Nवे मूल: Difference between revisions

Revision as of 15:17, 25 July 2023

गणित में, nवाँ मूल लेना एक ऑपरेशन है जिसमें दो संख्याएँ, मूलांक और सूचकांक या डिग्री सम्मिलित होती हैं। n वाँ मूल लेते हुए इसे ${\sqrt[{n}]{x}}$ के रूप में लिखा जाता है, जहाँ x मूलांक है और n सूचकांक है (लगभग कभी-कभी इसे डिग्री भी कहा जाता है)। इसे "x का nवाँ मूल" के रूप में उच्चारित किया जाता है। किसी संख्या x के nवें मूल की परिभाषा एक संख्या r (मूल) है, जिसे जब एक धनात्मक पूर्णांक n की घात तक बढ़ाया जाता है, तो x प्राप्त होता है:

r^{n}=x,

डिग्री 2 के मूल को वर्गमूल कहा जाता है (जहाँ n के बिना इसे केवल ${\sqrt {x}}$ के रूप में लिखा जाता है) और डिग्री 3 के मूल को घनमूल ${\sqrt[{3}]{x}}$ के रूप में लिखा जाता है) कहा जाता है। उच्च डिग्री की मूलों को क्रमिक संख्याओं का उपयोग करके संदर्भित किया जाता है, जैसे कि चौथी मूल , बीसवीं मूल, आदि। $n$ मूल की गणना एक मूल निष्कर्षण है। उदाहरण के लिए, 3, 9 का वर्गमूल है, क्योंकि 3²= 9 है,और −3 भी 9 का वर्गमूल है, क्योंकि (−3)² = 9 है.

सम्मिश्र संख्या के रूप में माना जाता है जिसमे किसी भी गैर-शून्य संख्या में, वास्तविक (अधिकतम दो) सहित विभिन्न सम्मिश्र $n$ वें मूल होते है सभी धनात्मक पूर्णांकों $n$ के लिए 0 का $n$ ' मूल शून्य होता है, जबसे $0 n = 0$ . विशेष रूप से, यदि $n$ सम है और $x$ धनात्मक वास्तविक संख्या है, इसका $n$ मूल वास्तविक और धनात्मक हैं, ऋणात्मक है, और अन्य (जब $n > 2$ ) अवास्तविक सम्मिश्र संख्याएँ हैं; यदि $n$ सम है और $x$ ऋणात्मक वास्तविक संख्या है, इनमें से कोई नहीं $n$ वीं मूल वास्तविक हैं। यदि $n$ विषम है और $x$ वास्तविक है, $n$ मूल वास्तविक है और इसका चिन्ह $x$ के समान है , जबकि अन्य ( $n - 1$ ) मूल वास्तविक नहीं हैं। अंत में, यदि $x$ वास्तविक नहीं है, तब इसका कोई नहीं $n$ वें मूल वास्तविक हैं।

वास्तविक संख्याओं की मूल सामान्यतः मूलांक प्रतीक या मूलांक ${\sqrt {{~^{~}}^{~}\!\!}}$ का उपयोग करके लिखी जाती हैं , यदि $x$ धनात्मक है जिसके साथ ${\sqrt {x}}$ $x$ के धनात्मक वर्गमूल को निरूपित करना होता है; यदि $n$ विषम है तो ${\sqrt[{n}]{x}}$ वास्तविक $n$ की मूल को दर्शाता है उच्च मूलों के लिए, यदि है $n$ सम है और $x$ धनात्मक है। और धनात्मक nवाँ मूल अन्य स्थितियों में, प्रतीक सामान्यतः अस्पष्ट होने के रूप में उपयोग नहीं किया जाता है। अभिव्यक्ति में ${\sqrt[{n}]{x}}$ , पूर्णांक n को अनुक्रमणिका और कहा जाता है $x$ रेडिकैंड कहा जाता है।

जब सम्मिश्र $n$ वें मूलों पर विचार किया जाता है, यह अधिकांशतः मूलों में से को चुनने के लिए उपयोगी होता है, जिसे सिद्धांत मूल कहा जाता है, मुख्य मूल्य के रूप में। सामान्य पसंद सिद्धांत चुनना है कि $x$ के रूप में $n$ वें मूल सबसे बड़ा वास्तविक भाग $n$ की मूल के साथ चुना जाये, और जब दो होते हैं ( $x$ वास्तविक और नकारात्मक के लिए) हों, तो एक धनात्मक काल्पनिक भाग वाला। यह $n$ वें मूल फलन (गणित) बनाता है जो $x$ वास्तविक और धनात्मक के लिए वास्तविक और धनात्मक है, और $x$ के वास्तविक और ऋणात्मक मूल्यों को छोड़कर, पूरे सम्मिश्र विमान में निरंतर कार्य करता है

