठंडी 3-गेंद को निचले क्षेत्रर्ध के रूप में सोचा जा सकता है। तापमान दो 3-गेंदों के केंद्रों में उच्चतम/निम्नतम है।
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 === एक बिंदु संघनन ===
--क्षेत्र से एक बिंदु को हटाने के बाद, जो बचता है वह यूक्लिडियन प्लेन के लिए होमोमोर्फिक है। इसी तरह, 3-क्षेत्र से एक बिंदु को हटाने से त्रि-आयामी स्थान प्राप्त होता है।
+-क्षेत्र से एक बिंदु को हटाने के बाद, जो बचता है वह यूक्लिडियन प्लेन के लिए होमोमोर्फिक है। इसी तरह, 3-गोला क्षेत्र से एक बिंदु को हटाने से त्रि-आयामी स्थान प्राप्त होता है।
 इसे देखने का एक अत्यंत उपयोगी तरीका स्टीरियोग्राफिक प्रोजेक्शन के माध्यम से है। हम पहले निम्न-आयामी संस्करण का वर्णन करते हैं।
-एक इकाई 2-क्षेत्र के दक्षिणी ध्रुव को पर रखें {{mvar|xy}}-तीन-स्पेस में प्लेन। हम एक बिंदु का नक्शा बनाते हैं {{math|P}} क्षेत्र का (शून्य उत्तरी ध्रुव {{math|N}}) प्लेन में भेजकर {{math|P}} लाइन के चौराहे पर {{math|NP}} प्लेन के साथ। एक 3-क्षेत्र (फिर से उत्तरी ध्रुव को हटाते हुए) का त्रिविम प्रक्षेपण उसी तरह से तीन-स्पेस में मैप करता है। (ध्यान दें कि चूंकि त्रिविम प्रक्षेपण [[अनुरूप नक्शा प्रक्षेपण]] है, गोल क्षेत्र गोल क्षेत्रों या प्लेनों में भेजे जाते हैं।)
+एक इकाई 2-क्षेत्र के दक्षिणी ध्रुव को पर रखें {{mvar|xy}}-तीन-स्पेस में प्लेन। हम एक बिंदु का नक्शा बनाते हैं {{math|P}} क्षेत्र का (शून्य उत्तरी ध्रुव {{math|N}}) प्लेन में भेजकर {{math|P}} लाइन के चौराहे पर {{math|NP}} प्लेन के साथ। एक 3-गोला क्षेत्र (फिर से उत्तरी ध्रुव को हटाते हुए) का त्रिविम प्रक्षेपण उसी तरह से तीन-स्पेस में मैप करता है। (ध्यान दें कि चूंकि त्रिविम प्रक्षेपण [[अनुरूप नक्शा प्रक्षेपण]] है, गोल क्षेत्र गोल क्षेत्रों या प्लेनों में भेजे जाते हैं।)
 एक-बिंदु कॉम्पैक्टिफिकेशन के बारे में सोचने का कुछ अलग तरीका घातीय मानचित्र (रीमैनियन ज्यामिति) के माध्यम से है। यूक्लिडियन प्लेन पर बैठे इकाई दो-क्षेत्र की हमारी तस्वीर पर लौटते हुए: मूल के आधार पर, प्लेन में एक जियोडेसिक पर विचार करें, और दक्षिणी ध्रुव पर आधारित समान लंबाई के दो-क्षेत्र में एक जियोडेसिक के लिए इसे मैप करें। इस मानचित्र के अंतर्गत त्रिज्या के क्षेत्र के सभी बिंदु {{pi}} उत्तरी ध्रुव पर भेजे जाते हैं। चूंकि ओपन यूनिट डिस्क यूक्लिडियन प्लेन के लिए होमोमोर्फिक है, यह फिर से एक-बिंदु कॉम्पैक्टिफिकेशन है।
--क्षेत्र के लिए चरघातांकी मानचित्र समान रूप से बनाया गया है; यह इस तथ्य का उपयोग करके भी चर्चा की जा सकती है कि 3-क्षेत्र इकाई चतुष्कोणों का लाई ग्रुप है।
+-गोला क्षेत्र के लिए चरघातांकी मानचित्र समान रूप से बनाया गया है; यह इस तथ्य का उपयोग करके भी चर्चा की जा सकती है कि 3-गोला क्षेत्र इकाई चतुष्कोणों का लाई ग्रुप है।
-'''3-क्षेत्र पर समन्वय प्रणाली'''
+'''3-गोला क्षेत्र पर समन्वय प्रणाली'''
 चार यूक्लिडियन निर्देशांक के लिए {{math|''S''<sup>3</sup>}} निरर्थक हैं क्योंकि वे इस शर्त के अधीन हैं कि {{math|1=''x''<sub>0</sub><sup>2</sup> + ''x''<sub>1</sub><sup>2</sup> + ''x''<sub>2</sub><sup>2</sup> + ''x''<sub>3</sub><sup>2</sup> = 1}}. एक 3-आयामी कई गुना के रूप में पैरामीटर करने में सक्षम होना चाहिए {{math|''S''<sup>3</sup>}} तीन निर्देशांकों द्वारा, ठीक वैसे ही जैसे कोई दो निर्देशांकों (जैसे [[अक्षांश]] और देशांतर) का उपयोग करके 2-क्षेत्र का पैरामीटर बना सकता है। के nontrivial टोपोलॉजी के कारण {{math|''S''<sup>3</sup>}} पूरे स्थान को कवर करने वाले निर्देशांक का एक सेट खोजना असंभव है। 2-क्षेत्र की तरह ही, व्यक्ति को कम से कम दो निर्देशांक चार्ट का उपयोग करना चाहिए। निर्देशांकों के कुछ भिन्न विकल्प नीचे दिए गए हैं।
