समांतर श्रेणी: Difference between revisions

Revision as of 15:19, 24 August 2023

समांतर श्रेणी या अंकगणितीय क्रम संख्याओं का एक ऐसा क्रम है जिसमें लगातार शब्दों के बीच का अंतर स्थिर होता है। उदाहरण के लिए 5, 7, 9, 11, 13, 15 के क्रम में सामान्य अंतर के साथ समांतर श्रेणी दिखाई दे रही है।

यदि समांतर श्रेणी का प्रारंभिक शब्द $a_{1}$ है एवं क्रमिक सदस्यों का सामान्य अंतर $d$ है तत्कालीन $n$ क्रम का शब्द ( $a_{n}$ ) दिया गया है |

\ a_{n}=a_{1}+(n-1)d

,

और सामान्य रूप से

\ a_{n}=a_{m}+(n-m)d

।

समांतर श्रेणी के परिमित हिस्से को परिमित समांतर श्रेणी कहा जाता है | कभी -कभी इस इकाई को केवल समांतर श्रेणी भी कहा जाता है। वहीं एक परिमित समांतर श्रेणी के योग को अंकगणित श्रृंखला कहा जाता है।

योग

एक परिमित समांतर श्रेणी के कुल इकाई के योग को अंकगणित श्रृंखला कहा जाता है। उदाहरण के लिए नीचे दिए गए योगफल पर विचार करें |

2+5+8+11+14

यहाँ त्वरित रूप से जोड़े जा रहे रहे योग के अनुसार (5) की संख्या के लिए n को अंकगणितीय क्रम में पहले और अंतिम संख्या के योग से गुणा करने पर (यहां 2 + 14 = 16), और 2 से विभाजित करने पर प्राप्त समीकरण

{\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}

उपरोक्त विधि के अनुसार जो समीकरण मिलता है वह निम्नांकित है |

2+5+8+11+14={\frac {5(2+14)}{2}}={\frac {5\times 16}{2}}=40.

यह सूत्र किसी भी वास्तविक संख्या के लिए काम करता है $a_{1}$ तथा $a_{n}$ । उदाहरण के लिए नीचे के योग पर ध्यान दें |

\left(-{\frac {3}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}={\frac {3\left(-{\frac {3}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)}{2}}=-{\frac {3}{2}}.

व्युत्पत्ति

पहले पूर्णांक 1+2+...+n का योग देने वाले सूत्र के लिए एनिमेटेड प्रमाण।

उपरोक्त सूत्र को प्राप्त करने के लिए दो अलग -अलग तरीकों से अंकगणित श्रृंखला को व्यक्त करके कुछ इस तरह समीकरण शुरू करें |

