Nवे मूल: Difference between revisions
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डिग्री 2 के मूल को वर्गमूल कहा जाता है (जहाँ n के बिना इसे केवल <math>\sqrt {x}</math> के रूप में लिखा जाता है) और डिग्री 3 के मूल को घनमूल <math>\sqrt[{3}]{x} </math> के रूप में लिखा जाता है) कहा जाता है। उच्च डिग्री की मूलों को क्रमिक संख्याओं का उपयोग करके संदर्भित किया जाता है, जैसे कि चौथी मूल , बीसवीं मूल, आदि। {{math|''n''}} मूल की गणना एक मूल निष्कर्षण है। उदाहरण के लिए, 3, 9 का वर्गमूल है, क्योंकि 3{{sup|2}}= 9 है,और −3 भी 9 का वर्गमूल है, क्योंकि (−3){{sup|2}} = 9 है. | डिग्री 2 के मूल को वर्गमूल कहा जाता है (जहाँ n के बिना इसे केवल <math>\sqrt {x}</math> के रूप में लिखा जाता है) और डिग्री 3 के मूल को घनमूल <math>\sqrt[{3}]{x} </math> के रूप में लिखा जाता है) कहा जाता है। उच्च डिग्री की मूलों को क्रमिक संख्याओं का उपयोग करके संदर्भित किया जाता है, जैसे कि चौथी मूल , बीसवीं मूल, आदि। {{math|''n''}} मूल की गणना एक मूल निष्कर्षण है। उदाहरण के लिए, 3, 9 का वर्गमूल है, क्योंकि 3{{sup|2}}= 9 है,और −3 भी 9 का वर्गमूल है, क्योंकि (−3){{sup|2}} = 9 है. | ||
सम्मिश्र संख्या के रूप में माना जाता है जिसमे किसी भी गैर-शून्य संख्या में, वास्तविक (अधिकतम दो) सहित विभिन्न सम्मिश्र {{math|''n''}}वें मूल होते है | सम्मिश्र संख्या के रूप में माना जाता है जिसमे किसी भी गैर-शून्य संख्या में, वास्तविक (अधिकतम दो) सहित विभिन्न सम्मिश्र {{math|''n''}}वें मूल होते है सभी धनात्मक पूर्णांकों {{math|''n''}} के लिए 0 का {{math|''n''}}' मूल शून्य होता है, जबसे {{math|0{{sup|''n''}} {{=}} 0}}. विशेष रूप से, यदि {{math|''n''}} सम है और {{math|''x''}} धनात्मक वास्तविक संख्या है, इसका {{math|''n''}} मूल वास्तविक और धनात्मक हैं, ऋणात्मक है, और अन्य (जब {{math|''n'' > 2}}) अवास्तविक सम्मिश्र संख्याएँ हैं; यदि {{math|''n''}} सम है और {{math|''x''}} ऋणात्मक वास्तविक संख्या है, इनमें से कोई नहीं {{math|''n''}}वीं मूल वास्तविक हैं। यदि {{math|''n''}} विषम है और {{math|''x''}} वास्तविक है, {{math|''n''}}मूल वास्तविक है और इसका चिन्ह {{math|''x''}} के समान है , जबकि अन्य ({{math|''n'' – 1}}) मूल वास्तविक नहीं हैं। अंत में, यदि {{math|''x''}} वास्तविक नहीं है, तब इसका कोई नहीं {{math|''n''}}वें मूल वास्तविक हैं। | ||
वास्तविक संख्याओं की मूल सामान्यतः मूलांक प्रतीक या मूलांक <math>\sqrt{{~^~}^~\!\!}</math> का उपयोग करके लिखी जाती हैं , यदि {{mvar|x}} धनात्मक है जिसके साथ <math>\sqrt{x}</math> | वास्तविक संख्याओं की मूल सामान्यतः मूलांक प्रतीक या मूलांक <math>\sqrt{{~^~}^~\!\!}</math> का उपयोग करके लिखी जाती हैं , यदि {{mvar|x}} धनात्मक है जिसके साथ <math>\sqrt{x}</math> {{mvar|x}} के धनात्मक वर्गमूल को निरूपित करना होता है; यदि {{math|''n''}} विषम है तो <math>\sqrt[n]{x}</math> वास्तविक {{math|''n''}} की मूल को दर्शाता है उच्च मूलों के लिए, यदि है {{math|''n''}} सम है और {{mvar|x}} धनात्मक है। और धनात्मक nवाँ मूल अन्य स्थितियों में, प्रतीक सामान्यतः अस्पष्ट होने के रूप में उपयोग नहीं किया जाता है। अभिव्यक्ति में <math>\sqrt[n]{x}</math>, पूर्णांक n को अनुक्रमणिका और कहा जाता है {{mvar|x}} रेडिकैंड कहा जाता है। | ||
