रैखिकता: Difference between revisions
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रैखिकता एक गणितीय संबंध (फ़ंक्शन) का गुण है जिसे रेखांकन द्वारा एक सीधी [[ रेखा (ज्यामिति) |रेखा]] के रूप में दर्शाया जा सकता है। रैखिकता का [[ आनुपातिकता (गणित) |आनुपातिकता]] से गहरा संबंध है। भौतिक विज्ञान के उदाहरणों में सरल [[ सीधा गति |रेखीय गति]], एक [[ विद्युत कंडक्टर |विद्युत कंडक्टर]] में [[ वोल्टेज |वोल्टेज]] और [[ विद्युत प्रवाह |विद्युत]] का रैखिक संबंध (ओम का नियम) और [[ द्रव्यमान |द्रव्यमान]] और [[ वजन |वजन]] का संबंध शामिल हैं। इसके विपरीत, अधिक जटिल रिश्ते अरेखीय होते हैं। | रैखिकता एक गणितीय संबंध (फ़ंक्शन) का गुण है जिसे रेखांकन द्वारा एक सीधी [[ रेखा (ज्यामिति) |रेखा]] के रूप में दर्शाया जा सकता है। रैखिकता का [[ आनुपातिकता (गणित) |आनुपातिकता]] से गहरा संबंध है। भौतिक विज्ञान के उदाहरणों में सरल [[ सीधा गति |रेखीय गति]], एक [[ विद्युत कंडक्टर |विद्युत कंडक्टर]] में [[ वोल्टेज |वोल्टेज]] और [[ विद्युत प्रवाह |विद्युत]] का रैखिक संबंध (ओम का नियम) और [[ द्रव्यमान |द्रव्यमान]] और [[ वजन |वजन]] का संबंध शामिल हैं। इसके विपरीत, अधिक जटिल रिश्ते अरेखीय होते हैं। | ||
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=== रैखिक बहुपद === | === रैखिक बहुपद === | ||
{{main| | {{main|रेखीय समीकरण}} | ||
उपरोक्त परिभाषा के एक अलग प्रयोग में, डिग्री 1 के [[ बहुपद |बहुपद]] को रैखिक कहा जाता है, क्योंकि उस रूप के एक फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक सीधी रेखा है।<ref>[[James Stewart (mathematician)|Stewart, James]] (2008). ''Calculus: Early Transcendentals'', 6th ed., Brooks Cole Cengage Learning. {{isbn|978-0-495-01166-8}}, Section 1.2</ref> | उपरोक्त परिभाषा के एक अलग प्रयोग में, डिग्री 1 के [[ बहुपद |बहुपद]] को रैखिक कहा जाता है, क्योंकि उस रूप के एक फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक सीधी रेखा है।<ref>[[James Stewart (mathematician)|Stewart, James]] (2008). ''Calculus: Early Transcendentals'', 6th ed., Brooks Cole Cengage Learning. {{isbn|978-0-495-01166-8}}, Section 1.2</ref> | ||
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=== बूलियन फ़ंक्शन === | === बूलियन फ़ंक्शन === | ||
{{main article| | {{main article|समता फलन}} | ||
[[File:Hasse-linear.svg|thumb|right|एक रैखिक बूलियन फ़ंक्शन का हैस आरेख]][[ बूलियन बीजगणित (तर्क) |बूलियन बीजगणित]] में, एक रैखिक फलन एक फलन <math>f</math> होता है जिसके लिए <math>a_0, a_1, \ldots, a_n \in \{0,1\}</math> ऐसे मौजूद होते हैं | [[File:Hasse-linear.svg|thumb|right|एक रैखिक बूलियन फ़ंक्शन का हैस आरेख]][[ बूलियन बीजगणित (तर्क) |बूलियन बीजगणित]] में, एक रैखिक फलन एक फलन <math>f</math> होता है जिसके लिए <math>a_0, a_1, \ldots, a_n \in \{0,1\}</math> ऐसे मौजूद होते हैं | ||
