Μ ऑपरेटर: Difference between revisions

Revision as of 13:30, 10 August 2023

रिकर्सन सिद्धांत में, μ-संचालक, न्यूनतम संचालक, या असीम अविष्कार संचालक किसी दिए गए गुण के साथ सबसे कम प्राकृतिक संख्या की अविष्कार करता है। प्रारंभिक पुनरावर्ती फलन में μ-संचालक को जोड़ने से सभी गणना योग्य फलन को परिभाषित करना संभव हो जाता है।

परिभाषा

मान लीजिए कि R(y, x₁, ..., x_k) प्राकृतिक संख्याओं पर निश्चित (k+1)-एरी संबंध है। μ-संचालक "μy", असंबद्ध या परिबद्ध रूप में, "अंकगणितीय फलन" है जो प्राकृतिक संख्याओं से प्राकृतिक संख्याओं तक की परिभाषा की जाती है। चूँकि, "μy" में प्राकृतिक संख्याओं पर विधेय (गणित) सम्मिलित है, जिसे ऐसी स्थिति के रूप में माना जा सकता है जो विधेय संतुष्ट होने पर सत्य और ऐसा नहीं होने पर गलत का मूल्यांकन करती है।

घिरे μ-संचालक पहले क्लेन (1952) अध्याय IX प्रारंभिक पुनरावर्ती फलन में दिखाई देता है, §45 विधेय, मुख्य कारक प्रतिनिधित्व इस प्रकार है:

\mu y_{y<z}R(y).\ \ {\mbox{The least}}\ y<z\ {\mbox{such that}}\ R(y),\ {\mbox{if}}\ (\exists y)_{y<z}R(y);\ {\mbox{otherwise}},\ z.

(पृ. 225)

स्टीफन क्लेन का कहना है कि चर y की सीमा पर छह असमानता प्रतिबंधों में से किसी की अनुमति है, अर्थात y < z, y ≤ z, w < y < z, w < y ≤ z, w ≤ y < z और w ≤ y ≤ z। "जब सूचित श्रेणी में R(y) [सत्य होने] वाले कोई y नहीं होता, तो "μy" अभिव्यक्ति की मान्यता सूची की कार्डिनल संख्या होती है" (पृष्ठ 226); यही कारण है कि उपरोक्त परिभाषा में गलती "z" दिखाई देता है। जैसा कि नीचे दिखाया गया है, परिबद्ध μ-संचालक " μy_y<z " को दो प्रारंभिक पुनरावृत्ति फलन, अर्थात संलग्न सूम Σ और संलग्न उत्पाद Π, प्रेडिकेट फलन और प्रतिनिदित फलन के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो {t, f} को {0, 1} में बदलता है।

अध्याय XI §57 "सामान्य पुनरावर्ती फलन में", क्लीन ने चरण से निर्धारित असीमित μ-संचालक को निम्नलिखित विधि से परिभाषित किया है,

(\exists y)\mu yR(y)=\{{\mbox{the least (natural number)}}\ y\ {\mbox{such that}}\ R(y)\}

(पृ. 279, कहां

(\exists y)

इसका कारण है कि कोई ऐसा अस्तित्व है कि... )

इस उदाहरण में R स्वयं, या इसका प्रतिनिधित्व करने वाला फलन, जब यह संतोषित होता है (अर्थात सत्य होता है), 0 प्राप्त करता है; तब फलन नंबर y प्राप्त करता है। y पर कोई ऊपरी सीमा उपस्थित नहीं है, इसलिए उसकी परिभाषा में कोई असमेकता अभिव्यक्तियाँ नहीं होती हैं।

दिए गए R(y) के लिए असीम μ-संचालक μyR(y) (ध्यान दें कि "(Ey)" की कोई आवश्यकता नहीं है) आंशिक फलन है। क्लीन ने इसे इसके अतिरिक्त पूर्ण फलन के रूप में बदला है (पृ. 317):

$\varepsilon yR(x,y)={\begin{cases}{\text{the least }}y{\text{ such that }}R(x,y),&{\text{if }}(Ey)R(x,y)\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}$ ""

असीम μ-संचालक का पूर्ण संस्करण का अध्ययन उच्च-क्रम रिवर्स गणित में किया जाता है (कोहलेंबाच (2005) निम्नलिखित रूप में:

$(\exists μ^{2}) (\forall f^{1}) ((\exists n^{0})$

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-रिकर्सन सिद्धांत में, '''μ-संचालक''', न्यूनतम संचालक, या असीम खोज संचालक किसी दिए गए गुण के साथ सबसे कम [[प्राकृतिक संख्या]] की खोज करता है। [[आदिम पुनरावर्ती कार्य|प्रारंभिक पुनरावर्ती फलन]] में μ-संचालक को जोड़ने से सभी [[गणना योग्य कार्य|गणना योग्य]] फलन को परिभाषित करना संभव हो जाता है।
+रिकर्सन सिद्धांत में, '''μ-संचालक''', न्यूनतम संचालक, या असीम अविष्कार संचालक किसी दिए गए गुण के साथ सबसे कम [[प्राकृतिक संख्या]] की अविष्कार करता है। [[आदिम पुनरावर्ती कार्य|प्रारंभिक पुनरावर्ती फलन]] में μ-संचालक को जोड़ने से सभी [[गणना योग्य कार्य|गणना योग्य]] फलन को परिभाषित करना संभव हो जाता है।
 == परिभाषा ==
-मान लीजिए कि R(y, x<sub>1</sub>, ..., x<sub>''k''</sub>) [[प्राकृतिक संख्या]]ओं पर निश्चित (k+1)-एरी संबंध है। μ-संचालक "μy", असंबद्ध या परिबद्ध रूप में, "अंक गणितीय फलन" है जो प्राकृतिक संख्याओं से प्राकृतिक संख्याओं तक की परिभाषा की जाती है। चूँकि, "μy" में प्राकृतिक संख्याओं पर [[विधेय (गणित)]] सम्मिलित है, जिसे ऐसी स्थिति के रूप में माना जा सकता है जो विधेय संतुष्ट होने पर सत्य और ऐसा नहीं होने पर गलत का मूल्यांकन करती है।
+मान लीजिए कि R(y, x<sub>1</sub>, ..., x<sub>''k''</sub>) [[प्राकृतिक संख्या]]ओं पर निश्चित (k+1)-एरी संबंध है। μ-संचालक "μy", असंबद्ध या परिबद्ध रूप में, "अंकगणितीय फलन" है जो प्राकृतिक संख्याओं से प्राकृतिक संख्याओं तक की परिभाषा की जाती है। चूँकि, "μy" में प्राकृतिक संख्याओं पर [[विधेय (गणित)]] सम्मिलित है, जिसे ऐसी स्थिति के रूप में माना जा सकता है जो विधेय संतुष्ट होने पर सत्य और ऐसा नहीं होने पर गलत का मूल्यांकन करती है।
 घिरे μ-संचालक पहले क्लेन (1952) अध्याय IX प्रारंभिक पुनरावर्ती फलन में दिखाई देता है, §45 विधेय, मुख्य कारक प्रतिनिधित्व इस प्रकार है:
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 [[स्टीफन क्लेन]] का कहना है कि चर y की सीमा पर छह असमानता प्रतिबंधों में से किसी की अनुमति है, अर्थात y < z, y ≤ z, w < y < z, w < y ≤ z, w ≤ y < z और w ≤ y ≤ z। "जब सूचित श्रेणी में R(y) [सत्य होने] वाले कोई y नहीं होता, तो "μy" अभिव्यक्ति की मान्यता सूची की कार्डिनल संख्या होती है" (पृष्ठ 226); यही कारण है कि उपरोक्त परिभाषा में गलती "z" दिखाई देता है। जैसा कि नीचे दिखाया गया है, परिबद्ध μ-संचालक " μy<sub>''y''<''z''</sub> " को दो प्रारंभिक पुनरावृत्ति फलन, अर्थात संलग्न सूम Σ और संलग्न उत्पाद Π, प्रेडिकेट फलन और प्रतिनिदित फलन के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो {t, f} को {0, 1} में बदलता है।
-अध्याय XI §57 "सामान्य पुनरावर्ती फलन में", क्लीन ने चरण से निर्धारित असीमित μ-संचालक को निम्नलिखित तरीके से परिभाषित किया है,
+अध्याय XI §57 "सामान्य पुनरावर्ती फलन में", क्लीन ने चरण से निर्धारित असीमित μ-संचालक को निम्नलिखित विधि से परिभाषित किया है,
 :<math>(\exists y) \mu y R(y) = \{ \mbox{the least (natural number)}\ y \ \mbox{such that} \ R(y)\}</math>(पृ. 279, कहां<math>(\exists y)</math> इसका कारण है कि कोई ऐसा अस्तित्व है कि... )