जब सम्मिश्र {{mvar|n}}वें मूलों पर विचार किया जाता है, यह अधिकांशतः मूलों में से को चुनने के लिए उपयोगी होता है, जिसे सिद्धांत | जब सम्मिश्र {{mvar|n}}वें मूलों पर विचार किया जाता है, यह अधिकांशतः मूलों में से को चुनने के लिए उपयोगी होता है, जिसे सिद्धांत मूल कहा जाता है, मुख्य मूल्य के रूप में। सामान्य पसंद सिद्धांत चुनना है कि {{mvar|x}} के रूप में {{mvar|n}}वें मूल सबसे बड़ा वास्तविक भाग {{mvar|n}} की मूल के साथ चुना जाये, और जब दो होते हैं ( {{mvar|x}} वास्तविक और नकारात्मक के लिए) हों, तो एक धनात्मक काल्पनिक भाग वाला। यह {{mvar|n}}वें मूल फलन (गणित) बनाता है जो {{mvar|x}} वास्तविक और धनात्मक के लिए वास्तविक और धनात्मक है, और {{mvar|x}} के वास्तविक और ऋणात्मक मूल्यों को छोड़कर, पूरे सम्मिश्र विमान में निरंतर कार्य करता है | ||
इस विकल्प के साथ कठिनाई यह है कि, ऋणात्मक वास्तविक संख्या और विषम सूचकांक के लिए, मूलधन {{mvar|n}} मूल असली नहीं है। उदाहरण के लिए, <math>-8</math> तीन घनमूल हैं, <math>-2</math>, <math>1 + i\sqrt{3}</math> तथा <math>1 - i\sqrt{3}.</math> वास्तविक घनमूल <math>-2</math> है और मुख्य घनमूल <math>1 + i\sqrt{3} </math> है | इस विकल्प के साथ कठिनाई यह है कि, ऋणात्मक वास्तविक संख्या और विषम सूचकांक के लिए, मूलधन {{mvar|n}} मूल असली नहीं है। उदाहरण के लिए, <math>-8</math> तीन घनमूल हैं, <math>-2</math>, <math>1 + i\sqrt{3}</math> तथा <math>1 - i\sqrt{3}.</math> वास्तविक घनमूल <math>-2</math> है और मुख्य घनमूल <math>1 + i\sqrt{3} </math> है | ||
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मूलों को घातांक के विशेष स्थितियों | मूलों को घातांक के विशेष स्थितियों के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है, जहां प्रतिपादक अंश (गणित) है: | ||
:<math>\sqrt[n]{x} = x^{1/n}.</math> | :<math>\sqrt[n]{x} = x^{1/n}.</math> | ||
<डिव क्लास = राइट>{{Arithmetic operations}} | <डिव क्लास = राइट> {{Arithmetic operations}} | ||
मूलों का उपयोग मूल परीक्षण के साथ शक्ति श्रृंखला के अभिसरण के त्रिज्या को निर्धारित करने के लिए किया जाता है। 1 के nवें मूल को एकता की मूल कहा जाता है और गणित के विभिन्न क्षेत्रों में मौलिक भूमिका निभाते हैं, जैसे संख्या सिद्धांत, समीकरणों का सिद्धांत, और फूरियर रूपांतरण निभाते है। | मूलों का उपयोग मूल परीक्षण के साथ शक्ति श्रृंखला के अभिसरण के त्रिज्या को निर्धारित करने के लिए किया जाता है। 1 के nवें मूल को एकता की मूल कहा जाता है और गणित के विभिन्न क्षेत्रों में मौलिक भूमिका निभाते हैं, जैसे संख्या सिद्धांत, समीकरणों का सिद्धांत, और फूरियर रूपांतरण निभाते है। | ||
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[[File:NegativeOne3Root.svg|thumb|−1 के तीन तीसरे मूल,<br /> जिनमें से ऋणात्मक वास्तविक है]]किसी संख्या ''x'' का ''n'' वाँ मूल, जहाँ ''n'' धनात्मक पूर्णांक है, कोई भी ''n'' वास्तविक या सम्मिश्र संख्या ''r'' है जिसका ''n'' ''वीं शक्ति ''x'' है: | [[File:NegativeOne3Root.svg|thumb|−1 के तीन तीसरे मूल,<br /> जिनमें से ऋणात्मक वास्तविक है]]किसी संख्या ''x'' का ''n'' वाँ मूल, जहाँ ''n'' धनात्मक पूर्णांक है, कोई भी ''n'' वास्तविक या सम्मिश्र संख्या ''r'' है जिसका ''n'' ''वीं शक्ति ''x'' है: | ||
:<math>r^n = x.</math> | :<math>r^n = x.</math> | ||
प्रत्येक धनात्मक वास्तविक संख्या x का धनात्मक nवां मूल होता है, जिसे nवाँ मूल मान कहते हैं, जिसे <math>\sqrt[n]{x}</math> लिखा जाता है. | प्रत्येक धनात्मक वास्तविक संख्या x का धनात्मक nवां मूल होता है, जिसे nवाँ मूल मान कहते हैं, जिसे <math>\sqrt[n]{x}</math> लिखा जाता है. 2 के सामान्तर n के लिए इसे मुख्य वर्गमूल कहा जाता है और n को छोड़ दिया जाता है। nवें मूल को घातांक का उपयोग करके x{{sup|1/n}} के रूप में भी प्रदर्शित किया जा सकता है. | ||