:<math>f(b_1, \ldots, b_n) = a_0 \oplus (a_1 \land b_1) \oplus \cdots \oplus (a_n \land b_n)</math>, | :<math>f(b_1, \ldots, b_n) = a_0 \oplus (a_1 \land b_1) \oplus \cdots \oplus (a_n \land b_n)</math>, जहाँ <math>b_1, \ldots, b_n \in \{0,1\}.</math> | ||
ध्यान दें कि | ध्यान दें कि यदि <math>a_0 = 1</math> है, तो उपरोक्त फलन को रैखिक बीजगणित (अर्थात् रैखिक नहीं) में परिबद्ध माना जाता है। | ||
एक बूलियन फ़ंक्शन | एक बूलियन फ़ंक्शन रेखीय होता है यदि निम्न में से कोई एक फ़ंक्शन की सत्य तालिका के लिए हो: | ||
# प्रत्येक पंक्ति में जिसमें फ़ंक्शन का सत्य मान | # प्रत्येक पंक्ति में जिसमें फ़ंक्शन का सत्य मान T है, तर्कों के लिए निर्दिष्ट Ts की एक विषम संख्या होती है, और प्रत्येक पंक्ति में जहाँ फ़ंक्शन F होता है, Ts की एक सम संख्या तर्कों के लिए नियत होती है। विशेष रूप से, {{nowrap|1=''f''(F, F, ..., F) = F}}, और ये फ़ंक्शन बूलियन सदिश स्थान पर रैखिक मानचित्रों के संगत हैं। | ||
# प्रत्येक पंक्ति में जिसमें फ़ंक्शन का मान T | #प्रत्येक पंक्ति में जिसमें फ़ंक्शन का मान T है, फ़ंक्शन के तर्कों के लिए Ts की एक सम संख्या निर्दिष्ट है; और प्रत्येक पंक्ति में जिसमें फलन का सत्य मान F है, तर्कों के लिए निर्दिष्ट Ts की एक विषम संख्या है। इस स्थिति में, {{nowrap|1=''f''(F, F, ..., F) = T}} | ||
इसे व्यक्त करने का | इसे व्यक्त करने का एक अन्य तरीका यह है कि प्रत्येक चर हमेशा संक्रिया के सत्य मान में अंतर करता है या यह कभी भी अंतर नहीं करता है। | ||
[[ नकार ]] | [[ नकार |निषेध]], [[ तार्किक द्विकंडीशनल |तार्किक द्विप्रतिबंध]], [[ तनातनी (तर्क) |अनन्य]] या पुनरुक्ति और विरोधाभास रैखिक कार्य हैं। | ||
==भौतिकी == | ==भौतिकी == | ||
भौतिकी में, रैखिकता कई प्रणालियों को | भौतिकी में, रैखिकता कई प्रणालियों को संचालित करने वाले अवकल समीकरणों का गुण है; उदाहरण के लिए, [[ मैक्सवेल समीकरण |मैक्सवेल समीकरण]] या [[ प्रसार समीकरण |प्रसार समीकरण]]।<ref>{{Citation | last1=Evans | first1=Lawrence C. | title=Partial differential equations | orig-year=1998 | url=https://www.ams.org/journals/bull/2000-37-03/S0273-0979-00-00868-5/S0273-0979-00-00868-5.pdf |archive-url=https://ghostarchive.org/archive/20221009/https://www.ams.org/journals/bull/2000-37-03/S0273-0979-00-00868-5/S0273-0979-00-00868-5.pdf |archive-date=2022-10-09 |url-status=live | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | edition=2nd | series=[[Graduate Studies in Mathematics]] | isbn=978-0-8218-4974-3 |mr=2597943 | year=2010 | volume=19 | doi=10.1090/gsm/019}}</ref> | ||
एक समांगी विभेदक समीकरण की रैखिकता का अर्थ है कि यदि दो फलन f और g समीकरण के हल हैं, तो कोई भी [[ रैखिक संयोजन |रैखिक संयोजन]] {{nowrap|''af'' + ''bg''}} भी होता है। | |||
