रैखिकता: Difference between revisions

Revision as of 13:07, 14 November 2022

रैखिकता एक गणितीय संबंध (फ़ंक्शन) का गुण है जिसे रेखांकन द्वारा एक सीधी रेखा के रूप में दर्शाया जा सकता है। रैखिकता का आनुपातिकता से गहरा संबंध है। भौतिक विज्ञान के उदाहरणों में सरल रेखीय गति, एक विद्युत कंडक्टर में वोल्टेज और विद्युत का रैखिक संबंध (ओम का नियम) और द्रव्यमान और वजन का संबंध शामिल हैं। इसके विपरीत, अधिक जटिल रिश्ते अरेखीय होते हैं।

एक से अधिक आयामों में कार्यों के लिए सामान्यीकृत, रैखिकता का अर्थ है जोड़ और स्केलिंग के साथ संगत होने के कार्य की संपत्ति, जिसे सुपरपोजिशन सिद्धांत के रूप में भी जाना जाता है।

लीनियर शब्द लैटिन लीनियरिस से आया है, जिसका अर्थ है "एक रेखा से संबंधित या उसके समान"।

गणित में

गणित में, एक रेखीय नक्शा या रैखिक फलन f(x) एक ऐसा फलन है जो दो गुणों को संतुष्ट करता है:^[1]

योजक नक्शा: f(x + y) = f(x) + f(y).
डिग्री 1 का सजातीय कार्य: f(αx) = α f(x) सभी α के लिए।

इन गुणों को अध्यारोपण सिद्धांत कहते हैं। इस परिभाषा में, x आवश्यक रूप से एक वास्तविक संख्या नहीं है, लेकिन सामान्य तौर पर यह किसी भी वेक्टर स्पेस का एक तत्व हो सकता है। रेखीय फलन की एक और विशेष परिभाषा, जो रेखीय मानचित्र की परिभाषा से मेल नहीं खाती है, प्राथमिक गणित में प्रयोग की जाती है (नीचे देखें)।

योगात्मकता अकेले परिमेय α के लिए एकरूपता का अर्थ है, क्योंकि $f(x+x)=f(x)+f(x)$ गणितीय आगमन द्वारा किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए $f(nx)=nf(x)$ का अर्थ है, और फिर $nf(x)=f(nx)=f(m{\tfrac {n}{m}}x)=mf({\tfrac {n}{m}}x)$ का अर्थ $f({\tfrac {n}{m}}x)={\tfrac {n}{m}}f(x)$ है। वास्तविक में परिमेय संख्याओं के घनत्व का अर्थ है कि कोई भी योगात्मक निरंतर कार्य किसी भी वास्तविक संख्या α के लिए सजातीय है, और इसलिए रैखिक है।

रेखीयता की अवधारणा को रेखीय संकारकों तक विस्तारित किया जा सकता है। लीनियर ऑपरेटरों के महत्वपूर्ण उदाहरणों में डेरिवेटिव को डिफरेंशियल ऑपरेटर के रूप में माना जाता है, और इससे निर्मित अन्य ऑपरेटर, जैसे डेल और लाप्लासियान। जब एक अवकल समीकरण को रेखीय रूप में व्यक्त किया जा सकता है, तो इसे आम तौर पर समीकरण को छोटे-छोटे टुकड़ों में तोड़कर, उनमें से प्रत्येक टुकड़े को हल करके, और समाधानों का योग करके हल किया जा सकता है।

रैखिक बीजगणित गणित की वह शाखा है जो वैक्टर, वेक्टर रिक्त स्थान (जिसे 'रैखिक रिक्त स्थान' भी कहा जाता है), रैखिक रूपांतरण ('रेखीय मानचित्र' भी कहा जाता है), और रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के अध्ययन से संबंधित है।

रेखीय और अरैखिक समीकरणों के विवरण के लिए, रैखिक समीकरण देखें।

रैखिक बहुपद

उपरोक्त परिभाषा के एक अलग प्रयोग में, डिग्री 1 के बहुपद को रैखिक कहा जाता है, क्योंकि उस रूप के एक फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक सीधी रेखा है।^[2]

