ऑपेराड

गणित में, ऑपेराड एक संरचना है जिसमें एब्स्ट्रैक्ट (संक्षेप) ऑपरेशन (गणित) होते हैं, प्रत्येक में निश्चित परिमित संख्या में इनपुट और आउटपुट होता है, साथ ही इन ऑपरेशनों को बनाने के प्रकार का विनिर्देश होता है। ओपेरा O दिया गया है $O$ इस समूह पर ठोस ऑपरेशंस के साथ सेट होने के लिए बीजगणित को परिभाषित करता है जो कि संक्षेप ऑपरेशन की तरह ही व्यवहार करता है उदाहरण के लिए, ऑपेराड L जैसे L के ऊपर बीजगणित लाई बीजगणित है; अर्थ में L संक्षेप प्रकार से उन ऑपरेशनों को स्कैनकोड करता है जो सभी लाई बीजगणित के लिए सामान्य है। ऑपेराड अपने बीजगणित के लिए समूह (गणित) के रूप में अपने समूह के प्रतिनिधित्व के लिए है।

इतिहास

ऑपरेशंस बीजगणितीय टोपोलॉजी में उत्पन्न होते हैं ऑपेराड; 1969 में जे माइकल बोर्डमैन और रेनर एम. वोग्ट और 1970 मई जे. पीटर मे द्वारा प्रस्तुत किया गया था। ऑपेराड शब्द मई द्वारा संचालन और मोनड (श्रेणी सिद्धांत) के पोर्टमंतेऊ के रूप में बनाया गया था (और इसलिए भी कि उनकी मां एक ऑपेरा गायक थीं)। 90 के दशक की प्रारम्भ में ऑपेराड में रुचि अधिकांशतः नवीनीकृत हो गई थी, जब मैक्सिम कोंटेसेविच, विक्टर गिन्ज़बर्ग और मिखाइल कापरानोव की प्रारंभिक अंतर्दृष्टि के आधार पर पता चला कि तर्कसंगत होमोटोपी सिद्धांत में कुछ द्वंद (गणित) घटनाओं को ऑपेराड के कोज़ुल द्वंद का उपयोग करके समझाया जा सकता है। इसके बाद से ऑपरेड्स ने कई अनुप्रयोगों को पाया है, जैसे जहर कई गुना के विरूपण परिमाणीकरण में, डेलिग्ने अनुमान, या मैक्सिम कोंटसेविच और थॉमस विलवाकर के कार्य में ग्राफ (असतत गणित) होमोलॉजी (गणित) में किया गया है।

अभ्यास

माना X एक समूह है और $n\in \mathbb {N}$ को परिभाषित करता है

और $P(n):=\{f:X^{n}\to X\}$,

कार्टेशियन प्रोडक्ट से सभी फलन का समूह $n$ की प्रतिरूप $X$ को $X$ है।

हम इन फलन की रचना कर सकते हैं: दिया गया $f\in P(n)$, $f_{1}\in P(k_{1}),\ldots ,f_{n}\in P(k_{n})$, फलन

$f\circ (f_{1},\ldots ,f_{n})\in P(k_{1}+\cdots +k_{n})$

निम्नानुसार परिभाषित किया गया है: दिया गया $k_{1}+\cdots +k_{n}$ से तर्क $X$, हम उन्हें विभाजित करते हैं $n$ ब्लॉक, पहले वाला $k_{1}$तर्क, दूसरा $k_{2}$ तर्क, इत्यादि, और फिर क्रियान्वित करें $f_{1}$पहले ब्लॉक के लिए, $f_{2}$ दूसरे ब्लॉक इत्यादि के लिए है। फिर हम मान X से प्राप्त एन मानों की सूचि में एफ को इस प्रकार क्रियान्वित करते हैं |

हम तर्कों को भी अनुमति दे सकते हैं, अर्थात हमारे पास समूह क्रिया है $*$ सममित समूह का $S_{n}$ पर $P(n)$, द्वारा परिभाषित

$(f*s)(x_{1},\ldots ,x_{n})=f(x_{s^{-1}(1)},\ldots ,x_{s^{-1}(n)})$

के लिए $f\in P(n)$, $s\in S_{n}$ और $x_{1},\ldots ,x_{n}\in X$.

नीचे दी गई सममित ऑपेराड की परिभाषा इन दो आपरेशनों के आवश्यक गुणों को पकड़ती है $\circ$ और $*$.

परिभाषा

असममित ऑपेराड असममित ऑपेराड (कभी-कभी क्रमचय के बिना ऑपेराड कहा जाता है, या गैर-$\Sigma$या प्लेन ऑपेराड) में निम्नलिखित सम्मिलित हैं:

• अनुक्रम $(P(n))_{n\in \mathbb {N} }$ समूह के, जिनके तत्व कहलाते हैं एन-एरी ऑपरेशन ,
• अवयव $1$ में $P(1)$ पहचान कहते हैं,
• सभी धन पूर्णांक के लिए $n$, ${\textstyle k_{1},\ldots ,k_{n}}$, संघटन फलन

$\begin{array}{r}\circ <!--\; \circ \; -->:P(n)\times <!--\; \times \; -->P(k_1)\end{array}$