वक्र: Difference between revisions
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{{short description|Mathematical idealization of the trace left by a moving point}} | {{short description|Mathematical idealization of the trace left by a moving point}} | ||
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[[File:Parabola.svg|right|thumb|एक [[ परवलय ]], सबसे सरल वक्रों में से एक, (सीधी) रेखाओं के बाद]]गणित में, '''वक्र''' (जिसे पुराने ग्रंथों में एक '''वक्रित रेखा''' भी कहा जाता है) एक रेखा के समान एक विषय है, परन्तु यह आवश्यक नहीं है कि वह सीधा हो। | [[File:Parabola.svg|right|thumb|एक [[ परवलय |परवलय]], सबसे सरल वक्रों में से एक, (सीधी) रेखाओं के बाद]]गणित में, '''वक्र''' (जिसे पुराने ग्रंथों में एक '''वक्रित रेखा''' भी कहा जाता है) एक रेखा के समान एक विषय है, परन्तु यह आवश्यक नहीं है कि वह सीधा हो। | ||
सहज रूप से, किसी गतिमान [[ बिंदु (ज्यामिति) |बिंदु]] को एक स्थान से छोड़ने पर प्राप्त वक्रित रेखा के रूप में विचारित किया जा सकता है। यह वह परिभाषा है जो यूक्लिड के ''तत्वों'' में 2000 से भी अधिक वर्ष पहले दिखाई दी थी: "[वक्रित] रेखा{{efn|In current mathematical usage, a line is straight. Previously lines could be either curved or straight.}} [...] मात्रा की पहला वर्ग है, जिसका केवल एक ही आयाम होता है, अर्थात् लंबाई, बिना किसी चौड़ाई या गहराई के, तथा बिंदु के प्रवाह या भाग के अलावा तथा कुछ नहीं है जो [...] अपनी काल्पनिकता से लंबाई में कुछ अवशेष छोड़ देगा, किसी भी चौड़ाई से मुक्त होगा।"<ref>In (rather old) French: "La ligne est la première espece de quantité, laquelle a tant seulement une dimension à sçavoir longitude, sans aucune latitude ni profondité, & n'est autre chose que le flux ou coulement du poinct, lequel […] laissera de son mouvement imaginaire quelque vestige en long, exempt de toute latitude." Pages 7 and 8 of ''Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide Megarien, traduits de Grec en François, & augmentez de plusieurs figures & demonstrations, avec la corrections des erreurs commises és autres traductions'', by Pierre Mardele, Lyon, MDCXLV (1645).</ref> | सहज रूप से, किसी गतिमान [[ बिंदु (ज्यामिति) |बिंदु]] को एक स्थान से छोड़ने पर प्राप्त वक्रित रेखा के रूप में विचारित किया जा सकता है। यह वह परिभाषा है जो यूक्लिड के ''तत्वों'' में 2000 से भी अधिक वर्ष पहले दिखाई दी थी: "[वक्रित] रेखा{{efn|In current mathematical usage, a line is straight. Previously lines could be either curved or straight.}} [...] मात्रा की पहला वर्ग है, जिसका केवल एक ही आयाम होता है, अर्थात् लंबाई, बिना किसी चौड़ाई या गहराई के, तथा बिंदु के प्रवाह या भाग के अलावा तथा कुछ नहीं है जो [...] अपनी काल्पनिकता से लंबाई में कुछ अवशेष छोड़ देगा, किसी भी चौड़ाई से मुक्त होगा।"<ref>In (rather old) French: "La ligne est la première espece de quantité, laquelle a tant seulement une dimension à sçavoir longitude, sans aucune latitude ni profondité, & n'est autre chose que le flux ou coulement du poinct, lequel […] laissera de son mouvement imaginaire quelque vestige en long, exempt de toute latitude." Pages 7 and 8 of ''Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide Megarien, traduits de Grec en François, & augmentez de plusieurs figures & demonstrations, avec la corrections des erreurs commises és autres traductions'', by Pierre Mardele, Lyon, MDCXLV (1645).</ref> | ||
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==इतिहास== | ==इतिहास== | ||
[[File:Newgrange Entrance Stone.jpg|thumb|225px|न्यूग्रेंज की [[ महापाषाण कला ]] | [[File:Newgrange Entrance Stone.jpg|thumb|225px|न्यूग्रेंज की [[ महापाषाण कला |महापाषाण कला]] घटता में प्रारंभिक रुचि दिखाती है]]वक्रों में रुचि गणितीय अध्ययन का विषय होने से बहुत पहले से ही शुरू हो गई थी। इसे कला में तथा प्रागैतिहासिक काल की रोजमर्रा की वस्तुओं में उनके सजावटी उपयोग के कई उदाहरणों में देखा जा सकता है।<ref name="Lockwood">Lockwood p. ix</ref> वक्र, या कम से कम उनके चित्रमय निरूपण, बनाने में सरल हैं, उदाहरण के लिए समुद्र तट पर रेत पर एक छड़ी के साथ। | ||