n के सम मानों के लिए, धनात्मक संख्याओं का ऋणात्मक nवां मूल भी होता है, जबकि ऋणात्मक संख्याओं का वास्तविक nवां मूल नहीं होता है। n के विषम मानों के लिए, प्रत्येक ऋणात्मक संख्या x का वास्तविक ऋणात्मक nवां मूल होता है। उदाहरण के लिए, −2 का वास्तविक 5वां मूल है, <math>\sqrt[5]{-2} = -1.148698354\ldots</math> किन्तु -2 का कोई वास्तविक छठा मूल नहीं है। | n के सम मानों के लिए, धनात्मक संख्याओं का ऋणात्मक nवां मूल भी होता है, जबकि ऋणात्मक संख्याओं का वास्तविक nवां मूल नहीं होता है। n के विषम मानों के लिए, प्रत्येक ऋणात्मक संख्या x का वास्तविक ऋणात्मक nवां मूल होता है। उदाहरण के लिए, −2 का वास्तविक 5वां मूल है, <math>\sqrt[5]{-2} = -1.148698354\ldots</math> किन्तु -2 का कोई वास्तविक छठा मूल नहीं है। | ||
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<math>\sqrt{-1}\times\sqrt{-1} \neq \sqrt{-1 \times -1} = 1,\quad</math>किंतु,<math>\quad\sqrt{-1}\times\sqrt{-1} = i \times i = i^2 = -1.</math> | <math>\sqrt{-1}\times\sqrt{-1} \neq \sqrt{-1 \times -1} = 1,\quad</math>किंतु,<math>\quad\sqrt{-1}\times\sqrt{-1} = i \times i = i^2 = -1.</math> | ||
नियम से <math>\sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab} </math> केवल गैर-ऋणात्मक वास्तविक रेडिकैंड्स के लिए सख्ती से प्रयुक्त | नियम से <math>\sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab} </math> केवल गैर-ऋणात्मक वास्तविक रेडिकैंड्स के लिए सख्ती से प्रयुक्त होता है, इसके आवेदन से उपरोक्त पहले चरण में असमानता हो जाती है। | ||
== एक कट्टरपंथी अभिव्यक्ति का सरलीकृत रूप | == एक कट्टरपंथी अभिव्यक्ति का सरलीकृत रूप == | ||
एक गैर-नेस्टेड कट्टरपंथी अभिव्यक्ति को सरलीकृत रूप में कहा जाता है यदि<ref>{{cite book|last=McKeague|first=Charles P.|title=प्राथमिक बीजगणित|page=470|year=2011|url=https://books.google.com/books?id=etTbP0rItQ4C&q=editions:q0hGn6PkOxsC|isbn=978-0-8400-6421-9}}</ref> | एक गैर-नेस्टेड कट्टरपंथी अभिव्यक्ति को सरलीकृत रूप में कहा जाता है यदि<ref>{{cite book|last=McKeague|first=Charles P.|title=प्राथमिक बीजगणित|page=470|year=2011|url=https://books.google.com/books?id=etTbP0rItQ4C&q=editions:q0hGn6PkOxsC|isbn=978-0-8400-6421-9}}</ref> | ||
# रेडिकैंड का कोई कारक नहीं है जिसे सूचकांक से अधिक या उसके सामान्तर शक्ति के रूप में लिखा जा सके। | # रेडिकैंड का कोई कारक नहीं है जिसे सूचकांक से अधिक या उसके सामान्तर शक्ति के रूप में लिखा जा सके। | ||
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अंत में, हम निम्न प्रकार से भाजक से मूलांक को हटाते हैं: | अंत में, हम निम्न प्रकार से भाजक से मूलांक को हटाते हैं: | ||
:<math>\frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{4 \sqrt{10}}{5} = \frac{4}{5}\sqrt{10} </math> | :<math>\frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{4 \sqrt{10}}{5} = \frac{4}{5}\sqrt{10} </math> | ||
जब करणी में भाजक होता है तब अभिव्यक्ति को सरल बनाने के लिए अंश और हर दोनों को गुणा करने के लिए कारक खोजना सदैव | जब करणी में भाजक होता है तब अभिव्यक्ति को सरल बनाने के लिए अंश और हर दोनों को गुणा करने के लिए कारक खोजना सदैव संभव होता है।<ref>B.F. Caviness, R.J. Fateman, [http://www.eecs.berkeley.edu/~fateman/papers/radcan.pdf "Simplification of Radical Expressions"], ''Proceedings of the 1976 ACM Symposium on Symbolic and Algebraic Computation'', p. 329.</ref><ref>Richard Zippel, "Simplification of Expressions Involving Radicals", ''Journal of Symbolic Computation'' '''1''':189–210 (1985) {{doi|10.1016/S0747-7171(85)80014-6}}.</ref> उदाहरण के लिए दो घनों के गुणनखंडन या योग/अंतर का उपयोग करना : | ||