वास्तविकताओं पर, एक रैखिक समीकरण रूपों में से एक है:

$f(x)=mx+b\$

जहाँ m को प्रायः ढलान या ढाल कहा जाता है; b y-अवरोधन, जो फलन के ग्राफ और y-अक्ष के बीच प्रतिच्छेदन बिंदु देता है।

ध्यान दें कि रैखिक शब्द का यह उपयोग उपरोक्त अनुभाग के समान नहीं है, क्योंकि वास्तविक संख्याओं पर रैखिक बहुपद सामान्य रूप से या तो जोड़ या समरूपता को संतुष्ट नहीं करते हैं। वास्तव में, वे ऐसा करते हैं यदि और केवल अगर b = 0। इसलिए, यदि b ≠ 0, तो फ़ंक्शन को अक्सर एक एफ़िन फ़ंक्शन कहा जाता है (अधिक व्यापकता एफ़िन रूपांतरण में देखें)।

बूलियन फ़ंक्शन

File:Hasse-linear.svg

एक रैखिक बूलियन फ़ंक्शन का हैस आरेख

बूलियन बीजगणित में, एक रैखिक फलन एक फलन $f$ होता है जिसके लिए $a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}\in \{0,1\}$ ऐसे मौजूद होते हैं

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-रैखिकता एक गणितीय संबंध (''फ़ंक्शन (गणित)'') की संपत्ति है जो एक सीधी [[ रेखा (ज्यामिति) ]] के रूप में दर्शाए गए फ़ंक्शन का ग्राफ़ हो सकता है। रैखिकता '[[ आनुपातिकता (गणित) ]]'' से निकटता से संबंधित है। भौतिकी में उदाहरणों में [[ सीधा गति ]], [[ विद्युत कंडक्टर ]] (ओम का नियम) में [[ वोल्टेज ]] और [[ विद्युत प्रवाह ]] का रैखिक संबंध और [[ द्रव्यमान ]] और [[ वजन ]] का संबंध शामिल है। इसके विपरीत, अधिक जटिल संबंध ''गैर-रैखिक'' होते हैं।
+रैखिकता एक गणितीय संबंध (फ़ंक्शन) का गुण है जिसे रेखांकन द्वारा एक सीधी [[ रेखा (ज्यामिति) |रेखा]] के रूप में दर्शाया जा सकता है। रैखिकता का [[ आनुपातिकता (गणित) |आनुपातिकता]] से गहरा संबंध है। भौतिक विज्ञान के उदाहरणों में सरल [[ सीधा गति |रेखीय गति]], एक [[ विद्युत कंडक्टर |विद्युत कंडक्टर]] में [[ वोल्टेज |वोल्टेज]] और [[ विद्युत प्रवाह |विद्युत]] का रैखिक संबंध (ओम का नियम) और [[ द्रव्यमान |द्रव्यमान]] और [[ वजन |वजन]] का संबंध शामिल हैं। इसके विपरीत, अधिक जटिल रिश्ते अरेखीय होते हैं।
-एक से अधिक आयामों (गणित) में कार्यों के लिए सामान्यीकृत, रैखिकता का अर्थ है अतिरिक्त और [[ स्केल विश्लेषण (गणित) ]] के साथ संगत होने के एक फ़ंक्शन की संपत्ति, जिसे सुपरपोजिशन सिद्धांत भी कहा जाता है।
+एक से अधिक आयामों में कार्यों के लिए सामान्यीकृत, रैखिकता का अर्थ है जोड़ और [[ स्केल विश्लेषण (गणित) |स्केलिंग]] के साथ संगत होने के कार्य की संपत्ति, जिसे सुपरपोजिशन सिद्धांत के रूप में भी जाना जाता है।
-रेखीय शब्द [[ लैटिन ]] के ''लीनियरिस''' से आया है, जो एक रेखा से संबंधित या मिलता-जुलता है।
+लीनियर शब्द [[ लैटिन |लैटिन]] लीनियरिस से आया है, जिसका अर्थ है "एक रेखा से संबंधित या उसके समान"।