ऐतिहासिक रूप से, शब्द रेखा का प्रयोग अधिक आधुनिक शब्द वक्र के स्थान पर किया जाता था। इसलिए सीधी रेखा तथा दाहिनी रेखा शब्दों का उपयोग वक्र रेखाओं से आज की रेखा को अलग करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, यूक्लिड के तत्वों की पुस्तक I में, एक रेखा को "चौड़ाई रहित लंबाई" (डिफ. 2) के रूप में परिभाषित किया गया है, जबकि एक सीधी रेखा को "एक ऐसी रेखा के रूप में परिभाषित किया गया है जो समान रूप से अपने आप पर स्थित बिंदुओं के साथ स्थित है" (डिफ। 4)। रेखा के बारे में यूक्लिड के विचार को शायद इस कथन से स्पष्ट किया गया है "एक रेखा के सिरे बिंदु होते हैं," (डिफ. 3)।<ref>Heath p. 153</ref> बाद में टिप्पणीकारों ने विभिन्न योजनाओं के अनुसार पंक्तियों को वर्गीकृत किया। उदाहरण के लिए:<ref>Heath p. 160</ref> | ऐतिहासिक रूप से, शब्द ''रेखा'' का प्रयोग अधिक आधुनिक शब्द ''वक्र'' के स्थान पर किया जाता था। इसलिए ''सीधी रेखा'' तथा ''दाहिनी रेखा'' शब्दों का उपयोग वक्र रेखाओं से आज की रेखा को अलग करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, यूक्लिड के तत्वों की पुस्तक I में, एक रेखा को "चौड़ाई रहित लंबाई" (डिफ. 2) के रूप में परिभाषित किया गया है, जबकि एक सीधी रेखा को "एक ऐसी रेखा के रूप में परिभाषित किया गया है जो समान रूप से अपने आप पर स्थित बिंदुओं के साथ स्थित है" (डिफ। 4)। रेखा के बारे में यूक्लिड के विचार को शायद इस कथन से स्पष्ट किया गया है "एक रेखा के सिरे बिंदु होते हैं," (डिफ. 3)।<ref>Heath p. 153</ref> बाद में टिप्पणीकारों ने विभिन्न योजनाओं के अनुसार पंक्तियों को वर्गीकृत किया। उदाहरण के लिए:<ref>Heath p. 160</ref> | ||
*समग्र रेखाएँ (कोण बनाने वाली रेखाएँ) | *समग्र रेखाएँ (कोण बनाने वाली रेखाएँ) | ||
*मिश्रित पंक्तियाँ | *मिश्रित पंक्तियाँ | ||
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**अनिश्चित (ऐसी रेखाएँ जो अनिश्चित रूप से विस्तारित होती हैं, जैसे कि सीधी रेखा और परवलय) | **अनिश्चित (ऐसी रेखाएँ जो अनिश्चित रूप से विस्तारित होती हैं, जैसे कि सीधी रेखा और परवलय) | ||
[[File:Conic sections with plane.svg|thumb|225px| | [[File:Conic sections with plane.svg|thumb|225px|शंकु ([[ शंकु खंड |शंकु खंड]]) को काटकर बनाए गए वक्र प्राचीन ग्रीस में अध्ययन किए गए वक्रों में से थे।]]ग्रीक जियोमीटर ने कई अन्य प्रकार के वक्रों का अध्ययन किया था। एक कारण ज्यामितीय समस्याओं को हल करने में उनकी रुचि थी जिसे मानक कंपास तथा स्ट्रेटएज निर्माण का उपयोग करके हल नहीं किया जा सकता था। इन वक्रों में सम्मिलित हैं: | ||
*पेरगा के एपोलोनियस द्वारा गहन से अध्ययन किए गए शंकु वर्ग | *पेरगा के एपोलोनियस द्वारा गहन से अध्ययन किए गए शंकु वर्ग | ||
* डिओक्लेस के सिस्सोइड, [[ Diocles (गणितज्ञ) |डिओक्लेस]] द्वारा अध्ययन किया गया तथा घन को दोगुना करने के लिए एक विधि के रूप में उपयोग किया जाता है।<ref>Lockwood p. 132</ref> | * डिओक्लेस के सिस्सोइड, [[ Diocles (गणितज्ञ) |डिओक्लेस]] द्वारा अध्ययन किया गया तथा घन को दोगुना करने के लिए एक विधि के रूप में उपयोग किया जाता है।<ref>Lockwood p. 132</ref> | ||
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यदि एक सांस्थितिक वक्र का [[ फ़ंक्शन का डोमेन |डोमेन]] एक बंद तथा परिबद्ध अंतराल <math>I = [a, | यदि एक सांस्थितिक वक्र का [[ फ़ंक्शन का डोमेन |डोमेन]] एक बंद तथा परिबद्ध अंतराल <math>I = [a, | ||
b]</math> है, तो वक्र को एक [[ पथ (टोपोलॉजी) |पथ]] कहा जाता है, जिसे सांस्थितिक चाप (या सिर्फ '''चाप''') भी कहा जाता है। | b]</math> है, तो वक्र को एक [[ पथ (टोपोलॉजी) |''पथ'']] कहा जाता है, जिसे सांस्थितिक चाप (या सिर्फ '''चाप''') भी कहा जाता है। | ||