S_{n} = a_{1}

@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Short description|Sequence of numbers}}
-अंकगणितीय प्रगति या अंकगणितीय अनुक्रम संख्याओं का एक ऐसा अनुक्रम है जिसमें लगातार शब्दों के बीच का अंतर स्थिर होता है। उदाहरण के लिए 5, 7, 9, 11, 13, 15 के अनुक्रम में सामान्य अंतर के साथ अंकगणितीय प्रगति दिखाई दे रही है।
+समांतर श्रेणी या अंकगणितीय [[क्रम]] संख्याओं का एक ऐसा क्रम है जिसमें लगातार शब्दों के बीच का अंतर स्थिर होता है। उदाहरण के लिए 5, 7, 9, 11, 13, 15 के क्रम में सामान्य अंतर के साथ समांतर श्रेणी दिखाई दे रही है।
-यदि अंकगणितीय प्रगति का प्रारंभिक शब्द <math>a_1</math>है एवं क्रमिक सदस्यों का सामान्य अंतर <math>d</math> है तत्कालीन <math>n</math> अनुक्रम का शब्द (<math>a_n</math>) दिया गया है |
+यदि समांतर श्रेणी का प्रारंभिक शब्द <math>a_1</math>है एवं क्रमिक सदस्यों का सामान्य अंतर <math>d</math> है तत्कालीन <math>n</math> क्रम का शब्द (<math>a_n</math>) दिया गया है |
 :<math>\ a_n = a_1 + (n - 1)d</math>,
@@ Line 9: / Line 9: @@
 :<math>\ a_n = a_m + (n - m)d</math>।
-अंकगणितीय प्रगति के परिमित हिस्से को परिमित अंकगणितीय प्रगति कहा जाता है | कभी -कभी इस इकाई को  केवल अंकगणितीय प्रगति भी कहा जाता है। वहीं एक परिमित अंकगणितीय प्रगति के योग को अंकगणित श्रृंखला कहा जाता है।
+समांतर श्रेणी के परिमित हिस्से को परिमित समांतर श्रेणी कहा जाता है | कभी -कभी इस इकाई को  केवल समांतर श्रेणी भी कहा जाता है। वहीं एक परिमित समांतर श्रेणी के योग को अंकगणित श्रृंखला कहा जाता है।
 == योग ==
-एक परिमित अंकगणितीय प्रगति के कुल इकाई के [https://en.wikipedia.org/wiki/Summation|'''योग'''] को अंकगणित श्रृंखला कहा जाता है। उदाहरण के लिए नीचे दिए गए योगफल पर विचार करें |
+एक परिमित समांतर श्रेणी के कुल इकाई के [https://en.wikipedia.org/wiki/Summation|'''योग'''] को अंकगणित श्रृंखला कहा जाता है। उदाहरण के लिए नीचे दिए गए योगफल पर विचार करें |
 :<math>2 + 5 + 8 + 11 + 14</math>
-यहाँ त्वरित रूप से जोड़े जा रहे रहे योग के अनुसार (5) की संख्या के लिए n को अंकगणितीय अनुक्रम में पहले और अंतिम संख्या के योग से गुणा करने पर (यहां 2 + 14 = 16), और 2 से विभाजित करने पर प्राप्त समीकरण
+यहाँ त्वरित रूप से जोड़े जा रहे रहे योग के अनुसार (5) की संख्या के लिए n को अंकगणितीय क्रम में पहले और अंतिम संख्या के योग से गुणा करने पर (यहां 2 + 14 = 16), और 2 से विभाजित करने पर प्राप्त समीकरण
 :<math>\frac{n(a_1 + a_n)}{2}</math>
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 == उत्पाद ==
-एक प्रारंभिक तत्व के साथ एक परिमित अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों का उत्पाद<sub>1</sub> सामान्य अंतर d, और कुल कुल में n तत्व बंद अभिव्यक्ति में निर्धारित किया जाता है |
+एक प्रारंभिक तत्व के साथ एक परिमित समांतर श्रेणी के सदस्यों का उत्पाद<sub>1</sub> सामान्य अंतर d, और कुल कुल में n तत्व बंद अभिव्यक्ति में निर्धारित किया जाता है |
 :<math>a_1a_2a_3\cdots a_n = a_1(a_1+d)(a_1+2d)...(a_1+(n-1)d)= \prod_{k=0}^{n-1} (a_1+kd) = d^n \frac{\Gamma \left(\frac{a_1}{d} + n\right) }{\Gamma \left( \frac{a_1}{d} \right)}</math>
 जहां '''<math>\Gamma</math> [https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function|गामा फ़ंक्शन]''' को दर्शाता है। जब <math>a_1/d</math> नकारात्मक या फिर शून्य है तब ऐसे में सूत्र मान्य नहीं है |
-यह इस तथ्य से एक सामान्यीकरण है कि प्रगति का उत्पाद <math>1 \times 2 \times \cdots \times n</math> फैक्टरियल द्वारा दिया जाता है <math>n!</math> और वह उत्पाद
+यह इस तथ्य से एक सामान्यीकरण है कि श्रेणी का उत्पाद <math>1 \times 2 \times \cdots \times n</math> [[कारख़ाने का]] द्वारा दिया जाता है <math>n!</math> और वह उत्पाद
 :<math>m \times (m+1) \times (m+2) \times \cdots \times (n-2) \times (n-1) \times n </math>
@@ Line 77: / Line 77: @@
 &= d^n\prod_{k=0}^{n-1} \left(\frac{a_1}{d}+k\right)=d^n {\left(\frac{a_1}{d}\right)}^{\overline{n}}
 \end{align}</math>
-जहाँ <math>x^{\overline{n}}</math> बढ़ते फैक्टरियल को दर्शाता है।
+जहाँ <math>x^{\overline{n}}</math> बढ़ते कारख़ाने का को दर्शाता है।
 पुनरावृत्ति सूत्र द्वारा <math>\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)</math>, एक जटिल संख्या के लिए मान्य है <math>z>0</math>,
@@ Line 88: / Line 88: @@