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 जहाँ {{mvar|ψ}} और {{mvar|θ}} 0 से रेंज तक चलाएँ {{pi}}, और {{mvar|φ}} 0 से 2 तक चलता है{{pi}}. ध्यान दें कि, के किसी भी निश्चित मूल्य के लिए {{mvar|ψ}}, {{mvar|θ}} और {{mvar|φ}} त्रिज्या के 2-क्षेत्र का मापन करें {{math|r sin ''ψ''}}, पतित मामलों को छोड़कर, जब {{mvar|ψ}} 0 या के बराबर है {{pi}}, जिस स्थिति में वे एक बिंदु का वर्णन करते हैं।
-इन निर्देशांकों में 3-क्षेत्र पर मीट्रिक टेंसर द्वारा दिया गया है{{citation needed|date=March 2016}}
+इन निर्देशांकों में 3-गोला क्षेत्र पर मीट्रिक टेंसर द्वारा दिया गया है{{citation needed|date=March 2016}}
 :<math>ds^2 = r^2 \left[ d\psi^2 + \sin^2\psi\left(d\theta^2 + \sin^2\theta\, d\varphi^2\right) \right]</math>
 और [[वॉल्यूम फॉर्म]] द्वारा
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 x_2 &= \cos\xi_2\cos\eta \\
 x_3 &= \sin\xi_2\cos\eta. \end{align}</math>
-यहाँ {{mvar|η}} 0 से रेंज में चलता है {{sfrac|{{pi}}|2}}, और {{math|''ξ''<sub>1</sub>}} और {{math|''ξ''<sub>2</sub>}} 0 और 2 {{pi}} के बीच कोई भी मान ले सकता है. ये निर्देशांक हॉफ बंडल के रूप में 3-क्षेत्र के वर्णन में उपयोगी हैं।
+यहाँ {{mvar|η}} 0 से रेंज में चलता है {{sfrac|{{pi}}|2}}, और {{math|''ξ''<sub>1</sub>}} और {{math|''ξ''<sub>2</sub>}} 0 और 2 {{pi}} के बीच कोई भी मान ले सकता है. ये निर्देशांक हॉफ बंडल के रूप में 3-गोला क्षेत्र के वर्णन में उपयोगी हैं।
 :<math>S^1 \to S^3 \to S^2.\,</math>
 [[File:Toroidal coord.png|thumb|पोलायडल को दर्शाने वाला आरेख ({{math|''ξ''<sub>1</sub>}}) दिशा, लाल तीर द्वारा दर्शाया गया है, और टोरॉयडल ({{math|''ξ''<sub>2</sub>}}) दिशा, नीले तीर द्वारा दर्शाया गया है, हालांकि इस फ्लैट टोरस#फ्लैट टोरस मामले में पोलायडल और टॉरॉयडल शब्द मनमाने हैं।]]के किसी निश्चित मूल्य के लिए {{mvar|η}} 0 और के बीच {{sfrac|{{pi}}|2}}, निर्देशांक {{math|(''ξ''<sub>1</sub>, ''ξ''<sub>2</sub>)}} एक 2-आयामी [[ टोरस्र्स |टोरस्र्स]] को मापें। निरंतर के रिंगों {{math|''ξ''<sub>1</sub>}} और {{math|''ξ''<sub>2</sub>}} ऊपर तोरी पर सरल ऑर्थोगोनल ग्रिड बनाते हैं। छवि को दाईं ओर देखें। पतित मामलों में, जब {{mvar|η}} 0 या के बराबर है {{sfrac|{{pi}}|2}}, ये निर्देशांक एक क्षेत्र का वर्णन करते हैं।
-इन निर्देशांकों में 3-क्षेत्र पर गोल मीट्रिक द्वारा दिया गया है।
+इन निर्देशांकों में 3-गोला क्षेत्र पर गोल मीट्रिक द्वारा दिया गया है।
 :<math>ds^2 = d\eta^2 + \sin^2\eta\,d\xi_1^2 + \cos^2\eta\,d\xi_2^2</math>
 और वॉल्यूम फॉर्म द्वारा
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 इस परिणाम को बताने का दूसरा तरीका यह है कि यदि हम किसी अवयव के मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व को व्यक्त करते हैं {{math|SU(2)}} पाउली मेट्रिसेस के एक रैखिक संयोजन के घातांक के रूप में। यह एक मनमाना अवयव देखा जाता है {{math|''U'' ∈ SU(2)}} के रूप में लिखा जा सकता है।
 :<math>U=\exp \left( \sum_{i=1}^3\alpha_i J_i\right).</math><ref>{{Cite book| last=Schwichtenberg |first=Jakob | url=https://www.worldcat.org/oclc/910917227 |title=समरूपता से भौतिकी|date=2015 |isbn=978-3-319-19201-7| location=Cham | oclc=910917227}}</ref>