इस विकल्प के साथ कठिनाई यह है कि, ऋणात्मक वास्तविक संख्या और विषम सूचकांक के लिए, मूलधन $n$ मूल असली नहीं है। उदाहरण के लिए, $-8$ तीन घनमूल हैं, $-2$ , $1+i{\sqrt {3}}$ तथा $1-i{\sqrt {3}}.$ वास्तविक घनमूल $-2$ है और मुख्य घनमूल $1+i{\sqrt {3}}$ है

एक अनसुलझी मूल , विशेष रूप से कट्टरपंथी प्रतीक का उपयोग करते हुए, कभी-कभी करणी^[1] या कट्टरपंथी के रूप में जाना जाता है।^[2] कोई भी व्यंजक जिसमें मूलांक हो, चाहे वह वर्गमूल हो, घनमूल हो, या उच्च मूल हो, को मूल व्यंजक कहा जाता है, और यदि इसमें कोई पारलौकिक कार्य या पारलौकिक संख्याएँ नहीं हैं, तब इसे बीजगणितीय व्यंजक कहा जाता है।

मूलों को घातांक के विशेष स्थितियों के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है, जहां प्रतिपादक अंश (गणित) है:

{\sqrt[{n}]{x}}=x^{1/n}.

<डिव क्लास = राइट>

[1]

[2]