यंत्रीकरण में, रैखिकता का अर्थ है कि एक इनपुट चर में दिया गया परिवर्तन माप उपकरण के आउटपुट में समान परिवर्तन देता है: यह वैज्ञानिक कार्यों में अत्यधिक वांछनीय है। सामान्य तौर पर, उपकरण एक निश्चित सीमा में रैखिक के करीब होते हैं, और उस सीमा के भीतर सबसे उपयोगी होते हैं। इसके विपरीत, मानव इंद्रियां अत्यधिक अरैखिक होती हैं: उदाहरण के लिए, मस्तिष्क पूरी तरह से आने वाले प्रकाश की उपेक्षा करता है जब तक कि यह फोटॉन की एक निश्चित [[ पूर्ण सीमा |पूर्ण सीमा]] से अधिक न हो। | |||
अधिकांश [[ विज्ञान ]] और | == इलेक्ट्रानिक्स == | ||
[[ इलेक्ट्रानिक्स |इलेक्ट्रानिक्स]] में, एक उपकरण का रैखिक ऑपरेटिंग क्षेत्र, उदाहरण के लिए एक [[ ट्रांजिस्टर |ट्रांजिस्टर]], वह होता है जहां एक आउटपुट [[ निर्भर चर |आश्रित चर]] (जैसे ट्रांजिस्टर कलेक्टर वर्तमान) एक इनपुट निर्भर चर (जैसे आधार वर्तमान) के सीधे आनुपातिक होता है। यह सुनिश्चित करता है कि एक एनालॉग आउटपुट एक इनपुट का सटीक प्रतिनिधित्व है, आमतौर पर उच्च आयाम (एम्पलीफाइड) के साथ। रैखिक उपकरण का एक विशिष्ट उदाहरण एक [[ उच्च निष्ठा |उच्च विश्वस्तता]] [[ ऑडियो एंप्लिफायर |ऑडियो एम्पलीफायर]] है, जिसे अपने तरंग रूप को बदले बिना एक संकेत को बढ़ाना चाहिए। अन्य सामान्य रूप से [[ रैखिक फिल्टर |रैखिक फिल्टर]] और [[ रैखिक एम्पलीफायर |रैखिक एम्पलीफायर]] हैं। | |||
अधिकांश [[ विज्ञान |वैज्ञानिक]] और तकनीकी में, गणितीय, अनुप्रयोगों से भिन्न, किसी चीज़ को रैखिक के रूप में वर्णित किया जा सकता है यदि विशेषता लगभग है लेकिन बिल्कुल सीधी रेखा नहीं है; और रैखिकता केवल एक निश्चित ऑपरेटिंग क्षेत्र के भीतर मान्य हो सकती है - उदाहरण के लिए, एक उच्च-निष्ठा प्रवर्धक एक छोटे संकेत को विकृत कर सकता है, लेकिन स्वीकार्य होने के लिए पर्याप्त रूप से कम (स्वीकार्य लेकिन अपूर्ण रैखिकता); और यदि इनपुट एक निश्चित मान से अधिक हो जाता है तो यह बहुत बुरी तरह विकृत हो सकता है।<ref name="Whitaker">{{cite book|last=Whitaker|first=Jerry C.|title=आरएफ ट्रांसमिशन सिस्टम हैंडबुक|year=2002|publisher=CRC Press|isbn=978-0-8493-0973-1|url=https://books.google.com/books?id=G5UHVIqEWdQC&pg=SA11-PA1}}</ref> | |||
=== अभिन्न रैखिकता === | === अभिन्न रैखिकता === | ||
{{main | | {{main |अभिन्न रैखिकता}} | ||
< | एक इलेक्ट्रॉनिक उपकरण (या अन्य भौतिक उपकरण) के लिए जो एक मात्रा को दूसरी मात्रा में परिवर्तित करता है, बर्ट्राम एस. कोल्ट्स लिखते हैं:<ref>{{cite web |title=रैखिकता और एकरसता को समझना|first=Bertram S. |last=Kolts |publisher=analogZONE |date=2005 |url=http://www.analogzone.com/nett1108.pdf |archive-url=https://web.archive.org/web/20120204065155/http://www.analogzone.com/nett1108.pdf |archive-date=February 4, 2012 |access-date=September 24, 2014}}</ref><ref>{{cite journal |title=रैखिकता और एकरसता को समझना|first=Bertram S. |last=Kolts |journal=Foreign Electronic Measurement Technology |year=2005 |volume=24 |issue=5 |pages=30–31 |url=http://caod.oriprobe.com/articles/9294129/Understanding_Linearity_and_Monotonicity.htm |access-date=September 25, 2014}}</ref> | ||