:<math> | :<math> | ||
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उपरोक्त के माध्यम से प्राप्त किया जा सकता है: | उपरोक्त के माध्यम से प्राप्त किया जा सकता है: | ||
:<math>\sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{1 + 2\sqrt{2} + 2} = \sqrt{1^2 + 2\sqrt{2} + \sqrt{2}^2} = \sqrt{\left(1 + \sqrt{2}\right)^2} = 1 + \sqrt{2} </math> | :<math>\sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{1 + 2\sqrt{2} + 2} = \sqrt{1^2 + 2\sqrt{2} + \sqrt{2}^2} = \sqrt{\left(1 + \sqrt{2}\right)^2} = 1 + \sqrt{2} </math> | ||
मान लीजिये | मान लीजिये <math>r=p/q</math>, साथ {{mvar|p}} तथा {{mvar|q}} कोप्राइम और धनात्मक पूर्णांक। फिर <math>\sqrt[n]r = \sqrt[n]{p}/\sqrt[n]{q}</math> तर्कसंगत है यदि और केवल यदि दोनों <math>\sqrt[n]{p}</math> तथा <math>\sqrt[n]{q}</math> पूर्णांक हैं, जिसका अर्थ है कि दोनों {{mvar|p}} तथा {{mvar|q}} किसी पूर्णांक की nवीं घात हैं। | ||
== अनंत श्रृंखला == | == अनंत श्रृंखला == | ||
| Line 110: | Line 110: | ||
साथ <math>|x|<1</math>. यह अभिव्यक्ति द्विपद श्रृंखला से प्राप्त की जा सकती है। | साथ <math>|x|<1</math>. यह अभिव्यक्ति द्विपद श्रृंखला से प्राप्त की जा सकती है। | ||
== कंप्यूटिंग सिद्धांत | == कंप्यूटिंग सिद्धांत मूल्स == | ||
<nowiki>=== न्यूटन की विधि का प्रयोग ===</nowiki> | <nowiki>=== न्यूटन की विधि का प्रयोग ===</nowiki> | ||
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किसी संख्या {{math|''A''}} की nवें मूल की गणना न्यूटन की विधि से की जा सकती है, जो प्रारंभिक अनुमान {{math|''x''<sub>0</sub>}} से प्रारंभ होती है और फिर पुनरावर्तन संबंध का उपयोग करके पुनरावृति करता है | किसी संख्या {{math|''A''}} की nवें मूल की गणना न्यूटन की विधि से की जा सकती है, जो प्रारंभिक अनुमान {{math|''x''<sub>0</sub>}} से प्रारंभ होती है और फिर पुनरावर्तन संबंध का उपयोग करके पुनरावृति करता है | ||
:<math>x_{k+1} = x_k-\frac{x_k^n-A}{nx_k^{n-1}} </math> | :<math>x_{k+1} = x_k-\frac{x_k^n-A}{nx_k^{n-1}} </math> | ||
जब तक वांछित स्पष्टता | जब तक वांछित स्पष्टता प्राप्त नहीं हो जाती। कम्प्यूटेशनल दक्षता के लिए, पुनरावृत्ति संबंध सामान्यतः फिर से लिखा जाता है | ||
:<math>x_{k+1} = \frac{n-1}{n}\,x_k+\frac{A}{n}\,\frac 1{x_k^{n-1}} </math> | :<math>x_{k+1} = \frac{n-1}{n}\,x_k+\frac{A}{n}\,\frac 1{x_k^{n-1}} </math> | ||
यह केवल घातांक रखने की अनुमति देता है, और प्रत्येक शब्द के पहले कारक के लिए बार गणना करने की अनुमति देता है। | यह केवल घातांक रखने की अनुमति देता है, और प्रत्येक शब्द के पहले कारक के लिए बार गणना करने की अनुमति देता है। | ||
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''x''<sub>4</sub> = 2.02439 74584 99885 04251 08172... | ''x''<sub>4</sub> = 2.02439 74584 99885 04251 08172... | ||
''x''<sub>5</sub> = 2.02439 74584 99885 04251 08172 45541 93741 91146 21701 07311 8... | ''x''<sub>5</sub> = 2.02439 74584 99885 04251 08172 45541 93741 91146 21701 07311 8... <br>(सभी सही अंक दिखाए गए हैं।) | ||
सन्निकटन {{math|''x''<sub>4</sub>}} | सन्निकटन {{math|''x''<sub>4</sub>}} दशमलव 25 स्थानों के लिए सटीक है और {{math|''x''<sub>5</sub>}} 51 के लिए अच्छा है। | ||
न्यूटन की विधि को nवें मूल के लिए धनात्मक संख्याओं के विभिन्न सामान्यीकृत निरंतर भिन्न या मूल उत्पन्न करने के लिए संशोधित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, | न्यूटन की विधि को nवें मूल के लिए धनात्मक संख्याओं के विभिन्न सामान्यीकृत निरंतर भिन्न या मूल उत्पन्न करने के लिए संशोधित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, | ||