@@ Line 36: / Line 36: @@
 n के सम मानों के लिए, धनात्मक संख्याओं का ऋणात्मक nवां मूल भी होता है, जबकि ऋणात्मक संख्याओं का वास्तविक nवां मूल नहीं होता है। n के विषम मानों के लिए, प्रत्येक ऋणात्मक संख्या x का वास्तविक ऋणात्मक nवां मूल होता है। उदाहरण के लिए, −2 का वास्तविक 5वां मूल है, <math>\sqrt[5]{-2} = -1.148698354\ldots</math> किन्तु -2 का कोई वास्तविक छठा मूल नहीं है।
-प्रत्येक गैर-शून्य संख्या x, वास्तविक या सम्मिश्र संख्या, की n भिन्न सम्मिश्र संख्या nth मूल होती हैं। (स्थितियां में x वास्तविक है, इस गणना में कोई भी वास्तविक nth मूल सम्मिलित है।) 0 का एकमात्र सम्मिश्र मूल 0 है।
+प्रत्येक गैर-शून्य संख्या x, वास्तविक या सम्मिश्र संख्या, की n भिन्न सम्मिश्र संख्या nवें मूल होती हैं। (स्थितियां में x वास्तविक है, इस गणना में कोई भी वास्तविक nवें मूल सम्मिलित है।) 0 का एकमात्र सम्मिश्र मूल 0 है।
 लगभग सभी संख्याओं के nवें मूल (nवें घात को छोड़कर सभी पूर्णांक, और दो nवें घात के भागफल को छोड़कर सभी परिमेय) अपरिमेय संख्या हैं। उदाहरण के लिए,
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 [[File:3rd roots of unity.svg|thumb|right|1 की तीन तीसरी मूल ]]
 {{Main article|एकता का मूल                                                                     }}
-संख्या 1 की सम्मिश्र तल में nth मूल भिन्न -भिन्न हैं, अर्थात्
+संख्या 1 की सम्मिश्र तल में nवें मूल भिन्न -भिन्न हैं, अर्थात्
 :<math>1,\;\omega,\;\omega^2,\;\ldots,\;\omega^{n-1},</math>
 जहाँ पे
@@ Line 235: / Line 235: @@
 इन मूलों को समान रूप से सम्मिश्र विमान में यूनिट सर्कल के चारों ओर कोणों पर फैलाया जाता है, जो गुणक <math>2\pi/n</math> होते हैं. उदाहरण के लिए, एकता का वर्गमूल 1 और -1 है, और एकता का चौथा मूल 1 है, <math>i</math>, -1, और <math>-i</math>.
-===nth मूल                            ===
+===nवें मूल                            ===
 {{visualisation_complex_number_roots.svg}}
 प्रत्येक सम्मिश्र संख्या के सम्मिश्र तल में n भिन्न nवें मूल होते हैं। य़े हैं
 :<math>\eta,\;\eta\omega,\;\eta\omega^2,\;\ldots,\;\eta\omega^{n-1},</math>
-जहां η अकेला nवां मूल है, और 1, ω, ω है{{sup|2}},... ओह{{sup|''n''−1}} एकता की n वीं मूल हैं। उदाहरण के लिए, 2 के चार भिन्न -भिन्न  चौथे मूल हैं
+जहां η अकेला nवां मूल है, और 1, ω, ω{{sup|2}},... ω{{sup|''n''−1}} एकता की n वीं मूल हैं। उदाहरण के लिए, 2 के चार भिन्न -भिन्न  चौथे मूल हैं
 :<math>\sqrt[4]{2},\quad i\sqrt[4]{2},\quad -\sqrt[4]{2},\quad\text{and}\quad -i\sqrt[4]{2}.</math>
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 :<math>\sqrt[n]{re^{i\theta}} = \sqrt[n]{r} \cdot e^{i\theta/n}.</math>
-यहाँ r उस संख्या का परिमाण (मापांक, जिसे निरपेक्ष मान भी कहा जाता है) है, जिसका मूल लिया जाना है; यदि संख्या को a+bi के रूप में लिखा जा सकता है <math>r=\sqrt{a^2+b^2}</math>. भी, <math>\theta</math> मूल से संख्या तक जाने वाली किरण के धनात्मक क्षैतिज अक्ष से मूल वामावर्त पर धुरी के रूप में बना कोण है; इसमें गुण हैं <math>\cos \theta = a/r,</math> <math> \sin \theta = b/r,</math> तथा <math> \tan \theta = b/a.</math>
+यहाँ r उस संख्या का परिमाण (मापांक, जिसे निरपेक्ष मान भी कहा जाता है) है, जिसका मूल लिया जाना है; यदि संख्या को a+bi के रूप में लिखा जा सकता है तो <math>r=\sqrt{a^2+b^2}</math>. साथ ही, <math>\theta</math> वह कोण है जो मूल से संख्या तक जाने वाली किरण के धनात्मक क्षैतिज अक्ष से मूल वामावर्त पर धुरी के रूप में बना होता है; इसमें गुण हैं जो <math>\cos \theta = a/r,</math> <math> \sin \theta = b/r,</math> तथा <math> \tan \theta = b/a.</math> में होता है |
-इस प्रकार सम्मिश्र तल में nवें मूल को ज्ञात करने को दो चरणों में विभाजित किया जा सकता है। सबसे पहले, सभी nवें मूल का परिमाण मूल संख्या के परिमाण का nवां मूल है। दूसरा, धनात्मक क्षैतिज अक्ष और किसी किरण के मध्य का कोण मूल से n वें मूल में से है <math>\theta / n</math>, कहाँ पे <math>\theta</math> जिस संख्या का मूल लिया जा रहा है, उसी प्रकार परिभाषित कोण है। इसके अलावा, nवें मूल के सभी n दूसरे से समान दूरी वाले कोण पर हैं।