 == गणित में ==
-गणित में, एक रेखीय मानचित्र या रैखिक फलन f(x) एक ऐसा फलन है जो दो गुणों को संतुष्ट करता है:<ref>{{cite book|author=Edwards, Harold M.|title=लीनियर अलजेब्रा|publisher=Springer|year=1995|isbn=9780817637316|page=78|url=https://books.google.com/books?id=ylFR4h5BIDEC&pg=PA78}}</ref>
+गणित में, एक रेखीय नक्शा या रैखिक फलन f(x) एक ऐसा फलन है जो दो गुणों को संतुष्ट करता है:<ref>{{cite book|author=Edwards, Harold M.|title=लीनियर अलजेब्रा|publisher=Springer|year=1995|isbn=9780817637316|page=78|url=https://books.google.com/books?id=ylFR4h5BIDEC&pg=PA78}}</ref>
-* [[ योजक नक्शा ]]: {{nowrap|1=''f''(''x'' + ''y'') = ''f''(''x'') + ''f''(''y'')}}.
+* [[ योजक नक्शा |योजक नक्शा]]: {{nowrap|1=''f''(''x'' + ''y'') = ''f''(''x'') + ''f''(''y'')}}.
-* डिग्री 1 का [[ सजातीय कार्य ]]: {{nowrap|1=''f''(α''x'') = α ''f''(''x'')}} सभी α के लिए।
+* डिग्री 1 का [[ सजातीय कार्य |सजातीय कार्य]]: {{nowrap|1=''f''(α''x'') = α ''f''(''x'')}} सभी α के लिए।
-इन गुणों को सुपरपोजिशन सिद्धांत के रूप में जाना जाता है। इस परिभाषा में, x आवश्यक रूप से एक [[ वास्तविक संख्या ]] नहीं है, लेकिन सामान्य रूप से किसी भी सदिश समष्टि का एक [[ तत्व (गणित) ]] हो सकता है। रैखिक फलन की एक अधिक विशेष परिभाषा# एक बहुपद फलन के रूप में, जो रैखिक मानचित्र की परिभाषा से मेल नहीं खाता है, प्राथमिक गणित में प्रयोग किया जाता है (नीचे देखें)।
+इन गुणों को अध्यारोपण सिद्धांत कहते हैं। इस परिभाषा में, x आवश्यक रूप से एक [[ वास्तविक संख्या |वास्तविक संख्या]] नहीं है, लेकिन सामान्य तौर पर यह किसी भी वेक्टर स्पेस का एक [[ तत्व (गणित) |तत्व]] हो सकता है। रेखीय फलन की एक और विशेष परिभाषा, जो रेखीय मानचित्र की परिभाषा से मेल नहीं खाती है, प्राथमिक गणित में प्रयोग की जाती है (नीचे देखें)।
-केवल योगात्मकता का तात्पर्य [[ परिमेय संख्या ]] α के लिए समरूपता है, क्योंकि <math>f(x+x)=f(x)+f(x)</math> तात्पर्य <math>f(nx)=n f(x)</math> गणितीय प्रेरण द्वारा किसी प्राकृत संख्या n के लिए, और फिर <math>n f(x) = f(nx)=f(m\tfrac{n}{m}x)= m f(\tfrac{n}{m}x)</math> तात्पर्य <math>f(\tfrac{n}{m}x) = \tfrac{n}{m} f(x)</math>. वास्तविक में परिमेय संख्याओं के सघन समुच्चय [[ का ]] तात्पर्य है कि कोई भी योगात्मक सतत फलन किसी भी वास्तविक संख्या α के लिए समांगी है, और इसलिए रैखिक है।