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=== दशमलव के प्रमुख मूल (आधार 10) संख्याओं की अंक-दर-अंकीय गणना === | === दशमलव के प्रमुख मूल (आधार 10) संख्याओं की अंक-दर-अंकीय गणना === | ||
[[Image:PascalForDecimalRoots.svg|right|thumb|पास्कल का त्रिभुज | पास्कल का त्रिभुज दिखा रहा है <math>P(4,1) = 4</math>.]]वर्गमूल की गणना के विधियों पर निर्माण या दशमलव (आधार 10 है | वर्गमूल की अंक-दर-अंक गणना के आधार पर , यह देखा जा सकता है कि वंहा प्रयुक्त सूत्र <math>x(20p + x) \le c</math> या <math>x^2 + 20xp \le c</math> | [[Image:PascalForDecimalRoots.svg|right|thumb|पास्कल का त्रिभुज | पास्कल का त्रिभुज दिखा रहा है <math>P(4,1) = 4</math>.]]वर्गमूल की गणना के विधियों पर निर्माण या दशमलव (आधार 10 है | वर्गमूल की अंक-दर-अंक गणना के आधार पर , यह देखा जा सकता है कि वंहा प्रयुक्त सूत्र <math>x(20p + x) \le c</math> या <math>x^2 + 20xp \le c</math> का उपयोग किया गया है, , पास्कल के त्रिकोण से जुड़े पैटर्न का अनुसरण करता है। किसी संख्या के nवें मूल के लिए <math>P(n,i)</math> को पास्कल के त्रिभुज की पंक्ति <math>n</math> में तत्व <math>i</math> के मूल्य के रूप में परिभाषित किया गया है कि <math>P(4,1) = 4</math>, हम अभिव्यक्ति को <math>\sum_{i=0}^{n-1}10^i P(n,i)p^i x^{n-i}</math> के रूप में फिर से लिख सकते हैं . सुविधा के लिए, इस व्यंजक के परिणाम को <math>y</math> कॉल करें . इस अधिक सामान्य अभिव्यक्ति का उपयोग करते हुए, किसी भी धनात्मक मूल मूल की गणना करते है , जिसे अंक-दर-अंक, निम्नानुसार उपयोग किया जा सकती है। | ||
मूल संख्या को दशमलव रूप में लिखिए। संख्याएँ दीर्घ विभाजन एल्गोरिथम के समान लिखी जाती हैं, और, दीर्घ विभाजन की तरह, मूल को ऊपर की रेखा पर लिखा जाएगा। अभी अंकों को दशमलव बिंदु से प्रारंभ करते हुए और बाएँ और दाएँ दोनों ओर जाते हुए, निकाले जा रहे मूल के सामान्तर अंकों के समूहों में भिन्न | मूल संख्या को दशमलव रूप में लिखिए। संख्याएँ दीर्घ विभाजन एल्गोरिथम के समान लिखी जाती हैं, और, दीर्घ विभाजन की तरह, मूल को ऊपर की रेखा पर लिखा जाएगा। अभी अंकों को दशमलव बिंदु से प्रारंभ करते हुए और बाएँ और दाएँ दोनों ओर जाते हुए, निकाले जा रहे मूल के सामान्तर अंकों के समूहों में भिन्न करें। मूल का दशमलव बिंदु रेडिकैंड के दशमलव बिंदु से ऊपर होगा। मूल संख्या के अंकों के प्रत्येक समूह के ऊपर मूल का अंक दिखाई देगा। | ||
अंकों के सबसे बाएँ समूह से प्रारंभ करते हुए, प्रत्येक समूह के लिए निम्न प्रक्रिया करें: | अंकों के सबसे बाएँ समूह से प्रारंभ करते हुए, प्रत्येक समूह के लिए निम्न प्रक्रिया करें: | ||
# बाईं ओर से प्रारंभ करते हुए, अभी तक उपयोग नहीं किए गए अंकों के सबसे महत्वपूर्ण (सबसे बाएं) समूह को नीचे लाएं (यदि सभी अंकों का उपयोग किया गया है, तब समूह बनाने के लिए आवश्यक संख्या 0 को लिखें) और उन्हें शेष के दाईं ओर लिखें पिछले चरण से (पहले चरण पर, कोई शेष नहीं रहेगा)। दूसरे शब्दों में, शेषफल को <math>10^n</math> से गुणा करें | # बाईं ओर से प्रारंभ करते हुए, अभी तक उपयोग नहीं किए गए अंकों के सबसे महत्वपूर्ण (सबसे बाएं) समूह को नीचे लाएं (यदि सभी अंकों का उपयोग किया गया है, तब समूह बनाने के लिए आवश्यक संख्या 0 को लिखें) और उन्हें शेष के दाईं ओर लिखें पिछले चरण से (पहले चरण पर, कोई शेष नहीं रहेगा)। दूसरे शब्दों में, शेषफल को <math>10^n</math> से गुणा करें और अगले समूह से अंक जोड़ें। यह वर्तमान मूल्य 'सी' होगा। | ||
#इस प्रकार ''p'' और ''x'' खोजें: | #इस प्रकार ''p'' और ''x'' खोजें: | ||