वक्र '''साधारण''' होता है यदि यह एक [[ इंजेक्शन |अंतःक्षेपण]] या अंतःक्षेपी सतत फलन द्वारा एक वृत्त का प्रतिबिम्ब हो। दूसरे शब्दों में, यदि एक वक्र को एक डोमेन के रूप में एक अंतराल के साथ एक सतत फलन <math>\gamma</math> द्वारा परिभाषित किया जाता है, तो वक्र सरल होता है यदि तथा केवल यदि अंतराल के किन्हीं दो अलग-अलग बिंदुओं में अलग-अलग प्रतिबिम्ब हों, सिवाय इसके कि, यदि बिंदु अंतराल के अंत बिंदु हैं। सहज रूप से, एक साधारण वक्र एक वक्र है जो "स्वयं को पार नहीं करता है तथा कोई लापता बिंदु नहीं है" (एक सतत गैर-स्व-प्रतिच्छेदी वक्र)।<ref>{{cite web|url=http://dictionary.reference.com/browse/jordan%20arc |title=Dictionary.com पर जॉर्डन आर्क परिभाषा। Dictionary.com संक्षिप्त। रैंडम हाउस, इंक|publisher=[[Dictionary.reference.com]] |access-date=2012-03-14}}</ref> | वक्र '''साधारण''' होता है यदि यह एक [[ इंजेक्शन |अंतःक्षेपण]] या अंतःक्षेपी सतत फलन द्वारा एक वृत्त का प्रतिबिम्ब हो। दूसरे शब्दों में, यदि एक वक्र को एक डोमेन के रूप में एक अंतराल के साथ एक सतत फलन <math>\gamma</math> द्वारा परिभाषित किया जाता है, तो वक्र सरल होता है यदि तथा केवल यदि अंतराल के किन्हीं दो अलग-अलग बिंदुओं में अलग-अलग प्रतिबिम्ब हों, सिवाय इसके कि, यदि बिंदु अंतराल के अंत बिंदु हैं। सहज रूप से, एक साधारण वक्र एक वक्र है जो "स्वयं को पार नहीं करता है तथा कोई लापता बिंदु नहीं है" (एक सतत गैर-स्व-प्रतिच्छेदी वक्र)।<ref>{{cite web|url=http://dictionary.reference.com/browse/jordan%20arc |title=Dictionary.com पर जॉर्डन आर्क परिभाषा। Dictionary.com संक्षिप्त। रैंडम हाउस, इंक|publisher=[[Dictionary.reference.com]] |access-date=2012-03-14}}</ref> | ||
[[File:Fractal dragon curve.jpg|thumb| | [[File:Fractal dragon curve.jpg|thumb|सकारात्मक क्षेत्र वाला [[ ड्रैगन वक्र |ड्रैगन वक्र]]]] | ||
एक समतल सरल बंद वक्र को '''जॉर्डन वक्र''' भी कहते हैं। इसे तल में एक गैर-स्व-प्रतिच्छेदन सतत लूप के रूप में भी परिभाषित किया गया है।<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=0Q9mbXCQRyoC&pg=PA7|title=असतत ज्यामिति में गहराई, क्रॉसिंग और संघर्ष|last=Sulovský|first=Marek|date=2012|publisher=Logos Verlag Berlin GmbH| isbn=9783832531195|page=7|language=en}}</ref> जॉर्डन वक्र प्रमेय में कहा गया है कि जॉर्डन वक्र के एक तल में समुच्चय पूरक में दो जुड़े घटक होते हैं (अर्थात वक्र तल को दो गैर-प्रतिच्छेदन [[ क्षेत्र (गणित) |क्षेत्रों]] में विभाजित करता है जो दोनों जुड़े हुए हैं)। | एक समतल सरल बंद वक्र को '''जॉर्डन वक्र''' भी कहते हैं। इसे तल में एक गैर-स्व-प्रतिच्छेदन सतत लूप के रूप में भी परिभाषित किया गया है।<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=0Q9mbXCQRyoC&pg=PA7|title=असतत ज्यामिति में गहराई, क्रॉसिंग और संघर्ष|last=Sulovský|first=Marek|date=2012|publisher=Logos Verlag Berlin GmbH| isbn=9783832531195|page=7|language=en}}</ref> जॉर्डन वक्र प्रमेय में कहा गया है कि जॉर्डन वक्र के एक तल में समुच्चय पूरक में दो जुड़े घटक होते हैं (अर्थात वक्र तल को दो गैर-प्रतिच्छेदन [[ क्षेत्र (गणित) |क्षेत्रों]] में विभाजित करता है जो दोनों जुड़े हुए हैं)। | ||
[[ समतल वक्र |समतल वक्र]] एक वक्र होता है जिसके लिए <math>X</math> [[ यूक्लिडियन विमान |यूक्लिडियन तल]] है - ये ऐसे उदाहरण हैं जो पहली बार मिले हैं - या कुछ मामलों में प्रक्षेपी तल। '''''स्पेस वक्र''''' एक ऐसा वक्र होता है जिसके लिए <math>X</math> कम से कम त्रि-आयामी है; '''''तिर्यक् वक्र''''' एक अंतरिक्ष वक्र है जो किसी तल में नहीं होता है। समतल, स्थान तथा तिरछा वक्रों की ये परिभाषाएँ वास्तविक बीजगणितीय वक्रों पर भी लागू होती हैं, हालाँकि वक्र की उपरोक्त परिभाषा लागू नहीं होती है (एक वास्तविक बीजगणितीय वक्र डिस्कनेक्ट हो सकता है)। | [[ समतल वक्र |''समतल वक्र'']] एक वक्र होता है जिसके लिए <math>X</math> [[ यूक्लिडियन विमान |यूक्लिडियन तल]] है - ये ऐसे उदाहरण हैं जो पहली बार मिले हैं - या कुछ मामलों में प्रक्षेपी तल। '''''स्पेस वक्र''''' एक ऐसा वक्र होता है जिसके लिए <math>X</math> कम से कम त्रि-आयामी है; '''''तिर्यक् वक्र''''' एक अंतरिक्ष वक्र है जो किसी तल में नहीं होता है। समतल, स्थान तथा तिरछा वक्रों की ये परिभाषाएँ वास्तविक बीजगणितीय वक्रों पर भी लागू होती हैं, हालाँकि वक्र की उपरोक्त परिभाषा लागू नहीं होती है (एक वास्तविक बीजगणितीय वक्र डिस्कनेक्ट हो सकता है)। | ||