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 == गुण ==
-(i) [[आदिम पुनरावर्ती कार्य|प्रारंभिक पुनरावर्ती]] फलन के संदर्भ में, जहां μ-संचालक का खोज चर y घिरा हुआ है, उदाहरण के लिए y < z नीचे दिए गए सूत्र में, यदि विधेय R प्रारंभिक पुनरावर्ती है (क्लीन प्रूफ़ E पृष्ठ 228), तो
+(i) [[आदिम पुनरावर्ती कार्य|प्रारंभिक पुनरावर्ती]] फलन के संदर्भ में, जहां μ-संचालक का अविष्कार चर y घिरा हुआ है, उदाहरण के लिए y < z नीचे दिए गए सूत्र में, यदि विधेय R प्रारंभिक पुनरावर्ती है (क्लीन प्रूफ़ E पृष्ठ 228), तो
 : μ''y<sub>y</sub>''<sub><''z''</sub>R(''y'', ''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>n</sub>) प्रारंभिक पुनरावृत्ति फलन है।
-(ii) कुल पुनरावर्ती फलन के संदर्भ में, जहां खोज चर y असीमित होती है किन्तु सभी मान x<sub>''i''</sub> के लिए उपस्थित होने की गारंटी है कुल पुनरावर्ती विधेय आर के पैरामीटर,
+(ii) कुल पुनरावर्ती फलन के संदर्भ में, जहां अविष्कार चर y असीमित होती है किन्तु सभी मान x<sub>''i''</sub> के लिए उपस्थित होने की गारंटी है कुल पुनरावर्ती विधेय आर के पैरामीटर,
 :(''x''<sub>1</sub>),...,(''x<sub>n</sub>'') (Ey) R(''y'', ''x<sub>i</sub>'', ..., ''x<sub>n</sub>'') का तात्पर्य है कि μ''y''R(''y'', ''x<sub>i</sub>'', ..., ''x<sub>n</sub>'') पूर्ण पुनरावर्ती फलन होता है। यहाँ (x<sub>''i''</sub>) "सभी ''x<sub>i</sub>'' के लिए" का अर्थ है और Ey "कम से कम y का उपस्थित होना" का अर्थ होता है (क्लेन (1952) पृ. 279 का अनुकरण करें।)
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 :निम्नलिखित में 'x' स्ट्रिंग ''x<sub>i</sub>'', ..., ''x<sub>n</sub>'' को प्रस्तुत करता है।
-बंधे हुए μ-संचालक को दो प्रारंभिक पुनरावर्ती फलन (इसके बाद "पीआरएफ") के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है, जिनका उपयोग स्थिति फलन को परिभाषित करने के लिए भी किया जाता है - उत्पाद-शब्दों का Π और योग-योग Σ (सीएफ क्लेन #B पृष्ठ 224 की तुलना करें)। (जैसे-जैसे आवश्यकता होती है, कोई भी चरण जैसे s ≤ t या t < z, या 5 < x < 17 आदि चुन सकते हैं)। उदाहरण के लिए:
+बंधे हुए μ-संचालक को दो प्रारंभिक पुनरावर्ती फलन (इसके बाद "पीआरएफ") के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है, जिनका उपयोग स्थिति फलन को परिभाषित करने के लिए भी किया जाता है - उत्पाद-शब्दों का Π और योग-योग Σ (सीएफ क्लेन B पृष्ठ 224 की तुलना करें)। (जैसे-जैसे आवश्यकता होती है, कोई भी चरण जैसे s ≤ t या t < z, या 5 < x < 17 आदि चुन सकते हैं)। उदाहरण के लिए:
 :*Π<sub>''s''≤''t''</sub> f<sub>''s''</sub>('''x''', ''s'') = f<sub>0</sub>('''x''', 0) × f<sub>1</sub>('''x''', 1) × ... × f<sub>t</sub>('''x''', ''t'')
 :*Σ<sub>''t''<''z''</sub> g<sub>''t''</sub>('''x''', ''t'') = g<sub>0</sub>('''x''', 0) + g<sub>1</sub>('''x''', 1) + ... + g<sub>z-1</sub>('''x''', ''z''-1)
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 :* ψ(R = f) = 1
-क्लेन दर्शाता है कि μ''y''<sub>''y''<''z''</sub>R(y) निम्नलिखित रूप में परिभाषित होता है; हम देखते हैं कि उत्पाद फलन Π बूलियन OR संचालक की प्रकार काम कर रहा है, और योग फलन Σ किसी प्रकार बूलियन AND की प्रकार काम कर रहा है, किन्तु केवल {Σ≠0, Σ=0} नहीं बल्कि {1, 0} नहीं पैदा कर रहा है:
+क्लेन दर्शाता है कि μ''y''<sub>''y''<''z''</sub>R(y) निम्नलिखित रूप में परिभाषित होता है; हम देखते हैं कि उत्पाद फलन Π बूलियन OR संचालक की प्रकार काम कर रहा है, और योग फलन Σ किसी प्रकार बूलियन AND की प्रकार काम कर रहा है, किन्तु केवल {Σ≠0, Σ=0} नहीं किंतु {1, 0} नहीं पैदा कर रहा है:
 : μ''y<sub>y</sub>''<sub><''z''</sub>R(''y'') = Σ<sub>''t''<''z''</sub>Π<sub>''s''≤''t''</sub> ψ(R('''x''', ''t'', ''s'')) =
 : [ψ(x, 0, 0)] +
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 :''ध्यान दें कि Σ वास्तव में प्रारंभिक पुनरावृत्ति है जिसमें आधार Σ(x, 0) = 0 है और इंडक्शन स्टेप Σ(x, y+1) = Σ(x, y) + Π( x, y) है। उत्पाद Π भी प्रारंभिक पुनरावृत्ति है जिसमें आधार कदम Π(x, 0) = ψ(x, 0) होता है और इंडक्शन स्टेप Π(x, y+1) = Π(x, y) × ψ(x, y+1) होता है।''
-इस समीकरण को उदाहरण के साथ समझना आसान होता है, जैसा कि क्लीन द्वारा दिया गया है। उन्होंने प्रतिनिदित करने वाले फलन ψ(R(y)) के लिए एंट्रीज केवल तैयार की थीं। उन्होंने प्रतिनिदित करने वाले फलन के लिए χ(y) को ψ(x, y) के अतिरिक्त  चिन्हित किया था।
+इस समीकरण को उदाहरण के साथ समझना आसान होता है, जैसा कि क्लीन द्वारा दिया गया है। उन्होंने प्रतिनिदित करने वाले फलन ψ(R(y)) के लिए एंट्रीज केवल तैयार की थीं। उन्होंने प्रतिनिदित करने वाले फलन के लिए χ(y) को ψ(x, y) के अतिरिक्त चिन्हित किया था।
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 === उदाहरण 2: असीम μ-संचालक आदिम-पुनरावर्ती नहीं होता है ===
-असीम μ-संचालक-फलन μy-वह है जिसे सामान्यतः ग्रंथों में परिभाषित किया गया है। किन्तु पाठक को आश्चर्य हो सकता है कि असंबद्ध μ-संचालक किसी अन्य प्राकृतिक संख्या के अतिरिक्त शून्य उत्पन्न करने के लिए फलन R('x', y) की खोज क्यों कर रहा है।
+असीम μ-संचालक-फलन μy-वह है जिसे सामान्यतः ग्रंथों में परिभाषित किया गया है। किन्तु पाठक को आश्चर्य हो सकता है कि असंबद्ध μ-संचालक किसी अन्य प्राकृतिक संख्या के अतिरिक्त शून्य उत्पन्न करने के लिए फलन R('x', y) की अविष्कार क्यों कर रहा है।
 :फुटनोट में मिन्स्की अपने संचालक को तब समाप्त करने की अनुमति देता है जब अंदर का फलन पैरामीटर k से मेल खाता है; यह उदाहरण इसलिए भी उपयोगी है क्योंकि यह किसी अन्य लेखक का प्रारूप दिखाता है:
 :: "μt[φ(t) = k]" (पृ. 210)
-शून्य का कारण यह है कि असीम संचालक μy को फलन "उत्पाद" Π के संदर्भ में परिभाषित किया जाएगा, जिसमें निर्देशिका y को "बढ़ने" की अनुमति होती है जैसे-जैसे μ-संचालक खोज करता है। जैसा कि ऊपर के उदाहरण में दिखाया गया है, स्ट्रिंग संख्याओं ψ('''x''', 0) *, ..., * ψ('''x''', ''y'') का उत्पाद Π<sub>''x''<''y''</sub> कभी भी जब भी ψ('''x''', ''i'') में से कोई भी सदस्य शून्य होता है, तो वह 0 प्राप्त करता है:
+शून्य का कारण यह है कि असीम संचालक μy को फलन "उत्पाद" Π के संदर्भ में परिभाषित किया जाएगा, जिसमें निर्देशिका y को "बढ़ने" की अनुमति होती है जैसे-जैसे μ-संचालक अविष्कार करता है। जैसा कि ऊपर के उदाहरण में दिखाया गया है, स्ट्रिंग संख्याओं ψ('''x''', 0) *, ..., * ψ('''x''', ''y'') का उत्पाद Π<sub>''x''<''y''</sub> कभी भी जब भी ψ('''x''', ''i'') में से कोई भी सदस्य शून्य होता है, तो वह 0 प्राप्त करता है:
 :Π<sub>''s''<''y''</sub> = ψ(x, 0) * , ..., * ψ(x, ''y'') = 0
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 :* प्रेरण चरण: φ(0, x) = ψ(y, φ(0,x), x)
-यह देखने के लिए कि क्या हो रहा है, हमें सबसे पहले खुद को याद दिलाना होगा कि हमने प्रत्येक चर ''x'' के लिए पैरामीटर ( प्राकृतिक संख्या) निर्दिष्ट किया है। दूसरा, हम उत्तराधिकारी-संचालक को काम पर y (अर्थात y' ) दोहराते हुए देखते हैं। और तीसरा, हम देखते हैं कि फलन μ''y'' <sub>''y''<''z''</sub>χ(''y'', '''x'<nowiki/>'')''''' ''केवल χ(''y'',x) अर्थात χ(0,x), χ(1,x), ... के उदाहरण उत्पन्न कर रहा है जब तक कि उदाहरण 0 प्राप्त न हो जाए। चौथा , जब उदाहरण χ(''n'', x) से 0 प्राप्त होता है तो यह τ के मध्य पद का कारण बनता है, अर्थात v = π(x, ''y ) से 0 प्राप्त होता है। अंत में, जब मध्य पद ''v'' = 0, μ''y<sub>y</sub>''<sub><''z''</sub>χ(''y'') होता है, लाइन (iii) निष्पादित करता है और बाहर निकलता है। क्लेन की समीकरणों (ii) और (iii) की प्रस्तुति का आदान-प्रदान इस बिंदु को बनाने के लिए किया गया है कि रेखा (iii) निकास का प्रतिनिधित्व करती है - निकास केवल तभी लिया जाता है जब खोज सफलतापूर्वक χ(y) और मध्य उत्पाद-शब्द π को संतुष्ट करने के लिए y पाती है। ('x', y' ) 0 है; इसके बाद संचालक अपनी खोज को τ(z', 0, y) = y के साथ समाप्त करता है।
+यह देखने के लिए कि क्या हो रहा है, हमें सबसे पहले स्वयं को याद दिलाना होगा कि हमने प्रत्येक चर ''x'' के लिए पैरामीटर ( प्राकृतिक संख्या) निर्दिष्ट किया है। दूसरा, हम उत्तराधिकारी-संचालक को काम पर y (अर्थात y' ) दोहराते हुए देखते हैं। और तीसरा, हम देखते हैं कि फलन μ''y'' <sub>''y''<''z''</sub>χ(''y'', '''x'<nowiki/>'')''''' ''केवल χ(''y'',x) अर्थात χ(0,x), χ(1,x), ... के उदाहरण उत्पन्न कर रहा है जब तक कि उदाहरण 0 प्राप्त न हो जाए। चौथा , जब उदाहरण χ(''n'', x) से 0 प्राप्त होता है तो यह τ के मध्य पद का कारण बनता है, अर्थात v = π(x, ''y ) से 0 प्राप्त होता है। अंत में, जब मध्य पद ''v'' = 0, μ''y<sub>y</sub>''<sub><''z''</sub>χ(''y'') होता है, लाइन (iii) निष्पादित करता है और बाहर निकलता है। क्लेन की समीकरणों (ii) और (iii) की प्रस्तुति का आदान-प्रदान इस बिंदु को बनाने के लिए किया गया है कि रेखा (iii) निकास का प्रतिनिधित्व करती है - निकास केवल तभी लिया जाता है जब अविष्कार सफलतापूर्वक χ(y) और मध्य उत्पाद-शब्द π को संतुष्ट करने के लिए y पाती है। ('x', y' ) 0 है; इसके बाद संचालक अपनी अविष्कार को τ(z', 0, y) = y के साथ समाप्त करता है।
 : τ(π('x', y), π('x', y' ), y), अर्थात:
 :* τ(π('x', 0), π('x', 1), 0),
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 :* τ(π('x', 3), π('x', 4), 3)
 :* ... जब तक कोई मिलान y=n पर न हो जाए और तब,
-:* τ(z' , 0, y) = τ(z' , 0, n) = n और μ-संचालक की खोज पूरी हो गई है।
+:* τ(z' , 0, y) = τ(z' , 0, n) = n और μ-संचालक की अविष्कार पूरी हो गई है।
 उदाहरण के लिए क्लेन (''x<sub>i</sub>'', ..., ''x<sub>n</sub>'') के किसी भी निश्चित मान पर विचार करें और 'χ(x) के लिए बस 'χ(''x<sub>i</sub>'', ..., ''x<sub>n</sub>''), ''y'')'":

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