#* मान लीजिये कि किसी भी दशमलव बिंदु को अनदेखा करते हुए, <math>p</math> को अभी तक प्राप्त मूल का हिस्सा होना चाहिए था । (पहले चरण के लिए, <math>p = 0</math>). | #* मान लीजिये कि किसी भी दशमलव बिंदु को अनदेखा करते हुए, <math>p</math> को अभी तक प्राप्त मूल का हिस्सा होना चाहिए था । (पहले चरण के लिए, <math>p = 0</math>). | ||
#* सबसे बड़ा अंक <math>x</math> निर्धारित करें जैसा | #* सबसे बड़ा अंक <math>x</math> निर्धारित करें जैसा कि <math>y \le c</math>. | ||
#* अंक <math>x</math> को मूल के अगले अंक के रूप में लगाएं, अर्थात अंकों के उस समूह के ऊपर जिसे आपने अभी नीचे लाया है। इस प्रकार अगला p पुराना p गुणा 10 प्लस x होगा। | #* अंक <math>x</math> को मूल के अगले अंक के रूप में लगाएं, अर्थात अंकों के उस समूह के ऊपर जिसे आपने अभी नीचे लाया है। इस प्रकार अगला p पुराना p गुणा 10 प्लस x होगा। | ||
# नया अवशेष बनाने के लिए <math>c</math> में से <math>y</math> घटाना चाहिए । | # नया अवशेष बनाने के लिए <math>c</math> में से <math>y</math> घटाना चाहिए । | ||
| Line 205: | Line 205: | ||
(ध्यान दें: वह सूत्र b को विभाजन के परिणाम की घात दिखाता है, न कि b को विभाजन के परिणाम से गुणा करता है।) | (ध्यान दें: वह सूत्र b को विभाजन के परिणाम की घात दिखाता है, न कि b को विभाजन के परिणाम से गुणा करता है।) | ||
उस स्थिति के लिए जिसमें x ऋणात्मक है और n विषम है, वास्तविक मूल r है जो ऋणात्मक भी है। यह पहले परिभाषित समीकरण के दोनों पक्षों को -1 से गुणा करके <math>|r|^n = |x|,</math> प्राप्त किया जा सकता है | उस स्थिति के लिए जिसमें x ऋणात्मक है और n विषम है, वास्तविक मूल r है जो ऋणात्मक भी है। यह पहले परिभाषित समीकरण के दोनों पक्षों को -1 से गुणा करके <math>|r|^n = |x|,</math> प्राप्त किया जा सकता है फिर |r| खोजने के लिए पहले की तरह आगे बढ़ें, और {{nowrap|''r'' {{=}} −{{!}}''r''{{!}}}} उपयोग करें . | ||
== ज्यामितीय निर्माण == | == ज्यामितीय निर्माण == | ||
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== सम्मिश्र मूल | == सम्मिश्र मूल == | ||
0 के अलावा हर सम्मिश्र संख्या | 0 के अलावा हर सम्मिश्र संख्या n भिन्न के nवें मूल होते हैं। | ||
===वर्गमूल=== | ===वर्गमूल=== | ||
[[Image:Imaginary2Root.svg|thumb|right|''मैं'' का वर्गमूल]]एक सम्मिश्र संख्या के दो वर्गमूल सदैव दूसरे के ऋणात्मक होते हैं। उदाहरण के लिए, {{math|−4}} के वर्गमूल | [[Image:Imaginary2Root.svg|thumb|right|''मैं'' का वर्गमूल]]एक सम्मिश्र संख्या के दो वर्गमूल सदैव दूसरे के ऋणात्मक होते हैं। उदाहरण के लिए, {{math|−4}} के वर्गमूल {{math|2''i''}} तथा {{math|−2''i''}} होते है , और {{math|''i''}} का वर्गमूल हैं | ||
:<math>\tfrac{1}{\sqrt{2}}(1 + i) \quad\text{and}\quad -\tfrac{1}{\sqrt{2}}(1 + i) </math> | :<math>\tfrac{1}{\sqrt{2}}(1 + i) \quad\text{and}\quad -\tfrac{1}{\sqrt{2}}(1 + i) </math> | ||
यदि हम सम्मिश्र संख्या को ध्रुवीय रूप में व्यक्त करते हैं, तब त्रिज्या का वर्गमूल लेकर और कोण को आधा करके वर्गमूल प्राप्त किया जा सकता है: | यदि हम सम्मिश्र संख्या को ध्रुवीय रूप में व्यक्त करते हैं, तब त्रिज्या का वर्गमूल लेकर और कोण को आधा करके वर्गमूल प्राप्त किया जा सकता है: | ||
| Line 222: | Line 222: | ||
उदाहरण के लिए, सम्मिश्र संख्या का मुख्य मूल विभिन्न विधियों से चुना जा सकता है | उदाहरण के लिए, सम्मिश्र संख्या का मुख्य मूल विभिन्न विधियों से चुना जा सकता है | ||
:<math>\sqrt{re^{i\theta}} = \sqrt{r} \cdot e^{i\theta/2}</math> | :<math>\sqrt{re^{i\theta}} = \sqrt{r} \cdot e^{i\theta/2}</math> | ||