+योगात्मकता अकेले [[ परिमेय संख्या |परिमेय]] α के लिए एकरूपता का अर्थ है, क्योंकि <math>f(x+x)=f(x)+f(x)</math> गणितीय आगमन द्वारा किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए <math>f(nx)=n f(x)</math> का अर्थ है, और फिर <math>n f(x) = f(nx)=f(m\tfrac{n}{m}x)= m f(\tfrac{n}{m}x)</math> का अर्थ <math>f(\tfrac{n}{m}x) = \tfrac{n}{m} f(x)</math> है। वास्तविक में परिमेय संख्याओं के घनत्व का अर्थ है कि कोई भी योगात्मक निरंतर कार्य किसी भी वास्तविक संख्या α के लिए सजातीय है, और इसलिए रैखिक है।
-रैखिकता की अवधारणा को रैखिक [[ ऑपरेटर (गणित) ]] तक बढ़ाया जा सकता है। लीनियर ऑपरेटरों के महत्वपूर्ण उदाहरणों में [[ अंतर ऑपरेटर ]] के रूप में माना जाने वाला व्युत्पन्न, और इससे निर्मित अन्य ऑपरेटर, जैसे डेल और [[ लाप्लासियान ]] शामिल हैं। जब एक अवकल समीकरण को रैखिक रूप में व्यक्त किया जा सकता है, तो इसे आम तौर पर समीकरण को छोटे टुकड़ों में तोड़कर, उन टुकड़ों में से प्रत्येक को हल करके और समाधानों को जोड़कर हल किया जा सकता है।
+रेखीयता की अवधारणा को रेखीय संकारकों तक विस्तारित किया जा सकता है। लीनियर [[ ऑपरेटर (गणित) |ऑपरेटरों]] के महत्वपूर्ण उदाहरणों में डेरिवेटिव को [[ अंतर ऑपरेटर |डिफरेंशियल ऑपरेटर]] के रूप में माना जाता है, और इससे निर्मित अन्य ऑपरेटर, जैसे डेल और [[ लाप्लासियान |लाप्लासियान]]। जब एक अवकल समीकरण को रेखीय रूप में व्यक्त किया जा सकता है, तो इसे आम तौर पर समीकरण को छोटे-छोटे टुकड़ों में तोड़कर, उनमें से प्रत्येक टुकड़े को हल करके, और समाधानों का योग करके हल किया जा सकता है।
-रैखिक बीजगणित [[ वेक्टर (गणित) ]], वेक्टर रिक्त स्थान (जिसे 'रैखिक रिक्त स्थान' भी कहा जाता है), [[ रैखिक परिवर्तन ]] (जिसे 'रैखिक मानचित्र' भी कहा जाता है) और रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के अध्ययन से संबंधित गणित की शाखा है।
+रैखिक बीजगणित गणित की वह शाखा है जो वैक्टर, [[ वेक्टर (गणित) |वेक्टर]] रिक्त स्थान (जिसे 'रैखिक रिक्त स्थान' भी कहा जाता है), [[ रैखिक परिवर्तन |रैखिक रूपांतरण]] ('रेखीय मानचित्र' भी कहा जाता है), और रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के अध्ययन से संबंधित है।
-रैखिक और अ[[ रेखीय समीकरण ]]ों के विवरण के लिए, रैखिक समीकरण देखें।
+रेखीय और [[ रेखीय समीकरण |अरैखिक समीकरणों]] के विवरण के लिए, रैखिक समीकरण देखें।
 === रैखिक बहुपद ===
 {{main|linear equation}}
-उपरोक्त परिभाषा के एक अलग उपयोग में, डिग्री 1 के [[ बहुपद ]] को रैखिक कहा जाता है, क्योंकि उस रूप के एक फ़ंक्शन का ग्राफ एक सीधी रेखा है।<ref>[[James Stewart (mathematician)|Stewart, James]] (2008). ''Calculus: Early Transcendentals'', 6th ed., Brooks Cole Cengage Learning. {{isbn|978-0-495-01166-8}}, Section 1.2</ref> वास्तविक पर, एक रैखिक समीकरण रूपों में से एक है:
+उपरोक्त परिभाषा के एक अलग प्रयोग में, डिग्री 1 के [[ बहुपद |बहुपद]] को रैखिक कहा जाता है, क्योंकि उस रूप के एक फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक सीधी रेखा है।<ref>[[James Stewart (mathematician)|Stewart, James]] (2008). ''Calculus: Early Transcendentals'', 6th ed., Brooks Cole Cengage Learning. {{isbn|978-0-495-01166-8}}, Section 1.2</ref>
-:<math>f(x) = m x + b\ </math>
+वास्तविकताओं पर, एक रैखिक समीकरण रूपों में से एक है:
-जहाँ m को अक्सर [[ ढलान ]] या [[ ढाल ]] कहा जाता है; b y-अवरोधन, जो फ़ंक्शन के ग्राफ़ और y-अक्ष के बीच प्रतिच्छेदन बिंदु देता है।
-ध्यान दें कि रैखिक शब्द का यह उपयोग उपरोक्त अनुभाग के समान नहीं है, क्योंकि वास्तविक संख्याओं पर रैखिक बहुपद सामान्य रूप से या तो योगात्मकता या समरूपता को संतुष्ट नहीं करते हैं। वास्तव में, वे ऐसा करते हैं यदि और केवल यदि {{nowrap|1=''b'' = 0}}. इसलिए, अगर {{nowrap|''b'' ≠ 0}}, फ़ंक्शन को अक्सर एक एफ़िन फ़ंक्शन कहा जाता है (अधिक सामान्यता एफ़िन परिवर्तन में देखें)।
+<math>f(x) = m x + b\ </math>
+जहाँ m को प्रायः [[ ढलान |ढलान]] या [[ ढाल |ढाल]] कहा जाता है; b y-अवरोधन, जो फलन के ग्राफ और y-अक्ष के बीच प्रतिच्छेदन बिंदु देता है।
+ध्यान दें कि रैखिक शब्द का यह उपयोग उपरोक्त अनुभाग के समान नहीं है, क्योंकि वास्तविक संख्याओं पर रैखिक बहुपद सामान्य रूप से या तो जोड़ या समरूपता को संतुष्ट नहीं करते हैं। वास्तव में, वे ऐसा करते हैं यदि और केवल अगर {{nowrap|1=''b'' = 0}}। इसलिए, यदि {{nowrap|''b'' ≠ 0}}, तो फ़ंक्शन को अक्सर एक एफ़िन फ़ंक्शन कहा जाता है (अधिक व्यापकता एफ़िन रूपांतरण में देखें)।
 === बूलियन फ़ंक्शन ===
 {{main article|Parity function}}
-[[File:Hasse-linear.svg|thumb|right|एक रैखिक बूलियन फ़ंक्शन का हैस आरेख]][[ बूलियन बीजगणित (तर्क) ]] में, एक रैखिक फलन एक फलन होता है <math>f</math> जिसके लिए मौजूद है <math>a_0, a_1, \ldots, a_n \in \{0,1\}</math> ऐसा है कि
+[[File:Hasse-linear.svg|thumb|right|एक रैखिक बूलियन फ़ंक्शन का हैस आरेख]][[ बूलियन बीजगणित (तर्क) |बूलियन बीजगणित]] में, एक रैखिक फलन एक फलन <math>f</math> होता है जिसके लिए <math>a_0, a_1, \ldots, a_n \in \{0,1\}</math> ऐसे मौजूद होते हैं
 :<math>f(b_1, \ldots, b_n) = a_0 \oplus (a_1 \land b_1) \oplus \cdots \oplus (a_n \land b_n)</math>, कहाँ पे <math>b_1, \ldots, b_n \in \{0,1\}.</math>
 ध्यान दें कि अगर <math>a_0 = 1</math>, उपरोक्त फ़ंक्शन को रैखिक बीजगणित (अर्थात रैखिक नहीं) में एफ़िन माना जाता है।

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