<blockquote>सामान्य उपयोग में अभिन्न रैखिकता के लिए तीन बुनियादी परिभाषाएँ हैं: स्वतंत्र रैखिकता, शून्य-आधारित रैखिकता और टर्मिनल, या अंत-बिंदु, रैखिकता। प्रत्येक मामले में, रैखिकता परिभाषित करती है कि एक निर्दिष्ट ऑपरेटिंग रेंज में डिवाइस का वास्तविक प्रदर्शन कितनी अच्छी तरह एक सीधी रेखा के करीब है। रैखिकता को आमतौर पर एक आदर्श सीधी रेखा से विचलन, या गैर-रैखिकता के संदर्भ में मापा जाता है और इसे आमतौर पर [[ पूर्ण पैमाने |पूर्ण पैमाने]] के प्रतिशत या पूर्ण पैमाने के पीपीएम (प्रति मिलियन भागों) में व्यक्त किया जाता है। आमतौर पर, सीधी रेखा को डेटा के कम से कम वर्ग फिट करके प्राप्त किया जाता है। वास्तविक उपकरण के प्रदर्शन के सापेक्ष सीधी रेखा की स्थिति के अनुसार तीन परिभाषाएँ भिन्न होती हैं। इसके अलावा, ये तीनों परिभाषाएँ किसी भी लाभ को नज़रअंदाज़ करती हैं, या उन त्रुटियों को दूर करती हैं जो वास्तविक डिवाइस के प्रदर्शन विशेषताओं में मौजूद हो सकती हैं।</blockquote> | |||
==सैन्य सामरिक संरचनाएं == | ==सैन्य सामरिक संरचनाएं == | ||
[[ गठन (सैन्य) ]] में, रैखिक संरचनाओं को हैंडगनर्स द्वारा संरक्षित [[ पाइक (हथियार) ]] के फालानक्स | [[ गठन (सैन्य) |सैन्य]] सामरिक संरचनाओं में, "रैखिक संरचनाओं" को हैंडगनर्स द्वारा संरक्षित [[ पाइक (हथियार) |पाइक]] के फालानक्स-जैसे संरचनाओं से शुरू किया गया था, धीरे-धीरे कम पाइकों द्वारा संरक्षित हैंडगनर्स के उथले संरचनाओं की ओर। वेलिंगटन की 'थिन रेड लाइन' के युग में इस तरह की संरचना उत्तरोत्तर पतली होती गई। अंततः इसे झड़प के आदेश से बदल दिया गया जब [[ ब्रीच-लोडिंग हथियार |ब्रीच-लोडिंग हथियार]] के आविष्कार ने सैनिकों को किसी भी आकार के बड़े पैमाने पर संरचनाओं द्वारा असमर्थित छोटे, मोबाइल इकाइयों में स्थानांतरित करने और आग लगाने की अनुमति दी। | ||
== कला == | == कला == | ||
रेखीय स्विस कला इतिहासकार हेनरिक वोल्फलिन द्वारा "क्लासिक" या [[ पुनर्जागरण कला |पुनर्जागरण कला]] को [[ बरोक |बारोक]] से अलग करने के लिए प्रस्तावित पांच श्रेणियों में से एक है। वोल्फलिन के अनुसार, पंद्रहवीं और प्रारंभिक सोलहवीं शताब्दी के चित्रकार (लियोनार्डो दा विंची, [[ रफएल |राफेल]] या अल्ब्रेक्ट ड्यूरर) सत्रहवीं शताब्दी के "चित्रकार" बैरोक चित्रकारों ([[ पीटर पॉल रूबेन्स |पीटर पॉल रूबेन्स]], [[ Rembrandt |रेम्ब्रांट]], और वेलाज़क्वेज़) की तुलना में अधिक रैखिक हैं क्योंकि वे मुख्य रूप से [[ आकार |आकार]] बनाने के लिए रूपरेखा का उपयोग करते हैं।<ref>{{cite book |title=कला इतिहास के सिद्धांत: बाद की कला में शैली के विकास की समस्या|url=https://archive.org/details/princarth00wlff |last=Wölfflin |first=Heinrich |editor-last=Hottinger |editor-first=M.D. |publisher=Dover |location=New York |year=1950 |pages=[https://archive.org/details/princarth00wlff/page/18 18–72]|isbn=9780486202761 }}</ref> [[ डिजिटल कला |डिजिटल कला]] में कला में रैखिकता को भी संदर्भित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, [[ हाइपरटेक्स्ट फिक्शन |हाइपरटेक्स्ट]] कथा [[ अरेखीय कथा |अरेखीय]] कथा का एक उदाहरण हो सकती है, लेकिन ऐसी वेबसाइटें भी हैं जिन्हें एक रेखीय पथ का अनुसरण करते हुए एक निर्दिष्ट, संगठित तरीके से जाने के लिए डिज़ाइन किया गया है। | |||