वक्र की परिभाषा में ऐसे आंकड़े सम्मिलित होते हैं जिन्हें आम उपयोग में शायद ही वक्र कहा जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक साधारण वक्र का प्रतिबिम्ब समतल (अंतरिक्ष-भरने वाले वक्र) में एक [[ वर्ग (ज्यामिति) |वर्ग]] को कवर कर सकती है तथा इस प्रकार एक सकारात्मक क्षेत्र हो सकता है।<ref>{{cite journal|last=Osgood|first=William F.|date=January 1903|title=सकारात्मक क्षेत्र का जॉर्डन वक्र|journal=Transactions of the American Mathematical Society|publisher=[[American Mathematical Society]]|volume=4|issue=1|pages=107–112|doi=10.2307/1986455|issn=0002-9947|jstor=1986455|author-link1=William Fogg Osgood|doi-access=free}}<!--|access-date=2008-06-04--></ref> फ्रैक्टल वक्रों में ऐसे गुण हो सकते हैं जो सामान्य ज्ञान के लिए अजीब हों। उदाहरण के लिए, फ्रैक्टल वक्र का [[ हॉसडॉर्फ आयाम |हॉसडॉर्फ आयाम]] एक से बड़ा हो सकता है ([[ कोच हिमपात |कोच स्नोफ्लेक]] देखें) तथा यहां तक कि एक सकारात्मक क्षेत्र भी। एक उदाहरण ड्रैगन वक्र है, जिसमें कई अन्य असामान्य गुण होते हैं। | वक्र की परिभाषा में ऐसे आंकड़े सम्मिलित होते हैं जिन्हें आम उपयोग में शायद ही वक्र कहा जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक साधारण वक्र का प्रतिबिम्ब समतल (अंतरिक्ष-भरने वाले वक्र) में एक [[ वर्ग (ज्यामिति) |वर्ग]] को कवर कर सकती है तथा इस प्रकार एक सकारात्मक क्षेत्र हो सकता है।<ref>{{cite journal|last=Osgood|first=William F.|date=January 1903|title=सकारात्मक क्षेत्र का जॉर्डन वक्र|journal=Transactions of the American Mathematical Society|publisher=[[American Mathematical Society]]|volume=4|issue=1|pages=107–112|doi=10.2307/1986455|issn=0002-9947|jstor=1986455|author-link1=William Fogg Osgood|doi-access=free}}<!--|access-date=2008-06-04--></ref> फ्रैक्टल वक्रों में ऐसे गुण हो सकते हैं जो सामान्य ज्ञान के लिए अजीब हों। उदाहरण के लिए, फ्रैक्टल वक्र का [[ हॉसडॉर्फ आयाम |हॉसडॉर्फ आयाम]] एक से बड़ा हो सकता है ([[ कोच हिमपात |कोच स्नोफ्लेक]] देखें) तथा यहां तक कि एक सकारात्मक क्षेत्र भी। एक उदाहरण ड्रैगन वक्र है, जिसमें कई अन्य असामान्य गुण होते हैं। | ||
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{{main|अवकलनीय वक्र}} | {{main|अवकलनीय वक्र}} | ||
मोटे तौर पर अवकलनीय वक्र एक ऐसा वक्र होता है जिसे स्थानीय रूप से अंतःक्षेपक अवकलनीय फलन <math>\gamma \colon I \rightarrow X</math> का प्रतिबिम्ब के रूप में परिभाषित किया जाता है जो वास्तविक संख्याओं के अंतराल {{mvar|I}} से एक अलग-अलग कई गुना {{mvar|X}}, प्रायः <math>\mathbb{R}^n</math> में होता है। | मोटे तौर पर ''अवकलनीय वक्र'' एक ऐसा वक्र होता है जिसे स्थानीय रूप से अंतःक्षेपक अवकलनीय फलन <math>\gamma \colon I \rightarrow X</math> का प्रतिबिम्ब के रूप में परिभाषित किया जाता है जो वास्तविक संख्याओं के अंतराल {{mvar|I}} से एक अलग-अलग कई गुना {{mvar|X}}, प्रायः <math>\mathbb{R}^n</math> में होता है। | ||
अत्याधिक यथार्थ रूप से, अवकलनीय वक्र {{mvar|X}} का एक उपसमुच्चय {{mvar|C}} होता है, जहां {{mvar|C}} के प्रत्येक बिंदु का पड़ोस {{mvar|U}} होता है, जैसे कि <math>C\cap U</math> वास्तविक संख्याओं के अंतराल के लिए भिन्न होता है। {{clarify|reason=This contradicts the definition given in [[Differential geometry of curves]]|date=May 2019}} दूसरे शब्दों में, एक अवकलनीय वक्र, आयाम एक का भिन्न-भिन्न बहुगुणित होता है। | अत्याधिक यथार्थ रूप से, अवकलनीय वक्र {{mvar|X}} का एक उपसमुच्चय {{mvar|C}} होता है, जहां {{mvar|C}} के प्रत्येक बिंदु का पड़ोस {{mvar|U}} होता है, जैसे कि <math>C\cap U</math> वास्तविक संख्याओं के अंतराल के लिए भिन्न होता है। {{clarify|reason=This contradicts the definition given in [[Differential geometry of curves]]|date=May 2019}} दूसरे शब्दों में, एक अवकलनीय वक्र, आयाम एक का भिन्न-भिन्न बहुगुणित होता है। | ||