 :<math> \frac{\Gamma(z+m)}{\Gamma(z)} = \prod_{k=0}^{m-1}(z+k)</math>
-के लिये <math>m</math> एक सकारात्मक पूर्णांक और <math>z</math> सकारात्मक जटिल संख्या है |
+के लिये <math>m</math> एक प्राकृतिक संख्या‎ (redirected) और <math>z</math> सकारात्मक जटिल संख्या है |
 इस प्रकार, अगर <math>a_1/d > 0 </math>,
@@ Line 101: / Line 101: @@
 ;उदाहरण 1
-उदाहरण <math> 3, 8, 13, 18, 23, 28, \ldots </math>, द्वारा दिए गए अंकगणितीय प्रगति के तथ्य का 50 निश्चित अंक तक का परिणाम होगा  <math>a_n = 3 + 5(n-1) </math>
+उदाहरण <math> 3, 8, 13, 18, 23, 28, \ldots </math>, द्वारा दिए गए समांतर श्रेणी के तथ्य का 50 निश्चित अंक तक का परिणाम होगा  <math>a_n = 3 + 5(n-1) </math>
 :<math>P_{50} = 5^{50} \cdot \frac{\Gamma \left(3/5 + 50\right) }{\Gamma \left( 3 / 5 \right) } \approx 3.78438 \times 10^{98}. </math>
 ;उदाहरण 2
@@ Line 120: / Line 120: @@
 == मानक विचलन ==
-किसी भी अंकगणितीय प्रगति के मानक विचलन की गणना कुछ इस तरह की जा सकती है |
+किसी भी समांतर श्रेणी के मानक विचलन की गणना कुछ इस तरह की जा सकती है |
 :<math> \sigma = |d|\sqrt{\frac{(n-1)(n+1)}{12}}</math>
-जहां पर <math> n</math> प्रगति में शर्तों की संख्या है और
+जहां पर <math> n</math>  श्रेणी में शर्तों की संख्या है और
 <math> d</math> शर्तों के बीच आम अंतर है।सूत्र एक असतत समान वितरण के मानक विचलन के समान है।
-== प्रतिच्छेदन ==
+== चौराहा ==
-प्रतिच्छेदन को चीनी शेष प्रमेय यानि (चाइनीज रिमाइंडर थियोरम ) का उपयोग कर दो दोगुनी अंकगणतीय अनुक्रम या अन्य अंकगणतीय अनुक्रम को रिक्त किया जा सकता है |  यदि दोगुनी अनंत अंकगणितीय अनुक्रम के वर्ग में अनुक्रम की प्रत्येक जोड़ी में अरिक्‍त प्रतिच्छेदन  है तो उन सभी के लिए एक सामान्य संख्या मौजूद है अर्थात् अनंत अंकगणितीय प्रगति एक हेल्ली परिवार (प्रतिच्छेदन फार्मूला का एक प्रकार ) का निर्माण करती है।<ref>{{citation
+[[चौराहा]] को चीनी शेष प्रमेय यानि (चाइनीज रिमाइंडर थियोरम ) का उपयोग कर दो दोगुनी अंकगणतीय क्रम या अन्य अंकगणतीय क्रम को रिक्त किया जा सकता है |  यदि दोगुनी अनंत अंकगणितीय क्रम के वर्ग में क्रम की प्रत्येक जोड़ी में अरिक्‍त चौराहा है तो उन सभी के लिए एक सामान्य संख्या मौजूद है अर्थात् अनंत समांतर श्रेणी एक हेल्ली परिवार (चौराहा फार्मूला का एक प्रकार ) का निर्माण करती है।<ref>{{citation
   | last = Duchet
   | first = Pierre
@@ Line 140: / Line 140: @@
   | title = Handbook of combinatorics, Vol. 1, 2
   | year = 1995
-}}।विशेष खंड 2.5 में देखें, हेल्ली प्रॉपर्टी, [https://books.google.com/books?id=5y9ncwlx63ic&pg=pa393 pp। & nbsp; 393–394]।</ref>हालांकि असीम रूप से कई अनंत अंकगणितीय प्रगति का अनुक्रम अनंत अनुक्रम होने के बजाय एकल संख्या के रूप में हो सकती है ।
+}}।विशेष खंड 2.5 में देखें, हेल्ली प्रॉपर्टी, [https://books.google.com/books?id=5y9ncwlx63ic&pg=pa393 pp। & nbsp; 393–394]।</ref>हालांकि असीम रूप से कई अनंत समांतर श्रेणी का क्रम अनंत क्रम होने के बजाय एकल संख्या के रूप में हो सकती है ।
 == इतिहास ==
@@ Line 180: / Line 180: @@
 == यह भी देखें ==
-* ज्यामितीय अनुक्रम
+* ज्यामितीय क्रम
-* हार्मोनिक प्रगति
+* हार्मोनिक  श्रेणी
 * त्रिकोणीय संख्या
-* अंकगणित-ज्यामितीय अनुक्रम
+* अंकगणित-ज्यामितीय क्रम
 * अंकगणित और ज्यामितीय साधनों की असमानता
-* अंकगणितीय प्रगति में प्राइम
+* समांतर श्रेणी में प्राइम
 * रैखिक अंतर समीकरण
-* सामान्यीकृत अंकगणितीय प्रगति, अंकगणितीय प्रगति के रूप में निर्मित पूर्णांक का एक सेट है, लेकिन कई संभावित अंतरों की अनुमति देता है
+* सामान्यीकृत समांतर श्रेणी, समांतर श्रेणी के रूप में निर्मित पूर्णांक का एक सेट है, लेकिन कई संभावित अंतरों की अनुमति देता है
-* अंकगणितीय प्रगति में पक्षों के साथ हेरोनियन त्रिकोण
+* समांतर श्रेणी में पक्षों के साथ हेरोनियन त्रिकोण
-* अंकगणितीय प्रगति से जुड़ी समस्याए
+* समांतर श्रेणी से जुड़ी समस्याए
-* बहुपद अंकगणितीय प्रगति की शक्तियों की गणना करना
+* बहुपद समांतर श्रेणी की शक्तियों की गणना करना
 == संदर्भ ==
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 {{DEFAULTSORT:Arithmetic Progression}}
-[[Category:Machine Translated Page]]
 [[Category:AC with 0 elements|Arithmetic Progression]]
@@ Line 211: / Line 210: @@
 [[Category:CS1|Arithmetic Progression]]
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