प्रीकंडीशनर

"प्रीकंडीशनिंग" redirects here. For other uses, see प्रीकंडीशनिंग (disambiguation).

गणित में, प्रीकंडीशनिंग परिवर्तन का अनुप्रयोग है, जिसे प्रीकंडीशनर कहा जाता है, जो किसी दी गई समस्या को ऐसे रूप में प्रस्तुत करता है जो संख्यात्मक गणित को हल करने के विधियों के लिए अधिक उपयुक्त है। प्रीकंडीशनिंग सामान्यतः समस्या की स्थिति संख्या को कम करने से संबंधित है। पूर्वनिर्धारित समस्या को सामान्यतः पुनरावृत्तीय विधि द्वारा हल किया जाता है।

रैखिक प्रणालियों के लिए पूर्व नियम

रैखिक बीजगणित और संख्यात्मक विश्लेषण में, आव्युह $A$ का प्रीकंडीशनर $P$ आव्युह ऐसा है जैसे कि $P^{-1}A$ की स्थिति संख्या $A$ से छोटी है।. इसे $T=P^{-1}$कहना भी सामान्य बात है $P$ के अतिरिक्त प्रीकंडीशनर, क्योंकि $P$ स्वयं शायद ही कभी स्पष्ट रूप से उपलब्ध होता है। आधुनिक प्रीकंडीशनिंग में, $T=P^{-1}$का अनुप्रयोग अर्थात, स्तम्भ सदिश, या स्तम्भ सदिश के ब्लॉक को $T=P^{-1}$ से गुणा करना, सामान्यतः आव्युह-मुक्त विधियों में किया जाता है | आव्युह-मुक्त फैशन, अर्थात, जहां न तो $P$, और न $T=P^{-1}$ (और अधिकांशतः $A$ भी नहीं) आव्युह रूप में स्पष्ट रूप से उपलब्ध हैं।

प्रीकंडीशनर $x$ के लिए रैखिक प्रणाली $Ax=b$ को हल करने के लिए पुनरावृत्त विधियों में उपयोगी होते हैं चूंकि अधिकांश पुनरावृत्त रैखिक सॉल्वरों के लिए अभिसरण की दर बढ़ जाती है क्योंकि प्रीकंडीशनिंग के परिणामस्वरूप आव्युह की स्थिति संख्या कम हो जाती है। पूर्वनिर्धारित पुनरावृत्त सॉल्वर सामान्यतः प्रत्यक्ष सॉल्वर से उत्तम प्रदर्शन करते हैं, उदाहरण के लिए, गॉसियन उन्मूलन, बड़े के लिए, विशेष रूप से विरल मैट्रिसेस के लिए पुनरावृत्त सॉल्वर का उपयोग आव्युह-मुक्त विधियों के रूप में किया जा सकता है, अर्थात गुणांक आव्युह होने पर एकमात्र विकल्प बन जाता है जहाँ $A$ स्पष्ट रूप से संग्रहीत नहीं है, किन्तु आव्युह-सदिश उत्पादों का मूल्यांकन करके इस तक पहुंचा जाता है।

विवरण

$x$ के लिए मूल रैखिक प्रणाली $Ax=b$ को हल करने के अतिरिक्त, कोई सही पूर्व नियम प्रणाली पर विचार कर सकता है

$$AP^{-1}(Px)=b$$

और हल करें

$$AP^{-1}y=b$$

$y$ के लिए और

$$Px=y$$

$x$ के लिए .

वैकल्पिक रूप से, कोई बाईं पूर्व नियम प्रणाली को हल कर सकता है

$$P^{-1}(Ax-b)=0.$$

दोनों प्रणालियाँ मूल प्रणाली के समान ही समाधान देती हैं जब तक कि प्रीकंडीशनर आव्युह $P$ बीजगणितीय वक्र या विलक्षणता है। बाईं ओर की पूर्व नियम अधिक पारंपरिक है।

दो तरफा पूर्व नियम प्रणाली

$$QA{P}^{-<!--\; -\; -->1}(Px)=$$