| Line 64: | Line 64: | ||
=== अवकलनीय चाप === | === अवकलनीय चाप === | ||
{{redirect|चाप (ज्यामिति)|परिमित प्रक्षेपी ज्यामिति में उपयोग|चाप (प्रक्षेपी ज्यामिति)|अन्य उपयोग|चाप (बहुविकल्पी)}} | {{redirect|चाप (ज्यामिति)|परिमित प्रक्षेपी ज्यामिति में उपयोग|चाप (प्रक्षेपी ज्यामिति)|अन्य उपयोग|चाप (बहुविकल्पी)}} | ||
[[ यूक्लिडियन ज्यामिति |यूक्लिडियन ज्यामिति]] में, | [[ यूक्लिडियन ज्यामिति |यूक्लिडियन ज्यामिति]] में, '''चाप''' (प्रतीक: '''⌒''') एक अवकलनीय वक्र का एक जुड़ा उपसमुच्चय होता है। | ||
[[ रेखा खंड |रेखाओं]] के चापों को [[ रेखा खंड |खंड]], [[ किरण (ज्यामिति) |किरणें]] या रेखाएँ कहा जाता है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि वे किस प्रकार परिबद्ध हैं। | [[ रेखा खंड |रेखाओं]] के चापों को [[ रेखा खंड |खंड]], [[ किरण (ज्यामिति) |किरणें]] या रेखाएँ कहा जाता है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि वे किस प्रकार परिबद्ध हैं। | ||
| Line 110: | Line 110: | ||
=== अवकल ज्यामिति === | === अवकल ज्यामिति === | ||
{{main|वक्रों की अवकल ज्यामिति}} | {{main|वक्रों की अवकल ज्यामिति}} | ||
जबकि मिलने वाले वक्रों के पहले उदाहरण ज्यादातर समतल वक्र हैं (अर्थात, रोज़मर्रा के शब्दों में, द्वि- | जबकि मिलने वाले वक्रों के पहले उदाहरण ज्यादातर समतल वक्र हैं (अर्थात, रोज़मर्रा के शब्दों में, ''द्वि-विमीय क्षेत्र'' में वक्रित ''रेखाएँ''), ऐसे स्पष्ट उदाहरण हैं जैसे कि [[ कुंडलित वक्रता |हेलिक्स]] जो तीन आयामों में स्वाभाविक रूप से उपस्थित हैं। ज्यामिति की जरूरतें, तथा उदाहरण के लिए [[ शास्त्रीय यांत्रिकी |चिरसम्मत यांत्रिकी]] के लिए किसी भी संख्या में आयामों के अंतरिक्ष में वक्र की धारणा होना है। [[ सामान्य सापेक्षता |सामान्य सापेक्षता]] में, [[ अंतरिक्ष समय |स्पेसटाइम]] में एक [[ विश्व रेखा |विश्व रेखा]] एक वक्र है। | ||
यदि <math>X</math> अवकलनीय गुणक है, तो हम <math>X</math> में अवकलनीय वक्र की धारणा को परिभाषित कर सकते हैं। यह सामान्य विचार गणित में वक्रों के अनेक अनुप्रयोगों को समाविष्ट करने के लिए पर्याप्त है। स्थानीय दृष्टिकोण से कोई भी <math>X</math> को यूक्लिडियन स्थान मान सकता है। दूसरी ओर, यह अधिक सामान्य होना उपयोगी है, इसमें (उदाहरण के लिए) वक्र की इस धारणा के माध्यम से [[ वक्रों की विभेदक ज्यामिति |स्पर्शरेखा सदिशों]] को <math>X</math> में परिभाषित करना संभव है। | यदि <math>X</math> अवकलनीय गुणक है, तो हम <math>X</math> में ''अवकलनीय वक्र'' की धारणा को परिभाषित कर सकते हैं। यह सामान्य विचार गणित में वक्रों के अनेक अनुप्रयोगों को समाविष्ट करने के लिए पर्याप्त है। स्थानीय दृष्टिकोण से कोई भी <math>X</math> को यूक्लिडियन स्थान मान सकता है। दूसरी ओर, यह अधिक सामान्य होना उपयोगी है, इसमें (उदाहरण के लिए) वक्र की इस धारणा के माध्यम से [[ वक्रों की विभेदक ज्यामिति |स्पर्शरेखा सदिशों]] को <math>X</math> में परिभाषित करना संभव है। | ||
यदि <math>X</math> | यदि <math>X</math> निष्कोण बहुगुणित है, तो <math>X</math> में एक ''निष्कोण वर्क'' एक [[ चिकना नक्शा |निष्कोण प्रतिचित्रण]] है | ||
:<math>\gamma \colon I \rightarrow X</math>. | :<math>\gamma \colon I \rightarrow X</math>. | ||
यह एक मूल धारणा है। कम तथा अधिक सीमित विचार भी हैं। यदि <math>X</math> <math>C^k</math> कई गुना है (यानी, एक कई गुना जिसका [[ चार्ट (टोपोलॉजी) |चार्ट]] लगातार <math>k</math> बार अलग-अलग होता है), तो <math>X</math> में एक <math>C^k</math> वक्र ऐसा वक्र होता है जिसे केवल <math>C^k</math> माना जाता है (यानी <math>k</math> बार सतत अलग-अलग होता है)। यदि <math>X</math> एक विश्लेषणात्मक मैनिफोल्ड है (अर्थात असीम रूप से भिन्न तथा चार्ट शक्ति श्रृंखला के रूप में अभिव्यक्त होते हैं), तथा <math>\gamma</math> एक विश्लेषणात्मक प्रतिचित्रण है, तो <math>\gamma</math> को एक विश्लेषणात्मक वक्र कहा जाता है। | यह एक मूल धारणा है। कम तथा अधिक सीमित विचार भी हैं। यदि <math>X</math> <math>C^k</math> कई गुना है (यानी, एक कई गुना जिसका [[ चार्ट (टोपोलॉजी) |चार्ट]] लगातार <math>k</math> बार अलग-अलग होता है), तो <math>X</math> में एक <math>C^k</math> वक्र ऐसा वक्र होता है जिसे केवल <math>C^k</math> माना जाता है (यानी <math>k</math> बार सतत अलग-अलग होता है)। यदि <math>X</math> एक विश्लेषणात्मक मैनिफोल्ड है (अर्थात असीम रूप से भिन्न तथा चार्ट शक्ति श्रृंखला के रूप में अभिव्यक्त होते हैं), तथा <math>\gamma</math> एक विश्लेषणात्मक प्रतिचित्रण है, तो <math>\gamma</math> को एक ''विश्लेषणात्मक वक्र'' कहा जाता है। | ||