जो स्थिति {{math|0 ≤ ''θ'' < 2{{pi}}}} के साथ धनात्मक | जो स्थिति {{math|0 ≤ ''θ'' < 2{{pi}}}} के साथ धनात्मक वास्तविक अक्ष के साथ, या {{math|−{{pi}} < ''θ'' ≤ {{pi}}}} के साथ ऋणात्मक वास्तविक अक्ष के साथ सम्मिश्र विमान में शाखा कटौती का परिचय देता है , . | ||
पहली (अंतिम) शाखा का उपयोग करते हुए मुख्य वर्गमूल को काटें <math>\scriptstyle \sqrt z</math> एमएपीएस <math>\scriptstyle z</math> गैर-ऋणात्मक काल्पनिक (वास्तविक) भाग के साथ आधा विमान। मैटलैब या साइलैब जैसे गणितीय सॉफ़्टवेयर में अंतिम ब्रांच कट को माना जाता है। | पहली (अंतिम) शाखा का उपयोग करते हुए मुख्य वर्गमूल को काटें <math>\scriptstyle \sqrt z</math> एमएपीएस <math>\scriptstyle z</math> गैर-ऋणात्मक काल्पनिक (वास्तविक) भाग के साथ आधा विमान। मैटलैब या साइलैब जैसे गणितीय सॉफ़्टवेयर में अंतिम ब्रांच कट को माना जाता है। | ||
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:<math>\eta,\;\eta\omega,\;\eta\omega^2,\;\ldots,\;\eta\omega^{n-1},</math> | :<math>\eta,\;\eta\omega,\;\eta\omega^2,\;\ldots,\;\eta\omega^{n-1},</math> | ||
जहां η अकेला nवां मूल है, और 1, ω, ω{{sup|2}},... ω{{sup|''n''−1}} एकता की n वीं मूल हैं। उदाहरण के लिए, 2 के चार भिन्न -भिन्न | जहां η अकेला nवां मूल है, और 1, ω, ω{{sup|2}},... ω{{sup|''n''−1}} एकता की n वीं मूल हैं। उदाहरण के लिए, 2 के चार भिन्न -भिन्न चौथे मूल हैं | ||
:<math>\sqrt[4]{2},\quad i\sqrt[4]{2},\quad -\sqrt[4]{2},\quad\text{and}\quad -i\sqrt[4]{2}.</math> | :<math>\sqrt[4]{2},\quad i\sqrt[4]{2},\quad -\sqrt[4]{2},\quad\text{and}\quad -i\sqrt[4]{2}.</math> | ||
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यहाँ r उस संख्या का परिमाण (मापांक, जिसे निरपेक्ष मान भी कहा जाता है) है, जिसका मूल लिया जाना है; यदि संख्या को a+bi के रूप में लिखा जा सकता है तो <math>r=\sqrt{a^2+b^2}</math>. साथ ही, <math>\theta</math> वह कोण है जो मूल से संख्या तक जाने वाली किरण के धनात्मक क्षैतिज अक्ष से मूल वामावर्त पर धुरी के रूप में बना होता है; इसमें गुण हैं जो <math>\cos \theta = a/r,</math> <math> \sin \theta = b/r,</math> तथा <math> \tan \theta = b/a.</math> में होता है | | यहाँ r उस संख्या का परिमाण (मापांक, जिसे निरपेक्ष मान भी कहा जाता है) है, जिसका मूल लिया जाना है; यदि संख्या को a+bi के रूप में लिखा जा सकता है तो <math>r=\sqrt{a^2+b^2}</math>. साथ ही, <math>\theta</math> वह कोण है जो मूल से संख्या तक जाने वाली किरण के धनात्मक क्षैतिज अक्ष से मूल वामावर्त पर धुरी के रूप में बना होता है; इसमें गुण हैं जो <math>\cos \theta = a/r,</math> <math> \sin \theta = b/r,</math> तथा <math> \tan \theta = b/a.</math> में होता है | | ||
इस प्रकार सम्मिश्र तल में nवें मूल को ज्ञात करने को दो चरणों में विभाजित किया जा सकता है। सबसे पहले, सभी nवें मूल का परिमाण मूल संख्या के परिमाण का nवां मूल है। दूसरा, धनात्मक क्षैतिज अक्ष और मूल से nवीं जड़ों में से किरण के मध्य का कोण <math>\theta / n</math> है किसी | इस प्रकार सम्मिश्र तल में nवें मूल को ज्ञात करने को दो चरणों में विभाजित किया जा सकता है। सबसे पहले, सभी nवें मूल का परिमाण मूल संख्या के परिमाण का nवां मूल है। दूसरा, धनात्मक क्षैतिज अक्ष और मूल से nवीं जड़ों में से किरण के मध्य का कोण <math>\theta / n</math> है किसी जहाँ पे <math>\theta</math> जिस संख्या का मूल लिया जा रहा है, उसी प्रकार परिभाषित कोण है। इसके अलावा, nवें मूल के सभी n दूसरे से समान दूरी वाले कोण पर हैं। | ||