-यदि n सम है, तब सम्मिश्र संख्या के nवें मूल, जिनमें से सम संख्या है, योगात्मक व्युत्क्रम युग्मों में आते हैं, जिससे कि यदि कोई संख्या r<sub>1</sub> nवें मूल में से है तब r<sub>2</sub> = -आर<sub>1</sub> दूसरा है। इसका कारण यह है कि पश्चात् वाले के गुणांक -1 को nवें घात तक बढ़ाने पर भी n के लिए 1 प्राप्त होता है: अर्थात, (–r<sub>1</sub>){{sup|''n''}} = (–1){{sup|''n''}} × आर<sub>1</sub>{{sup|''n''}} = आर<sub>1</sub>{{sup|''n''}}.
+इस प्रकार सम्मिश्र तल में nवें मूल को ज्ञात करने को दो चरणों में विभाजित किया जा सकता है। सबसे पहले, सभी nवें मूल का परिमाण मूल संख्या के परिमाण का nवां मूल है। दूसरा, धनात्मक क्षैतिज अक्ष और मूल से nवीं जड़ों में से किरण के मध्य का कोण <math>\theta / n</math> है किसी  जहाँ पे <math>\theta</math> जिस संख्या का मूल लिया जा रहा है, उसी प्रकार परिभाषित कोण है। इसके अलावा, nवें मूल के सभी n दूसरे से समान दूरी वाले कोण पर हैं।
+यदि n सम है, तब सम्मिश्र संख्या के nवें मूल, जिनमें से सम संख्या है, योगात्मक व्युत्क्रम युग्मों में आते हैं, जिससे कि यदि कोई संख्या ''r<sub>1</sub>'' nवें मूल में से है तब ''r<sub>2</sub> = -r<sub>1</sub>'' दूसरा है। इसका कारण यह है कि n के लिए पश्चात् वाले के गुणांक -1 को nवें घात तक बढ़ाने पर भी 1 प्राप्त होता है: अर्थात, (''–r<sub>1</sub>''){{sup|''n''}} = (''–1''){{sup|''n''}} × ''r<sub>1</sub>''{{sup|''n''}} = ''r<sub>1</sub>''{{sup|''n''}} होगा .
 वर्गमूलों की तरह, ऊपर दिया गया सूत्र पूरे सम्मिश्र तल पर निरंतर कार्य को परिभाषित नहीं करता है, बल्कि इसके अतिरिक्त उन बिंदुओं पर शाखा को काटता है जहां θ / n असतत है।
-== बहुपदों को हल करना                                                         ==
+== बहुपदों को हल करना                                                                                                          ==
 {{see also|मूल-फाइंडिंग एल्गोरिदम                                                         }}
 एक बार यह अनुमान लगाया गया था कि सभी बहुपद समीकरण बीजगणितीय समाधान हो सकते हैं (अर्थात, बहुपद की सभी मूलों को मूलांक और प्राथमिक अंकगणित की सीमित संख्या के रूप में व्यक्त किया जा सकता है)। चूंकि , जबकि यह तीसरी डिग्री बहुपद (क्यूबिक फ़ंक्शन) और चौथी डिग्री बहुपद (क्वार्टिक फ़ंक्शन) के लिए सही है, एबेल-रफ़िनी प्रमेय (1824) से पता चलता है कि यह डिग्री 5 या उससे अधिक होने पर सामान्य रूप से सच नहीं है। उदाहरण के लिए, समीकरण के समाधान
@@ Line 260: / Line 261: @@
 मूलांक के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। (cf. क्विंटिक समीकरण)
-== गैर-परिपूर्ण nवें घात x == के लिए अपरिमेयता का प्रमाण
+== गैर-परिपूर्ण nवें घात x के लिए अपरिमेयता का प्रमाण ==
-मान लो की <math>\sqrt[n]{x}</math> तर्कसंगत है। अर्थात इसे अंश तक घटाया जा सकता है <math>\frac{a}{b}</math>, कहाँ पे {{mvar|a}} तथा {{mvar|b}} सामान्य भाजक के बिना पूर्णांक हैं।
+मान लो की <math>\sqrt[n]{x}</math> तर्कसंगत है। अर्थात इसे <math>\frac{a}{b}</math> अंश तक घटाया जा सकता है , जहाँ पर  {{mvar|a}} तथा {{mvar|b}} सामान्य भाजक के बिना पूर्णांक हैं।
 इस का कारण है कि <math>x = \frac{a^n}{b^n}</math>.
-चूँकि x पूर्णांक है, <math>a^n</math>तथा <math>b^n</math>यदि सामान्य कारक साझा करना चाहिए <math>b \neq 1</math>. इसका कारण है कि यदि <math>b \neq 1</math>, <math>\frac{a^n}{b^n}</math> सरलतम रूप में नहीं है। इस प्रकार b को 1 के सामान्तर होना चाहिए।
+चूँकि x पूर्णांक है, <math>a^n</math>तथा <math>b^n</math> यदि सामान्य कारक साझा करना चाहिए <math>b \neq 1</math>. इसका कारण है कि यदि <math>b \neq 1</math>, <math>\frac{a^n}{b^n}</math> सरलतम रूप में नहीं है। इस प्रकार b को 1 के सामान्तर होना चाहिए।
 तब से <math>1^n = 1</math> तथा <math>\frac{n}{1} = n</math>, <math>\frac{a^n}{b^n} = a^n</math>.
-इस का कारण है कि <math>x = a^n</math> और इस तरह, <math>\sqrt[n]{x} = a</math>. यह बताता है कि <math>\sqrt[n]{x}</math> पूर्णांक है। चूँकि x पूर्ण nth घात नहीं है, यह असंभव है। इस प्रकार <math>\sqrt[n]{x}</math> तर्कहीन है।
+इसका कारण है कि <math>x = a^n</math> और इस तरह, <math>\sqrt[n]{x} = a</math>. यह बताता है कि <math>\sqrt[n]{x}</math> पूर्णांक है। चूँकि x पूर्ण nवें घात नहीं है, यह असंभव है। इस प्रकार <math>\sqrt[n]{x}</math> तर्कहीन है।
-== यह भी देखें ==
+== यह भी देखें                             ==
-* nth मूल एल्गोरिथम को स्थानांतरित करना
+* nवें मूल एल्गोरिथम को स्थानांतरित करना
 * जियोमेट्रिक माध्य
 * दो का बारहवाँ मूल

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