अवकलनीय वक्र को | अवकलनीय वक्र को '''सममित''' कहा जाता है यदि इसकी व्युत्पत्ति कभी लुप्त न हो। (शब्दों में, एक नियमित वक्र कभी भी रुकने के लिए धीमा नहीं होता या अपने आप पीछे नहीं हटता।) दो <math>C^k</math> अलग-अलग वक्र | ||
:<math>\gamma_1 \colon I \rightarrow X</math> तथा | :<math>\gamma_1 \colon I \rightarrow X</math> तथा | ||
:<math>\gamma_2 \colon J \rightarrow X</math> | :<math>\gamma_2 \colon J \rightarrow X</math> | ||
एक द्विभाजक होने पर समकक्ष कहा जाता है <math>C^k</math> प्रतिचित्रण | एक द्विभाजक होने पर ''समकक्ष'' कहा जाता है <math>C^k</math> प्रतिचित्रण | ||
:<math>p \colon J \rightarrow I</math> | :<math>p \colon J \rightarrow I</math> | ||
| Line 134: | Line 134: | ||
:<math>\gamma_{2}(t) = \gamma_{1}(p(t))</math> | :<math>\gamma_{2}(t) = \gamma_{1}(p(t))</math> | ||
सभी <math>t</math> के लिए प्रतिचित्रण <math>\gamma_2</math> को <math>\gamma_1</math> का पुन:परमिश्रण कहा जाता है; तथा यह <math>X</math> में सभी <math>C^k</math> अवकलनीय वक्रों के समुच्चय पर एक [[ तुल्यता संबंध |तुल्यता संबंध]] बनाता है। एक <math>C^k</math> चाप पुनर्मूल्यांकन के संबंध के तहत <math>C^k</math> वक्रों का एक [[ तुल्यता वर्ग |तुल्यता वर्ग]] है। | सभी <math>t</math> के लिए प्रतिचित्रण <math>\gamma_2</math> को <math>\gamma_1</math> का ''पुन:परमिश्रण'' कहा जाता है; तथा यह <math>X</math> में सभी <math>C^k</math> अवकलनीय वक्रों के समुच्चय पर एक [[ तुल्यता संबंध |तुल्यता संबंध]] बनाता है। एक <math>C^k</math> चाप पुनर्मूल्यांकन के संबंध के तहत <math>C^k</math> वक्रों का एक [[ तुल्यता वर्ग |तुल्यता वर्ग]] है। | ||
==बीजगणितीय वक्र== | ==बीजगणितीय वक्र== | ||
{{main|बीजगणितीय वक्र}} | {{main|बीजगणितीय वक्र}} | ||
बीजगणितीय वक्र वे वक्र हैं जिन्हें [[ बीजगणितीय ज्यामिति |बीजगणितीय ज्यामिति]] में माना जाता है। एक समतल बीजगणितीय वक्र निर्देशांक {{math|''x'', ''y''}} के बिंदुओं का समुच्चय होता है, जैसे कि {{math|1=''f''(''x'', ''y'') = 0}}, जहां {{math|''f''}} किसी क्षेत्र {{math|''F''}} पर परिभाषित दो चरों में एक बहुपद है। एक कहता है कि वक्र {{math|''F''}} पर परिभाषित | बीजगणितीय वक्र वे वक्र हैं जिन्हें [[ बीजगणितीय ज्यामिति |बीजगणितीय ज्यामिति]] में माना जाता है। एक समतल बीजगणितीय वक्र निर्देशांक {{math|''x'', ''y''}} के बिंदुओं का समुच्चय होता है, जैसे कि {{math|1=''f''(''x'', ''y'') = 0}}, जहां {{math|''f''}} किसी क्षेत्र {{math|''F''}} पर परिभाषित दो चरों में एक बहुपद है। एक कहता है कि वक्र {{math|''F''}} ''पर परिभाषित है''। बीजगणितीय ज्यामिति सामान्यतः न केवल {{math|''F''}} में निर्देशांक वाले बिंदुओं पर विचार करती है बल्कि [[ बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र |बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र]] {{math|''K''}} में निर्देशांक वाले सभी बिंदुओं पर विचार करती है। | ||
यदि C, F में गुणांकों वाले बहुपद {{math|''f''}} द्वारा परिभाषित एक वक्र है, तो वक्र को {{math|''F''}} के ऊपर परिभाषित किया गया है। | यदि C, F में गुणांकों वाले बहुपद {{math|''f''}} द्वारा परिभाषित एक वक्र है, तो वक्र को {{math|''F''}} के ऊपर परिभाषित किया गया है। | ||