यदि n सम है, तब सम्मिश्र संख्या के nवें मूल, जिनमें से सम संख्या है, योगात्मक व्युत्क्रम युग्मों में आते हैं, जिससे कि यदि कोई संख्या ''r<sub>1</sub>'' nवें मूल में से है तब ''r<sub>2</sub> = -r<sub>1</sub>'' दूसरा है। इसका कारण यह है कि n के लिए पश्चात् वाले के गुणांक -1 को nवें घात तक बढ़ाने पर भी 1 प्राप्त होता है: अर्थात, (''–r<sub>1</sub>''){{sup|''n''}} = (''–1''){{sup|''n''}} × ''r<sub>1</sub>''{{sup|''n''}} = ''r<sub>1</sub>''{{sup|''n''}} होगा . | यदि n सम है, तब सम्मिश्र संख्या के nवें मूल, जिनमें से सम संख्या है, योगात्मक व्युत्क्रम युग्मों में आते हैं, जिससे कि यदि कोई संख्या ''r<sub>1</sub>'' nवें मूल में से है तब ''r<sub>2</sub> = -r<sub>1</sub>'' दूसरा है। इसका कारण यह है कि n के लिए पश्चात् वाले के गुणांक -1 को nवें घात तक बढ़ाने पर भी 1 प्राप्त होता है: अर्थात, (''–r<sub>1</sub>''){{sup|''n''}} = (''–1''){{sup|''n''}} × ''r<sub>1</sub>''{{sup|''n''}} = ''r<sub>1</sub>''{{sup|''n''}} होगा . | ||
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== गैर-परिपूर्ण nवें घात x के लिए अपरिमेयता का प्रमाण == | == गैर-परिपूर्ण nवें घात x के लिए अपरिमेयता का प्रमाण == | ||
मान लो की <math>\sqrt[n]{x}</math> तर्कसंगत है। अर्थात इसे <math>\frac{a}{b}</math> अंश तक घटाया जा सकता है , जहाँ पर | मान लो की <math>\sqrt[n]{x}</math> तर्कसंगत है। अर्थात इसे <math>\frac{a}{b}</math> अंश तक घटाया जा सकता है , जहाँ पर {{mvar|a}} तथा {{mvar|b}} सामान्य भाजक के बिना पूर्णांक हैं। | ||
इस का कारण है कि <math>x = \frac{a^n}{b^n}</math>. | इस का कारण है कि <math>x = \frac{a^n}{b^n}</math>. | ||
चूँकि x पूर्णांक है, <math>a^n</math>तथा <math>b^n</math> यदि सामान्य कारक साझा करना चाहिए <math>b \neq 1</math>. इसका कारण है कि यदि <math>b \neq 1</math>, <math>\frac{a^n}{b^n}</math> सरलतम रूप में नहीं है। इस प्रकार b को 1 के सामान्तर होना चाहिए। | चूँकि x पूर्णांक है, <math>a^n</math>तथा <math>b^n</math> यदि सामान्य कारक साझा करना चाहिए <math>b \neq 1</math>. इसका कारण है कि यदि <math>b \neq 1</math>, <math>\frac{a^n}{b^n}</math> सरलतम रूप में नहीं है। इस प्रकार b को 1 के सामान्तर होना चाहिए। | ||
तब से <math>1^n = 1</math> तथा <math>\frac{n}{1} = n</math>, <math>\frac{a^n}{b^n} = a^n</math>. | तब से <math>1^n = 1</math> तथा <math>\frac{n}{1} = n</math>, <math>\frac{a^n}{b^n} = a^n</math>. | ||
Revision as of 15:22, 25 July 2023
गणित में, nवाँ मूल लेना एक ऑपरेशन है जिसमें दो संख्याएँ, मूलांक और सूचकांक या डिग्री सम्मिलित होती हैं। n वाँ मूल लेते हुए इसे के रूप में लिखा जाता है, जहाँ x मूलांक है और n सूचकांक है (लगभग कभी-कभी इसे डिग्री भी कहा जाता है)। इसे "x का nवाँ मूल" के रूप में उच्चारित किया जाता है। किसी संख्या x के nवें मूल की परिभाषा एक संख्या r (मूल) है, जिसे जब एक धनात्मक पूर्णांक n की घात तक बढ़ाया जाता है, तो x प्राप्त होता है:
डिग्री 2 के मूल को वर्गमूल कहा जाता है (जहाँ n के बिना इसे केवल के रूप में लिखा जाता है) और डिग्री 3 के मूल को घनमूल के रूप में लिखा जाता है) कहा जाता है। उच्च डिग्री की मूलों को क्रमिक संख्याओं का उपयोग करके संदर्भित किया जाता है, जैसे कि चौथी मूल , बीसवीं मूल, आदि। n मूल की गणना एक मूल निष्कर्षण है। उदाहरण के लिए, 3, 9 का वर्गमूल है, क्योंकि 32= 9 है,और −3 भी 9 का वर्गमूल है, क्योंकि (−3)2 = 9 है.
सम्मिश्र संख्या के रूप में माना जाता है जिसमे किसी भी गैर-शून्य संख्या में, वास्तविक (अधिकतम दो) सहित विभिन्न सम्मिश्र nवें मूल होते है सभी धनात्मक पूर्णांको