-शर्त यह है कि के निर्धारक {{mvar|U}} is +1 का तात्पर्य है कि गुणांक {{math|''α''<sub>1</sub>}} 3-क्षेत्र पर निर्धारित करने के लिए है।
+शर्त यह है कि के निर्धारक {{mvar|U}} is +1 का तात्पर्य है कि गुणांक {{math|''α''<sub>1</sub>}} 3-गोला क्षेत्र पर निर्धारित करने के लिए है।
 == साहित्य में ==
-[[ एडविन एबट एबट ]] के [[ समतल भूमि ]] में, 1884 में प्रकाशित, और [[ स्फेरलैंड ]] में, [[डायोनिसस बर्गर]] द्वारा फ्लैटलैंड की 1965 की अगली कड़ी, 3-क्षेत्र को 'ओवरस्फीयर' के रूप में जाना जाता है, और 4-क्षेत्र को 'हाइपरस्फीयर' कहा जाता है।
+[[ एडविन एबट एबट ]] के [[ समतल भूमि ]] में, 1884 में प्रकाशित, और [[ स्फेरलैंड ]] में, [[डायोनिसस बर्गर]] द्वारा फ्लैटलैंड की 1965 की अगली कड़ी, 3-गोला क्षेत्र को 'ओवरस्फीयर' के रूप में जाना जाता है, और 4-क्षेत्र को 'हाइपरस्फीयर' कहा जाता है।
-[[अमेरिकन जर्नल ऑफ फिजिक्स]] में लेखन,<ref>{{cite journal|last=Peterson|first=Mark A.|title=Dante and the 3-sphere|url=http://link.aip.org/link/ajpias/v47/i12/p1031/s1|journal=American Journal of Physics|volume=47|number=12|date=1979|pages=1031–1035|doi=10.1119/1.11968|bibcode=1979AmJPh..47.1031P|archive-url=https://archive.today/20130223083042/http://link.aip.org/link/ajpias/v47/i12/p1031/s1|archive-date=23 February 2013}}</ref> मार्क ए. पीटरसन ने 3-क्षेत्रों की कल्पना करने के तीन अलग-अलग तरीकों का वर्णन किया है और [[द डिवाइन कॉमेडी]] में भाषा को इंगित किया है जो बताता है कि [[दांटे अलीघीरी]] ने ब्रह्मांड को उसी तरह देखा था; [[ चार्ल्स रोवेली |चार्ल्स रोवेली]] इसी विचार का समर्थन करते हैं।<ref>{{cite book|last=Rovelli|first=Carlo|title=General Relativity: The Essentials|date=9 September 2021|url={{GBurl|000_EAAAQBAJ|p=40}}|location=Cambridge|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1-00-901369-7|access-date=13 September 2021}}</ref>
+[[अमेरिकन जर्नल ऑफ फिजिक्स]] में लेखन,<ref>{{cite journal|last=Peterson|first=Mark A.|title=Dante and the 3-sphere|url=http://link.aip.org/link/ajpias/v47/i12/p1031/s1|journal=American Journal of Physics|volume=47|number=12|date=1979|pages=1031–1035|doi=10.1119/1.11968|bibcode=1979AmJPh..47.1031P|archive-url=https://archive.today/20130223083042/http://link.aip.org/link/ajpias/v47/i12/p1031/s1|archive-date=23 February 2013}}</ref> मार्क ए. पीटरसन ने 3-गोला क्षेत्रों की कल्पना करने के तीन अलग-अलग तरीकों का वर्णन किया है और [[द डिवाइन कॉमेडी]] में भाषा को इंगित किया है जो बताता है कि [[दांटे अलीघीरी]] ने ब्रह्मांड को उसी तरह देखा था; [[ चार्ल्स रोवेली |चार्ल्स रोवेली]] इसी विचार का समर्थन करते हैं।<ref>{{cite book|last=Rovelli|first=Carlo|title=General Relativity: The Essentials|date=9 September 2021|url={{GBurl|000_EAAAQBAJ|p=40}}|location=Cambridge|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1-00-901369-7|access-date=13 September 2021}}</ref>
 कला चौथे आयाम में गणित से मिलती है,<ref>{{Cite book|last=Lipscomb|first=Stephen |title=कला चौथे आयाम में गणित से मिलती है|url=https://www.springer.com/gp/book/9783319062532|date=2014|isbn=978-3-319-06254-9|edition=2|location=Berlin|oclc=893872366}}</ref> स्टीफन एल. लिप्सकोम्ब ने हाइपरस्फीयर आयामों की अवधारणा को विकसित किया है क्योंकि यह कला, वास्तुकला और गणित से संबंधित है।

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