वास्तविक संख्याओं पर परिभाषित एक वक्र के स्थिति में, सामान्य रूप से जटिल निर्देशांक वाले बिंदुओं पर विचार किया जाता है। इस स्थिति में, वास्तविक निर्देशांक वाला एक बिंदु एक वास्तविक बिंदु होता है, तथा सभी वास्तविक बिंदुओं का समुच्चय वक्र का वास्तविक भाग होता है। इसलिए यह केवल एक बीजगणितीय वक्र का वास्तविक भाग है जो एक सामयिक वक्र हो सकता है (यह हमेशा मामला नहीं होता है, क्योंकि बीजगणितीय वक्र का वास्तविक भाग | वास्तविक संख्याओं पर परिभाषित एक वक्र के स्थिति में, सामान्य रूप से जटिल निर्देशांक वाले बिंदुओं पर विचार किया जाता है। इस स्थिति में, वास्तविक निर्देशांक वाला एक बिंदु एक वास्तविक बिंदु होता है, तथा सभी वास्तविक बिंदुओं का समुच्चय वक्र का ''वास्तविक भाग'' होता है। इसलिए यह केवल एक बीजगणितीय वक्र का वास्तविक भाग है जो एक सामयिक वक्र हो सकता है (यह हमेशा मामला नहीं होता है, क्योंकि बीजगणितीय वक्र का वास्तविक भाग असंगत हो सकता है तथा इसमें अलग-अलग बिंदु सम्मिलित हो सकते हैं)। संपूर्ण वक्र, जो इसके जटिल बिंदु का समुच्चय है, स्थलीय दृष्टिकोण से एक सतह है। विशेष रूप से, व्युत्क्रमणीय जटिल प्रक्षेपी बीजगणितीय वक्रों को रिमेंन सतह कहा जाता है। | ||
एक क्षेत्र {{math|''G''}} में निर्देशांक वाले वक्र {{math|''C''}} के बिंदु {{math|''G''}} के ऊपर परिमेय कहे जाते हैं तथा इन्हें {{math|''C''(''G'')}} से दर्शाया जा सकता है। जब {{math|''G''}} [[ परिमेय संख्या |परिमेय संख्याओं]] का क्षेत्र होता है, तो व्यक्ति केवल परिमेय बिंदुओं की बात करता है। उदाहरण के लिए, फ़र्मेट की अंतिम प्रमेय को इस प्रकार पुनर्कथित किया जा सकता है: {{math|''n'' > 2}} के लिए, डिग्री {{mvar|n}} के फ़र्मेट वक्र के प्रत्येक तर्कसंगत बिंदु का शून्य निर्देशांक होता है। | एक क्षेत्र {{math|''G''}} में निर्देशांक वाले वक्र {{math|''C''}} के बिंदु {{math|''G''}} के ऊपर परिमेय कहे जाते हैं तथा इन्हें {{math|''C''(''G'')}} से दर्शाया जा सकता है। जब {{math|''G''}} [[ परिमेय संख्या |परिमेय संख्याओं]] का क्षेत्र होता है, तो व्यक्ति केवल ''परिमेय बिंदुओं'' की बात करता है। उदाहरण के लिए, फ़र्मेट की अंतिम प्रमेय को इस प्रकार पुनर्कथित किया जा सकता है: {{math|''n'' > 2}} ''के लिए, डिग्री {{mvar|n}} के फ़र्मेट वक्र के प्रत्येक तर्कसंगत बिंदु का शून्य निर्देशांक होता है।'' | ||
बीजगणितीय वक्र स्थान वक्र भी हो सकते हैं, या उच्च आयाम वाले स्थान में वक्र हो सकते हैं, जैसे कि {{math|''n''}}। उन्हें आयाम एक के बीजगणितीय किस्मों के रूप में परिभाषित किया गया है। उन्हें n चरों में कम से कम {{math|''n''–1}} बहुपद समीकरणों के सामान्य हल के रूप में प्राप्त किया जा सकता है। यदि {{math|''n''–1}} बहुपद आयाम {{math|''n''}} के एक स्थान में एक वक्र को परिभाषित करने के लिए पर्याप्त हैं, तो वक्र को एक पूर्ण प्रतिच्छेदन कहा जाता है। चर को समाप्त करके ([[ उन्मूलन सिद्धांत |उन्मूलन सिद्धांत]] के किसी भी उपकरण द्वारा), एक बीजगणितीय वक्र को समतल बीजगणितीय वक्र पर प्रक्षेपित किया जा सकता है, जो हालांकि क्यूप्स या दोहरे बिंदुओं जैसी नई विलक्षणता का परिचय दे सकता है। | बीजगणितीय वक्र स्थान वक्र भी हो सकते हैं, या उच्च आयाम वाले स्थान में वक्र हो सकते हैं, जैसे कि {{math|''n''}}। उन्हें आयाम एक के बीजगणितीय किस्मों के रूप में परिभाषित किया गया है। उन्हें n चरों में कम से कम {{math|''n''–1}} बहुपद समीकरणों के सामान्य हल के रूप में प्राप्त किया जा सकता है। यदि {{math|''n''–1}} बहुपद आयाम {{math|''n''}} के एक स्थान में एक वक्र को परिभाषित करने के लिए पर्याप्त हैं, तो वक्र को एक पूर्ण प्रतिच्छेदन कहा जाता है। चर को समाप्त करके ([[ उन्मूलन सिद्धांत |उन्मूलन सिद्धांत]] के किसी भी उपकरण द्वारा), एक बीजगणितीय वक्र को समतल बीजगणितीय वक्र पर प्रक्षेपित किया जा सकता है, जो हालांकि क्यूप्स या दोहरे बिंदुओं जैसी नई विलक्षणता का परिचय दे सकता है। | ||
Revision as of 17:05, 16 November 2022
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एक परवलय, सबसे सरल वक्रों में से एक, (सीधी) रेखाओं के बाद
गणित में, वक्र (जिसे पुराने ग्रंथों में एक वक्रित रेखा भी कहा जाता है) एक रेखा के समान एक विषय है, परन्तु यह आवश्यक नहीं है कि वह सीधा हो।