==संगीत== | ==संगीत== | ||
संगीत में रैखिक पहलू उत्तराधिकार है, या तो [[ अंतराल (संगीत) ]] या [[ मधुर ]], [[ एक साथ (संगीत) ]] या | संगीत में रैखिक पहलू उत्तराधिकार है, या तो [[ अंतराल (संगीत) |अंतराल]] या [[ मधुर |माधुर्य]], [[ एक साथ (संगीत) |एक साथ]] या ऊर्ध्वाधर पहलू के विपरीत | ||
== आँकड़ों में == | == आँकड़ों में == | ||
{{expand section|date=March 2013}} | {{expand section|date=March 2013}} | ||
==यह भी देखें== | ==यह भी देखें== | ||
*[[ र्रैखिक गति देने वाला ]] | *[[ र्रैखिक गति देने वाला |र्रैखिक गति देने वाला]] | ||
*[[ रैखिक तत्व ]] | *[[ रैखिक तत्व |रैखिक तत्व]] | ||
*[[ रैखिक पैर ]] | *[[ रैखिक पैर |रैखिक पैर]] | ||
*[[ रैखिक प्रणाली ]] | *[[ रैखिक प्रणाली |रैखिक प्रणाली]] | ||
*[[ रैखिक प्रोग्रामिंग ]] | *[[ रैखिक प्रोग्रामिंग |रैखिक प्रोग्रामिंग]] | ||
*[[ रैखिक अंतर समीकरण ]] | *[[ रैखिक अंतर समीकरण |रैखिक अंतर समीकरण]] | ||
*[[ बिलिनियर फॉर्म ]] | *[[ बिलिनियर फॉर्म |बिलिनियर फॉर्म]] | ||
*[[ बहुरेखीय रूप ]] | *[[ बहुरेखीय रूप |बहुरेखीय रूप]] | ||
*[[ रैखिक मोटर ]] | *[[ रैखिक मोटर |रैखिक मोटर]] | ||
*रैखिक A और रैखिक B स्क्रिप्ट। | *रैखिक A और रैखिक B स्क्रिप्ट। | ||
*[[ रेखिक आंतरिक ]] | *[[ रेखिक आंतरिक |रेखिक आंतरिक]] | ||
==संदर्भ== | ==संदर्भ== | ||
Revision as of 20:26, 16 November 2022
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रैखिकता एक गणितीय संबंध (फ़ंक्शन) का गुण है जिसे रेखांकन द्वारा एक सीधी रेखा के रूप में दर्शाया जा सकता है। रैखिकता का आनुपातिकता से गहरा संबंध है। भौतिक विज्ञान के उदाहरणों में सरल रेखीय गति, एक विद्युत कंडक्टर में वोल्टेज और विद्युत का रैखिक संबंध (ओम का नियम) और द्रव्यमान और वजन का संबंध शामिल हैं। इसके विपरीत, अधिक जटिल रिश्ते अरेखीय होते हैं।
एक से अधिक आयामों में कार्यों के लिए सामान्यीकृत, रैखिकता का अर्थ है जोड़ और स्केलिंग के साथ संगत होने के कार्य की संपत्ति, जिसे सुपरपोजिशन सिद्धांत के रूप में भी जाना जाता है।
लीनियर शब्द लैटिन लीनियरिस से आया है, जिसका अर्थ है "एक रेखा से संबंधित या उसके समान"।
गणित में
गणित में, एक रेखीय नक्शा या रैखिक फलन f(x) एक ऐसा फलन है जो दो गुणों को संतुष्ट करता है:[1]
- योजक नक्शा: f(x + y) = f(x) + f(y).
- डिग्री 1 का सजातीय कार्य: f(αx) = α f(x) सभी α के लिए।
इन गुणों को अध्यारोपण सिद्धांत कहते हैं। इस परिभाषा में, x आवश्यक रूप से एक वास्तविक संख्या नहीं है, लेकिन सामान्य तौर पर यह किसी भी वेक्टर स्पेस का एक तत्व हो सकता है। रेखीय फलन की एक और विशेष परिभाषा, जो रेखीय मानचित्र की परिभाषा से मेल नहीं खाती है, प्राथमिक गणित में प्रयोग की जाती है (नीचे देखें)।
योगात्मकता अकेले परिमेय α के लिए एकरूपता का अर्थ है, क्योंकि गणितीय आगमन द्वारा किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए का अर्थ है, और फिर