सहज रूप से, किसी गतिमान बिंदु को एक स्थान से छोड़ने पर प्राप्त वक्रित रेखा के रूप में विचारित किया जा सकता है। यह वह परिभाषा है जो यूक्लिड के तत्वों में 2000 से भी अधिक वर्ष पहले दिखाई दी थी: "[वक्रित] रेखा[lower-alpha 1] [...] मात्रा की पहला वर्ग है, जिसका केवल एक ही आयाम होता है, अर्थात् लंबाई, बिना किसी चौड़ाई या गहराई के, तथा बिंदु के प्रवाह या भाग के अलावा तथा कुछ नहीं है जो [...] अपनी काल्पनिकता से लंबाई में कुछ अवशेष छोड़ देगा, किसी भी चौड़ाई से मुक्त होगा।"[1]
आधुनिक गणित में वक्र की इस परिभाषा को औपचारिक रूप दिया गया है: वक्र एक अंतराल का प्रतिबिम्ब (इमेज) है जो एक सतत फलन द्वारा एक सांस्थितिक (टोपोलॉजिकल) समष्टि के लिए होता है। कुछ संदर्भों में, फलन जो वक्र को परिभाषित करता है उसे प्राचलीकरण (पैरामीट्रिजेशन) कहा जाता है, तथा वक्र एक पैरामीट्रिक वक्र होता है। इस लेख में, इन वक्रों को कभी-कभी सांस्थितिक वक्र कहा जाता है ताकि उन्हें अलग-अलग वक्रों जैसे अलग-अलग वक्रों से अलग किया जा सके। यह परिभाषा गणित में अध्ययन किए जाने वाले अधिकांश वक्रों को सम्मिलित करती है; उल्लेखनीय अपवाद स्तर वक्र हैं (जो वक्र तथा अलग-अलग बिंदुओं के संघ हैं), तथा बीजगणितीय वक्र (नीचे देखें)। स्तर वक्र तथा बीजगणितीय वक्रों को कभी-कभी अंतर्निहित वक्र कहा जाता है, क्योंकि वे सामान्यतः अंतर्निहित समीकरणों द्वारा परिभाषित होते हैं।
फिर भी, सांस्थितिक वक्रों का वर्गीकरण बहुत व्यापक होता है, तथा इसमें कुछ वक्र होते हैं जो किसी वक्र की अपेक्षा के अनुरूप नहीं दिखते हैं, या यहां तक कि खींचे नहीं जा सकते। यह स्थान-पूरक वक्र तथा भग्न वक्रों की स्थितियाँ है। अधिक नियमितता सुनिश्चित करने के लिए, वक्र को परिभाषित करने वाले फलन को प्रायः अवकलनीय माना जाता है, तथा वक्र को एक अवकलनीय वक्र कहा जाता है।
समतल बीजगणितीय वक्र दो अनिर्धारकों में बहुपद का शून्य समुच्चय होता है। सामान्यतः, एक बीजगणितीय वक्र बहुपदों के परिमित समुच्चय का शून्य समुच्चय होता है, जो एक आयाम के बीजगणितीय विविधता होने की आगे की स्थिति को पूरा करता है। यदि बहुपदों के गुणांक एक क्षेत्र k से संबंधित हैं, तो वक्र को k पर परिभाषित किया जाता है। एक वास्तविक बीजगणितीय वक्र के सामान्य स्थिति में, जहाँ k वास्तविक संख्याओं का क्षेत्र है, बीजगणितीय वक्र सांस्थितिक वक्रों का एक परिमित संघ है। जब जटिल शून्यों पर विचार किया जाता है, तो एक जटिल बीजगणितीय वक्र होता है, जो सांस्थितिक दृष्टिकोण से, एक वक्र नहीं है, बल्कि एक सतह है, तथा प्रायः इसे रीमैन सतह कहा जाता है। हालांकि सामान्य ज्ञान में वक्र नहीं होने के बावजूद, अन्य क्षेत्रों में परिभाषित बीजगणितीय वक्रों का व्यापक अध्ययन किया गया है। विशेष रूप से, आधुनिक क्रिप्टोग्राफी में सीमित क्षेत्र पर बीजगणितीय वक्रों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।
इतिहास
File:Newgrange Entrance Stone.jpg
न्यूग्रेंज की महापाषाण कला घटता में प्रारंभिक रुचि दिखाती है
वक्रों में रुचि गणितीय अध्ययन का विषय होने से बहुत पहले से ही शुरू हो गई थी। इसे कला में तथा प्रागैतिहासिक काल की रोजमर्रा की वस्तुओं में उनके सजावटी उपयोग के कई उदाहरणों में देखा जा सकता है।[2] वक्र, या कम से कम उनके चित्रमय निरूपण, बनाने में सरल हैं, उदाहरण के लिए समुद्र तट पर रेत पर एक छड़ी के साथ।
ऐतिहासिक रूप से, शब्द रेखा का प्रयोग अधिक आधुनिक शब्द वक्र के स्थान पर किया जाता था। इसलिए सीधी रेखा तथा दाहिनी रेखा शब्दों का उपयोग वक्र रेखाओं से आज की रेखा को अलग करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, यूक्लिड के तत्वों की पुस्तक I में, एक रेखा को "चौड़ाई रहित लंबाई" (डिफ. 2) के रूप में परिभाषित किया गया है, जबकि एक सीधी रेखा को "एक ऐसी रेखा के रूप में परिभाषित किया गया है जो समान रूप से अपने आप पर स्थित बिंदुओं के साथ स्थित है" (डिफ। 4)। रेखा के बारे में यूक्लिड के विचार को शायद इस कथन से स्पष्ट किया गया है "एक रेखा के सिरे बिंदु होते हैं," (डिफ. 3)।[3] बाद में टिप्पणीकारों ने विभिन्न योजनाओं के अनुसार पंक्तियों को वर्गीकृत किया। उदाहरण के लिए:[4]
- समग्र रेखाएँ (कोण बनाने वाली रेखाएँ)
- मिश्रित पंक्तियाँ
- निर्धारित करें (रेखाएँ जो अनिश्चित काल तक विस्तारित नहीं होती हैं, जैसे वृत्त)
- अनिश्चित (ऐसी रेखाएँ जो अनिश्चित रूप से विस्तारित होती हैं, जैसे कि सीधी रेखा और परवलय)
